Toán Cao Cấp chất lượng cao

Bài Thuyết Trình Bài Tập Nhóm
Môn: Toán Cao Cấp- Đại Số Tuyến Tính
Lớp
: E-BBA 9a
Gv
: Đoàn Trọng Tuyến
Sv thực hành: Nhóm 2


Thành Viên

• 6. Nguyễn Vân Chi
• 13. Hoàng Thị Thái Hà
• 14. Nguyễn Thu Hà
• 19. Đỗ Thu Hường
• 44. Bùi Thị Hải Yến


Bài 45 trang 66:
Katherine Chong đầu tư 10.000$( số tiền mà cô ấy nhận được từ bà của mình) thành 3 phần:
- Phần 1: mua trái phiếu tiết kiệm của Mỹ với mức lãi suất mỗi năm cô ấy nhận được là 2,5%
- Phần 2: số tiền đầu tư gấp đôi số tiền ở phần 1, đầu tư vào các quỹ hỗ trợ và mang lại lợi nhuận là 6%/năm
- Phần 3: đầu tư vào 1 thị trường và thu lại 4,5%/năm
- Năm đầu tiên sau khi đầu tư, cô thu lại được 470$
Số tiền mà cô đầu tư vào mỗi lĩnh vực là bao nhiêu?


Lời giải:

• Số tiền đầu tư phần 1 là x
• Số tiền đầu tư phần 2 là 2x

• Số tiền đầu tư vào phần 3 là y

số tiền thu lại được sau 1 năm đầu tư vào phần 1 là 2,5%x
số tiền thu lại được sau 1 năm đầu tư vào phần 2 là 2*6%x
số tiền thu lại được sau 1 năm đầu tư vào phần 3 là 4,5%y

Theo số liệu đề bài, ta có hệ phương trình

x+ 2x+ y=10000

A=
2,5%x+ 2*6%x+ 4,5%y=470


3x+ y=10000

A=
0,145x+ 0,045y=470
3

1

-29

10000

A=

600
0,145 0,045 470

3

1

10000

3x+ y=10000

A=

A=
0

X=2000

Y=4000

-1

-40

300

3

-40

-y
=

300

3


Vậy số tiền mà Katherine Chong đầu tư vào mỗi phần là
- Phần 1: 2000$
- Phần 2: 4000$
- Phần 3: 4000$


Bài 18 trang 103
Một ngành công nghiệp đơn giản phụ thuộc vào 3 ngành: dầu, ngô và cà phê.
Để sản xuất:
- 1 đơn vị dầu cần

0,2 đơn vị dầu; 0,4 đơn vị ngô; 0 đơn vị cà phê

- 1 đơn vị ngô cần

0,4 đơn vị dầu; 0,2 đơn vị ngô; 0,1 đơn vị cà phê

- 1 đơn vị cà phê cần 0,2 đơn vị dầu; 0,1 đơn vị ngô; 0,2 đơn vị cà phê

Lượng sản phẩm được sản xuất để đáp ứng nhu cầu 1000 đơn vị mỗi loại dầu, ngô, cà phê?


Lời giải:

• Theo điều kiện đề bài, ta có:

A=

0,2 0,4

0,0

0,4 0,2

0,1

0,2 0,1 0,2

Trong đó: A là ma trận hệ số kĩ thuật
B là ma trận cầu cuối

B=

1000
1000
1000


Ta có
X(E-A)=B

X=(E-A)^(-1)B
0,8 0,6 1,0

• E- A=

0,6 0,8 0,9

Det (E-A)= -0,092

0,8 0,9 0,8

(E-A)*

-0,17 0,42 -0,26

(E-A)*=

0,24 -0,16 -0,12
-0,1 -0,24 0,28

(E-A)^(-1)=
Det(E-A)
-0,17 0,42 -0,26
0,24 -0,16 -0,12
-0,1 -0,24 0,28

X=

(E-A)*
Det(E-A)

B =

1000

1000

- 0,092

1000


5000

X=

3333
1428

Vậy để sản xuất 1000 đơn vị cần 5000 đvi ngô
3333 đơn vị dầu
1428 đơn vị cà phê


Bài 61 trang69
Một khách hàng muốn đầu tư vào các trái phiếu AAA, A, B với tỷ lệ trung bình : AAA là 6% ; A là 6.5 % và B là 8%. Khách
hàng muốn đầu tư trái phiếu AAA gấp đôi trái phiếu B. Nên đầu tư bao nhiêu để :

1.

Tổng mức đầu tư 25000$

lãi 1650$

2.

Tổng mức đầu tư 30000$

lãi 1985$

3.

Tổng mức đầu tư 40000$

lãi 2660$


- Số tiền đầu tư vào trái phiếu AAA là: 2x

trái phiếu B là: x

tiền lãi hàng năm của trái phiếu AAA và B lần lượt là 6%.2x và 8%x
- Số tiền đầu tư vào trái phiếu A là :y
1. Theo bài ta có hệ phương trình:
2x + y + x = 25000
0.06.2x + 0,065.y + 0.08.x = 1650

A=
3x + y = 25000

A=

0.2x + 0.065y = 1650

tiền lãi hàng năm của trái phiếu A là 6.5%.y

• 

-1

A=

15

A=

y= 10000
x= 5000


Vậy số tiền đầu tư cho các trái phiếu là
AAA= 10000$
A= 5000$
B= 10000$


2. Với tổng mức đầu tư là $30000 và lợi nhuận hằng năm là $1985
Ta có hệ phương trình
3x + y = 30000

A=

0.2x + 0.065y = 1985

A=

x=
7000

15

 

y=
9000

-1

 

A=

y= 9000
x= 7000


Vậy số tiền đầu tư cho trái phiếu là
AAA= 14000
A= 9000
B= 7000


3. Với tổng số tiền đầu tư là $40000 và lợi nhuận hằng năm là $2660
Ta có hệ phương trình

A=

3x + y = 40000
0.2x + 0.065y = 2660
-1

 

15

A=
y=

 

4000

A=
1200
0

X=4000
Y=12000


Vậy số tiền đầu tư cho trái phiếu là
AAA= 24000
A

= 4000

B

= 12000


Bài 69 trang 69
•

Dịch đề:
Trò chơi điện tử tên Lights Out, bao gồm 5 hàng của mỗi hàng có 5 nút đèn (có thể bấm được). Khi một nút được bấm, nó thay đổi trạng thái on/off của chính nó và tất cả các đèn thằng hàng hoặc thẳng cột với nó. Với tất
cả những trạng thái đã cho khi một số đèn là on và một số đèn là off, mục tiêu của game là bấm tới khi tất cả các đèn đều tắt đi. Chỉ ra rằng với mỗi dãy đèn cho sẵn, giải 1 hệ phương trình có thể được sử dụng để phát
triển một chiến lược làm cho đèn tắt hết. Hệ phương trình dưới đây có thể được sử dụng cho một dạng đơn giản hóa của trò chơi với 2 hàng 2 nút khi tất cả đèn ban đầu đều bật:

Bài 69 trang 69

Dịch đề:

Trò chơi điện tử tên Lights Out, bao gồm 5 hàng của mỗi hàng có 5 nút đèn (có thể bấm được). Khi một nút được bấm, nó thay đổi trạng thái on/off của chính nó và tất cả các đèn thằng hàng
hoặc thẳng cột với nó. Với tất cả những trạng thái đã cho khi một số đèn là on và một số đèn là off, mục tiêu của game là bấm tới khi tất cả các đèn đều tắt đi. Chỉ ra rằng với mỗi dãy đèn cho

x

x

x

•
•


+
+phương trình
= 1
Với sẵn,
nếu nút
dòng i, cột
và được
nếu nút
dòng
i, cột
giảiđèn
1 hệởphương
trìnhj bật
có thể
sử đèn
dụngở để
phát
triểnj tắt.
một chiến
tắt hết. Hệ
11 lược làm cho đèn 12
21dưới đây có thể được sử dụng cho một dạng đơn giản hóa của trò chơi với 2

•)

b) Giải lại hệ phương trình trên với cột hệ số tự do được thay bằng (0,1,1,0).



+
+
a) Giải
hệ 2phương
xácđầu
định
một
đènx
(Gợi
lẻ được1
tìm thấy, ngay lập tức thay nó bởi 1; nếu một số chẵn được tìm thấy, ngay lập tức thay
xphép
xnếu22một số =
hàng
nút khitrình
tất cảtrên
đènvàban
đều
bật:chiến lược để tắt hết 
11ý: Khi thực hiện
12 toán trên dòng,
nó bởi 0. Nó được gọi là hệ nhị phân, và nó cần thiết trong những vấn
 đề với trạng thái on/off)
+
x21 + x 22 = 1
 x11
x
+
x22 + x12 = 1
 11

 
Với nếu nút đèn ở dòng i, cột j bật và nếu nút đèn ở dòng i, cột j tắt.
a) Giải hệ phương trình trên và xác định một chiến lược để tắt hết đèn (Gợi ý: Khi thực hiện phép toán trên dòng, nếu một số lẻ được tìm thấy, ngay lập tức thay nó bởi 1; nếu một số chẵn
được tìm thấy, ngay lập tức thay nó bởi 0. Nó được gọi là hệ nhị phân, và nó cần thiết trong những vấn đề với trạng thái on/off)

b) Giải lại hệ phương trình trên với cột hệ số tự do được thay bằng (0,1,1,0).
 


a) Gọi A là ma trận 2x2 tương ứng với trạng thái của bảng đèn ban đầu, vì ban đầu tất cả các đèn đều bật nên:

1
A=
1

Gọi

1

1


x

là phần tử
ij dòng i, cột j của A. Ta có:

Lời Giải

 x11

 x11

 x11
x
 11

x
x
x
x

+
+

22

+

21

+

21

+

12

+

x
x
x
x

+

12

22

+

22

12

=

3

=

3

=

3

=

3

Vì ở đây ta chỉ cần quan tâm đến tính chẵn lẻ (hay on/off) của các số, nên hệ trên có thể được viết thành:

 x11

 x11

 x11
x
 11

+
+
+
+

x
x
x
x

12
12
21

22

+
+
+
+

x
x
x
x

21

22
22

12

=
=
=
=

1
1
1
1


•

Gọi B là ma trận vuông cùng cấp với A, sao cho mỗi phần tử của B là tổng của phần tử có vị trí tương ứng tại A và tất cả những phần tử cùng hàng, cùng cột với nó tại A. Nói cách khác, mỗi phần tử của B là tổng của tất
cả những phần tử thuộc A mà bị ảnh hưởng khi ta bấm vào đèn có vị trí tương ứng.

•

Ví dụ: với

•

Áp dụng vào trường hợp của phần a ta có:

thì

 x11
A=

 x21

x
x




22 

12

x

B =  11

 x11

+
+

x
x

12

+

21

+

•

Phát hiện tính chất:

•
•

1. Khi bấm 1 đèn bất kì, chỉ có phần tử tương ứng của nó tại B thay đổi, các phần tử khác của B không đổi.

x
x

Ví dụ bấm đèn ở vị trí dòng 1, cột 1, giá trị của 2 bảng sẽ là:

1
A=
1


0
A=
0


0

1


1
1


→
B
=
1
1



0

B =
1


1

1


1

1


21
22

x
x

11
21

+
+

x
x

12

+

22

+




12 

x
x

22


Chứng minh:

1.

Khi bấm 1 nút bất kì, tại A sẽ có 3 phần tử thay đổi là phần tử có vị trí tương ứng và 2 phần tử thẳng hàng, thẳng cột với nó. Do đó phần tử tương ứng tại B bị thay đổi tính chẵn lẻ 3 lần, nên thay đổi tính chẵn lẻ.
Các phần tử khác tại B đều chỉ có 2 thành tố bị thay đổi, nên thay đổi tính chẵn lẻ 2 lần, nên không đổi.

2. Khi tất cả các phần tử của B bằng nhau thì tất cả các phần tử của A bằng nhau và ngược lại. (Ghi chú: ‘bằng nhau’ ở đây có nghĩa là cùng tính chẵn lẻ, cùng trạng thái on/off)

Ta có

x

+
11

→ B=
+
x
11

+/
Chiều
ngược:
Dễ
dàng
thấy
rằng
nếu
tất
cả
các
phần
tử
của
A
bằng
nhau
thì
tất
cả
các
phần

tử
của
B
sẽ
bằng
nhau.
•
 x11
A=

 x21

•

x
x




22 

12

x
x

12

+

21

+

x
x

21
22

+/ Chiều xuôi: Nếu tất cả các phần tử của B bằng nhau, tức là ta có:

x11 + x12 + x21 = x11 + x12 + x22

x
x

11
21

+
+

x
x

12

+

22

+




12 

x
x

22


•
Do đó

; Chứng minh tương tự ta được tất cả các phần tử của A bằng nhau.

x21 = x22

•

Từ tính chất 2 suy ra rằng: Nếu có thể đưa ma trận B về dạng của ma trận 0, thì sẽ thu được ma trận A cũng là ma trận 0, tức là tất cả đèn đều tắt.

•

Thật vậy, nếu B là ma trận 0 thì

•

Mặt khác, từ tính chất 1 ta suy ra rằng: Nếu ban đầu ma trận B có một số các phần tử bằng 1 và một số các phần tử bằng 0, thì chỉ cần bấm tất cả các đèn có vị trí tương ứng với phần tử tại B bằng 1, sau một số hữu
hạn bước đúng bằng số phần tử bằng 1 của ma trận B ban đầu, ta sẽ thu được ma trận B là ma trận 0, từ đó có A là ma trận 0.

mà

nên

x11 + x12 + x21 = 0

x11 = x12 = x21 = 0

;

x11 = x12 = x21

do đó A là ma trận 0.


•

Áp dụng vào phần a ta có:

•

Ban đầu:

1

A=
1


1

1


1
B =
1


Sau khi bấm nút ở dòng 1, cột 1:

0
A=
0


0

1


0
B =
1


Sau khi bấm nút ở dòng 1, cột 2:

1
A=
0


1

0


0
B=
1


0

1


0
A=
1


1


1


0
B=
0


0

1


0

0


0
B=
0


0

0


•
•

•
•
•
•

Sau khi bấm nút ở dòng 2, cột 1:

•

Sau khi bấm nút ở dòng 2, cột 2:

•

Ta thắng game.

0
A=
0


1

1

1

1


•

•
•
•
•
•
•
•
•

b) Ta có:

 x11

 x11

 x11
x
 21

Từ phương trình (1) và (4) suy ra

x
x
x
x

+

12

+

12

+
+

21

22

+
+
+
+

x
x
x
x

21

22
22

12

=

0

=

1

=

1

=

0

Từ phương trình (2) và (3) suy ra
Vì

nên

\\\

( 2số bằng nhau cộng lại thành số chẵn), thay vào phương (2) và (3)

suy ra .

11

=

x

22

x12 = x21

Tương tự ta tính được .

x11 + x22 = 0

x11 = x22
Suy ra ma trận A là

x

;B

là

x

=

x

x

=

x

12

•

Sau khi bấm nút ở dòng 1, cột 2:

•

Sau khi bấm nút ở dòng 2, cột 1:

11

0

1

1

0 

0

1


21

22

=1
=0

1

0


1
A=
1


0

1


0
B=
1


0
A = 
0

0


0 

0
B = 
0

0

0


0

0 