CHUYÊN đề DAO ĐỘNG cơ HAY có đáp án

CHƯƠNG II : DAO ĐỘNG CƠ
PHẦN 1: TÓM TẮT KIẾN THỨC LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
* Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc
sin) theo thời gian.
+ Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ) , trong đó A và ϕ là hai hằng số
Trong đó:
x: Li độ (toạ độ) của vật; cho biết độ lệch và chiều lệch của vật so với
VTCB.
A>0 : Là biên độ (li độ cực đại của vật); cho biết độ lệch cực đại của
vật so với VTCB.
(ωt + ϕ) (rad): Là pha của dao động tại thời điểm t; cho biết trạng thái
dao động (vị trí và chiều chuyển động) của vật ở thời điểm t.
ϕ (rad): Là pha ban đầu của dao động; cho biết trạng thái ban đầu của
vật.
ω (rad/s): Là tần số góc của dao động điều hoà; cho biết tốc độ biến
thiên góc pha
+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể dược coi là
hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường kính là đoạn
thẳng đó.
* Chu kỳ, tần số của dao động điều hoà
+ Chu kì T(s): Là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần.
Chính là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí và chiều chuyển động
như cũ (trở lại trạng thái ban đầu).
+ Tần số f(Hz):Là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây.
+ Liên hệ giữa ω, T và f: ω =

2π
= 2πf.
T

* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà
+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - ωAsin(ωt + ϕ)
= ωAcos(ωt + ϕ +

π
)
2


Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm
pha hơn

π
so với với li độ.
2

- Ở vị trí biên (x = ± A): Độ lớn | v| min = 0
- Ở vị trí cân bằng (x = 0): Độ lớn | v| min =ωA.
Giá trị đại số: vmax = ωA khi v>0 (vật chuyển động theo chiều dương qua vị trí
cân bằng)
vmin = -ωA khi v<0 (vật chuyển động theo chiều âm qua vị trí cân
bằng)
+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời
gian: a = v' = x’’ = - ω2Acos(ωt + ϕ) = - ω2x
Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng
ngược pha với li độ (sớm pha

π
so với vận tốc).

2

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ
lệ với độ lớn của li độ.
- Ở vị trí biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại : | a| max = ω2A.
Giá trị đại số: amax=ω2A khi x=-A; amin=-ω2A khi x=A;.
- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.
+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.
+ Quỹ đạo dao động điều hoà là một đoạn thẳng.
* Dao động tự do (dao động riêng)
+ Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực
+ Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ
không phụ thuộc các yếu tố bên ngoài.
Khi đó: ω gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng
2. CON LẮC LÒ XO.
* Con lắc lò xo
+ Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một
đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương
ngang hoặc treo thẳng đứng.
+ Con lắc lò xo là một hệ dao động điều hòa.
+ Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ).


+ Với: ω =

k
m

+ Chu kì dao động của con lắc lò xo: T = 2π

m
.
k

+ Lực gây ra dao động điều hòa luôn luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi
là lực kéo về hay lực hồi phục. Lực kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và là lực gây
ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
Biểu thức đại số của lực kéo về: F = - kx.
Lực kéo về của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng vật.
* Năng lượng của con lắc lò xo
1
1
mv2 = mω2A2sin2(ωt+ϕ).
2
2
1
1
Wt = kx2 = k A2cos2(ωt + ϕ)
2
2

+ Động năng : Wđ =
+ Thế năng:

Động năng và thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên với tần số góc
T
2

ω’=2ω, tần số f’=2f và chu kì T’= .
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ =

1
1
k A2 = mω2A2 = hằng số
2
2

3. CON LẮC ĐƠN
* Con lắc đơn
+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích
thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng
kể so với khối lượng của vật nặng.
+ Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với
phương trình:
s = Socos(ωt + ϕ) hoặc α = αo cos(ωt + ϕ); với α =
+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π

l
1
; f=
g
2π

+ Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: F = -

s
S
; αo = o
l
l

g
;ω=
l

mg
s =-mgα
l

4π 2 l
+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn : g = 2 .
T

g
.
l


+ Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa lí và
nhiệt độ môi trường.
* Năng lượng của con lắc đơn
+ Động năng : Wđ =

1
mv2
2

1
mglα2 (α ≤ 1rad, α (rad)).
2

1
+ Cơ năng: W = Wt + Wđ = mgl(1 - cosα0) = mglα 02 .
2

+ Thế năng: Wt = mgl(1 - cosα) =

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
4. DAO ĐỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ĐỘNG DUY TRÌ
* Dao động tắt dần
+ Là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian (năng lượng giảm dần theo
thời gian).
+ Nguyên nhân: Do môi trường có độ nhớt (có ma sát, lực cản) làm tiêu hao
năng lượng của hệ.
+ Khi lực cản của môi trường nhỏ có thể coi dao động tắt dần là điều hoà (trong
khoảng vài ba chu kỳ)
+ Khi coi môi trường tạo nên lực cản thuộc về hệ dao động (lực cản là nội lực)
thì dao động tắt dần có thể coi là dao động tự do.
+ Ứng dụng: Các thiết bị đóng cửa tự động hay giảm xóc ô tô, xe máy, … là
những ứng dụng của dao động tắt dần.
* Dao động duy trì
+ Là dao động (tắt dần) được duy trì mà không làm thay đổi chu kỳ riêng của
hệ.
+ Cách duy trì: Cung cấp thêm năng lượng cho hệ bằng lượng năng lượng tiêu
hao sau mỗi chu kỳ.
+ Đặc điểm: - Có tính điều hoà
- Có tần số bằng tần số riêng của hệ.
5. DAO ĐỘNG CƯỞNG BỨC. CỘNG HƯỞNG
* Dao động cưỡng bức
+ Là dao động xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên tuần hoàn
F = Fo cosΩt

+ Đặc điểm: - Dao động cường bức là điều hòa
- Có tần số góc bằng tần số góc Ω của ngoại lực


- Có biên độ tỉ lệ thuận với biên độ F o của ngoại lực và phụ thuộc
vào tần số góc Ω của ngoại lực cưỡng
* Cộng hưởng
+ Là hiện tượng biên độ của doa động cưỡng bức đạt giá trị cực đại khi tần số
lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ.
+ Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ vào tần số cưởng bức gọi là
đồ thị cộng hưởng. Nó càng nhọn khi lực cản của môi trường càng nhỏ.
+ Hiện tượng cộng hưởng xảy ra càng rõ nét khi lực cản (độ nhớt của môi
trường) càng nhỏ.
+ Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng:
Những hệ dao động như tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, ... đều có tần số
riêng. Phải cẩn thận không để cho các hệ ấy chịu tác dụng của các lực cưởng
bức mạnh, có tần số bằng tần số riêng để tránh sự cộng hưởng, gây dao động
mạnh làm gãy, đổ.
Hộp đàn của đàn ghi ta, viôlon, ... là những hộp cộng hưởng với nhiều tần số
khác nhau của dây đàn làm cho tiếng đàn nghe to, rõ.
6. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
+ Dao động tổng hợp của hai (hoặc nhiều) dao động điều hoà cùng
phương cùng tần số là một dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số.
+ Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng
phương, cùng tần số với các phương trình: x 1 = A1cos(ωt + ϕ1) và x2 = A2cos(ωt
+ ϕ2)
Thì dao động tổng hợp sẽ là: x = x1 + x2 = Acos(ωt + ϕ)
Với: A2 =A12+A22+2A1A2cos(ϕ2-ϕ1)
tanϕ =

A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2
A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2

Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha
ban đầu của các dao động thành phần.
+ Khi hai dao động thành phần cùng pha (ϕ2 - ϕ1 = 2kπ) thì dao động tổng hợp
có biên độ cực đại: A = A1 + A2
+ Khi hai dao động thành phần ngược pha (ϕ2 - ϕ1) = (2k + 1)π) thì dao động
tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A1 - A2| .


+ Khi hai dao động thành phần vuông pha ϕ2 − ϕ1 = (2k + 1)

π
thì dao động tổng
2

hợp có biên độ: A = A12 + A22
+ Trường hợp tổng quát: |A1 - A2| ≤ A ≤ A1 + A2
PHẦN II: TÓM TẮT KIẾN THỨC GIẢI NHANH BÀI TẬP
I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
1. Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ)
π
2

2. Vận tốc tức thời: v = -ωAsin(ωt + ϕ) = ωAcos(ωt + ϕ+ )
3. Gia tốc tức thời: a = -ω2Acos(ωt + ϕ) = ω2Acos(ωt + ϕ+π)
r
a luôn hướng về vị trí cân bằng

4. Vật ở VTCB: x = 0; | v| Max = ωA; | a| Min = 0
Vật ở biên: x = ±A; | v| Min = 0; | a| Max = ω2A
Như vậy độ lớn | v| Min = 0 và | a| Max = ω2A khi vật ở biên còn | v| Max = ωA và
| a| Min = 0 khi vật ở VTCB.
Giá trị đại số vmax=ωA khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
vmin=-ωA khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
amax=ω2A khi vật ở biên x=-A.
amin=-ω2A khi vật ở biên x=A.
v
ω

5. Hệ thức độc lập: A2 = x 2 + ( ) 2

a2 v2
+
= A2
ω4 ω2

a = -ω2x
1
2

6. Cơ năng: W = Wđ + Wt = mω 2 A2
1
1
2
2
1
1
Wt = mω 2 x 2 = mω 2 A2cos 2 (ωt + ϕ ) = Wco s 2 (ωt + ϕ )

2
2

Với Wđ = mv 2 = mω 2 A2sin 2 (ωt + ϕ ) = Wsin 2 (ωt + ϕ )

- Tìm vị trí của vật khi động năng bằng n lần thế năng đàn hồi:
wd = nwt → x = ±

A
n +1

7. Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và
thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2


- Trong một chu kỳ có 4 lần w đ = wt ,khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp để
wđ = wt là ∆t =

T
4

8. Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( n∈N*, T là chu kỳ
dao động) là:

W 1
= mω 2 A2
2 4

9. Chiều dài quỹ đạo: 2A
10. Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ

luôn là 2A
Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB
đến vị trí biên hoặc ngược lại
11. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến
x2
x1

co s ϕ1 = A
với 
và ( 0 ≤ ϕ1 ,ϕ2 ≤ π )
co s ϕ = x2
2

A

∆ϕ ϕ2 − ϕ1
∆t =
=
ω
ω

12 Các bước lập phương trình dao động dao động điều hoà
*
Gọi
phương
trình
dao
động
có

M1

M2

∆ϕ

-A

x2

x1

O

∆ϕ

M'2
M'1

dạng

:

x = A cos(ωt + ϕ ); x = A sin(ωt + ϕ ) → v = − Aω sin(ωt + ϕ )

* Tính ω; A
ω=

- Tìm ω và tìm A:

a
2π
k
g
= 2π f =
=
= max =
T
m
∆l
vmax

g sin α vmax
=
∆l
A

v
l
− l min CD Fmax
2W
v2 a
A = max = max
=
=
=
= x 2 + 2 = mx
ω
2
2

k
k
ω
ω

( CD là

chiều dài quỹ đạo)
* Tính ϕ dựa vào điều kiện đầu: lúc t = t0 (thường t0 = 0)
 x = Acos(ωt0 + ϕ )
⇒ϕ

v = −ω Asin(ωt0 + ϕ )

Lưu ý: + Vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, ngược lại v < 0
+ Trước khi tính ϕ cần xác định rõ ϕ thuộc góc phần tư thứ mấy của
đường tròn lượng giác
(thường lấy -π < ϕ ≤ π)

A


+ Có thể xác định ϕ dựa vào đường tròn bằng cách xác định vị trí tương ứng
của vật ở trên đường
tròn khi biết li độ x và chiều chuyển động của vật ở thời điểm t=t0.
13. Hai vật dao động điều hoà cùng biên độ A với chu kỳ T 1 và T2 lúc đầu hai
vật cùng xuất phát từ một vị trí x0 theo cùng một chiều chuyển động.
* Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật cùng trở lại trạng thái lúc đầu:
Gọi n1 và n2 là số dao động toàn phần mà 2 vật thực hiện được cho đến lúc trở
lại trạng thái đầu

Thời gian từ lúc xuất phát đến lúc trở lại trạng thái đầu là: ∆t=n1T1=n2T2.
(n1,n2∈N*)
Tìm n1min, n2min thoả mãn biểu thức trên ⇒ giá trị ∆tmin cần tìm.
* Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để 2 vật vị trí có cùng li độ.
Xác định pha ban đầu ϕ của hai vật từ điều kiện đầu x0 và v.
Giả sử T1>T2 nên vật 2 đi nhanh hơn vật 1, chúng gặp nhau tại x1
M0
· OA = M
· OA
+ Với ϕ < 0 (Hình 1): Từ M
1
2
M
M2

2ϕ
⇒ ϕ − ω1t = ω2t − ϕ ⇒ t =
ω1 + ω2

+ Với ϕ > 0 (Hình 2):

-A

x0 0

2(π − ϕ )
ω1 + ω2

A
x

ϕ

⇒ (π − ϕ ) − ω1t = ω2t − (π − ϕ )
⇒t =

x1

1

M1

x1

-A

0

ϕ

A
x0

M2

M0

14. Dao động có phương trình đặc biệt:
Hình 1: Với ϕ < 0
* x = a ± Acos(ωt + ϕ) với a = const

Biên độ là A, tần số góc ω, pha ban đầu ϕ
x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + ϕ) là li độ.
Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A
Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”
Hệ thức độc lập: a = -ω2x0
v
A2 = x02 + ( ) 2
ω

* x = a ± Acos2(ωt + ϕ) (ta hạ bậc)
Biên độ A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2ϕ.
II. CON LẮC LÒ XO

Hình 2: Với ϕ > 0

x


1. Tần số góc: ω =

k
2π
m
1 ω
1
= 2π
=
; chu kỳ: T =
; tần số: f = =
m

ω
k
T 2π 2π

k
m

Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong
giới hạn đàn hồi
1
2

1
2

2. Cơ năng: W = mω 2 A2 = kA2
Lưu ý: + Cơ năng của vật dao động điều hoà luôn tỉ lệ thuận với bình phương
biên độ
+ Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ thuận với độ cứng của lò xo, không phụ
thuộc vào khối lượng vật.
3. * Độ biến dạng của lò xo thẳng đứng khi vật ở VTCB:
∆l =

mg
∆l
⇒T = 2π
k
g

* Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB với con lắc

lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α:
mg sin α
∆l
∆l =
⇒T = 2π
k
g sin α

-A
∆l

-A

O
+ Chiều dài lò xo tại VTCB: lCB = l0 + ∆l (l0 là
A
chiều dài tự nhiên)
+ Chiều dài cực tiểu (khi vật ở vị trí cao nhất): lMin
x
= l0 + ∆l – A
Hình a (A < ∆l)
+ Chiều dài cực đại (khi vật ở vị trí thấp nhất): lMax
= l0 + ∆l + A
⇒ lCB = (lMin + lMax)/2
+ Khi A >∆l (Với Ox hướng xuống):
X ét trong một chu kỳ (một dao động)
- Thời gian lò xo nén tương ứng đi từ M1 đến M2.
- Thời gian lò xo giản tương ứng đi từ M2 đến M1.
4. Lực kéo về hay lực hồi phục F = -kx = -mω2x
Đặc điểm: * Là lực gây dao động cho vật.

* Luôn hướng về VTCB
Nén
* Biến thiên điều hoà cùng tần số với li độ -A
−∆ l
Lưu ý: Lực kéo về của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với
độ cứng của lò xo, không phụ thuộc khối lượng vật.

giãn

∆l

O

nén

giãn

A
x
Hình b (A > ∆l)

0

Giãn

A
x

Hình vẽ thể hiện góc quét lò xo nén và
giãn trong 1 chu kỳ (Ox hướng xuống)

5. Lực đàn hồi là lực đưa vật về vị trí lò xo không biến dạng.
Có độ lớn Fđh = kx* (x* là độ biến dạng của lò xo)
* Với con lắc lò xo nằm ngang thì lực kéo về và lực đàn hồi là một (vì tại
VTCB lò xo không biến dạng)
* Với con lắc lò xo thẳng đứng hoặc đặt trên mặt phẳng nghiêng
+ Độ lớn lực đàn hồi có biểu thức:
* Fđh = k|∆ l + x| với chiều dương hướng xuống
* Fđh = k|∆ l - x| với chiều dương hướng lên
+ Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): F Max = k(∆l + A) = FKmax (lúc vật ở vị trí
thấp nhất)
+ Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu A < ∆l ⇒ FMin = k(∆l - A) = FKMin
* Nếu A ≥ ∆l ⇒ FMin = 0 (lúc vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng)
Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: F Nmax = k(A - ∆l) (lúc
vật ở vị trí cao nhất).
Chú ý:Vì lực đẩy đàn hồi nhỏ hơn lực kéo đàn hồi cực đại nên trong dao động
điều hòa nói đến lực đàn hồi cực đại thì người ta nhắc đến lực kéo đàn hồi cực
đại
6. Một lò xo có độ cứng k, chiều dài l được cắt thành các lò xo có độ cứng k 1,
k2, … và chiều dài tương ứng là l1, l2, … thì có: kl = k1l1 = k2l2 = …
7. Ghép lò xo:
1

1

1

* Nối tiếp k = k + k + ... ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì: T2 =

1
2
T12 + T22
* Song song: k = k1 + k2 + … ⇒ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
1
1
1
= 2 + 2 + ...
2
T
T1 T2

8. Gắn lò xo k vào vật khối lượng m 1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2
được T2, vào vật khối lượng m1+m2 được chu kỳ T3, vào vật khối lượng m1 –
m2 (m1 > m2) được chu kỳ T4.
Thì ta có: T32 = T12 + T22 và T42 = T12 − T22
Một số dạng bài tập nâng cao:
Điều kiện của biên độ dao động:


-

Vật m1 được đặt trên vật m2 dao động điều hoà theo phương thẳng đứng.
Để m1 luôn nằm yên trên m2 trong quá trình dao động thì:

A≤
-

m1

g (m1 + m2 ) g
=
ω2
k

m1

Vật m1 và m2 được gắn hai đầu của lò xo đAặt thẳng đứng , m 1 dao động
điều hòa. Để m2 luôn nằm yên trên mặt sàn trong quá trình m 1 dao động
thì :
A≤

-

g (m1 + m2 ) g
=
ω2
k

Vật m1 đặt trên vật m2 dao động điều hòa theo phương ngang . Hệ số ma
sát giữa m1 và m2 là µ , bỏ qua ma sát giữa m 2 với mặt sàn. Để m1 không
trượt trên m2 trong quá trình dao động
Thì : A ≤ µ

(m + m2 ) g
g
=µ 1
2
ω
k

III. CON LẮC ĐƠN
1. Tần số góc: ω =

2π
l
g
1 ω
1
= 2π
=
; chu kỳ: T =
; tần số: f = =
ω
g
l
T 2π 2π

g
l

Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 1 rad hay S0
<< l
s
l

2. Lực kéo về (lực hồi phục) F = −mg sin α = −mgα = −mg = −mω 2 s
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
3. Phương trình dao động:

s = S0cos(ωt + ϕ) hoặc α = α0cos(ωt + ϕ) với s = αl, S0 = α0l
⇒ v = s’ = -ωS0sin(ωt + ϕ) = -ωlα0sin(ωt + ϕ)
⇒ a = v’ = -ω2S0cos(ωt + ϕ) = -ω2lα0cos(ωt + ϕ) = -ω2s = -ω2αl
Lưu ý: S0 đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
4. Hệ thức độc lập:
* a = -ω2s = -ω2αl
v
ω

* S02 = s 2 + ( ) 2
* α 02 = α 2 +

v2
gl

Tìm chiều dài con lắc: l =

v 2 max − v 2
α 2g

m2

m2


1
2

5. Cơ năng: W = mω 2S02 =

1 mg 2 1
1
S 0 = mglα 02 = mω 2l 2α 02
2 l
2
2

Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ thuận với khối lượng vật còn cơ năng
của con lắc lò xo không phụ thuộc vào khối lượng của vật
6. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l1 có chu kỳ T1, con lắc đơn chiều dài
l2 có chu kỳ T2, con lắc đơn chiều dài l1 + l2 có chu kỳ T2,con lắc đơn chiều dài
l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ T4.
Thì ta có: T32 = T12 + T22 và T42 = T12 − T22
7. Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi
dây con lắc đơn
W = mgl(1-cosα0); v2 = 2gl(cosα – cosα0) và TC = mg(3cosα – 2cosα0)
Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn
- Khi con lắc đơn dao động điều hoà (α0 << 1rad) thì:
1
W= mglα 02 ; v 2 = gl (α 02 − α 2 ) (đã có ở trên)
2
TC = mg (1 − 1,5α 2 + α 02 )

Tmax = mg (1 + α 0 ); Tmin

α
l

α 20
= mg (1 −

)
2

O

8. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ cao h 1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ cao h2,
nhiệt độ t2 thì ta có:
∆T ∆h λ∆t
=
+
T
R
2

Với R = 6400km là bán kính Trái Đât, còn λ là hệ số nở dài của thanh
con lắc.
9. Con lắc đơn có chu kỳ đúng T ở độ sâu d 1, nhiệt độ t1. Khi đưa tới độ sâu d 2,
nhiệt độ t2 thì ta có:
∆T ∆d λ∆t
=
+
T
2R
2

Lưu ý: * Nếu ∆T > 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con
lắc đơn)
* Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh
* Nếu ∆T = 0 thì đồng hồ chạy đúng
* Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): θ =

∆T
86400( s )
T

10. Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ không đổi:

T
F P
s
α F’
Ft


Lực phụ không đổi thường là:
ur
r
ur
r
* Lực quán tính: F = −ma , độ lớn F = ma ( F ↑↓ a )
r
r r
Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều a ↑↑ v ( v có hướng chuyển động)
r
r
+ Chuyển động chậm dần đều a ↑↓ v
ur
ur
ur
ur

* Lực điện trường: F = qE , độ lớn F = | q| E (Nếu q > 0 ⇒ F ↑↑ E ; còn nếu q <
ur
ur
0 ⇒ F ↑↓ E )
ur
* Lực đẩy Ácsimét: F = DgV ( F luông thẳng đứng hướng lên)
Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí.
g là gia tốc rơi tự do.
V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó.
uu
r ur ur
Khi đó: P ' = P + F gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai
ur
trò như trọng lực P )
ur
uu
r ur F
g'= g +
gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng
m

trường biểu kiến.
Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: T ' = 2π

l
g'

Các trường hợp đặc biệt:
ur
* F có phương ngang: + Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng

một góc có: tan α =

F
P

F
m

+ g ' = g 2 + ( )2
ur

F

* F có phương thẳng đứng thì g ' = g ±
m
ur

F

+ Nếu F hướng xuống thì g ' = g +
m
ur

+ Nếu F hướng lên thì

g'= g−

F
m

IV. CON LẮC VẬT LÝ
1.

Tần số góc ω =

; chu kỳ T =

Trong đó: m (kg) là khối lượng vật rắn

; tần số f = =


d (m) là khoảng cách từ trọng tâm đến trục quay
I (kgm2) là mômen quán tính của vật rắn đối với trục quay
2. Phương trình dao động α = αocos(ωt + φ)
Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và αo << 1rad
V. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số x 1 = A1cos(ωt +
ϕ1) và x2 = A2cos(ωt + ϕ2) được một dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số x = Acos(ωt + ϕ).
Trong đó: A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2cos(ϕ2 − ϕ1 )
tan ϕ =

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
A1cosϕ1 + A2 cosϕ2

với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 (nếu ϕ1 ≤ ϕ2 )

* Nếu ∆ϕ = 2kπ (x1, x2 cùng pha) ⇒AMax = A1 + A2
* Nếu ∆ϕ = (2k+1)π (x1, x2 ngược pha) ⇒AMin = | A1 - A2|

`
⇒ | A1 - A2| ≤ A ≤ A1 + A2
2. Khi biết một dao động thành phần x 1 = A1cos(ωt + ϕ1) và dao động tổng hợp
x = Acos(ωt + ϕ) thì dao động thành phần còn lại là x2 = A2cos(ωt + ϕ2).
Trong đó: A22 = A2 + A12 − 2 AA1cos(ϕ − ϕ1 )
A sin ϕ − A1 sin ϕ1
Acosϕ − A1cosϕ1

tan ϕ2 =

với ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ( nếu ϕ1 ≤ ϕ2 )

3. Nếu một vật tham gia đồng thời nhiều dao động điều hoà cùng phương cùng
tần số x1 = A1cos(ωt + ϕ1;
x2 = A2cos(ωt + ϕ2) … thì dao động tổng hợp cũng là dao động điều hoà cùng
phương cùng tần số
x = Acos(ωt + ϕ).
Chiếu lên trục Ox và trục Oy ⊥ Ox .
x
Ta được: Ax = Acosϕ = A1cosϕ1 + A2cosϕ2 + ...

∆Α

Ay = A sin ϕ = A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 + ...

⇒ A= A + A
2
x

2

y

và tan ϕ =

Ay
Ax

với ϕ

O

∈[ϕMin;ϕMax]
T
VI. DAO ĐỘNG TẮT DẦN – DAO ĐỘNG
CƯỠNG BỨC - CỘNG HƯỞNG
1. Một con lắc lò xo dao động tắt dần với biên độ A, hệ số ma sát µ.

t


* Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
S=

kA2
ω 2 A2
=
2µ mg 2µ g

* Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là: ∆A =
* Số dao động thực hiện được: N =

4 µ mg 4 µ g
= 2
k
ω

A
Ak
ω2 A
=
=
∆A 4 µ mg 4µ g

* Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
∆t = N .T =

chu kỳ T =

AkT
πω A
=
(Nếu coi dao động tắt dần có tính tuần hoàn với
4µ mg 2 µ g

2π
)
ω

Do ma sát nên biên độ giảm dần theo thời gian nên năng lượng dao động cũng
giảm

1. Dao động cưỡng bức : fngoại lực = fcưỡng bức. Có biên độ phụ thuộn vào biên độ
của ngoại lực cưỡng bức, lực cản của hệ, và sự chênh lệch tần số giữa dao
động cưỡng bức và dao động riêng
2. Dao động duy trì : Có tần số bằng tần số của dao động riêng, có biên độ
không đổi
3. Cộng hưởng
Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi: f = f0 hay ω = ω0 hay T = T0
Với f, ω, T và f0, ω0, T0 là tần số, tần số góc, chu kỳ của lực cưỡng bức và của
hệ dao động.
PHẦN III: PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. CON LẮC LÒ XO
DẠNG 1: Lập phương trình dao động
Phương pháp chung :
Giả sử phương trình dao động có dạng x= A cos(ωt+φ)
+. Bước 1: Tìm tần số góc dựa vào các thông số đầu bài cho theo các
công thức :
ω=

=

=

= 2�f (rad/s)


A2 = x2 +

(*) ; W = mω2A2 (**)

+.Tìm các giá trị A, φ dựa vào 2 trong 3 điều kiện của dao động tại thời

điểm t.
x = A cos(ωt + φ) = ?
v = - Aω sin(ωt + φ) = ?
a = -Aω2cos(ωt + φ) = ?
Hoặc sử dụng (*), (**)
Chú ý :
+. Sau khi viết phương trình dạng cos, muốn chuyển về dạng sin ta có thể dùng
công thức :
x = A cos(ωt + φ) = A sin(ωt +φ + )
+. Nếu ban đầu giả sử phương trình dao động có dạng x = A sin(ωt + φ), ta
cũng biến đổi tương tự như trên
Ví dụ 1: Con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng 100g treo vào lò xo có độ
cứng là 40N/m, dao động điều hòa. Tại thời điểm ban đầu, kéo vật ra khỏi vị trí
cân bằng theo chiều dương một đoạn 6cm rồi thả nhẹ. Viết phương trình dao
động.
A. x = 6 cos(20�t ) (cm)
C..x = 6 cos(20t + ) (cm)

B. x = 6 sin(20t + ) (cm)
D. x = 6 sin(20t + ) (cm)

Hướng dẫn giải :
Giả sử phương trình dao động có dạng x = A cos(ωt + φ). Ta có :
ω=

=

= 20 (rad/s)

Tìm A,φ dựa vào trạng thái dao động ban đầu (t=0), tức là lúc thả nhẹ vật.

Ta có :
Từ (2)  φ=0

. Kết hợp (1) ta thấy do A > 0 nên cos φ > 0. Vì vậy chọn

nghiệm φ = 0 . Thay φ = 0 vào (1) ta được A=6cm


Vậy phương trình dao động là : x = 6 cos20t (cm)
Đổi phương trình về dạng sin ta được : x = 6cos20t = x = 6 sin(20�t + ) (cm)
Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ bằng 1s. Tại thời điểm t = 2,5s
vật đi qua vị trí có li độ x = - 5

cm và vận tốc v = - 10

. Viết

phương trình dao động:
A. x = 10
C. x = 10

cos (2�t - ) (cm)

B. x = 10cos (2�t - ) (cm)

cos (2�t + ) (cm)

D. x = 10 cos (2�t + ) (cm)

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình dao động có dạng x = A cos(ωt + φ) (cm)
Ta có : ω =

= 2�

Tại thời điểm t= 2,5s ta có :

Lấy (2): (1) ta được :
tan (5� + φ) = -1  tan φ = -1  φ =
Từ (2) 

φ=

φ=

Vậy phương trình dao động là : x = 10cos (2�t - ) (cm)
Ví dụ 3: Con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng, điểm treo ở trên,
độ cứng của lò xo là 100N/m, vật có khối lượng 100g. Kéo vật xuống dưới
cách vị trí cân bằng một đoạn 1cm rồi truyền cho vật vận tốc là 10� cm/s
hướng xuống dưới. Gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên
trên. Gốc thời gian là lúc truyền vận tốc. Lấy �2 = g= 10m/s2. Phương trình
dao động là :
A. x = 2 cos (10t +

) (cm)

B. x =

cos (10t + ) (cm)

C. x = 2 cos (10�t + ) (cm)

D. x =

cos (10�t +

) (cm)

Hướng dẫn giải
Giả sử phương trình dao động có dạng x = A cos(ωt + φ) (cm)
Ta có : ω =

=

= 10

= 10

(rad/s)

Tại thời điểm ban đầu , ta có :

Lấy (2): (1) ta được :
tanφ = -1 φ =

φ=

Từ (2) sinφ > 0  lấy giá trị φ =
Thay vào (1) ta có:  A=

(cm)

Vậy phương trình dao động : D. x =

cos (10�t +

) (cm)

Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng, vật có
khối lượng là 100g treo ở phía dưới. Khi vật ở vị trí cân bằng thì lò xo giãn
2cm. Cơ năng dao động W = 2. 10-2 J. Chọn chiều dương hướng xuống. Gốc
thời gian là lúc vật đang chuyển động lên tại vị trí có li độ x = -2cm. Viết
phương trình dao động :
A. x = 2 cos (10

t - ) (cm)

C. x = 2 cos (10t + ) (cm)

B. x =
D. x =

cos (10
cos (10

t-

Hướng dẫn giải
Giả sử phương trình dao động có dạng x = A cos(ωt + φ) (cm)

Ta có : ω =
-

Tính A :

=

= 10

(rad/s)

t+

) (cm)

) (cm)


W = mω2A2 => A2 =
-

=

= 8.10-4 (m)  A= 2

cm

Tính φ :
Tại thời điểm ban đầu ta có : x = A cos φ = -2  Cosφ = -1  φ =
φ=

Vật chuyển động ngược chiếu dương v <0  sinφ >0  φ =
Vậy phương trình dao động : x =

cos (10

t+

) (cm)

Dạng 2: Tính vận tốc, gia tốc trong dao động điều hòa
Áp dụng công thức sau rồi tính :
v = -ωAsin(ωt + ϕ)
a = -ω2Acos(ωt + ϕ)
v2 = ω2 (A2 – x2) ; a = - ω2.x
Từ các dữ liệu đầu bài đã cho ta tìm được các đại lượng cần thiết để tính
v,a.
Ví dụ 1 : Vật dao động điều hòa có phương trình x= 10cos (2�t) (cm). Vận
tốc của vật tại thời điểm t = 1,5s là :
A. 0 cm/s

B. 20� cm/s

C. - 20 cm/sD.

Hướng dẫn giải:
Ta có :
Tại thời điểm t = 1,5s ta có :
v = -ωAsin(ωt +φ) = v = -20�sin(3�) = 0 cm/s
Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa với phương trình x = 8cos (2t +

) cm. Gia tốc

của vật tại vị trí có li độ x = 4cm là :
A.
16cm/s2
B. 12cm/s2
C.160cm/s2
D.16cm/s2
Hướng dẫn giải:
a = - ω2.x  |a| =| -ω2.x| = 22. 4 = 16 cm/s2
Dạng 3 : Tính thời gian thực hiện dao động, vận tốc trung bình. Quãng
đường và số lần dao động qua một vị trí
Phương pháp chung :


1. Các bước giải bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a,
Wt, Wđ, F) lần thứ n
*Phương pháp lượng giác:
+ Giải phương trình lượng giác lấy các nghiệm của t (Với t > 0 ⇒ phạm vi giá
trị của k )
+ Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)
+ Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n của t.
* Phương pháp đường tròn:
+ Từ phương trình dao động xác định vị trí xuất phát của vật tương ứng trên
đường tròn M0.
+ Xác định vị trí cần tính thời điểm vật đi qua trên đường tròn M1, M2…
+ Xác định góc quét của bán kính (véc tơ quay) khi vật qua vị trí x lần thứ n.
Lưu ý: + Véc tơ quay theo chiều dương lượng giác. Vật chuyển động theo chiều
dương Ox ứng với điểm nằm nửa dười đường tròn còn chuyển động theo chiều
âm nằm ở nửa trên đường tròn.

+ Mỗi vị trí của vật có li độ x sẽ ứng với 2 điểm nằm trên đường tròn
(điểm nằm nửa trên chuyển động theo chiều âm, điểm nằm nửa dưới chuyển
động theo chiều dương). Trừ vị trí biên chỉ có một điểm.
+ Mỗi chu kỳ (mỗi dao động) ứng với một vòng (góc quét 2π) vật qua
mỗi điểm trên đường tròn 1 lần.
- thời gian di chuyển của vật khi vật quét được góc ∆φ là t=

=

2. Các bước giải bài toán tìm số lần vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, W t,
Wđ, F) từ thời điểm t1 đến t2.
* Phương pháp lượng giác:
+ Giải phương trình lượng giác được các nghiệm của t.
+ Từ t1 < t ≤ t2 ⇒ Phạm vi giá trị của (Với k ∈ Z)
+ Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
* Phương pháp đường tròn:
+ Xác định vị trí xuất phát M 0và vị trí đích M tương ứng của vật trên đường
tròn bằng cách tính góc pha
ϕ1=ωt1+ϕ và ϕ2=ωt2+ϕ.
+ Xác định các vị trí vật đi qua M1, M2… tương ứng trên đường tròn.


+ Xác định với góc quét ∆ϕ=ϕ2-ϕ1=ω(t2-t1) vật qua M1, M2… bao nhiêu lần
chính là đáp số của bài toán.
Lưu ý: Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) ứng với góc quét 2π vật qua mỗi vị trí
biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần.
3. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
* Phương pháp lượng giác:
 x1 = Aco s(ωt1 + ϕ )
 x2 = Aco s(ω t2 + ϕ )

và 
(v1 và v2 chỉ cần xác định
v1 = −ω Asin(ωt1 + ϕ ) v2 = −ω Asin(ωt2 + ϕ )

Xác định: 

dấu)
Phân tích: t2 – t1 = nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)
Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian ∆t là S2.
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
Lưu ý: + Nếu ∆t = T/2 thì S2 = 2A
+ Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục
Ox
* Phương pháp giải theo đường tròn
Xác định góc pha ở thời điểm t1 và t2 là ϕ1=ωt1+ϕ và ϕ2=ωt2+ϕ rồi xác định
các vị trí tương ứng của vật trên đường tròn là M1 và M2.
Phân tích góc quét ∆ϕ=ϕ2-ϕ1=n2π+∆ϕ’ (n ∈N; 0 ≤ ∆ϕ’ < 2π)
Quãng đường tương ứng là S=4nA+S1
Quãng đường S1 ứng với góc quét ∆ϕ’(đi từ M1 đến M2) là hình chiếu của
¼ M lên trục Ox
cung M
1
2
S

Lưu ý: Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t 1 đến t2: vtb = t − t với S là
2
1
quãng đường tính như trên.
Ví dụ tốc độ trung bình trong một chu kỳ: vtb =

4 A vmax
=
T
2π

4. Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng
thời gian 0 < ∆t < T/2.
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong
cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần
VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.


Góc quét ∆ϕ = ω∆t.
Quãng đường lớn nhất khi vật đi
từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin
(hình 1)
S Max = 2A sin

M2

M1

M2

P

∆ϕ
2

A

-A
O

P2

x

P
1

O

∆ϕ
2

∆ϕ
)
2

Lưu ý: + Trong trường hợp ∆t > T/2
T
2

Tách ∆t = n + ∆t '
T
2
T
Trong thời gian n quãng đường luôn là 2nA

2

trong đó n ∈ N * ; 0 < ∆t ' <

Trong thời gian ∆t’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian ∆t:
vtbMax =

S Max
S
và vtbMin = Min với SMax; SMin tính như trên
∆t
∆t

Ví dụ 1 : Con lắc lò xo dao động theo phương thẳng đứng, vật treo ở đầu dưới
của lò xo. Kéo vật xuống dưới cách vị trí cân bằng 10cm rồi thả nhẹ. Lò xo có
độ cứng là 100N/m, khối lượng của vật là 500g, g = 10m/s2. Vật dao động điều
hòa. Khoảng thời gian lò xo nén trong một chu kỳ là :
A.

s

B.

s

C.

s

D.

s

Hướng dẫn giải :
Trong một chu kỳ giả sử vật đi được quãng đường là S, quãng đường lò
xo bị nén là S/2. Ứng với góc quay trên đường tròn lượng giác là � rad.
Hay ta có ∆φ = � rad
-

∆ϕ
2

x

M1

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi
từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
S Min = 2 A(1 − cos

A

P

-A

Tần số góc của con lắc ω =

Vậy, thời gian lò xo bị nén là :

=

= 10


t=

=

Ví dụ 2: Cho con lắc lò xo dao động với phương trình x = A cos(ωt + φ). Tính
quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian chu kì ?
A. A

B. A

C. A

D. A

Hướng dẫn giải :
Trong khoảng thời gian cố định, vật sẽ đi được quãng đường lớn nhất khi trên
đoạn đường đó nó có vận tốc lớn nhất. Vận tốc của vật dao động điều hòa càng
lớn khi vật càng gần vị trí cân bằng. Vậy quãng đường lớn nhất đi được chính là
đoạn M1M2 đối xứng qua vị trí cân bằng như trên hình vẽ
Bằng phương pháp vòng tròn đơn vị ta tìm được M1OM2 =
Vậy tọa độ điểm M1 và M2 tương

M2

M1

M2

P

ứng là -

∆ϕ
2

và

A

-A

Quãng đường lớn nhất mà vật đi
được là :Smax=2.

P2

O

P
1

x

=A

Ví dụ 3 : Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos (6�t + ) cm.
Trong thời gian 1s đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 3cm bao nhiêu lần ?
A. 4 lần
B. 5 lần
C. 6 lần
D. 7 lần
Hướng dẫn giải :
Tại thời điêm ban đầu t=0, ta có :
x= 4cos = 2 ; v = -24� sin < 0
Vậy thời điểm ban đầu vật có tọa độ x= = 2cm và đang đi theo chiều âm.
-

Chu kì dao động của vật:
T=

=

=

A

P

-A
O

∆ϕ
2

x

M1


Vậy: t = 1s= 3T
Trong 1s đầu tiên vật đi được 3 chu kì, quá trình chuyển động của chất
điểm được biểu diễn như hình vẽ
Kết luận : Chất điểm đi qua vị trí có tọa độ x = 3cm tổng cộng 6 lần
Ví dụ 4 :Vật dao động điều hòa với phương trình x = 14 cos(4�t + ) cm.Tính
tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động đến
lúc vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất :
A. 120m/s
B. 120cm/s
C. 12cm/s
D. 1,2cm/s
Hướng dẫn giải :
Tại thời điểm ban đầu t = 0 ta có :
x = 14 cos

=7

(cm)

v = - 64� sin < 0
Vậy thời điểm ban đầu vật có tọa độ x= = 7cm và đang đi theo chiều âm.
Quãng đường vật đi được là S = 2A + = 35 cm
Sử dụng vòng tròn đơn vị ta xác định được tời gian vật dao động là :
t= +

=

=

=

Vậy vận tốc trung bình của vật là vtb =

=
= 120 cm/s = 1,2m/s

Dạng 3: Năng lượng của con lắc lò xo.
Chú ý các công thức sau :
W = mω2A2; x =

; v==

,với động năng gấp n lần thế năng.

Ví dụ 1: Con lắc lò xo có độ cứng là 40N/m, treo vật nặng có khối lượng 400g
vào đầu dưới của lò xo. Biết lò xo dao động điều hòa với biên độ 4cm. Cơ năng
của con lắc là :
A. 320J
B. 6,4J
C. 3,2.10-2 J
D. 0,064J
Hướng dẫn giải :


Ta có cơ năng của con lắc : W = m ω2A2 = kA2 = 40. (0,04)2 = 3,2.10-2 J

Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa với biên độ là 6cm, tại thời điểm thế năng bằng
một phần ba lần động năng thì ly độ của vật là :
cm
A.
Hướng dẫn giải :
Ta có :

B.

C.

cm

D.

cm

Thế năng của con lắc : Wt = kx2
Cơ năng của con lắc : W = kA2
Theo đề bài có : Wt = Wđ W = Wt + Wđ = 4 Wt
 kA2 = 4. kx2  x2 =

= 9 x =

Ví dụ 3 : Con lắc lò xo có độ cứng k= 40N/m dao động điều hòa với biên độ
A = 5cm. Tại vị trí vật có li độ x = -3cm thì động năng là :
A. 0,04J
B. 40J
C. 0,032J
D. 320J

Hướng dẫn giải :
Ta có : Cơ năng : W = Wt + Wđ Wđ = W - Wt = kA2 - kx2
 Wđ = k (A2 - x2)= . 40(25 – 9).10-4 = . 0,032J
Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động điều hòa với cơ năng W= 3.10-2J, chu kì dao
động là 2s. Lực phục hồi đạt cực đại là 1,5.10-2N. Tại thời điểm ban đầu vật
đang chuyển động nhanh dần đều theo chiều âm với gia tốc có độ lớn là 2
cm/s2. Phương trình dao động là :
A. x = 4 cos(�t - ) cm
C. x = 4

cos(�t +

)

B. x = 4 cos(�t +
cm

)

D. x = 4 cos(2�t + )

cm
cm

Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động có dạng x = A cos(ωt + φ)
Tính ω :
-

2