Bài giảng ước lượng tham số thống kê

ƯỚC LƯỢNG THAM
SỐ THỐNG KÊ

1


Ước lượng điểm
Xét tổng thể có dấu hiệu X cần khảo sát.
Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) phụ thuộc vào

tham số  chưa biết.
Vấn đề: cần tìm tham số .
(X1,X2, …, Xn) là một mẫu ngẫu nhiên được chọn từ tổng

thể.
Thống kê

gọi là một ước lượng của .
$
  h(X1 , X 2 , �, X n )

Với mẫu thực nghiệm (x1,x2, …, xn) ta có một ước lượng cụ

thể của : *=h(x1,x2,…,xn).

.
2


Ước lượng điểm
dụ. Xét bnn X ~ N(, 2).

Cần ước lượng 2 tham số  và 2.
Thống kê trung bình mẫu và phương sai mẫu:

 Ví

1 n
X  �X i
n i 1
n
1
2
S2 
(
X

X
)
�
i
n  1 i 1
2
và
S
là
những
ước
lượng
cho

và


.
X
3


Ước lượng điểm
Ví dụ: cân 100 sản phẩm của xí nghiệp ta có

bảng số liệu.
Xi

498

502

506

510

ni

40

20

20

20

Ta có: x  502,8  gr 
Dự đoán: trọng lượng trung bình của các sản

phẩm trong xí nghiệp: μ≈502,8 (gr)
4


Ước lượng điểm
 Các

tiêu chuẩn ước lượng: không chệch,
hiệu quả, và bền vững.

Ước lượng$ gọi là một ước lượng không chệch
cho tham số  nếu

E($)  

E($)  
gọi là độ chệch của ước lượng.

X , S22 là những ước lượng không chệch cho kỳ

vọng  và phương sai 22.

5


Ước lượng điểm
Xét $1 , $2 ,..., $k ,...

là các ước lượng không chệch
$* �
, $2 ,�
của
tham
số
một
 $1,
 ước lượng
gọi là ước lượng hiệu quả nhất nếu
Var ($* ) �Var ($i ),  i

Phân phối của

Phân phối của

6


Ví dụ 1.
Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) biết Xi ~ N(,

2).
a) CMR: các thống Xkê
 sau:
X2  ...  Xi
1
Z1  X1; Z2  X2 ; Zi 

i

X1  X2  ...  Xn
; Zn 
n

đều là các ước lượng không chệch của .

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt

nhất.

7


Ví dụ 2.
Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể

có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
Z1  2

X1  2 X2  ...  nXn
n n  1

X1  X2  ...  Xn
; Z2  X 
n

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.

8


Ước lượng điểm
- CÁC TIÊU CHUẩN ƯớC LƯợNG Ước lượng$  h  X 1 , X 2 ,�, X n 
vững của tham số  nếu



gọi là ước lượng



lim P $  X 1 , X 2 ,�, X n       1,   0
n ��

X , s22 là những ước lượng vững cho kỳ vọng  và

phương sai 22.

9


Ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa

vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (1; 2) sao
cho:
P(1 <  <2)=(1 - ) khá lớn.

Khoảng (1; 2) được gọi là khoảng tin cậy.
1 -  gọi là độ tin cậy của ước lượng.
|1 - 2| được gọi là độ rộng khoảng tin cậy.

10


Ước lượng khoảng
Từ tổng thể chọn mẫu ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xn).

Chọn thống kê Z= g(X1,X2,…,Xn,θ) có phân phối
xác định dù chưa biết . Từ phân phối xác suất
của Z ta tìm khoảng ước lượng cho Z sao cho:
P(Z1≤Z≤Z2)=1-  (*)
Sau đó (*) được
P đưa
$1 về
 dạng:
$2  1  









Với mẫu cụ thể ta tìm được khoảng (1; 2) sao cho
P       1 

1

2

11


Khoảng tin cậy
Mong muốn của người làm thống kê là với

mẫu đã cho tìm được khoảng sao cho:
Bề rộng của khoảng tin cậy càng nhỏ càng tốt.
Độ tin cậy càng lớn càng tốt.

Tuy nhiên với cỡ mẫu cố định thì khi bề rộng

của khoảng tin cậy giảm thì độ tin cậy cũng
giảm theo và ngược lại. Do đó, trong thống kê
người ta thường cố định độ tin cậy và tìm
khoảng tin cậy sao cho bề rộng càng nhỏ càng
tốt. Thông thường ta chọn độ tin cậy (1- ) ở
các mức: 0,95; 0,99; 0,999
12


NHẮC LẠI VỀ PHÂN PHỐI CỦA TRUNG BÌNH
MẪU
1. Trường hợp 1: n≥30; biết 
2

� 2 �
X ~ N � ,
�
� n �

2. Trường hợp 2: n≥30; chưa biết 2
� s2 �
X ~ N � , �
� n�

3. Trường hợp 3: n<30; tổng thể phân phối chuẩn đã
� 2 �
biết 2
X ~ N � ,
�
n
�
�
4. Trường hợp 4: n<30;
X tổng
  nthể phân phối chuẩn chưa

biết 2
~ T  n  1
s
13


Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 1

Ta thấy:

X   n

� 2 �
X ~ N � , �
�Z 
~ N (0,1)

� n �

Khoảng tin cậy hẹp nhất của Z cho ta khoảng
tin cậy hẹp nhất của μ
Do đó với độ tin cậy (1- ) cho trước khoảng ước
lượng hẹp nhất của Z chính là khoảng đối xứng
qua 0. Khoảng ước lượng của Z là:

�
�
�
t1 ; t1 �sao cho  �
t1
�
� 2 2 �
�2

� 1
�
� 2
14

Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường
hợp
1
Khi đó:
�
P�
t1  Z  t1
� 2
2

�
�

 �
 1   � P �X  t1
   X  t1
 1 
�
�
n
n�
�
�
2
2

Khoảng ước lượng của μ là:

�

 �
; X  t1
�X  t1
�
n
n�
�
2
2

15


Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 2,3
1. Trường hợp 2: tương tự ta có khoảng
ước lượng của μ là:

�
s
s �
; X  t1
�X  t1
�
n
n�
�
2

2
2. Trường hợp 3: tương tự trường hợp 1.
Khoảng ước lượng của μ là:

�

 �
; X  t1
�X  t1
�
n
n�
�
2
2
16


Ví
dụ
1
Ví dụ 1. Một trường đại học thực hiện về
nghiên cứu số giờ tự học của sinh viên trong 1
tuần. Chọn ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy
số giờ tự học trong tuần trung bình là 18,36
giờ, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ. Với độ
tin cậy 95%, hãy ước lượng số giờ tự học trung
bình của sinh viên trường này trong một tuần.
Giải:
Gọi X là số giờ tự học trong tuần của sinh

viên.
Từ mẫu ta có:

n  200  30;

x  18,36;

s  3,92

17


Ví
dụ
1.
Gọi μ là số giờ tự học trung bình trong một
tuần của sinh viên trường. Ta đi ước lượng μ
với độ tin cậy (1-α)=0,95.
Khoảng ước lượng của μ có dạng:
�
s
s �
; x  t1
�x  t1
�
n
n�
�
2
2

Trong đó:

t1  t0,475  1,96
2

Vậy khoảng ước lượng của μ là:
3,92
3,92 �
�
18,36  1,96
;18,36  1,96
�
�hay  17,8167; 18,9032 
200
200 �
�
18


Ví dụ 2
Ví dụ 2. Một công ty muốn ước lượng số tài

liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một
ngày. Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho
thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu
được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ
các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là
32 trang. Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng
fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ

tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu
được chuyển đi trong một ngày.
19


Ví dụ 2.
Gọi μ là số trang tài liệu trung bình chuyển đi

trong một ngày.
n  15  30;
x  267;   32
Từ mẫu ta có:
Ta đi ước lượng μ với độ tin cậy (1-α)=0,95.
Khoảng tin cậy của μ có dạng:
�

 �
�x  t1
�
2

Trong đó:

n

; x  t1

t1  1,96

2

�
n�

2

Khoảng ước lượng của μ là:

32
32 �
�
267

1,96
;
267

1,96
�
�hay  250,8057; 283,1942 
20
15
15 �
�


Khoảng tin cậy của kì vọng.
Trường hợp 4
Ta thấy:

X  

Z
s

n

~ T  n  1

Khoảng tin cậy hẹp nhất của Z cho ta
khoảng tin cậy hẹp nhất của μ
Do phân phối T đối xứng nên với độ tin cậy
(1- ) cho trước khoảng ước lượng hẹp nhất
của Z chính là khoảng đối xứng qua 0.
Khoảng ước lượng của Z là:

� n 1 n 1 �
�
n 1 � 
t ; t �sao cho P �Z  t �
�
� 2 2 �
�
2 � 2

21


Khoảng tin cậy của kì vọng.
n 1

Trường
hợp
4
t
Ta tìm giá trị  ở bảng Student hàng (n-1)
và cột (α/2).
Khi đó:

2

� n 1
�
n 1 �
n 1 s
n 1 s �
P�
t  Z  t �
 1   � P �X  t
   X  t
 1 
�
n
n�
� 2
2 �
�
2
2

Khoảng ước lượng của μ là:

�
n 1 s
n 1 s �
; X  t
�X  t
�
n
n�
�
2
2
22


Ví
dụ
3.
Ví dụ 3. Công ty điện thoại thành phố muốn
ước lượng thời gian trung bình của một cuộc
điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần. Mẫu
ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối
tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình
là 14,8 phút; độ lệch chuẩn 5,6 phút. Như vật
thời gian trung bình của một cuộc gọi, μ, được
ước lượng như sau:
Khoảng ước lượng của μ có dạng:
� n 1 s
n 1 s �
; x  t

�x  t
�
n
n�
� 2
2
23


Ví dụ 3.
Trong đó:
19
x  14,8; s  5,6; n  20;1    0,95; tn1  t0,025
 2,093
2

12,1791;17, 4208 

Vậy khoảng ước lượng của μ là:

24


VÍ Dụ 4.
Ví dụ 4. Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu
đồng) trong
một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên
16 công nhân khảo sát

Lương tháng

0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3
2,5
Số công
1
1
2
2
2
3 2 2
a. Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình
nhân
1
hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.
b. b. Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy
99% cho mức lương trung bình. Để có sai số  0,08
triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công
nhân?

25