Câu hỏi ôn tập xác suất thống kê

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

ÔN TẬP MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ_K50 HÈ 2012
NỘI DUNG ÔN THI
Công thức xác suất đầy đủ, điều kiện, Bayes
Phân phối Bernoulli, xấp xỉ phân phối Bernoulli
Hàm mật độ, hàm phân phối, các tham số của biến ngẫu nhiên liên tục
Phân phối của trung bình mẫu, phương sai mẫu
Ước lượng trung bình, tỉ lệ
Kiểm định trung bình, phương sai
Kiểm định so sánh hai trung bình

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Có hai cái hộp: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 7 bi xanh; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 8 bi xanh. Từ hộp thứ
nhất lấy ra 1 bi, từ hộp thứ hai lấy ra 2 bi, cùng bỏ vào hộp thứ ba đang có 5 bi xanh. Sau đó từ
hộp thứ ba lấy ra 3 bi. Tìm xác suất lấy được
a) 2 bi đỏ;
b) ít nhất 1 bi đỏ.
2. Ở một quầy hàng điện tử các bóng đèn được đóng thành lô, trong mỗi lô có 8 bóng tốt và 2 bóng
bị hỏng. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một lô hàng, từ đó chọn ngẫu nhiên 3 bóng đèn, nếu
thấy cả 3 bóng đều tốt thì mua lô hàng.
a) Tìm xác suất khách hàng không mua lô hàng đó.
b) Giả sử khách hàng chọn 8 lô hàng. Tìm xác suất người đó mua 5 lô.
3. Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm. Cho biết tỷ lệ sản phẩm của các
phân xưởng đó trong kho hàng lần lượt là 25%; 30%, 28%; 17%; còn tỷ lệ phế phẩm tương ứng là

2%; 1,5%; 2,5%; 1%.
a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy. Tìm xác suất chọn được
sản phẩm tốt.
b) Chọn ngẫu nhiên 250 sản phẩm trong kho hàng. Tìm xác suất chọn được
(i) 245 sản phẩm tốt;
(ii) ít nhất 3 phế phẩm.
c) Muốn xác suất lấy được ít nhất 1 phế phẩm trong kho hàng không dưới 98% thì phải
chọn tối thiểu bao nhiêu sản phẩm trong kho hàng đó?
4. Cho biết tỉ lệ học sinh bị cận thị ở một trường THPT là 40%. Chọn ngẫu nhiên 100 học sinh của
trường. Tìm xác suất chọn được
a) Ít nhất 1 học sinh bị cận;
b) từ 70 đến 95 học sinh bị cận.
5. Một loại nón bảo hiểm bán trên thị trường xuất phát từ ba nguồn A, B, C với tỉ lệ thị trường
tương ứng là 20%, 45%, 35%. Cho biết tỉ lệ nón được kiểm định từ ba nguồn đó lần lượt là 90%,
60% và 70%. Mua ngẫu nhiên một nón loại này.
a) Tìm xác suất mua được nón đã kiểm định.
b) Nếu mua được nón chưa qua kiểm định thì khả năng nón này xuất phát từ nguồn nào là
nhiều nhất?
6. Cho biết xác suất có làm bài tập về nhà của sinh viên một trường đại học là 0,65. Chọn ngẫu
nhiên 120 sinh viên của trường. Tìm xác suất trong số đó có
a) 35 sinh viên không làm bài tập về nhà.
b) từ 68 đến 80 sinh viên có làm bài tập về nhà.

1


7. Một vỉ thuốc có 30 viên thuốc, trong đó có 5 viên kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên thuốc.
Gọi X là số viên kém chất lượng lấy được. Tìm quy luật phân phối xác suất và tính kì vọng,
phương sai, độ lệch chuẩn của X.
8. Một sinh viên thi 5 môn với xác suất đậu từng môn đều là 0,8. Gọi X là số môn anh ta đậu. Hãy

lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn
của X.
9. Điểm thi môn Toán của một số sinh viên trường đại học M được cho trong bảng sau
Điểm
0 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
Số sinh viên
2 4 7 12 24 28 32 25 17 6
3
a) Hãy ước lượng điểm thi trung bình môn XSTK và tỉ lệ đậu của sinh viên toàn trường với
độ tin cậy 98%.
b) Muốn độ tin cậy khi ước lượng điểm thi trung bình môn XSTK là 95%, sai số bằng nửa
sai số ở câu a thì cần điều tra thêm bao nhiêu sinh viên?
10. Điều tra về thu nhập của một số công nhân trong xí nghiệp ΩMD, ta được bảng số liệu sau
đây:
Thu nhập (triệu đồng/tháng)
Số công nhân
1,6 – 2,0
5
2,0 – 2,4
9
2,4 – 2,8
12
2,8 – 3,2

18
3,2 – 3,6
7
3,6 – 4,0
5
a) Ước lượng thu nhập trung bình của công nhân toàn xí nghiệp với độ tin cậy 99%.
b) Những người có thu nhập trên 3,2 triệu đồng/tháng là người có thu nhập cao. Hãy ước
lượng tỉ lệ công nhân có thu nhập cao trong xí nghiệp với độ tin cậy 95%. Nếu xí
nghiệp có 1800 công nhân thì số công nhân có thu nhập cao tối thiểu của xí nghiệp là
bao nhiêu?
11. Khảo sát về khối lượng của một loại trái cây tại nông trường KKK, người ta ghi được bảng số
liệu sau đây:
Khối lượng (gam)
Số trái
100 – 200
20
200 – 300
50
300 – 400
140
400 – 500
110
500 – 600
70
600 – 700
10
Quy định những trái cây có khối lượng trên 400 gam là trái cây loại một.
a) Ước lượng tỉ lệ trái cây loại một của nông trường với độ tin cậy95%?
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây loại 1 của nông trường với độ tin cậy 99% và độ chính
xác 3% thì phải điều tra thêm bao nhiêu trái nữa?

12. Sau đây là kết quả điều tra mức điện tiêu thụ hàng tháng của một số hộ gia đình sinh sống tại
thành phố Hồ Chí Minh:

2


Lượng điện tiêu thụ (Kwh)
80 – 100
100 – 120
120 – 140
140 – 160
160 – 180
180 – 200
200 – 220

Số hộ
14
16
28
20
9
8
5

a) Hãy ước lượng mức điện tiêu thụ trung bình hàng tháng của các hộ gia đình với độ tin
cậy 95%. Cho biết giá điện sinh hoạt là 950 đồng/kwh. Hãy ước lượng tiền điện tối thiểu
mà mỗi hộ gia đình phải trả hàng tháng với độ tin cậy 95%.
b) Hãy ước lượng tỉ lệ hộ gia đình có mức điện tiêu thụ mỗi tháng từ 160 kwh trở lên với độ
tin cậy 99%.
c) Có thông tin cho rằng tỉ lệ tiêu thụ từ 160kw/h trở lên lớn hơn 25%. Với mức ý nghĩa

2%. Hãy kết luận xem thông tin trên có chính xác không.
13. Số liệu thống kê về doanh số bán hàng tại một cửa hàng trong một số ngày được ghi nhận như
sau:
Doanh số (triệu đồng/ngày)
Số ngày
24
5
30
12
36
25
42
35
48
24
54
15
60
12
65
10
70
6
a) Hãy ước lượng doanh số bán trung bình trong một ngày của cửa hàng với độ tin cậy
99%.
b) Những ngày có doanh số bán từ 60 triệu đồng trở lên là những ngày “bán đắt hàng”.
Hãy ước lượng doanh số bán trung bình của một ngày “bán đắt hàng” với độ tin cậy
95%. Giả thiết doanh số bán hàng là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật
chuẩn.
14. Theo dõi số kẹo X (kg) bán ra trong một tuần ta có bảng sau:

Lượng kẹo
0-50
50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350
Số tuần
9
23
27
30
25
20
5
a) Để ước lượng số kẹo trung bình bán được trong một tuần với độ chính xác 10kg và độ tin
cậy 99 % thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần nữa?
b) Bằng cách thay đổi mẫu mã người ta thấy số kẹo bán được trung bình trong một tuần là
200kg. Hãy kết luận về kết quả trên ở mức ý nghĩa 5%?
c) Những tuần bán được từ 250kg trở lên là những tuần hiệu quả. Ước lượng tỉ lệ những tuần
hiệu quả với độ tin cậy 90%.

3


d) Ước lượng số kẹo bán được trung bình trong tuần với độ tin cậy 98%?
15. Số liệu khảo sát về khối lượng hàng bán được (tấn/tháng) của một loại hàng ở một vùng như
sau:
34
35
36
36
35
37

38
40
40
40
39
39
39
38
38
38
Giả thiết khối lượng hàng bán được là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
a) Tìm khoảng ước lượng với độ tin cậy 98% cho khối lượng hàng bán được trung bình trong
một tháng ở vùng này.
b) Với mẫu trên nếu đưa ra khoảng ước lượng với độ chính xác là 0,3 tấn/tháng thì độ tin cậy
của kết quả là bao nhiêu?
16. Sản phẩm của một nhà máy được đóng thành kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm gồm 6 loại A và 4
loại B. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm nếu thấy
có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 140 kiện hàng trong
số rất nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được chọn.
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận.
17. Một người cân nhắc việc mua cổ phiếu của 2 công ty A và công ty B hoạt động trong 2 lĩnh
vực độc lập nhau. Biết lãi suất cổ phiếu (tính bằng %) của 2 công ty là các đại lượng ngẫu nhiên
phân bố theo qui luật chuẩn với các tham số đặc trưng như sau:
Công ty A: X ~ N (12; 3, 52 )
Công ty B: Y ~ N (11; 2, 82 )
a) Nếu người đó muốn đạt lãi suất tối thiểu 10% thì nên mua cổ phiếu của công ty nào?
b) Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro bằng cách mua cả cổ phiếu của cả 2 công ty thì nên mua
với tỉ lệ nào để mức độ rủi ro về lãi suất là thấp nhất.
18. Trọng lượng ngẫu nhiên của một con cừu là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật

chuẩn với trung bình là 25kg và độ lệch chuẩn là 4kg. Chọn ngẫu nhiên một con cừu. Tính xác
suất để con cừu đó có trọng lượng:
a) Nặng hơn 30kg?
b) Nhẹ hơn 18kg?
c) Từ 20kg đến 27kg?
19. Có 3 cửa hàng 1,2,3 cùng kinh doanh một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại 1 của mỗi cửa
hàng như sau: 70%, 75% và 60%. Một khách chọn ngẫu nhiên một cửa hàng sau đó mua ngẫu
nhiên 5 sản phẩm,
a) Tính xác suất khách không mua được sản phẩm loại A nào cả?
b) Tính xác suất khách mua được 3 sản phẩm loại A khi biết rằng trong 5 sản phẩm được mua
có ít nhất một sản phẩm loại A?
c) Giả sử khách mua được 3 sản phẩm loại A. Tính xác suất trong 5 sản phẩm tiếp theo khách
mua được 4 sản phẩm loại A?
20. An và Bình hai người cùng đi thi. Bài thi trắc nghiệm gồm 5 câu, mỗi câu có 5 đáp án và chỉ có
một đáp án đúng. Cả 2 không học bài nên chọn đánh ngẫu nhiên. Tính xác suất để số câu đúng của
cả hai là như nhau?
21. Để thu hút khách hàng, quán cà phê X phát ngẫu nhiên cho mỗi khách đến uống một phiếu trên
đó có ghi một chữ cái (giả sử rằng mỗi khách chỉ được nhận tối đa 1 phiếu một ngày và không có

4


khách nào không nhận phiếu). Đến cuối tuần quán này sẽ tổ chức bốc thăm để chọn ra 7 chữ tương
ứng 7 ngày. Nếu khách hàng 1 chữ đúng tương ứng thì được tặng 100.000; nếu có 2 chữ đúng
tuông ứng thì được 150.000 còn có từ 3 chữ đúng tương ứng trở lên thì được 200.000. Giả sử bạn
uống cà phê tại quán này 4 tuần liên tiếp. Tính số tiền trung bình bạn nhận được?
22. Một sinh viên làm bài trắc nghiệm gồm 50 câu. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, trả lời sai bị
trừ 1 điểm. Do ôn bài khá kĩ nên xác suất trả lời đúng mỗi câu của sinh viên là 85%. Nếu sinh viên
được từ 185 điểm trở lên thì được đi chơi với người yêu.
a) Tính xác suất anh này bị ở nhà? ^_^

b) Biết anh này được đi chơi. Tính xác suất anh ta làm đúng cả 50 câu?
23. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình  . Tính giá trị  biết rằng





P X  1 X  1  0, 8 .

24. Cho 3 đại lượng ngẫu nhiên độc lập X,Y,Z biết rằng X~B(50;0,6), Y~N(250;100) và Z là tổng
số chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ 2 lô hàng mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô 1 có 6 chính phẩm
và lô 2 có 7 chính phẩm. Đặt T  Mod ( X ).X  Var (Y ).Y  P(Z  1).Z .
Hãy tính E (T ); Var (T ) ?
25. Số kw giờ điện một hộ loại A sử dụng trong tháng là X~N(90;100). Một tổ dân phố gồm 50 hộ
loại A. Giá điện là 3000đ/kw và phí dịch vụ là 10.000 một tháng với mỗi hộ. Hãy dự đoán số tiền
điện phải trả của tổ dân phố trên trong một tháng với độ tin cậy 95%?
26. Theo dõi sự phát triển chiều cao của một loại cây sau một năm trồng ta có bảng sau:
Chiều cao
Tần số

2,5-3,0
5

3,0-3,5
20

3,5-4,0
25

4,0-4,5

30

4,5-5,0
30

5,0-5,5
23

5,5-6,0
14

a) Biết chiều cao trung bình của loại cây này sau một năm là 4,5m. Đối với mẫu trên có cần
tiến hành cải tiến kĩ thuật để tăng chiều cao của cây không? Kết luận với mức ý nghĩa 5%.
b) Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây này với độ chính xác là 0,2m thì độ tin cậy
là bao nhiêu.
c) Những cây cao không quá 3,5m là cây chậm lớn. Ước lượng chiều cao trung bình của các
cây chậm lớn với độ tin cậy 98%. Biết rằng chiều cao loại cây này có phân phối chuẩn.
d) Có tài liệu cho rằng phương sai của các cây chậm lớn là 0,04 m 2. Với mức ý nghĩa 5% có
chấp nhận được kết quả ấy không?
27. Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày tại một cửa hàng ta có:
Số lượng (kg)
Số ngày

110-125
5

125-140
9

140-155

12

155-170
25

170-185
30

185-200
20

200-215
13

215-230
7

a) Chủ hàng tuyên bố rằng nếu mỗi ngày bán không quá 140kg thì nghỉ bán là tốt hơn. Từ số
liệu điều tra cửa hàng kết luận thế nào với mức ý nghĩa 1%.
b) Những ngày bán ra từ 200kg trở lên là những ngày cao điểm. Ước lượng số tiền bán được
trung bình trong những ngày cao điểm với độ tin cậy 95%? Biết gạo có giá 15000đ/kg
c) Để ước lượng tỉ lệ ngày cao điểm với độ chính xác 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
28. Tại một vùng rừng Việt Nam người ta theo dõi số lượng heo rừng bằng cách đeo vòng cho
chúng. Tiến hành đeo vòng cho 1000 con. Sau một thời gian Bắt lại 200 con thì thấy có 40 con đeo
vòng. Hãy ước lượng số heo trong vùng đó với độ tin cậy 99%.
29. Trong một nhà máy sản xuất vi mạch máy vi tính, khi kiểm tra sản phẩm xuất xưởng người ta
chọn ngẫu nhiên 300 vi mạch thì thấy có 13 vi mạch không đạt yêu cầu. Gọi p là tỉ lệ vi mạch
không đạt yêu cầu của nhà máy.

5

a. Hãy xác định mức ý nghĩa nhỏ nhất để có thể bác bỏ giả thiết “tỉ lệ vi mạch không đạt yêu cầu là
5%”
b. Hãy xác định mức ý nghĩa nhỏ nhất để chấp nhận giả thiết “tỉ lệ vi mạch không đạt yêu cầu thấp
hơn 5%”
30. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
ax+bx 2 , x   0,1
f x  
, x   0,1
0



1





Giả sử E  X   0, 6 . Hãy tính: P  X   và VarX .
2
31. Điều tra mức lương thử việc (USD/tháng) của 196 sinh viên ngoại thương mới ra trường ta có
mẫu sau:
Lương
200-300 300-350 350-400 400-450 450-500 500-600 600-700
Số người
10
20
40

70
35
16
5
a) Ước lượng mức lương thử việc trung bình của sinh viên FTU với độ tin cậy 95%.
b) Ước lượng tỉ lệ sinh viên ra trường có mức lương dưới 500USD với độ tin cậy 99%.
c) Có sinh viên cho rằng “Nếu mức lương trung bình dưới 600 USD thì nghỉ ở nhà còn hơn”.
Có thể kết luận gì về phát biểu của sinh viên này với mức ý nghĩa 5%?
32. Trọng lượng sản phẩm do hai nhà máy sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn và có
cùng độ lệch chuẩn là 1 kg. Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem trọng lượng trung bình sản phẩm do
hai nhà máy sản xuẩt là như nhau hay không? Nếu cân thử 25 sản phẩm của nhà máy A ta tính
được x  50  kg  , cân 20 sản phẩm của nhà máy B ta tính được y  50, 6  kg  .
33. Độ bền của một loại dây thép sản xuất theo công nghệ cũ là 150. Sau khi cải tiến kĩ thuật người
ta lấy mẫu 100 sợi dây thép để thử độ bền thì thấy độ bền trung bình là 185 và s=25. Với mức ý
nghĩa 5% hỏi công nghệ mới có tốt hơn công nghệ cũ hay không?
34.Độ dày của một chi tiết máy do máy sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ dày
trung bình là 1,25 mm. Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường người ta kiểm tra 10 chi tiết
máy thì thấy độ dày trung bình là 1,325 mm và độ lệch tiêu chuẩn hiệu chỉnh là 0,075 mm. Với
mức ý nghĩa 1% hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên?
35. Trọng lượng một loại sản phẩm do nhà máy sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với trọng lượng trung bình 500 gr. Nghi ngờ trọng lượng của sản phẩm này có xu hướng giảm sút,
người ta cân thử 25 sản phẩm thì được kết quả sau:
Trọng lượng (gr)
480
485 490
Số sản phẩm
2
3
8
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về nghi ngờ nói trên?

495
5

500
3

510
4

36. Năng suất lúa trung bình vụ trước là 4,5 tấn/ha. Vụ lúa năm nay người ta áp dụng một biện
pháp kĩ thuật mới cho toàn bộ diện tích lúa trồng trong vùng. Theo dõi năng suất lúa ở 100 ha ta có
bảng sau:
Năng suất (tạ/ha)
Diện tích (ha)

30-35
7

35-40
12

40-45
18

45-50
27

50-55
20

55-60
8

60-65
5

65-70
3

Hãy cho kết luận về biện pháp kĩ thuật mới này?

6


37. Tuổi thọ trung bình của một mẫu gồm 100 bóng đèn được sản xuất ở một nhà máy là 1570 giờ
với độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 120 giờ. Gọi  là tuổi thọ trung bình của tất cả các bóng đèn nhà
máy sản xuất ra. Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm tra giả thiết H 0 :   1600 và đối thiết H1 :   1600 .
38. Giám đốc một nhà máy tuyên bố 90% máy móc của nhà máy đạt tiêu chuẩn kĩ thuật quốc tế.
Người ta tiến hành kiểm tra 200 máy thì thấy có 168 máy đạt tiêu chuẩn quốc tế. Với mức ý nghĩa
5% hãy kết luận về tuyên bố trên.
39. Theo dõi số tai nạn lao động ở hai phân xưởng ta có số liệu sau: phân xưởng I 20/200 công
nhân; phân xưởng II: 120/800 công nhân. Với mức ý nghĩa 0,5% hỏi có sự khác nhau đáng kể về
chất lượng công tác bảo hộ lao động ở hai phân xưởng trên hay không?
40. Để nghiên cứu ảnh hưởng của một loại thuốc ngủ người ta cho 10 bệnh nhân uống thuốc. Lần
khác họ cũng cho 10 bệnh nhân uống thuốc nhưng là thuốc không có tác dụng. Kết quả thí nghiệm
thu được như sau:
Bệnh nhân
Số giờ ngủ có thuốc
Số giờ ngủ không thuốc

1
6,1
5,2

2
7,0
7,9

3
8,2
3,9

4
7,6
4,7

5
6,5
5,3

6
8,4
5,4

7
6,9
4,2

8

6,7
6,1

9
7,4
3,8

10
5,8
6,3

Giả sử số giờ ngủ của các bệnh nhân có qui luật phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5% hãy
kết luận về tác dụng của loại thuốc trên?

7