ĐỀ CƯƠNG ôn THI THPT môn TOÁN năm 2018 CHÍNH THỨC

Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
NỘI DUNG TRỌNG TÂM ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN
Năm học 2017-2018 với sự thay đổi toàn diện hình thức thi THPTQG môn Toán.Nhằm nâng cao chất lượng
ôn thi của thầy và trò.Nhóm toán 12 trường THPT Nhữ Văn Lan biên soạn lại bộ đề cương ôn thi QG môn
toán.Để phù hợp với yêu cầu, trong bộ đề cương này chúng tôi chỉ giới thiệu các dạng toán, tóm tắt lí thuyết
và phương pháp giải cơ bản và một số lượng nhỏ ví dụ minh họa.hệ thống bài tập chúng tôi biên soạn dưới
dạng phiếu học tập dưới mỗi chủ đề.Hy vọng cuốn đề cương sẽ là một tài liệu hữu ích để thầy và trò trường
THPT Nhữ Văn Lan ôn tập hiệu quả hơn ,từ đó đạt kết quả cao hơn ở môn toán trong năm học 2017-2018
và những năm học tiếp theo.
A. Giải tích gồm chín chủ đề:
1. Chuyên đề hàm số.
2. Chuyên đề mũ - lôgarit
3. Chuyên đề nguyên hàm - tích phân và ứng dụng.
4. Chuyên đề số phức.
5. Chuyên đề các bài toán thực tế
6. Chuyên đề tổ hợp – xác suất
7. Chuyên đề dãy số - cấp số.
8. Chuyên đề lượng giác.
9. Chuyên đề giới hạn- hàm số liên tục
B. Hình học gồm ba chủ đề:
10. Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian.
11. Chuyên đề đa diện - nón – trụ - cầu.
12. Phương pháp toạ độ trong không gian.
A. GIẢI TÍCH
1. Chuyên đề hàm số.
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Bài toán 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y = f ( x )
+) f ' ( x ) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f ' ( x ) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) .
+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bài toán 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu trên khoảng (a,b)

Trang : 1
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) ≥ 0∀x ∈ ( a, b ) .

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a, b ) thì f ' ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( a, b )
ax + b
*) Riêng hàm số: y =
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:

cx + d
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D
+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y ' > 0∀x ∈ D

 y ' > 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −
c

 y ' < 0∀x ∈ ( a, b )

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x ≠ −
c

3
2
*) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên R
+) Tính y ' = 3ax 2 + 2bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức ∆ .
a > 0
+) Để hàm số đồng biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0
a > a
+) Để hàm số nghịch biến trên R ⇔ 
∆ ≤ 0

3

2
Chú ý: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d
+) Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
sao cho x1 − x 2 = k .

+) Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
sao cho x1 − x 2 = k .
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 1 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực đại của hàm sô.
+) nếu f ' ( x 0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định tại x 0 và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0

thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm sô.
*) Quy tắc 1:
+) tính y '
+) tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y ' = 0 hoặc y ' không xác định)
+) lập bảng xét dấu y ' . dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Dấu hiệu 2:
cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp 2 tại x 0 .

f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 

f " ( x 0 ) < 0



f ' ( x 0 ) = 0
+) x 0 là điểm cđ ⇔ 

f " ( x 0 ) > 0

Trang : 2
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
*) Quy tắc 2:
+) tính f ' ( x ) ,f " ( x ) .

+) giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.

+) thay nghiệm vừa tìm vào f " ( x ) và kiểm tra. từ đó suy kết luận.
Bài toán 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax 2 + 2bx + c
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0
2. Để hàm số có không cực đại, cực tiểu ⇔ y ' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0
3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B ) . Phần dư trong phép chia này là y = Ax + B
chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.
Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương

3
2
Cho hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c có đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b )
1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab ≥ 0 .
a > 0
+) Nếu 
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại.
b ≥ 0
a < 0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu.
b ≤ 0
2. hàm số có 3 cực trị khi ab < 0 (a và b trái dấu).
a > 0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
b < 0
a < 0
+) Nếu 
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
b > 0

3. Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và A ∈ Oy , A ( 0; c ) , B ( x B , y B ) , C ( x C , y C ) , H ( 0; y B ) .
+) Tam giác ABC luôn cân tại A
+) B, C đối xứng nhau qua Oy và x B = − x C , y B = yC = y H
uuur uuur
+) Để tam giác ABC vuông tại A: AB.AC = 0
+) Tam giác ABC đều: AB = BC
1
1

+) Tam giác ABC có diện tích S: S = AH.BC = x B − x C . y A − y B
2
2
4
2
4. Trường hợp thường gặp: Cho hàm số y = x − 2bx + c
+) Hàm số có 3 cực trị khi b > 0
+) A, B, C là các điểm cực trị
A ( 0;c ) , B b,c − b 2 , C − b;c − b 2

(

) (

)

+) Tam giác ABC vuông tại A khi b = 1
+) Tam giác ABC đều khi b = 3 3
1
·
0 khi b =
+) Tam giác ABC có A
3
= 120
3
+) Tam giác ABC có diện tích S0 khi S0 = b 2 b
b3 + 1
R
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 0 khi 2R 0 =
b

Trang : 3
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
+) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r0 khi r0 =

b2
b3 + 1 + 1

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 2 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D.
M ≥ f ( x ) ∀x ∈ D

f ( x)
+) M là GTLN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: M = max
D
∃
x
∈

D
:
f
x
=
M
(
)

0
0

m ≤ f ( x ) ∀x ∈ D
f ( x)
+) m là GTNN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: m = min
D
∃
x
∈
D
:
f
x
=
m
(
)
 0
0

+) Nhận xét: Nếu M, N là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì phương trình
f ( x ) − m = 0 & f ( x ) − M = 0 có nghiệm trên D.
2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dung cho D là một khoảng)
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên D.
- Lập BBT cho hàm số trên D.
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho [ a; b ] ) . Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ a; b ] .

- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên [ a, b ] .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2 ∈ [ a, b ] .

- Tính 4 giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x 2 ) . So sánh chúng và kết luận.
3. Chú ý:
1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.
2. Hàm số liên tục trên đoạn [ a, b ] thì luôn đạt GTLN, NN trên đoạn này.

3. Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( b ) , min f ( x ) = f ( a )

4. Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến trên [ a, b ] thì max f ( x ) = f ( a ) , min f ( x ) = f ( b )

5. Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm

f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x )
khi min
D
D

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 3 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim+ y = +∞ hoặc lim+ y = −∞ hoặc lim− y = +∞ hoặc lim− y = −∞
x →a

x →a

x →a

x →a

+) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y = b hoặc lim y = b
x →+∞

x →−∞

2. Dấu hiệu:

Trang : 4
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử ≤ bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm căn thức dạng: y =
có TCN. (Dùng liên hợp)
− ,y =
− bt, y = bt −
x
+) Hàm y = a , ( 0 < a ≠ 1) có TCN y = 0

+) Hàm số y = log a x, ( 0 < a ≠ 1) có TCĐ x = 0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.
+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x →+∞

x →−∞

4. Chú ý:
+) Nếu x → +∞ ⇒ x > 0 ⇒ x 2 = x = x
+) Nếu x → −∞ ⇒ x < 0 ⇒ x 2 = x = − x
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 4 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
y ' = 0 có hai
nghiệm phân
biệt
hay
∆ y/ > 0

a>0

a<0

y ' = 0 có hai
nghiệm
kép
hay ∆ y/ = 0

y ' = 0 vô
nghiệm hay
∆ y/ > 0

Trang : 5
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax 4 + bx 2 + c
x = 0
3
2
+) Đạo hàm: y ' = 4ax + 2bx = 2x ( 2ax + b ) , y ' = 0 ⇔ 
2
 2ax + b = 0

+) Để hàm số có 3 cực trị: ab < 0
a > 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
b < 0
a < 0
- Nếu 
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
b > 0
+) Để hàm số có 1 cực trị ab ≥ 0
a > 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại
b ≥ 0
a < 0
- Nếu 
hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu
b ≤ 0
a>0
y' = 0
có
3
nghiệm phân biệt
hay ab < 0

a<0

y ' = 0 có đúng 1
nghiệm
hay

ab ≥ 0

ax + b
cx + d
 d
+) Tập xác định: D = R \  − 
 c
ad − bc
+) Đạo hàm: y =
2
( cx + d )
- Nếu ad − bc > 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
- Nếu ad − bc < 0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.
d
a
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = − và TCN: y =
c
c
 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ; ÷
 c c
ad − bc > 0
ad − bc < 0
3. Định hình hàm số y =

Trang : 6
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan

n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 5 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Phương pháp:
Cho 2 hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f ( x ) = g ( x )
+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F ( x, m ) = 0 (phương trình ẩn x tham số m)
+) Cô lập m đưa phương trình về dạng m = f ( x )
+) Lập BBT cho hàm số y = f ( x ) .

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
F ( x, m ) = 0
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm
x = x 0 là 1 nghiệm của phương trình.
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử
x = x0

F ( x, m ) = 0 ⇔ ( x − x 0 ) .g ( x ) = 0 ⇔ 
g ( x ) = 0 (là g ( x ) = 0 là phương trình bậc 2 ẩn x
+) Phân tích:
tham số m ).
g( x) = 0
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2
.
Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.
*) Quy tắc:
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F ( x, m ) = 0 (1). Xét hàm số y = F ( x, m )

Trang : 7
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.
(2TH)
- Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R ⇔ hàm
số không có cực trị ⇔ y ' = 0 hoặc vô nghiệm
hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ y ' ≤ 0
- Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd .yct > 0
(hình vẽ)

+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m )
cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và
ycd .yct < 0

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m )
cắt trục hoành tại 2 điểm phân
biệt ⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và
ycd .yct = 0

Bài toán: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:
1. Định lí vi ét:
b
c
*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x 2 thì ta có: x1 + x 2 = − , x1x 2 =
a
a
3
2
x
,
x
,
x
*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax + bx + cx + d = 0 có 3 nghiệm 1 2 3 thì ta có:
b
c
d

x1 + x 2 + x 3 = − , x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = , x 1x 2 x 3 = −
a
a
a
2.Tính chất của cấp số cộng:
+) Cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a + c = 2b
3. Phương pháp giải toán:
b
+) Điều kiện cần: x0 = −
là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.
3a
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 6 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC
Phương pháp
Cho hàm số y =

ax + b
( C ) và đường thẳng d : y = px + q . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
cx + d

Trang : 8
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

ax + b
= px + q ⇔ F ( x, m ) = 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).
cx + d
*) Các câu hỏi thường gặp:

d
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt khác − .
c
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt
d
x1 , x 2 và thỏa mãn : − < x1 < x 2 .
c
3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt
d
x1 , x 2 và thỏa mãn x1 < x 2 < − .
c
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) ⇔ ( 1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 và
d
thỏa mãn x1 < − < x 2 .
c
5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:
+) Đoạn thẳng AB = k
+) Tam giác ABC vuông.
+) Tam giác ABC có diện tích S0
* Quy tắc:
+) Tìm điều kiện tồn tại A, B ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt.
+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)
+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.

*) Chú ý: Công thức khoảng cách:
+) A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) : AB =

( xB − xA )

2

(

+ y B − yA

Ax 0 + By 0 + C
M ( x 0 ; y 0 )
⇒ d ( M, ∆ ) =

+) ∆ : Ax 0 + By0 + C = 0
A 2 + B2

)

2

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 7 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4
4
2
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax + bx + c = 0 (1)
1. Nhẩm nghiệm:

x = x 0 là một nghiệm của phương trình.

x = ±x0
f ( x, m ) = ( x 2 − x 02 ) g ( x ) = 0 ⇔ 
g ( x ) = 0
- Khi đó ta phân tích:
g( x) = 0
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2
2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
2
t = x2 , ( t ≥ 0)
- Đặt
. Phương trình: at + bt + c = 0 (2).
 t1 < 0 = t 2
t = t = 0
t ,t
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm 1 2 thỏa mãn:  1 2
 t1 < 0 < t 2
0 < t = t
t ,t
1
2
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm 1 2 thỏa mãn: 
- Nhẩm nghiệm: Giả sử

Trang : 9
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

t1 , t 2 thỏa mãn: 0 = t1 < t 2
t ,t
0 < t1 < t 2
- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm 1 2 thỏa mãn:
y = ax 4 + bx 2 + c ( 1)
3. Bài toán: Tìm m để (C):
cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng.
2
2
t = x , ( t ≥ 0)
- Đặt
. Phương trình: at + bt + c = 0 (2).
t ,t ( t < t )
t = 9t1
- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương 1 2 1 2 thỏa mãn 2
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm

.
- Kết hợp

t 2 = 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 8 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm M ( x 0 ; y0 ) ∈ ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f ' ( x ) . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' ( x 0 )

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = f ' ( x ) ( x − x 0 ) + y 0
Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi ( ∆ ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm. Khi đó x 0 thỏa mãn: f ' ( x 0 ) = k (*) .
- Giải (*) tìm x 0 . Suy ra y 0 = f ( x 0 ) .

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x 0 ) + y 0
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm A ( a; b ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
- Gọi ( ∆ ) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó ( ∆ ) : y = k ( x − a ) + b (*)


f ( x ) = k ( x − a ) + b ( 1)
- Để ( ∆ ) là tiếp tuyến của (C) ⇔ 
có nghiệm.
( 2)

f ' ( x ) = k
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình
tiếp tuyến cần tìm.
* Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M ( x 0 ; y 0 ) thuộc (C) là: k = f ' ( x 0 )

2. Cho đường thẳng ( d ) : y = k d x + b
+) ( ∆ ) / / ( d ) ⇒ k ∆ = k d

+) ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒ k ∆ .k d = −1 ⇔ k ∆ = −

1
kd

k∆ − kd
+) ( ∆, Ox ) = α ⇒ k ∆ = ± tan α
1 + k ∆ .k d
3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
3
2
4. Cho hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d, ( a ≠ 0 )
+) Khi a > 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a < 0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

+) ( ∆, d ) = α ⇒ tan α =

Trang : 10
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 9 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
2. Chuyên đề mũ – lôgarit

LŨY THỪA
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
α = n ∈ N*
α=0

Cơ số a
a∈R
a≠0

α = −n ( n ∈ N* )

a≠0

m
(m ∈ Z, n ∈ N* )
n
α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N* )
α=

Luỹ thừa a α
a α = a n = a.a......a (n thừa số a)
aα = a0 = 1
1
a α = a −n = n
a
m
n

a>0

a = a = n a m ( n a = b ⇔ b n = a)

a>0

a α = lim a rn

α

2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
α

aα
aα
a
α−β
α β
α .β
α
α α
a .a = a
;
=
a
;
(a
)
=

a
;
(ab)
=
a
.b
;
=
 ÷
aβ
bα
b
•
a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ;
0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có:
a m < bm ⇔ m > 0 ;
a m > bm ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
α

β

α+β

3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có:

n

ab = n a. n b ; n

a na
=
(b > 0) ;
b nb

n

a p = ( n a ) (a > 0) ;

p q
=
thì n a p = m a q (a > 0) ; Đặc biệt
n m
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a < n b .
Neáu

p

n

m n

a = mn a

a = mn a m

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a < n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 10 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa

Trang : 11
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log a b = α ⇔ a α = b
a > 0, a ≠ 1
Chú ý: log a b có nghĩa khi 
b > 0
lg b = log b = log10 b
• Logarit thập phân:
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

n

ln b = log e b (với e = lim  1 + 1 ÷ ≈ 2, 718281 )

 n

2. Tính chất
log a a = 1 ;
log a a b = b ;
• log a 1 = 0 ;
a loga b = b (b > 0)
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log a b > log a c ⇔ b > c
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b > log a c ⇔ b < c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:
b
• log a (bc) = log a b + log a c • log a  ÷ = log a b − log a c • log a b α = α log a b
c
4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có:
log a c
• log b c =
hay log a b.log b c = log a c
log a b
1
1
• log a b =
• log a α c = log a c (α ≠ 0)
log b a
α
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 11 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ≠ 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị:
T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
y

y

y=a

y=a

x

1

x

1

x

a> y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
2) Hàm số logarit
• Tập xác 1
định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị:

T = R.

01
Trang : 12
Lưu hành nội bộ

x


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:
y
y

y=loga
x
1

O

y=logax

x

O

0<1

a>
3) Giới hạn đặc biệt 1
x

1
1
• lim(1 + x) x = lim 1 + ÷ = e
x →0
x →±∞ 
x
4) Đạo hàm

• ( a x ) ′ = a x ln a ;

ln(1 + x)
=1
x →0
x

ex − 1
=1
x →0

x

• lim

• lim

( a u ) ′ = a u ln a.u′

( ex ) ′ = ex ;
• ( log a x ) ′ =

x

1

( eu ) ′ = e u .u′
1
;
x ln a

( loga u ) ′ =
( ln u ) ′ = u′

( ln x ) ′ = 1 (x > 0);
x

u′
u ln a

u

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 12 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
b > 0
ax = b ⇔ 
 x = log a b

Với a > 0, a ≠ 1:

1. Phương trình mũ cơ bản:

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1:

a f ( x) = a g( x ) ⇔ f (x) = g(x)
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N) = 0
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a f (x ) = bg(x ) ⇔ f (x) = ( log a b ) .g(x)
b) Logarit hoá:
c) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:
• Dạng 2:

 t = a f (x ) , t > 0
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P(a ) = 0 ⇔ 
 P(t) = 0
αa 2f (x) + β(ab)f ( x ) + γb 2f (x ) = 0

f (x)

f (x)

Chia 2 vế cho b

2f ( x)

a
, rồi đặt ẩn phụ t =  ÷
b

• Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f ( x ) ⇒ b f (x ) =
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Trang : 13
Lưu hành nội bộ

1
t


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
Xét phương trình:
f(x) = g(x)

(1)
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
A = 0
2
2
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ 
• Phương trình A + B = 0 ⇔ 
B = 0
B = 0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
f
(x)
≥
M

f (x) = M
Nếu ta chứng minh được: 
thì (1) ⇔ 
g(x) ≤ M
g(x) = M
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 13

và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Phương trình logarit cơ bản
log a x = b ⇔ x = a b
Với a > 0, a ≠ 1:
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a ≠ 1:

f (x) = g(x)
log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f (x) > 0 (hoaëc g(x) > 0)

b) Mũ hoá
log a f (x) = b ⇔ a loga f ( x ) = a b
Với a > 0, a ≠ 1:
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: a log b c = clog b a
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 14 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.
 a > 1


f (x) > g(x)
f (x)
g(x )
a
>a
⇔
 0 < a < 1

 f (x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Trang : 14
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
a > a N ⇔ (a − 1)(M − N) > 0
M

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 15 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
 a > 1

f (x) > g(x) > 0
log a f (x) > log a g(x) ⇔ 
 0 < a < 1

 0 < f (x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
log a A
> 0 ⇔ (A − 1)(B − 1) > 0
log a B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ;
log a B
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 16 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
HỆ MŨ-LÔGARIT
A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:
• Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ.
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 17 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
3. Chuyên đề nguyên hàm - tích phân và ứng dụng.
ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F'(x) = f (x) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f (x)dx = F(x) + C , C ∈ R.

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
• ∫ f '(x)dx = f (x) + C • ∫ [ f (x) ± g(x) ]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx • ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k ≠ 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1)

∫ k.dx = k.x + C

2)

x n +1
∫ x dx = n + 1 + C
n

Trang : 15
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

1

1
+C
x

1

3)

∫x

5)

∫ (ax + b)

7)

∫ sin x.dx = − cos x + C

8)

∫ cos x.dx = sin x + C

9)

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

10)

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

11)

∫ cos

15)

∫ e dx = e

2

dx = −

1

n

dx = −

1
+C;
a(n − 1)(ax + b) n −1

1

1
2

dx = ∫ (1 + tan 2 x)dx = tan x + C

x
1
1
dx = tan(ax + b) + C
13) ∫
2
cos (ax + b)
a

17)
19)
21)
23)
25)
27)
29)

x

x

+C

∫ x dx = ln x + C

4)
6)

1

1

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C
1

1

12)

∫ sin

16)

∫e

2

dx = ∫ (1 + cot 2 x)dx = − cot x + C

x
1
1
dx = − cot(ax + b) + C
14) ∫
2
sin (ax + b)
a
−x

dx = −e − x + C

1 (ax + b)
1 (ax + b) n +1
(ax + b)
n
e
dx
=
e
+
C
18)
(ax
+
b)
.dx
=
.
+ C (n ≠ 1)
∫
∫
a
a
n +1
1
ax
x
dx = arctan x + C
20) ∫ 2

a
dx
=
+C
∫
ln a
x +1
1
1 x −1
1
1
x
dx = arctan + C
22)
∫ x 2 − 1 dx = 2 ln x + 1 + C
2
2
x +a
a
a
1
1
1
x −a
dx = arcsin x + C
24) ∫
∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C
1− x2
1
x

1
dx = ln x + x 2 ± 1 + C
26) ∫ 2
∫ a 2 − x 2 dx = arcsin a + C
x ±1
1
2
2
x 2
a2
x
2
2
2
dx
=
ln
x
+
x
±
a
+
C
28)
a
−
x
dx
=

a
−
x
+
arcsin + C
∫ x2 ± a2
∫
2
2
a
2
x
a
2
2
2
2
2
2
∫ x ± a dx = 2 x ± a ± 2 ln x + x ± a + C

∫

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 18 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
+ Phương pháp
+ Phương pháp biến đổi đưa về bảng công thức cơ bản
+ Cách giải:
'

+Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ f [ u(x) ] .u (x)dx = F[u(x)] + C
( F(u) là một nguyên hàm của f(u) ).
Cốt lõi của phương pháp là dùng 1 biến phụ u đặt và chuyển đổi biểu thức f(x)dx ban đầu về toàn bộ
biểu thức g(u)du đơn giản và dễ tìm nguyên hàm hơn.Cần nhận dạng được các mối liên quan giữa biểu thức
và đạo hàm với nó ví dụ như:
1
t anx ¬ 
→
;s inx ¬ 
→ cos x;....
cos 2 x

- Ở phương pháp này người ta chia ra các dạng như sau :

Trang : 16
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
+ Dạng 1:Hàm số cần tính tích phân có hoặc biến đổi được biểu thức và đạo hàm của biểu thức đó:

∫

f (u(x)).u , (x).dx

+ Dạng 2: Nếu hàm số cần lấy tích phân có dạng :
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức
f(x) chứa biểu thức

a 2 − x 2 . Đặt x = |a|sint (-

Π
Π
≤t≤ )
2
2

Π
Π
2
2
Π
|a|
 
( t ∈ [ 0; Π ] \   )
x 2 − a 2 . Đặt x =
cos t
2
2
2
a 2 + x 2 hoặc a + x . Đặt x = |a|tgt ( −

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 19 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức
∫ u(x).v '(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx

(*)

+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng ∫ f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số mũ
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số logarit
-f(x) là hàm số lượng giác.g(x) là hàm số đa thức
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm mũ.g(x) là hàm lôgarit
-f(x) là hàm đa thức.g(x) là hàm mũ
Cách giải : - Dùng công thức (*)
- Dùng sơ đồ (thường dùng để làm trắc nghiệm)
Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

∫ P(x) cosx dx ∫ P(x)sinx dx

∫ P(x)e dx
x

u
dv

P(x)
x

e dx

P(x)

P(x)

cos xdx

sin xdx

∫ P(x) lnx dx
lnx
P(x)

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 20 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
TÍCH PHÂN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Khái niệm tích phân
• Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ∫ f (x)dx .
a

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a)
a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... = F(b) − F(a)
Trang : 17
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************

• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f (x)dx
a

2. Tính chất của tích phân
0

b

• ∫ f (x)dx = 0

a

• ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx

0
b

b

a

a

a

b

b

• ∫ [ f (x) ± g(x) ]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx

b

b

• ∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k: const)
a
b

c

a

b

a

a

c

• ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a

b

• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ 0
a

b

b

a

a

• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u(b)

a

u(a )

∫ f [ u(x)] .u '(x)dx =

∫

f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a,
b ∈ K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu
b

a

a

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

∫ vdu
a

- Khi tính tích phân cần sử dụng thành thạo và linh hoạt MTBT.
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 21 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

S = ∫ f (x)dx

(1)

a

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

là:

S = ∫ f (x) − g(x)dx

(2)

a

Chú ý:

Trang : 18
Lưu hành nội bộ

b

dễ tính hơn ∫ udv .
a


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
b

• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

∫
a

b

f (x)dx = ∫ f (x)dx
a

• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

∫
a

c

d

b

f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a

=

c

d

c

d

b

a

c

d

∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y)
(g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 22 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V = ∫ S(x)dx
a

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V = π∫ f 2 (x)dx
a

Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh
trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d

là:

V = π∫ g 2 (y)dy
c

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 23 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
4. Chuyên đề số phức.
I – LÝ THUYẾT CHUNG
1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức:
C
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi
(a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
• z là số thực
⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Trang : 19
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
a = a '
a + bi = a’ + b’i ⇔ 
(a, b, a ', b ' ∈ R)
b = b '

• Hai số phức bằng nhau:

Chú ý: i 4k = 1; i 4k +1 = i; i 4k + 2 = -1; i 4k + 3 = -i
r
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u = (a; b)
trong mp(Oxy) (mp phức)

.

y

M(a;b)

b
O

x

a

3. Cộng và trừ số phức:
• ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i
• ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
• u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
• ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i

• k(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
z  z
• z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  1 ÷ = 1 ;
z.z = a 2 + b 2
 z 2  z2
• z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = − z
6. Môđun của số phức : z = a + bi
uuuu
r
• z = a 2 + b 2 = zz = OM
• z ≥ 0, ∀z ∈ C ,

z =0⇔ z=0
z
z
=
•
z' z'

• z.z ' = z . z '
7. Chia hai số phức:
• Chia hai số phức:
−1
•z =

1
2

z (z ≠ 0)

• z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z'

a+bi
aa'-bb' ab '+ a ' b
= 2
+
i.
a'+b'i a ' + b '2 a '2 + b '2

z
8. Căn bậc hai của số phức:

•

z'
z '.z z '.z
= z ' z −1 = 2 =
z
z.z
z

•

z'
= w ⇔ z ' = wz
z

x 2 − y 2 = a
• z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔ 

 2xy = b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
2

• Hai căn bậc hai của a < 0 là ± − a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ≠ 0 ).
∆ = B2 − 4AC
−B ± δ
• ∆ ≠ 0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 =
, ( δ là 1 căn bậc hai của ∆)
2A

Trang : 20
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
B
2A
Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).

• ∆ = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z 2 = −

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho số phức z =

3 1
− i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2
2 2

Giải:
a) Vì z =

3 1
3 1
− i ⇒z =
+ i
2 2
2 2
2

 3 1  3 1 2
3 1
3
− i÷
b) Ta có z2 = 
= + i −
i= −
i
÷
2

2 2
 2 2  4 4
2

 3 1 
3 1 2
3
1
3
⇒( z ) = 
+
i
=
+
i
+
i
=
+
i
÷
 2 2 ÷ 4 4
2
2
2


1
3  3 1 
3 1 3

3
i ÷
+
i
=
+
i
+
i
−
=i
( z )3 =( z )2 . z =  +
÷
÷ 2 2 ÷ 4 2 4
2
2
4



2

3 1 1
3
3 + 3 1+ 3
− i+ −
i=
−
i
2 2 2 2

2
2
Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i
⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i
1

 x = − 7
3x + y = 2y − 1
⇔
Giải hệ này ta được: 
5x = x − y
y = 4

7
Ví dụ 3: Tính:
i105 + i23 + i20 – i34
Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:
Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1…
Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N*
Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N.
Ta có: 1 + z + z2 = 1 +

−n

−n
1
Nếu n nguyên âm, i = (i ) =  ÷ = ( −i ) .
i

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:
105
i + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

n

-1 -n

16

8

 1+ i 
1− i 
Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = 
÷ +
÷
 1− i 
 1+ i 
1 + i (1 + i)(1 + i) 2i
=
= =i
Giải: Ta có:
1− i
2
2

Trang : 21
Lưu hành nội bộ

Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
16

8

1− i
1+ i 
 1 − i  =i16 +(-i)8 = 2
= −i . Vậy 
⇒
+
÷
÷
1+ i
 1− i 
1+ i 

Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z + 3z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i )
3

⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 ⇔ a =

15
; b = −10 .
4

Vậy phần ảo của z bằng -10
Ví dụ 6: Cho z1 = 3 + i, z 2 = 2 − i Tính z1 + z1z 2
Giải:
z1 + z1z 2 = 3 + i + ( 3 + i ) ( 2 − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1z 2 = 10 2 + 0 2 = 10
Ví dụ 7: Cho z1 = 2 + 3i, z 2 = 1 + i . Tính z1 + 3z 2 ;

z1 + z 2
3
; z1 + 3z 2
z2

Giải:
+) z1 + 3z 2 = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i ⇒ z1 + 3z 2 = 52 + 6 2 = 61
+)

z1 + z 2 3 + 4i ( 3 + 4i ) ( 1 − i ) 7 + i
z +z
49 1 5 2
+ =
=
=
=
⇒ 1 2 =
2
z2
4 4

2
z2
1+ i
1− i
2

3
3
2
3
+) z1 + 3z 2 = 8 + 36i + 54i + 27i − 3 − 3i = −49 + 6i ⇒ z1 + 3z 2 = 2437
Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i
Giải: Giả sử m+ni (m; n ∈ R) là căn bậc hai của z
Ta có: (m + ni) 2 = 5 + 12i
⇔ m 2 + 2mni + n 2i 2 = 5 + 12i ⇔ m 2 + 2mni − n 2 = 5 + 12i
m 2 − n 2 = 5(1)
m 2 − n 2 = 5

⇔
⇔
6
2mn = 12
m = (2)

n
2

6
Thay (2) vào (1) ta có:  ÷ − n 2 = 5 ⇔ 36 − n 4 = 5n 2
n

4
2
⇔ n + 5n − 36 = 0 ⇔ n 2 = 4; n 2 = −9(loai)
n = 2 ⇒ m = 3
 n = −2 ⇒ m = −3

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i
Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15
Giải:
Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i
z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 24 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm mô đun của số phức z =
Giải: Ta có : z =

5+i
1
= 1+ i
5
5

(1 + i)(2 − i)
1 + 2i

Trang : 22
Lưu hành nội bộ

Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
2

1
26
Vậy, mô đun của z bằng: z = 1 +  ÷ =
5
5
(1 − i 2) ( 1 + i )
Ví dụ 2: Tìm môđun của z biết z + 2z =
(1)
2−i
(1 − i 2) ( 1 + 2i + i 2 ) 2i − 2 2i 2
(1)
⇔
a
+
bi
+
2a
−
2bi
=
Giải:

=
2−i
2−i
(2i + 2 2) ( 2 + i ) i(4 + 2 2) + 4 2 − 2
⇔ 3a − bi =
=
4 − i2
5
4 2 −2
−4 − 2 2
⇔a=
;b =
15
5
2

32 + 4 − 16 2 + 144 + 72 + 144 2
225 + 128 2
=
225
15
5(z + i)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
= 2 − i (1) . Tính môđun của số phức ω = 1 + z + z 2 .
z +1
Giải: Giả sử z=a+bi
5(a − bi + i)
(1) ⇔
= 2 −i
a + bi + 1

⇒z =

⇔ 5a − 5i(b − 1) = 2a + 2bi + 2 − ai − bi 2 − i ⇔ 3a − 2 − b − i(5b − 5 − 2b + a + 1) = 0
3a − 2 − b = 0 a = 1
⇔
⇒
⇒ z = 1+ i
3b + a − 4 = 0 b = 1
ω = 1 + 1 + i + 1 + 2i − 1 = 2 + 3i ⇒ ω = 4 + 9 = 13

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i)z +
Giải: Giả sử z = a + bi

2(1 + 2i)
= 7 + 8i (1) . Tìm môđun của số phức ω = z + 1 + i
1+ i

2(1 + 2i)
= 7 + 8i
1+ i
2(1 + 2i)(1 − i)
⇔ 2a + 2bi + ai + bi 2 +
= 7 + 8i
1 + i2

(1) ⇔ (2 + i)(a + bi) +

2a − b + 3 = 7
a = 3
⇔

⇔ 2a + 2bi + ai − bi + 1 − i + 2i − 2i 2 = 7 + 8i ⇔ 
2b + a + 1 = 8
b = 2
Do đó ω = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i ⇒ ω = 16 + 9 = 5 .
Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết: (2z − 1)(1 + i) + (z + 1)(1 − i) = 2 − 2i (1)
Giải: (1) ⇔ (2a + 2bi − 1))(1 + i) + (a − bi + 1)(1 − i) = 2 − 2i
⇔ 2a + 2ai + 2bi + 2bi 2 − 1 − i + a − ai − bi + bi 2 + 1 − i = 2 − 2i
⇔ 3a − 3ba + ai + bi − 2i = 2 − 2i
1

a = 3
3a − 3b = 2
1 1
2
⇔
⇔
Suy ra z =
.
+ =
9 9
3
a + b − 2 = −2
 b = −1

3
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 25 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ

Trang : 23
Lưu hành nội bộ

Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa mãn z 3 = 18 + 26i
 x 3 − 3xy 2 = 18
3
(x
+
iy)
=
18
+
26i
⇔
⇒ 18(3x 2 y − y 3 ) = 26(x 3 − 3xy 2 )
Giải: Ta có
 2
3
3x y − y = 26
1
Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được t = ⇒ x = 3, y = 1 . Vậy z=3+i.
3
2
2

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết z = z + z (1)
Giải : (1) ⇔ ( a + bi

2

) =a

2

+ b 2 + a − bi ⇔ a 2 + b 2i 2 + 2abi = a 2 + b 2 + a − bi

1
1

a = − 2 ; b = 2
 2b 2 + a = 0

2
⇔ 2b + a − bi − 2abi = 0 ⇔ 
⇔  b = 0;a = 0
 b + 2ab = 0

−1
−1
a = ; b =
2
2

−1 1
−1 1

+ i; z =
− i
Vậy z = 0; z =
2 2
2 2
3
Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết: z + 3z = ( 2 + i ) ( 2 − i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi
(1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( 8 + 12i + 6i 2 + i 3 ) ( 2 − i ) = ( 2 + 11i ) . ( 2 − i )
⇔ 4a − 2bi = 4 − 2i + 22i − 11i 2 = 20i + 15 ⇔ a =

15
; b = −10 .
4

Vậy phần ảo của z bằng -10
2
Ví dụ 4: Tìm số phức z biết: z + 3z = ( 3 − 2i ) ( 2 + i ) (1)
Giải: Giả sử z=a+bi, ta có:
(1) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( 9 − 12i + 4i 2 ) ( 2 + i ) = ( 5 − 12i ) . ( 2 + i )
11
−19
11 19
;b =
. Vậy z = − i
12
2
2 2
(1)

⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i 2 = 22 − 19i ⇔ a =

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết z + 2z = ( 2 − i ) ( 1 − i )
3

Giải: Giả sử z = a + bi ⇒ z = a − bi
(1) ⇔ a + bi + 2(a − bi) = (23 + 3.2 2 i + 3.2i 2 + i3 )(1 − i)
⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − 6 − i)(1 − i) = (11i + 2)(1 − i)
Bài tập áp dụng: Phiếu học tập số 26 và đề cương ôn tập đã phân loại cấp độ
DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
A – CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u = (z + 3 − i)(z + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.
Giải: Giả sử z = a + ib , ta có
u = (a + 3 + (b − 1)i)(a + 1 − (b − 3)i) = a 2 + b 2 + 4a − 4b + 6 + 2(a − b − 4)i
u ∈R ⇔ a − b − 4 = 0 ⇔ a = b + 4

| z |min ⇔ | z |2 min

Trang : 24
Lưu hành nội bộ


Nhóm Toán - Trêng THPT Nh÷ V¨n Lan
n¨m 2017- 2018

§Ò c¬ng «n thi THPT Quốc Gia

*************************
| z | = a + b = (b + 4) + b = 2b 2 + 8b + 16 = 2(b + 2) 2 + 8 ≥ 8
Dấu = xảy ra khi b = −2 ⇒ a = 2

2

2

2

2

2

Vậy | z | min ⇔ z = 2 − 2i

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z + i + 1 = z − 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải:
2
2
2
a + bi + i + 1 = a − bi − 2i ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a 2 + ( b + 2 )
⇔ a 2 + 2a + 1 + b 2 + 2b + 1 = a 2 + b 2 + 4b + 4 ⇔ 2a − 2b − 2 = 0 ⇒ a − b = 1 ⇒ a = 1 + b
1
2
⇒ a 2 + b 2 = ( b + 1) + b 2 = 2b 2 + 2b + 1 ≥
2
1
1
1
−1
. Vậy Min z =
⇒z≥
⇔a= ; b=

2
2
2
2
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Giải: Giả sử z=a+bi, ta có: a + bi − 3 + 4i = 4 ⇒ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16
2

2

a − 3 = 4sin ϕ
a = 3 + 4sin ϕ
⇒
Đặt 
b + 4 = 4 cos ϕ b = 4 cos ϕ − 4
2

⇒ z = a 2 + b 2 = 9 + 16sin 2 ϕ + 24sin ϕ + 16 cos 2 ϕ + 16 − 32 cos ϕ
3
4
= 41 + 24sin ϕ − 32 cos ϕ = 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ)
5
5
3
4
2
Đặt cos α = , sin α = ⇒ z = a 2 + b 2 = 41 + 40 sin(ϕ − α) ≥ 1 .
5
5
π

π
Dấu = xảy ra khi ϕ − α = − + k2π ⇒ ϕ = − + α + k2π . Do đó Min z = 1
2
2
Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của z ta có thể sử dụng phương pháp hình học.
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 + 5 = 5, z 2 + 1 − 3i = z 2 − 3 − 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z1 − z 2 .
Giải: Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi , N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức
z 2 = c + di
2
2
Ta có z1 + 5 = 5 ⇔ (a + 5) + b = 25 .

Vậy M thuộc đường tròn (C) :(x + 5) 2 + y 2 = 25

z 2 + 1 − 3i = z 2 − 3 − 6i ⇔ 8c + 6d = 35 .
Vậy N thuộc đường thẳng ∆ : 8x + 6y = 35 .
Dễ thấy đường thẳng ∆ không cắt (C) và z1 − z 2 = MN .
Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x + 5) 2 + y 2 = 25 và đường thẳng
∆ : 8x + 6y = 35 . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng ∆ .

Trang : 25
Lưu hành nội bộ