Đề thi hsg Toán lớp 8 năm học 2015_2016 của PGDĐT Hòa Bình

UBND HỤN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề gờm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HỤN
NĂM HỌC 2015-2016
MƠN : TỐN
LỚP : 8
Thời gian : 150 phút
(Khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ
Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số ngun liên tiếp chia hết cho 9
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5 n+2 + 26.5n
+ 82n+1 M59
Câu 2: (5 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
b) Giải phương trình:
(x – 1)3 + x3 + (x+1)3 = (x+2)3
Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức:
P = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 4: (5 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC. M là giao điểm của CE và DF.
a) Chứng minh CE vng góc với DF
CM .CE
 a

CF
c) Tính diện tích MDC theo a

b) Chứng minh

-----Hết-----


UBND HUYấN HOA BINH
PHONG GIO DC V O TO
(Hng dn chm gụm 02 trang)

KY THI CHON HOC SINH GIOI VONG HUYấN
NM HOC 2015-2016
MễN : TON
LP : 8
Thi gian : 150 phut

HNG DN CHM
Cõu 1: (5 im)
a) Ta phi chng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 M9 vi n Z
A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
(0,5)
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9
(0,5)
3
2
= 3n 3n + 9n + 18n + 9
(0,5)
2

= 3n(n 1)(n + 1) + 9n + 18n + 9
(0,5)
Nhn thy n, n-1, n+1 l l ba s nguyờn liờn tip nờn n(n 1)(n + 1) M3
3n(n 1)(n + 1) M9. Ngoi ra 9n2 + 18n + 9 M9
Vy A M9
(0,5)
b) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n
= 5n(59 8) + 8.64n
= 59.5n + 8(64n 5n)
59.5n M59 vaứ 8(64n 5n) M(64 5) = 59
Vaọy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 M59

(0,75)

Cõu 2: (5 im)
a) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
= x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 x3 + 1
= x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) (x 1)(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 + 2010 x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 x + 2011)

(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,5)

b) Gii phng trỡnh:
(x 1)3 + x3 + (x + 1)3 = (x + 2)3
x3 3x2 + 3x 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8
x3 3x2 3x 4 = 0

x3 1 3x2 3x 3 = 0
(x 1)(x2 + x + 1) 3(x2 + x + 1) = 0
(x2 + x + 1)(x 4) = 0
Vỡ x2 + x + 1 0 nờn x 4 = 0
Vy S = {4}

(0,75)
(0,5)
(0,5)

(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,5)
(0,5)


Câu 3: (5 điểm)
a) Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
Từ a2 + b2 = 20 � (a + b)2 – 2ab = 20
� ab = -8
M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
= 23 – 3.(-8).2 = 56

(0,75đ)
(0,5đ)
(0,75đ)

b) Ta có:

P = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2+5x-6)(x2+5x+6) = (x2+5x)2-36

(0,75đ)

Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P = (x2+5x)2-36  -36

(0,75đ)

Do đó Min P = -36 khi (x2+5x)2 = 0

(0,75đ)

Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì Min P = -36

(0,75đ)

Câu 4: (5 điểm)
Vẽ hình đúng

(0,25đ)

�  CDF
�
a) VBEC VCFD (c.g .c ) � BCE

(0,5đ)

�  CDF
�  900 � CFD
�  BCE

�  900 � CMF
�  900 �VCMF vuông tại
VCDF vuông tại C � CFD

M

K
Hay CE  DF.

(0,75đ)

�  CBE
�  900
b) Xét VCMF và VCBE có CMF
�
và MCF
chung
=> VCMF đồng dạng VCBE (gg)

=>

(0,75đ)

CM CF
CM .CE


 BC
CB CE
CF

Mà BC =a

A

CM .CE
a
CF
CD CM

c) VCMD : VFCD ( g.g ) �
FD FC

Do đó :

2

B

(0,75đ)

F

2

S
�CD �
�CD �
Do đó : VCMD  � �� SVCMD  � �.SVFCD (0,5đ)
SVFCD �FD �

�FD �
1
2

E

M

1
4

2
Mà : SVFCD  CF .CD  CD .

Vậy : SVCMD

CD 2 1

. CD 2
2
FD 4

(0,5đ)

D

C


Trong VDCF áp dụng định lý Pytago ta có :

1
5
�1
�
DF 2  CD 2  CF 2  CD 2  � BC 2 � CD 2  CD 2  .CD 2
4
4
�2
�

Do đó :

SVMCD 

CD 2 1
1
1
. CD 2  CD 2  a 2
5
5
5
CD 2 4
4

(0,5đ)
(0,5đ)

( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
-----Hết-----