Công thức tổng quát dãy số ôn thi olympic toán sinh viên

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
I-Phƣơng trình sai phân bậc nhất:
 x0  const
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
ax n+1  bxn  0

Dạng 1: Cho dãy số {xn} : 

2

n

b
b
b
Từ công thức truy hồi ta có : xn     .xn1     .xn2  ....................     .x0
 a
 a
 a
n

b
Khi đó công thức tổng quát (CTTQ) của dãy số được xác định bởi : xn  x0 .    .
 a
x  5
Thí dụ : Cho dãy số {xn} được xác định bởi :  0
.
 xn 1  3xn  0 , n  

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Giải: Từ công thức truy hồi ta có : xn  3xn1  32 xn2  .................  3n x0 hay xn  5.3n .
 x0
, với Pk (n) là đa thức bậc k của n.
ax n+1  bxn  Pk (n)

Dạng 2: Cho dãy số {xn} : 

Tìm số hạng tổng quát của dãy số ?
b
a

Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b  0     .
Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị xn* gọi là nghiệm riêng của phương trình sai phân.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi : xn  c. n  xn* . Trong đó nghiệm
riêng xn* được xác định như sau :
 Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riêng xn*  Qk (n) thay vào phương trình ta được:
a.Qk (n  1)  b.Qk (n)  Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được Qk (n) .
 Nếu a + b = 0 thì nghiệm riêng xn*  n.Qk (n) thay vào phương trình ta được:
a(n  1).Qk (n  1)  bn.Qk (n)  Pk (n) . Đồng nhất hệ số ta tìm được n.Qk (n) .
x  7
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0

.Tìm số hạng tổng quát xn .

2

 xn 1  2 xn  3n  4n  5 , n   .
Giải: Xét phương tình đặc trưng   2  0    2 .
Ta có : a + b = 1 – 2 = -1 ≠ 0 nên nghiệm riêng pt có dạng : xn*  an2  bn  c . Thay xn* vào

pt, ta được : a(n  1)2  b(n  1)  c  2an2  2bn  2c  3n2  4n  5
  an2  (2a  b)n  a  b  c  3n2  4n  5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :
a  3
a  3


2a  b  4  b  10
a  b  c  5 c  18



 xn*  3n 2  10n  18 .

CTTQ của số hạng trong dãy : xn  c.2n  3n2  10n 18 .
Từ x0  7  c 18  7  c  25. Suy ra xn  25.2n  3n2  10n  18 .
 x0  5
. Tìm CTTQ của xn.
 xn 1  xn  4n  5 , n   .

Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 

Giải: Xét phương trình đặc trưng  1  0    1.
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Ta có : a + b = 1 – 1 = 0 nên nghiệm riêng của pt có dạng xn*  n(an  b)  an2  bn . xn* vào pt,
ta được : a(n  1)2  b(n  1)  an2  bn  4n  5 .
 2an  a  b  4n  5 .
Đồng nhất hệ số hai vế ta được :

 2a  4
a  2

 xn*  2n2  3n .

a  b  5 b  3
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c  2n2  3n .

Từ x0  5  c  5. Suy ra xn  2n2  3n  5.
 x0
ax n+1  bxn  d (d  const) , n   .

Dạng 3: Cho dãy số {xn} : 


 b  n 
d

    1
n
b
 a 




 xn     .x0  
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số là : 
 b  
 a

a     1

 a  

 xn  x0  nd

neu a  b  0.
neu a  b  0.

 x0  5
. Tìm CTTQ của xn .
x

x

6
,

n


.
n

1
n


Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 

Giải: Từ công thức truy hồi ta có :
xn  xn1  6  xn2  2.6  xn3  3.6  .......  x0  6n hay xn  6n  5 .

 x0  3
. Tìm CTTQ của xn .
 xn 1  8 xn  4 , n  

Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 

Giải: Từ công thức truy hồi, ta có :
xn  8 xn 1  4  8 8 xn 2  4   4  82.xn 2  4 8  1  82.xn 2  4.

82  1
8n  1
 ........  8n.x 0 4.
.
8 1
8 1

Suy ra xn  3.8n  . 8n  1 
4
7

25 n 4
.8  .
7
7
x
Dạng 4: Cho dãy số {xn} :  0
. Tìm CTTQ của xn.

n
ax

bx

d
.

,

n



n
 n 1
b
Giải: Xét phương trình đặc trưng : a  b  0      q.
a
 Nếu    thì nghiệm riêng của phương trình xn*  c. n thay vào pt, ta được :
a.c.

n 1

d
d n
d n
*
 b.c.  d .  c 
 xn 


a  b
a  b a   q 
n

n

Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.q n  xn*  c1.q n 

 do

b  qa  .

d n
.
a   q 


 n
d
d
d
d n
d  n  qn
n
 c1  x0 
 xn   x0 
.
q



x
.
q

.
0

a(  q)
a(  q)
a(  q) 
a(  q)
a  q

 Nếu    thì nghiệm riêng của phương trình xn*  cn n thay vào pt, ta được :
d
d
d
ac(n  1) n1  bcn n  d n  c 


(do q   ) .
a(n  1)  bn a(n  1)  aqn aq

Từ x0  c1 

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Suy ra xn* 

dnq n dnq n1
.

aq
a

dnq n 1
Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.q  x  c1.q 
.
a
dnq n 1
Từ x0  c1  xn  x0 .q n 
.
a
 d qn   n
neu q  
 .
a q 
n
Vậy từ trên ta có : xn  x0 .q  
.
d
 .nq n 1
neu q  
 a
n

*
n

n

x  5
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0

n

 xn 1  3xn  2.5 , n  

. Tìm CTTQ của xn .

b
a

Ta có :   q    3 ; d  2 ;   5. Vì q   nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
d qn   n
3n  5n
xn  x0 .q n  .
 5.3n  2.
 4.3n  5n.
a q 
35
x  2
Thí dụ 2: Cho dãy {xn} :  0
. Tìm CTTQ của xn.
n

 xn 1  3xn  5.3 , n  
b

Ta có:   q    3 ;   3 ; d  5. Vì q   nên ta có số hạng tổng quát của dãy sẽ là :
a
d
xn  x0 .q n  .nq n 1  2.3n  5n.3n 1  (5n  6).3n 1 .
a
x
Dạng 5: Cho dãy số {xn} :  0
. Xác định
n
n
n
(1) , n  

axn 1  bxn  d11  d 2 2  .....  d k k

sô hạng tổng quát của dãy trên.
Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  d11n
xn*2 là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  d2 2n
...................................................................................
*k
xn là nghiệm riêng của phương trình axn1  bxn  dk kn .
Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là xn*  xn*1  xn*2  ....  xn*k .
b
Khi đó số hạng tổng quát xn  c. n  xn*      .


a

x  2
Thí dụ: Cho dãy {xn} :  0

. Tìm CTTQ của xn.

n
n

 xn 1  2 xn  3.2  5.7 (*) , n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng :   2  0    2.
 Do 1   nên nghiệm riêng xn*1  d1n.2n , thay vào phương trình, ta được :
3
d1 (n  1).2n1  2d1n.2n  3.2n  d1   xn*1  3n.2n1 .
2
*2
 Do  2   nên nghiệm riêng xn  d2 .7n , thay vào phương trình, ta được :

d2 .7n1  2d2 .7n  5.7n  d2  1  xn*2  7n .

Số hạng tổng quát xn  c.2n  xn*1  xn*2  c.2n  3n.2n1  7n
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Từ x0  2  c  1  2  c  1. Suy ra xn  2n  3n.2n1  7n .
x
Dạng 6: Cho dãy số {xn} :  0

n

axn 1  bxn  Pk (n)  d , n  
Ta gọi xn*1 là nghiệm riêng của axn1  bxn  Pk (n)

. Tìm CTTQ của xn.

xn*2 là nghiệm riêng của axn1  bxn  d n .

Công thức tổng quát của dãy số được xác định là xn  c. n  xn*1  xn*2 .
Từ giá trị của x0 ta tìm được giá trị c.
x  3
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0

n

 xn 1  5 xn  3n  2  2.3 , n  
Giải: Xét Phương trình đặc trưng :   5  0    5.

. Tìm CTTQ của xn.
3
4

Gọi xn*1 là nghiệm riêng của phương trình xn1  5xn  3n  2  xn*1   n 

11
.
16

xn*2 là nghiệm riêng của phương trình xn1  5xn  2.3n  xn*2  3n .
3
11
Số hạng tổng quát của dãy cho bởi: xn  c. n  xn*  c.5n  n   3n .
4
16

11
75
75
3
11
Từ x0  3  c   1  3  c  . Suy ra xn  .5n  n   3n.
16
16
16
4
16

II-Phƣơng trình sai phân bậc hai:
Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.
 x0 ; x1
. Tìm CTTQ của xn.
axn  2  bxn 1  cxn  0 , n  

Cho dãy số {xn} : 

Xét phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 (1) .
 Phương trình (1) có nghiệm 1 ; 2 (1  2 ) thì số hạng tổng quát có dạng :
xn  c1.1n  c2 .2n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.
 Phương trình (1) có nghiệm 1  2   thì số hạng tổng quát có dạng :
xn  (c1  nc2 ). n . Từ x0 ; x1 ta tìm được c1 và c2.
 x0  2; x1  5.
. Tìm CTTQ của xn .
 xn  2  5 xn 1  6 xn , n   .

Thí dụ 1: Cho dãy {xn} : 

Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  5  6  0  1  2  2  3.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  c1.2n  c2 .3n .
 x0  2 c1  c2  2
c  1

 1
. Suy ra xn  2n  3n .
2c1  3c2  5 c2  1
 x1  5

Từ 

 x0  3; x1  10.
. Tìm CTTQ của xn .
 xn  2  4 xn 1  4 xn , n   .

Thí dụ 2: Cho dãy {xn} : 

Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  4  4  0  1,2  2.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  (c1  nc2 ).2n .
 x0  3
c  3
c  2
 2
 1
. Suy ra xn  (2n  3).2n .
2(
c


c
)

10
c

3
x

10
 1 2
 2
 1

Từ 

Dạng 2: Dạng thuần nhất và phương trình đặc trưng vô nghiệm thực.
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


 x0 ; x1
. Tìm CTTQ của xn .
axn  2  bxn 1  cxn  0 , n  

Cho dãy số {xn} : 

Xét phương trình đặc trưng a 2  b  c  0 (2) . Ta có phương trình (2) không tồn tại
nghiệm thực, khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  r n (c1cosn +c2 sin n ) .
Trong đó r  A2  B 2 ;   arctan


b
B
với A   ; B 
.
A
2a
2a

Từ hai giá trị x0 và x1 ta tìm được c1 và c2.
 x  1 ; x1  3 3  1
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0

. Tìm CTTQ của xn .


 xn  2  2 xn 1  16 xn , n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  2  16  0 co   22  16  12  0 .

Suy ra phương trình sai phân không có nghiệm thực.

b
B 
1 ; B 
 3 và r  A2  B 2  2 ;   arctan  .
2a
2a
A 3
n


n
Khi đó số hạng tổng quát của xn có dạng : xn  2n  c1cos  c2 sin  .
3
3 

c1  1
 x0  1
c  1

n
n


   c1 c2 3 
 1
. Suy ra xn  2n  cos
 3sin
Từ 
3
3


 x1  3 3  1 2  2  2   3 3  1 c2  3

 
x ; x
Dạng 3: Cho dãy số {xn} :  0 1
. Tìm CTTQ của xn.
axn  2  bxn 1  cxn  d , n  

Đặt A  


.


Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình. Khi đó nghiệm riêng xn* được xác định như sau:
d
 *
 xn  a  b  c khi a  b  c  0

 x*  dn khi a  b  c  0 ; 2a  b  0
.
 n 2a  b

 xn*  n(n  1) d khi a  b  c  0 ; 2a  b  0.

2a

Xét phương trình đặc trưng, xét nghiệm của phương trình đặc trưng như các trường hợp
trên. Kết hợp với nghiệm riêng ta có được công thức của x n.
 x0  4 ; x1  1
. Tìm CTTQ của xn.
2 xn  2  5 xn 1  2 xn  3 , n  

Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} : 

1
2
d

3

 3 .
Do a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn* 
a bc 25 2
1
Số hạng tổng quát của dãy số : xn  c1.2n  c2 . n  3 .
2
c  c  3  4
 x0  4  1 2
c  3
1

 1
. Suy ra xn  3.2n  n  2  3 .
Từ 
c2
2
2c1   3  1 c2  4
 x1  1


2

Xét phương trình đặc trưng : 2 2  5  2  0  1  2  2  .

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


89


 x0  5; x1 
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} : 
. Tìm số hạng tổng quát xn.
5
 xn  2  7 xn 1  6 xn  11, n  
Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  7  6  0  1  1  2  6.
dn
11n
11
Do a+b+c=0 và 2a+b ≠ 0 nên nghiệm riêng xn* 

  n.
2a  b 2  7
5
11
Số hạng tổng quát của dãy có dạng xn  c1  c2 .6n  n , n   .
5
 x0  5
c1  c2  5
c1  2
11


Từ 
. Suy ra xn  2  3.6n  n .
11 89  
89  
5
c1  6c2  

x1 
c2  3

5
5
5


 x  3; x1  2
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :  0
. Xác định công thức tổng quát xn.
 xn  2  2 xn 1  xn  6 , n  

Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  2  1  0  1,2  1.
d
 3n(n  1).
2a
Số hạng tổng quát của dãy là : xn  c1  nc2  3n(n  1) , n   .

Có a+b+c=0 và 2a+b=0 nên nghiệm riêng xn*  n(n  1)
 x0  3 c2  3
c  1

 1
.
c2  3
 x1  2 c1  c2  2

Từ 

Suy ra xn  3n2  4n  3 , n   .

x ; x
Dạng 4: Cho dãy số {xn} :  0 1

n

axn  2  bxn 1  cxn  dq , n   .

. Xác định CTTQ của xn.

Gọi xn* là nghiệm riêng của phương trình sai phân trên. Khi đó nghiệm riêng này được xác
 *
dq n
 xn  aq 2  bq  c khi q  1  q  2 .

 * ndq n 1
khi q  1  q  2 .
đinh như sau :  xn 
.
2aq  b

 *
d n2
khi q  1  2 .
 xn  n(n  1) .q
2a


Xét phương trình đặc trưng, lập công thức nghiệm và ta có được công thức xn.

 x  2 ; x1  5
Thí dụ 1: Cho dãy số {xn} :  0

. Lập công thức tính xn.

n

 xn  2  8 xn 1  15 xn  3.4 , n  
Giải: Xét phương trình đặc trưng :  2  8  15  0  1  3  2  5.

dq n
3.4n

 3.4n .
Ta có q  1  q  2 nên nghiệm riêng của phương trình x  2
aq  bq  c 16  32  15
n
n
n
Số hạng tổng quát của dãy là : xn  c1.3  c2 .5  3.4 , n   .
*
n

 x0  2 c1  c2  3  2
c  4

 1
. Suy ra xn  4.3n  5n  3.4 n , n   .
3c1  5c2  12  5
c2  1

 x1  5

Từ 

 x  8 ; x1  5.
Thí dụ 2: Cho dãy số {xn} :  0

. Tìm CTTQ của xn .

n

 xn  2  11xn 1  28 xn  6.7 , n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  11  28  0  1  4  2  7.

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


ndq n1
6n.7n1

 2n.7n1.
2aq  b 2.1.7  11
n
n
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1.4  c2 .7  2n.7n1 .

Ta có: q  2 nên nghiệm riêng của phương trình xn* 

 x0  c1  c2  8
c  10

 1
. Suy ra xn  10.4n  2.7 n  2n.7 n 1 , n   .
 x1  4c1  7c2  2  28 c2  2

Từ 

 x  4 ; x1  5.
Thí dụ 3: Cho dãy {xn} :  0

n

 xn  2  10 xn 1  25 xn  2.(5) , n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  10  25  0  1  2  5 .

. Tìm CTTQ của xn.

d n2
.q  n(n  1).(5)n2 .
2a
Số hạng tổng quát của dãy : xn   c1n  c2  .(5)n  n(n  1).(5)n , n   .

Ta có q  1  2 nên nghiệm riêng của phương trình xn*  n(n  1)
Từ

 x0  c2  4
c  3
 1
. Suy ra xn  (3n  4).(5) n  n(n  1).(5) n  (n 2  76n  100).(5) n n   .

 x1  5(c 1 c2 )  5 c2  4

x ; x
Dạng 5: Cho dãy số {xn} được xác định bởi :  0 1
với Pk (n)
axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n) , n   .

là đa thức bậc k theo n. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Nghiệm riêng xn* cua phương trình đượ xác định như sau:
 xn*  Qk (n) khi a  b  c  0.
 *
 xn  nQk (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.
 x*  n 2Q (n) khi a  b  c  0  2a  b  0.
k
 n

Xác định công thức tổng quát theo trình tự các bước như đã trình bày ở các ví dụ trên.
 x  31 ; x1  60.
Thí dụ : Cho dãy số {xn} :  0

. Tìm CTTQ của xn.

n

 xn  2  7 xn 1  10 xn  8n  12n  14, n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng của dãy :  2  7  10  0  1  2  2  5.

Ta có : a+b+c ≠ 0 nên nghiệm riêng của phương trình xn*  an2  bn  c . Thay vào công thức
truy hồi, tiến hành đồng nhất hệ số ta được : xn*  2n2  8n  15 .
Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1.2n  c2 .5n  2n2  8n  15.
 x0  c1  c2  15  31
c  15

 1
. Suy ra xn  15.2n  5n  2n2  8n  15, n   .
c

1
x

2
c

5
c

25

60
 2
 1
1
2

Từ 

x ; x
Dạng 6: Cho dãy xác định bởi {xn} :  0 1

n

axn  2  bxn 1  cxn  Pk (n). , n   .

.Tìm CTTQ xn.

Nghiệm riêng xn* của phương trình dạng này được xác định như sau :
 xn*  Qk (n). n khi   1    2 .
 *
n
 xn  n.Qk (n). khi   1    2 . Từ đây tìm được công thức tổng quát cảu xn.
 x*  n 2 .Q (n). n khi      .
k
1
2
 n
 x  5; x1  18.
Thí dụ: Cho dãy {xn} :  0

n2

 xn  2  6 xn 1  9 xn  2(3n  1).3 , n   .

. Xác định công thức xn.

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Giải: Xét phương trình đặc trưng  2  6  9  0  1  2  3.
Ta có   1  2 nên nghiệm riêng của pt xn*  n2  an  b  .3n . Thay xn* vào công thức truy hồi,
rút gọn và đồng nhất hệ số, ta được xn*   n3  2n2  .3n .
Số hạng tổng quát của dãy là xn  (c1n  c2 ).3n  (n3  2n2 ).3n , n   .
 x0  c2  5
c  2

 1
. Suy ra xn  (2n  5).3n  (n3  2n 2 ).3n   n3  2n 2  2n  5  .3n .
c

5
x

3(
c

c
)

3

18
 2
 1
1
2

Từ 

Dạng 7: Cho dãy số được xác định bởi {xn} :
 x0 ; x1.
. Xác định số hạng tổng quát của dãy trên.

axn  2  bxn 1  cxn   .cosn + sinn , n   .
Đối với phương trình dạng này, nghiệm riêng của nó có dạng : xn*  Acosn +Bsinn .

Thay xn* vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B.
Thí dụ: Cho dãy {xn} : được xác định bởi :
 x0  4 ; x1  4  2

. Tìm số hạng tổng quát của dãy.

n
n
 sin
, n   .
 xn  2  3xn 1  2 xn  3  3 2 .cos

4
4
2
Giải: Xét phương trình đặc trưng :   3  2  0  1  1  2  2.
n
n
Nghiệm riêng của phương trình có dạng : xn*  Acos  B sin . Thay vào công thức truy
4
4





hồi, ta được :
(n+2)
(n  2)  
(n+1)

(n  1) 
n
n 


 3  Acos
 B sin
 2  Acos
 B sin  
 Acos 4  B sin


4  
4
4 
4
4 

n
n
.
3  3 2 .cos
 sin
4
4





Phân tích vế trái và rút gọn ta được :
3 A 3B
n 
3 A 3B
n
n
n




 2 A  .cos
  A 

 2 B  .sin
 3  3 2 cos
 sin
.
B
4 
4
4
4
2
2
2
2




3 A 3B

 B  2  2  2 A  3  3 2
A 1
n
n

 xn*  cos
 sin
Đồng nhất hệ số, ta được : 
.
4
4
B  1
  A  3 A  3B  2 A  1

2
2
n
n
Số hạng tổng quát của dãy : xn  c1  c2 .2n  cos  sin .
4
4
x

c

c

1



4
 0 1 2
c  6
n
n
Từ 
 1
. Suy ra xn  2n  6  cos
 sin
, n   .
4
4
 x1  c1  2c2  2  4  2
c2  1






 x0 ; x1
axn  2  bxn 1  cxn  d n1  d n 2  ...  d nk (1), n   .

Dạng 8: Cho dãy số dạng sau { xn} : 

Trong đó d ni là một trong các dạng sau : hắng số d, d . n , Pk (n) ,  n .Pk (n) , ....
Khi đó ta gọi xn*i là nghiệm riêng của phương trình axn2  bxn1  cxn  dni .

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


k

Nghiệm riêng của (1) được xác định là x   xn*i . Sau đó ta thiết lập được công thức tổng
*
n

i 1

quát như các thí dụ đã cho.
III-Phƣơng trình sai phân bậc ba:
Loại 1: Phƣơng trình thuần nhất :
 x0 ; x1 ; x2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

Dạng 1: Cho dãy {xn} : 

xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 . Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
1 ; 2 va 3 . Khi đó số hạng của dãy được xác định là : xn  c1.1n  c2 .2n  c3 .3n .
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
 x0  1; x1  5 ; x2  8.
. Tìm CTTQ của xn .
 xn3  6 xn 2  11xn1  6 xn  0 n   .

Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 

Giải: Xét phương trình đặc trưng :  3  6 2  11  6  0  1  1 ; 2  2 ; 3  3.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1  c2 .2n  c3.3n .
11

c1   2
 x0  c1  c2  c3  1

11
5
Từ  x1  c1  2c2  3c3  5  c2  9 . Suy ra xn    9.2n  .3n n   .
2
2
 x  c  4c  9c  8 
5
2
3
 2 1
c3  
2

x ; x ; x
Dạng 2: : Cho dãy {xn} :  0 1 2
. Xác định số hạng tổng
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

quát xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có hai nghiệm phân biệt 1 va 2  3   .
Khi đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi : xn  c1.1n   c2 n  c3  . n .
Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
 x0  5; x1  11 ; x2  16

. Tìm CTTQ của dãy.
 xn 3  11x n  2 32 xn 1  28 xn  0 , n   .

Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 

Giải: Xét phương trình đặc trưng  3  11 2  32  28  0  1  7  2  3  2.
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1.7n   c2n  c3  .2n
6

c1   35
 x0  c1  c3  5

13
6
181  n


 13
. Suy ra xn   .7 n   n 
Từ  x1  7c1  2c2  2c3  11  c2 
 .2 , n   .
14
35
35 
 14
 x  49c  4c  4c  16 
1
2
3
 2

181

c3  35

x ; x ; x
Dạng 3: Cho dãy {xn} :  0 1 2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có 1 nghiệm kép 1  2  3   . Khi đó
công thức nghiệm tổng quát có dạng : xn   c1n2  c2n  c3  . n .
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
 x0  3 ; x1  2 ; x2  8
. Xác định số hạng tổng
 xn 3  3xn  2  3xn 1  xn  0 , n   .

Thí dụ: Cho dãy số {xn} : 

quát của dãy.
Giải: Xét phương trình đặc trưng :  3  3 2  3 1  0  1  2  3  1 .
Số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn  c1n2  c2 n  c3 .
7

c

1


2
 x0  c3  3

9
7
9
Từ  x1  c1  c2  c3  2  c2   . Suy ra xn  n 2  n  3, n   .
2
2
2
 x  4c  2c  c  8 
1
2
3
 2
c

3
 3


x ; x ; x
Dạng 4: Cho dãy {xn} :  0 1 2
. Xác định số hạng tổng quát
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  0 n   .

xn của dãy số.
Xét phương trình đặc trưng a 3  b 2  c  d  0 có 1 nghiệm thực  và hai nghiệm phức.
Khi đó số hạng tổng quát của phương trình có dạng : xn  c1. n  c2 .cosn +c3 .sin n .

Từ các giá trị x0 ; x1 ; x2 ta xác định được các giá trị c1 ; c2 va c3 .
 x  3; x1  4  3 ; x2  8  3.
Thí dụ: Cho dãy số {xn} :  0

. Tìm CTTQ của xn.


 xn 3  5 xn  2  22 xn 1  48 xn  0 , n   .
Giải: Xét phương trình đặc trưng  3  5 2  22  48  0     3   2  2  16   0


  3
. Phương trình sai phân bậc hai  2  2  16  0 không có nghiệm
 2

  2  16  0 VN 

thực nên theo thí dụ trong dạng 2 của phương trình sai phân bậc hai ta có số hạng tổng
quát là xn'  c2 .cos

n
n
n
n
 c3 sin
. Vậy số hạng tổng quát xn  c1.3n  c2 .cos  c3 .sin .
3
3
3
3


 x0  c1  c2  3

c c 3
Từ  x1  3c1  2  3  4  3
2
2


c2 c3 3
 8 3
 x2  9c1  

2
2

c1  1
n
n


 c2  2 . Suy ra xn  3n  2  cos
 sin
3
3


c3  2


 , n   .


Loại 2: Phƣơng trình không thuần nhất.
 x0 ; x1 ; x2
.
axn 3  bxn  2  cxn 1  dxn  d n , n   .

Cho dãy số dạng {xn} : 

Trong đó d n có thể là hăng số, m n , đa thức bậc k theo n Pk (n) , ....
Ta tiến hành tìm nghiệm riêng như dạng đối với phương trình bậc 2 đã trình bày ở trên.
IV-Phƣơng trình sai phân bậc cao.
Dạng 1: Phương trình thuần nhất : a0 xnk  a1 xnk 1  ......  ak xn  0 .
Xét phương trình đặc trưng : a0 k  a1 k 1  ..............  ak  0 .
TH1: có k nghiệm thực phân biệt, khi đó số hạng tổng quát của dãy sẽ có dạng :
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


k

xn  c1.  c2 .  c3 .  ...........  ck .   ci .in .
n
1

n
2

n

3

n
k

i 1

TH2: Có s nghiệm bằng nhau , (k – s) nghiệm khác nhau và khác với s nghiệm trên. Khi
k
 s 1
p
n
đó số hạng tổng quát của dãy có dạng : xn    c p 1.n  .   ci .in .
i  s 1
 p 0

TH3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức : x j  A  Bi  r  cos +isin  trong đó

r  A2  B 2 ;   arctan

B
và k – 2 nghiệm thực khác nhau thì số hạng tổng quát của dãy
A

k 2

số sẽ có dạng : xn   ci .in  r n  c1' .cosn +c'2 .sin n  .
i 1

Dạng 2: Phương trình không thuần nhất: a0 xnk  a1 xnk 1  .......  ak xn  bn .

Ta xét thêm nghiệm riêng xn* tuỳ theo dạng của bn và các hệ số ai . Thiết lập công thức
tổng quát của xn từ các giả thiết của bài.
V-Một số dạng đặc biệt khác thƣờng gặp của dãy số trong các kì thi.
Dạng 1: Phương trình sai phân dạng " Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một".
 xn 1  axn  byn
.
 yn 1  cxn  dyn

Cho dãy số {xn} , {yn} được xác định như sau : 

Tìm số hạng tổng quát xn và yn.
Đưa hệ về phương trình sai phân tuyến tính cập 2 của từng dãy {x n} và {yn} :

xn2  axn1  byn1  axn1  b(cxn  dyn )  axn1  bcxn  d ( xn1  axn )  (a  d ) xn1  (bc  ad ) xn
yn2  cxn1  dyn1  c(axn  byn )  dyn1  dyn1  bcyn  a( yn1  dyn )  (a  d ) yn1  (bc  ad ) yn .

Đưa được hệ về dạng phương trình cơ bản, từ đây ta dễ dàng tìm được CTTQ của số hạng
từng dãy đã cho.
u0  2; un 1  2un  vn
n   .
v0  1; vn 1  un  2vn

Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {xn} và {yn} : 

Giải: Ta có : un2  (a  d )un1  (bc  ad )un  4un1  3un và u1  5 .
1 3
Từ đây, ta có : un 
2

n1

 vn  un 1  2un 

1  3n 1
.
2

Dạng 2: Phương trình sai phân dạng phân thức tuyến tính:
Tìm CTTQ của dãy số có công thức xác định như sau : x0   ; xn1 
Cách 1: Đặt xk 
yn 1
zn 1

axn  b
n   .
cxn  d

yk
( zk  0). Khi đó dãy được biến đổi thành :
zk

yn
b
 yn 1  ayn  bzn
 yn  2  (a  d ) yn 1  (bc  ad ) yn
zn
ay  bzn

 n



n   .
yn
z

cy

dz
z

(
a

d
)
z

(
bc

ad
)
z
cy

dz
n

1
n

n
n

2
n

1
n


n
n
c.  d
zn
a.

Từ công thức tổng quát của {yn} và {zn} ta suy ra CTTQ của {xn} .
Cách 2: Đặt xn  un  t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có :
aun  at  b
(a  ct ) xn  ct 2  (a  d )t  b
un 1 
t 
cun  ct  d
cun  ct  d

(*).

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Ta chọn t sao cho ct 2  (d  a)t  b  0. Khi đó ta chuyển (*) về dạng :
Từ đây ta tìm được

1
1
m
 n.
un
un 1

1
, suy ra un .
un

u1  2
Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} : 
.
9un 1  24
un  5u  13 n  2.
n 1

x
Cách 1: Đặt un  n , thay vào công thức truy hồi ta được :
yn
x
9 n 1  24
 xn 1  9 xn  24 yn
 xn  2  4 xn 1  3xn
xn
yn 1

9 xn 1  24 yn 1




n   .
x
yn
5 xn 1  13 yn 1
 yn 1  5 xn  13 yn
 yn  2  4 yn 1  3 yn
5 n 1  13
yn 1

 x  2 ; x2  42
42
. Ta chọn  1
.
23
 y1  1 ; y2  23
 x  22.3n 1  24
22.3n 1  24
Từ đây ta tìm được :  n
.
Suy
ra
u

n  2.
n

n 1
n 1
11.3

10
y

11.3

10

 n
Cách 2: Đặt un  xn  t , thay vào công thức truy hồi ta được :

Từ u1  2  u2  

9 xn  9t  24
(9  5t ) xn 1  5t 2  22t  24
xn  t 
 xn 
5 xn  5t  13
5 xn 1  5t  13

Ta chọn t : 5t 2  22t  24  0  t  2  x1  4.
 xn 

xn1
1
3
1 11.3n 1  10

4
22.3n 1  24
 
5 
 xn 

u

x

2

.
n
n
5 xn 1  3
xn xn 1
xn
4
11.3n 1  10
11.3n 1  10

Dạng 3: Hệ phương trình tuyến tính bậc 2.
un  un21  a.vn21 ; u1  

Tìm CTTQ của dãy số (un) và (vn) được xác định bởi : 

vn  2un 1.un 1 ; v1  














2
2

un  u  a.v
un  a .vn  un 1  a .vn 1  .......  u1  a .v1


2
2n1
a
.
v

2
a
.
u
.
v

u  av  u  a .v
n
n 1 n 1

 .......  u1  a .v1
n
n 1
n 1
 n
.
2n1
2n1 

1
u




a




a
 n 2






n1
n1
v  1     a 2     a 2 

 n 2 a 

2
n 1

2
n 1











n1







Thí dụ: Xác định CTTQ của hai dãy số {un} và {vn} thoả :
u1  2
và

v1  1

Giải:

2
2

un  un 1  2vn 1
n  2.

v

2
u
.
v

n 1 n 1
 n




u  2v  u  2v
2

2

n
n 1
n 1
un  un 1  2vn 1
 n

Ta có: 
 2vn  2 2un 1vn 1
un  2vn  un 1  2vn 1






2

2

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

a   







un  2vn  u1  2v1

u  2v  u  2v
n
1
1
 n




2n1

2n1



 2  2 
 2 2

2n1

2n1

2n1
2n1 

1
u


2

2

2

2
 n 2




.

2n1
2n1 
1

v 
2 2
 2 2

 n 2 2 


















Dạng 4: Dạng phân thức bậc 2 trên bậc 1:
 x1  
n  2.
Tìm CTTQ của dãy {xn} : 
xn21  a

x

a


.


n

2 xn 1


u
Đặt xn  n , khi đó dãy trên được chuyên về hai dãy {un} và {vn} như
vn
un  u  a.v



vn  2un 1vn 1
2
n 1

2
n 1

; u1  
; v1  1

n  2.

Khi đó xn 

un
 a
vn



  a 
 a

2n1
2n1

sau :



   a 

  a

2n1
2n1

.

 x1  2
Thí dụ: Xác định CTTQ của dãy số {xn} : 
.
xn21  2
x

n  2.
 n
2 xn 1

un  un21  2vn21
u1  2

Giải: Xét hai dãy số {un} và {vn} : 

và 
n  2.

v1  1
vn  2un 1vn 1
u
Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp xn  n .
vn

Theo kết quả bài toán trên, ta có : xn  2.



2  2 
2 2

2n1

2

n1



 2  2 

 2 2

2n1
2n1

.

Dạng 5: Dạng có căn thức trong công thức truy hồi.
u1  
a) Với dãy số {un} : 

, với a2  b  1 ta xác định CTTQ như sau:

un  aun 1  bu  c n  2.

Từ dãy truy hồi   un  aun1   bun21  c  un2  2aunun1  un21  c  0
2
n 1

Thay n bởi n – 1, ta được un22  2aun2un1  un21  c  0.
Ta đây ta dễ thấy un và un2 là nghiệm của phương trình bậc hai X 2  2aun1 X  un21  c  0 .
Theo định lý Vi-et, ta có un  un2  2aun1 . Từ đây ta dễ dàng xác định CTTQ của xn.

b) Một cách biểu diễn khác : Cho dãy số {un} :

u1  

un 1
u 
n  2.
n
2

a


cu

b
n 1


, trong đó

  0; a  1 ; a 2  b  1 ta xác định CTTQ như sau :

Ta viết lại công thức tổng quát dưới dạng :

1
a
b

 c 2 .
un un 1
un 1

Đặt xn 

1
un

.

Ta có xn  axn1  bxn21  c đây là dãy mà ta đã xét ở trên.
u1  1

Thí dụ: Cho dãy số {un} : 

un  5un 1  24un 1  8 n  2.


Tìm un ?

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Giải: Từ công thức truy hồi của dãy ta có :  un  5un1   24un21  8
2

(1) . Thay n bởi n – 1 ta được :
un22  10un2un1  un21  8  0 (2).
Từ (1) và (2)  un2 , un là hai nghiệm của phương trình :
Áp dụng định lý Vi-et, ta có : un  un2  10un1.
 un2  10unun1  un21  8  0

t 2  10un1t  un21  8  0

n 1
n 1
Ta dễ dàng tìm được un  6  2  5  2 6   6  2  5  2 6  .

2 6

2 6

Dạng 6: Công thức truy hồi bậc hai dạng phân thức.

u1   ; u2  
Cho dãy số {un} : 
. Tìm un ?
un21  a
u

n  2.
 n
un  2


Đối với dạng này thì từ công thức truy hồi u 3, u4, u5. Ta giả sử un  xun1  yun2  z .
u3  xu2  yu1  z
Lập hệ phương trình u4  xu3  yu2  z  x, y, z.
u  xu  yu  z
4
3
 5

Từ công thức truy hồi ta dễ dàng tìm được công thức tổng quát của un.
u1  u2  1
Thí dụ: Tìm CTTQ của dãy số {un} : 
.
un21  2
u

n  2.
 n
un  2


Giải: Ta có : u3  3; u4  11; u5  41. Ta giả sử un  xun1  yun2  z.

u3  xu2  yu1  z
x  y  z  3
x  4



Ta có hệ pt : u4  xu3  yu2  z  3x  y  z  11   y  1  un  4un1  un2 .
u  xu  yu  z
11x  3 y  z  41  z  0


4
3
 5
n
n
95 3
95 3
. 2 3 
. 2 3
n  1.
Ta dễ dạng tìm được xn 
6
6









VI-Sử dụng lƣợng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số :
u1

Dạng 1: Xác định công thức dãy số dạng {un} : 

2
un  2un 1  1 n  2.

 Nếu u1  1 : ta đặt u1  cos . Khi đó ta có :

ta làm như sau :

un  cos2n-1 .

1
1
 Nếu u1  1 : ta đặt u1   a    a  0 va au1  0 . Khi đó

2
a
1
1
1
1 
1

1 
1  n1
1 

u2   a 2  2  2   1   a 2  2   u3   a 4  4   ........un   a 2  2n1 
2
a
2
a 
2
a 
2

a 

.

Với cách xác định số a, ta có a là nghiệm (cùng dấu với u1) của phương trình
a 2  2u1a  1  0 .

Do tích hai nghiệm la 1 nên nếu a là 1 nghiệm thì

1
a

sẽ là

nghiệm còn lại của phương trình. Khi đó công thức tổng quát có thể viết như
sau :



1
un   u1  u12  1
2

  u 
2n1

1

u 1
2
1



2n1


.


Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


1

u1 
Thí dụ 1: Cho dãy số {un}: 

. Xác định CTTQ của dãy {un}.
2
u  2u 2  1 n  2.
n 1
 n
1


2
2
22
Giải: Ta có u1   cos  u2  2cos2  1  cos  u3  2cos 2  1  cos
2
3
3
3
3
3
n-1
2 
Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng un  cos
n  1. .
3
u  3
Thí dụ 2: Cho dãy số {un} :  1
. Xác định CTTQ của un.
2
un  2un 1  1 n  2.
1
1

Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình :  a    3  a 2  6a  1  0  a  3  2 2 .
2
a
2

1
1
1
1
1
Ta có a  6a  1  0  u1   a    3 , khi đó u2   a    1  a 2  2 .
2
a
a
2
a
k 1
k
1
1
Giả sử xk  a 2  2k 1 thì xk 1  a 2  2k .
a
a
2n1
2n1
n1
1
Theo nguyên lý quy nạp, ta được xn  a 2  2n1  3  2 2  3  2 2 .
a
Thí dụ 3: Cho dãy số {xn} được xác định như sau : x1  5, xn1  xn2  2 n  1 .

xn 1
Tìm giá trị của S  nlim
.
 x x .....x
1 2
n
2







Giải: Chọn a là nghiệm lớn của phương trình x 2  5 x  1  0  a 



5  21
 1.
2

2

1
1
1
Ta có a  5a  1  0  x1  a   5 ; khi đó x2  x12  2   a    2  a 2  2 .
a
a

a

n1
1
Bằng quy nạp ta chứng minh được xn  a 2  2n1 n  1.
a
k

1
k

1
k
1
1
1
  2

2
Chú ý rằng  a 2  2k 1 
 a  2k 1    a  2k  ,
a 
a  
a 

1  n
1 
1

1


a    a 2  2n  1  n
a   xn 1


xn 1
a 
a
a 
a2 . a  1  .
 

ta có

1
1 
1
x1 x2 .....xn 
a
2n
a

1

a

x
x
.....
x

n
n

 1 2
n
a
a2
a2

1
1  2n
xn 1
a .  a  1   a  1  21.
 lim
Do đó S  nlim

 x x ......x
n 
1 
a
a
1 2
n
1  2n 
a
u  p
Dạng 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} :  1
, ta làm như sau :
3
u


4
u

3
u

n

2.
n 1
n 1
 n
 Nếu p  1 , thì   0;  : cos =p . Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được :
2

un  cos3n-1 .

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


1
1
 Nếu p  1 thì ta đặt u1   a  
2

 au1  0  . Bằng quy nạp ta chứng minh được

a

 





3
3 
1
1  n1
1 
 u1  u12  1  .
un   a3  3n1  . hay un   u1  u12  1
2
2
a 


2
u1 
Thí dụ 1: Xác định CTTQ của dãy {un} : 
.
2
3
u  4u  3u , n  2.
n 1
n
 n
n1

n1

2



3
3
3
32
.
 cos  u2  4cos3  3cos  cos
 u3  4cos3
 3cos
 cos
2
4
4
4
4
4
4
4
3n-1
Bằng quy nạp ta chứng minh được un  cos
n  1.
4
x  7
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy {xn} :  1
.

3
 xn  4 xn 1  3xn 1 n  1.
Giải: Gọi a là nghiệm lớn của phương trình x2 14 x  1  0  a  7  4 3 .

Giải: Ta có u1 

3

1
1
1
1
3
1
1
1
Ta có u1   a    7  u2   a     a     a3  3  .
2
a
2
a 2
a 2
a 
n1
1
1
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un   a3  3n1  n  1.
2
a 
n1

3
3n1
1
Vậy công thức tổng quát của dãy là : un   7  4 3  7  4 3  n  1.
2

u  p
Dạng 3: Cho dãy {un} :  1
. Để xác định công thức tổng quát của
3
un  4un 1  3un 1 , n  2.









nó ta có thể làm như sau :
1
1
Ta đặt u1   a   . Khi đó bằng nạp ta chứng minh được :
2

a

1  n1
1

un   a3  3n1
2
a



 1
2
  2  u1  u1  1



  u 
3n1

1

u 1
2
1



3n1


.


3


u1 
6
Thí dụ : Xác định CTTQ của dãy {un} : 
u  24u 3  12 6u 2  15u  6 n  2.
n 1
n 1
n 1
 n

Đặt un  xvn  y . Thay vào công thức truy hồi của dãy, biến đổi và rút gọn ta được :









xvn  y  24 x3vn31  12 6 x 2 y  6 x 2 vn21  3 24 xy 2  8 6 xy  5 x vn1
 24 y 3  12 6 y 2  15 y  6.

6 x 2 y  6 x 2  0
Ta chọn y sao cho :  3
2


24 y  12 6 y  15 y  6  y

 y

1
.
6

Khi đó : xvn  24 x3vn31  3xvn1  vn  24 x2vn31  3vn1 . Ta chọn x 
 vn  4vn31  3vn 1 ; v1  2  vn 



1
2 5
2 



3n1



 2 5



3n1

1
6





Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201




1 
Suy ra un 
2 5
2 6 



3n1



 2 5



3n1

 1
  6 n  1.



u1  
 1
Dạng 4: Xác định CTTQ của dãy {un} : 
với
.
a
2
un  a  bun 1 n  2.
 ab  2


Khi đó ta đặt u1    acos  u 2  a  b  acos   a 1  2cos2   acos2 .
2

Bằng quy nạp ta ta chứng minh được un  acos  2n-1  n  1.

3

u1 
Thí dụ 1: Xác định CTTQ của {un} : 
.
2
u  2  u 2 n  2.
n 1
 n
3

Giải: Đặt   cos ,    ;   , khi đó : u1  2cos  u 2  2(1  2cos2 )  2cos2 .
4

2 
Bằng quy nạp ta chứng minh được un  2cos2n-1 n  1.

1

 x1  2
Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {xn} : 
.
2  2 1  un21

n  2.
 xn 
2
2  2 1  sin 2



1
2

Giải: Ta có : u1   sin  u2 
6

2

Bằng quy nạp ta chứng minh được là : un  sin



2 1  cos 

6

6


 sin
2
2.6





n 1

2 .6

n  2.

Thí dụ 3: Cho a, b là hai số dương không đổi thoả mãn a < b và hai dãy {an} , {bn}
ab

a1  2 ; b1  ba1
được xác định như sau : 
. Tìm CTTQ của an và bn.
a

b
n


1
n

1
a 
; bn  anbn 1 n  2.
 n
2
a
a

Giải: Ta có 0   1 nên ta đặt  cos với    0;  .
b
b
 2 

Khi đó : a1 
a b
a2  1 1 
2



bcos +b b 1  cos 


 bcos2
và b1  b.bcos2  bcos
2
2

2
2
2

bcos 2


2

 bcos
2



2  bcos  .cos 2  và b  bcos  .cos  .
2
2
22
2
22

Bằng quy nạp ta chứng minh được :
an  bcos



2

cos



2

2

.....cos 2



2

n





2

2

và bn  bcos cos

2

.....cos 2


2n

.

u1  a
Dạng 5: Để tìm CTTQ của dãy {un} : 
un 1  b
n  2.
un  1  bu
n 1

Ta đặt a  tan  và b  tan  , khi đó ta dễ dàng chứng minh được un  tan   (n  1)  .
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


u1  3

Thí dụ 1 : Cho dãy {un} : 
. Tính giá trị của u2011 .
un 1  2  1
n  2.
un  1  1  2 u
n 1




Giải: Ta có tan



8

tan

 2  1 và u1  3  tan



 tan







3

.

8  tan      . Bằng quy nạp ta chứng minh được :




3 8
1  tan .tan
3
8





  5 
un  tan   (n  1)  n  2. Suy ra u2011  tan   2010.   tan  
  2  3.
8
8
3
3
3 4 
u1  3

Thí dụ 2: Tìm CTTQ của dãy số {un} : 
un 1
n  2.
un 
1  1  un21

1
1
1
1
 1  2 . Đặt xn 
Giải: Ta có : 
, khi đó ta được dãy {xn} dược xác định như
un un 1
un 1
un
1

sau : x1 
và xn  xn1  1  xn21 .
3

Khi đó, u2 

3



1


 1  cos 3

Vì x1 
.
 cot  x2  cot  1  cot 2 
 cot

3
3
3
2.3
3
sin
3

Bằng quy nạp ta chứng minh được : xn  cot



n 1

2 .3

 un  tan


n 1

2 .3

n  1, 2,3........... 

BÀI TẬP DÀNH CHO ĐỘC GIẢ TỰ LUYỆN
Bài 1: Xác định công thức tổng quát của các dãy số sau đây :
3xn1  2 xn  0
n0
a) Cho x0  1;
n
b) Cho x0  1; 5xn1  4 xn  2
n  0.
n  0.
c) Cho x0  2; xn1  xn  2n2  n  4
4 xn1  7 xn  6n  5
n  0.
d) Cho x0  5;
xn1  xn  13
n  0.

e) Cho x0  3;
3xn1  2 xn  23
n  0.
f) Cho x0  4;
n
g) Cho x0  7;
xn1  3xn  2.3
n  0.
2 xn1  xn  2n2
n  0.
h) Cho x0  15;
7
n  0.
5
n  1.
j) Cho x0  1; x1  4; xn1  4 xn1  xn1  0
2
1
n  1.
k) Cho x0  4; x1  ; xn1  xn  xn1  0;
3
4
n 1.
l) Cho x0  3; x1  3  4 3 ; xn1  2 xn  13xn1  0

i) Cho x0  ; 11xn1  6 xn  2.3n  4n

m) Cho x0  5; x1  1;

xn1  6 xn  3xn1  14

n 1.

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)

Cho x0  4; x1  3; xn1  2 xn  3xn1  6
n  1.
Cho x0  2; x1  4; xn1  2 xn  xn1  11
n  1.
n
Cho x0  1; x1  5; xn1  8xn  15n1  4.2
n  1.
Cho x0  1; x1  4; xn1  3xn  4 xn1  3.4n
n  1.
Cho x0  4; x1  2; xn1  6xn  9xn1  5.3n ;
n  1.
2
Cho x0  1; x1  3; xn1  7 xn  12 xn1  (2n  3n 1).2n n  1.
Cho x0  2; x1  3; xn1  7 xn  10 xn1  (3n 1).5n
n  1.

Cho x0  1; x1  3; xn1  8xn  16xn1  (2n2  3).4n
n  1.

n
n
 2sin
3
3
n
n
w) Cho x0  1 ; x2  5 ; 2 xn1  7 xn  5xn1  2  5
n  1.

v) Cho x0  1; x1  6 ;

xn1  3xn  2 xn1  3cos

 xn 1  2 xn  5 yn
 yn 1  5 xn  3 yn

x) Cho x1  3; y1  2 ; 
y) Cho x1  2;

xn1 

2 xn  7
4 xn  3

n  1.

n  1.
n  1.

;

Bài 2: Xác định Công thức tổng quát của các dãy số đặc biệt sau :
1
2

xn 2 .xn
2002 xn1  2001xn  2000 xn 1 xn

a) Cho x0  1; x1  ;

xn 2 

b) Cho x0  1;

xn2  xn21.xn3
xn

x1  2;

c) Cho x1  1; xn1 
d) Cho u0  2;

2  3  xn2

u1  6  33 ;

với n  0.

n  0.

n 1

un1  3un  8un2  1

n 1


3
u1 
3

e) Cho 
u 2 3
un  n 1
n  2.

1  3  2 un 1






un    , n   .

Bài 3: Cho dãy số {un} thoả mãn như sau : u0  1, u1  9

u  10.u  u
n 1
n  2 n   , n  2.
 n

Chứng minh rằng k   , k  1.
a) uk2  un21  10uk uk 1  8
b) 5uk  uk 1  4 và 3.uk2  1 2 .
 x0  1; x1  0
.
 xn  2 xn 1  xn 2  2 n  2.

Bài 4: Cho dãy {xn} xác định như sau : 

Xác định số tự nhiên n sao cho : xn1  xn  22685.
 x0  1; x1  5
.
 xn 1  6 xn  xn 1 n  1.

Bài 5: Cho day {xn} được xác định bởi : 
Tìm nlim
 xn 2  ( TH&TT T7/253)


Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


1

1 2


2 2 
1
 1  1  an  
Bài 6: Xét dãy {an} : a1  và an 1  
 n  1.
2
2




Chứng minh rằng : a1  a2  a3  ......  a2005  1,03 (TH&TT T10/335)

Bài 7: Cho dãy số {an} : a0  2; an1  4an  15an2  60 n  1. Hãy xác định CTTQ của an và
chứng minh rằng số

1
 a2n  8 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 3 số nguyên
5

liên tiếp với n  1. (TH&TT T6/262)
Bài 8: Cho dãy số  p(n) được xác định như sau :
p(1)  1; p(n)  p(1)  2 p(2)  .......  (n 1) p(n 1) n  2. Xác định p(n) . (TH&TT T7/244).
u  2
Bài 9: Xét dãy {un} :  1
. Chứng minh rằng với mỗi số
3
2
un  3un 1  2n  9n  9n  3 n  2.

p 1

nguyên tố p thì 2009 ui chia hết cho p (TH&TT T6/286).
i 1

x  a
Bài 10: Dãy số thực {xn} :  0

.

2

 xn 1  2 xn  1 n  0.
Tìm tất cả giá trị của a để xn  0 n  0 . (TH&TT T10/313)
xn1.xn
1
Bài 11: Dãy số {xn} : x0  1; x1  và xn2 
n  0.
2002 xn1  2001xn  2000 xn 1.xn
2

Hãy tìm CTTQ của xn (TH&TT T8/298).
1

a1  2
Bài 12: Cho dãy số {an} được xác định như sau {an} : 
an 1
an 
n  1.
2nan 1  1


Tính tổng S  a1  a2  ..........  a2010.

Bài 13: Cho dãy số được xác định bởi : a1  1.2.3; a2  2.3.4; ......; an  n(n  1)(n  2).
Đặt Sn  a1  a2  ....  an . Chứng minh rằng 4Sn  1 là số chính phương .
( HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B)
Bài 15: Cho hai dãy số {an} và {bn} được xác định như sau :
a0  2 ; b0  1

.
2anbn

an 1  a  b ; bn 1  an 1bn n  0.
n
n


Chứng minh rằng các dãy {an} và {bn} có cùng giới hạn chung khi n   .
Tìm giới hạn chung đó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2)
Bài 16: Cho các số nguyên a, b. Xét dãy số nguyên {an} được xác định như sau :
a0  a; a1  b; a2  2b  a  2
.

an 3  3an  2  3an 1  an n  0.

a) Tìm CTTQ của an
b) Tìm các số nguyen a, b để an là số chính phương với n  1998 .
(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B).
Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

a  3
Bài 17: Cho dãy số (an) :  0

n

. Tính

1

a

. ( Trung Quốc – 2004).

i 1 i

 3  an  6  an 1   18 n  1.
a0  1
Bài 18: Cho dãy số (an) : 
. Chứng minh rằng :
7an 1  45an21  36
a


n

1.
 n

2

a) an là số nguyên dương với n  0.

b) an1an  1 là số chính phương với n  0.

( Trung Quốc – 2005).

u1  1; u2  2
un2  1
Bài 19: Cho dãy số (un) : 
. Chứng minh rằng
là số chính
3
un  4un 1  un 2 n  3.

phương ( Chọn đội tuyển Nghệ An – 2007 ).

3
b0  12; b1 
Bài 20: Cho dãy số (bn) : 
. Tính
2
b  b  b . 3 n  2.
 n n 1 n  2

2007

b
i 0

i

( Moldova 2007).

u1  1; un  0 n  1

Bài 21: Cho dãy số {un} được xác định như sau : 
.
1  un21  1
n  2.
un 
un 1


1
Chứng minh rằng S  u1  u2  .....  un  1  1  n1  . (HSG Quảng Bình 2008 – 2009).
4 2 
3
Bài 22: Cho đa thức P( x)  x  6 x  9 và Pn ( x)  P( P(....( P( x)))...) ( n dấu ngoặc). Tìm số

nghiệm của P(x) và Pn(x) ? ( Dự tuyển Olympic).
u0  u1  1
.
un 1  14un  un 1 n  1.

Bài 23: Cho dãy số (un) được xác định như sau: 

Chúng minh rằng với n  0 thì 2un  1 là một số chính phương.
( Chọn đội tuyển Romania 2002)

Trên đây là một phân nhỏ kiến thức về bài toán xác định công thức tổng quát của một dãy

số mà tôi đã lĩnh hội được và được xin trình bày cho các bạn tham khảo. Mong nhân được
những ý kiến đánh giá chân thật từ mọi người. Xin chân thành cảm ơn!

Name : Mai Xuân Việt
Address : Đội II – thôn Dƣơng Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh
Quảng Ngãi .
Email :
Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201


Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201