Đề khảo sát học sinh giỏi môn toán lớp 9 năm học 2017_2018

TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 9 LẦN 1
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút

Đề thi gồm: 01 trang.
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1. (2,0 điểm)
a 3  a  2b 

b2
a

�a 3  a 2  ab  a 2b
b �
:�

�
2
2
a b
a b �
�

Cho biểu thức P  �
1 b �
1
 2 �a  a  b
�

a
a �
�
( Trong đó: a, b  0, a �b, a  b �a 2 )
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm a, b biết P  1 và a 3  b3  7 .
Câu 2 (2,0 điểm)





a) Tìm các số nguyên ( x, y ) thỏa mãn phương trình: x2017  y(y  1)(y  2)(y  3)  1.
b) Chứng minh rằng: Với ba số tự nhiên a, b, c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có
P   a  b  c    a  b  c    b  c  a    a  b  c  chia hết cho 96.
3

3

3

3

Câu 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D . Gọi E , F theo thứ tự
là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC . Đặt AC  b, AB  c, BC  a, AD  d .
a) Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF theo d .
b) Chứng minh rằng :

2 1 1

  .
d
b c
1

c) Chứng minh rằng :

sin

A
2



1
sin

B
2



1
sin

C
2

6

Câu 4 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
x 1
x

x  m 1 x  m  2

Câu 5 (1,0 điểm). Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a  b  c �2017 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P

5a 3  b3 5b3  c3 5c3  a3


ab  3a 2 bc  3b 2 ca  3c 2

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
====== HẾT =====
Họ tên học sinh: ……..........................................……… SBD: ………….Phòng thi số: .............