Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – lương văn huy

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I
Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong
nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio
các em xem ở bài live.
 
Câu 1: Cho hàm số y  f  x  xác định trên đoạn 0;  thỏa mãn
 2

2

 2

 
2
0  f  x   2 2 f  x  sin  x  4  dx  2 . Tích phân

A. .
B. 0 .
C. 1 .
4
Lời giải
Chọn B


2

 f  x  dx bằng
0

D.


.
2


2



 
+) Đặt I    f 2  x   2 2 f  x  sin  x    dx . Ta có
4 

0 

2



2




 



I    f 2  x   2 2 f  x  sin  x    2 sin 2  x    dx   2 sin 2  x   dx
4
4 
4



0 
0

2

2



2


 


I    f  x   2 sin  x    dx   2 sin 2  x   dx
4 
4


0 
0


2


2


2





 

1
  2
+) Có  2 sin 2  x   dx    1  cos  2 x    dx    1  sin 2 x  dx   x  cos2 x |02 
4
2 
2
2




0
0
0
2

+) Mà I 
suy ra
2


2

2



 
0  f  x   2 sin  x  4  dx  0

(1).
b

+) Áp dụng kết quả: Nếu f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b thì

 f  x  dx  0 .
a

Dấu "  " xảy ra khi f  x   0 với mọi x   a; b .




Từ (1) suy ra f  x   2 sin  x    0 hay f  x   2 sin  x   .
4
4



+) Do đó
Câu 2.


2


2

0

0

 f  x  dx  




 
2 sin  x   dx   2cos  x  |02  0 . Chọn B.
4
4



(Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên
1

đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  0 ,

1

2

  f   x  dx  7 và
0

bằng
7
A. .
5

B. 1 .

C.

7
.
4

1
0 x f  x  dx  3 . Tích phân
2

1

 f  x  dx
0

D. 4 .

1


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Lời giải
Chọn A
1
1
1
u  f  x 
du  f   x  dx
2
3
+) Đặt 
,
khi
đó

3
x
f
x
d
x

x
.

f
x

x 3 f   x  dx







2
3
0
dv  3 x dx
v  x
0
0
1

1

+) Ta có 1  f  1   x 3 f   x  dx suy ra
0

 x f   x  dx   1 .
3

0

2

b
b
b

+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx . Dấu


a
a
a

"  " xảy ra khi f  x   kg  x  với k là hằng số.
2

Ta có

1

b
b
b 3

2
x7
6

1    x f  x  dx    x dx.  f   x   dx  7
7

a
a
a


 1 . Dấu

xảy ra khi

""

0

1

1

f   x   kx 3 với k là hằng số. Mà  x 3 f   x  dx   1 hay  kx 6 dx   1 suy ra k  7 .
0

0

7
7
+) Vậy f   x   7 x3 nên f  x    x 4  c mà f  1  0 nên f  x   1  x 4 suy ra
4
4
1
7
0 f  x  dx  5 . Chọn A.





Câu 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và
1

2
0

A.

1


1
f   x  f  x  dx  3   f   x  f 2  x    dx . Tích phân
9
0 

5
.
4

B.

3
.
2

C.

1

 f  x  dx bằng
3

0

8
.
5

D.

7
.
6

Lời giải
Chọn D
b

2

b

b


+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân  f  x  dx. g  x  dx    f  x  g  x  dx  . Dấu


a
a
a

"  " xảy ra khi f  x   kg  x  với k là hằng số.
2

1

1

1
+) Ta có  dx. f   x  f  x  dx   

0
0
0
2

1

2
0


f   x  f  x  dx 


1
1
f   x  f  x  dx  3   f   x  f  x   dx   3  
3
0
0
1

2

2

2

(1) nên từ giả thiết suy ra
2

 1
f   x  f  x  dx  
 3

2


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2

1
1

1
1
hay 3   f   x  f  x  dx    0   f   x  f  x  dx  và dấu "  " ở (1) xảy ra, tức là


3
3
0
0
1
1
  f   x  f  x  dx 
3  k  1 . Từ đó tính được f  x   3 x  3 suy
ta có  0
3
3
 f x f x  k





1

ra  f 3  x  dx 
0

7
. Chọn D.
6

 

Câu 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f  x   6 x 2 f x 3 

6
3x  1

. Tính

1

 f  x dx
0

A. 2 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B
1

Ta có tính chất



0

1





0

 

Theo bài ta có : f  x   6 x 2 f x 3 
1

1

1

 f  x  dx   6 x f  x  dx  
2

0

3

0

1

0

1

  f  x  dx  
0

0



f  x dx   f f  x  d f  x  .

6dx
3x  1

6dx
3x  1

6
3x  1

. Lấy tích phân 2 vế ta được :

1

1

   

1

  f  x  dx  2  x f x d x  
2

0

3

3

0

0

6dx
3x  1

 4.

Câu 5: Cho hàm số f ( x) và g( x) liên tục có đạo hàm trên  và thỏa mãn f   0  . f   2   0 và
2

g( x ). f ( x)  x( x  2)e x . Tính giá trị của tích phân I   f  x  .g( x)dx .
0

A. 4 .

C. 4 .

B. e  2 .

D. 2  e .

Lời giải
Chọn C.
 f   0   0
Theo đề cho f   0  . f   2   0 suy ra 
.
 f   2   0
Ta có g( x ). f ( x)  x( x  2)e x nên
g(0). f (0)  0  g(0)  0.
g(2). f (2)  0  g(2)  0.

u  f ( x )
du  f ( x)dx
Đặt 

.
dv  g ( x )dx  v  g( x )
2

2

2

2

2

I   f  x  .g( x)dx  f  x  .g( x)   g( x). f ( x)dx  f  x  .g( x)   x( x  2)e xdx
0

0

0

0

0

 f  2  .g(2)  f  0  .g(0)  4  4.
3


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 6: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ thị của f ( x) như hình vẽ.

Đặt S  f (0)  f (6)  f ( a)  f (a  2). Tập giá trị của S chứa tối đa bao nhiêu số nguyên?
A. 22 .

C. 24 .

B. 23 .

D. 25 .

Lời giải
Đáp án C.
 f '( x)  2  0

Ta có hàm số f liên tục trên  và căn cứ vào đồ thị ta có 
, x  0; 6  .
 4  f '( x)  0
6
a

f
'(
x
)

2

dx

 

 4  f '( x) dx  0
0
a 2
Suy ra  a
6
  4  f '( x) dx   f '( x)  2  dx  0



 
0
a 2
 f (a)  f (0)  2 a  4(4  a)  f (6)  f ( a  2)  0

16  2 a  S  0
Do đó 

 4 a  f ( a)  f (0)  f (6)  f ( a  2)  2(4  a)  0
S  2 a  8  0
Hay 2 a  8  S  16  2 a.
Tuy nhiên các dấu “=” không xảy xa. Do vậy D   2a  8;16  2 a  .

Câu 7.

Độ dài khoảng D bằng 24. Do đó khoảng D chứa tối da 24 số nguyên.
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  0; a  , biết rằng với mọi x   0; a  , ta
có f  x   0 và
a

dx

 k  f x

f  x  . f  a  x   k 2 (với k là hằng số, k  0 ). Giá trị của tích phân

bằng:

0

a
a
.
B.
.

k
2k
Lời giải
Chọn B.
a
0
a
dx
dt
I 
 

k  f  x
k  f a  t  0
0
a

A.

a

 kI  
0

Câu 8.

C.

ak
.

2

D. ak

a
f  t  dt
dt

2

k
0 k  k  f t 
k
f t 

a
a
f  t  dt
f  t  dt
kdt
a
 kI  kI  

aI 
k  f t 
k  f t  0 k  f t 
2k
0

Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn

0; a  ,

biết rằng với mọi x   0; a  , ta
a

có f  x   0 và

f  x  . f  a  x   1 .Giá trị của tích phân

 1
0

A. a .

B.

a
.
2

C. 2a .

dx
f  x

bằng:
D. a ln(a  1) .

Lời giải

4


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Chọn B.
a

I
0

0

dx
f  x

1

0

a

f  t dt

a

I 

 

k

a

dt
f a  t 

1

a

f t 

II 
0


0

1

1

f t 


0

f t 


0

1 

f  t dt

a

dt

f  t dt

a

dt
1

1

f t 





aI 

1

Câu 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;3] và

f t 

a
.
2

3

f ( x)dx  2 ;

0

 f ( x)dx  8 .

Giá trị của tích phân

0

1

 f |2 x  1| dx

là:

1

A. 6.

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Chọn D.


1
 2 x  1, x  2
Ta có: 2 x  1  
nên
 2 x  1, x  1

2
1



0 ,5

f |2 x  1| dx =



1

f  2 x  1 dx 

1

1

0,5

E



3

f (2 x  1)dx 

1
f (t)dt ta đổi biến t  2 x  1,
2 0

1

1

1

F

f (2 x  1)dx  E  F



0,5

1
 f (2x  1)dx  0 f (t )dt , ta đổi biến t  2 x  1,
2 0,5
1

3

1

1
1
Vậy  f |2 x  1| dx   f ( x)dx   f ( x)dx  1  4  5
20
20
1
1

Câu 10: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f  1  3 ,  [ f '( x)]2 dx 
0

1

và

4
11

1

7
 x f  x  dx  11 . Giá trị của  f  x  dx là
4

0

0

35
A.
.
11

B.

65
.
21

23
.
7
Lời giải

C.

D.

9
.
4

Chọn C.

du  f '( x)dx
1
u  f ( x)

Cách1: Xét A   x 4 f ( x)dx , Đặt 


1 5
4
dv  x dx
0
v  5 x

1
1
1
1 1
1
7
3 1
7
2
A  x 5 f ( x)   x 5 f '( x)dx 
   x 5 f '( x)dx 

  x 5 f '( x )dx 
5
0 50
11
5 50
11
11
0
1

Lại có

x
0

10

dx 

1
nên:
11

5


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1

1

2

1

5
10
  f '( x) dx  4  x f '( x)dx  4  x dx  0
0

0

1



  f '( x )  2 x 5



0

2

dx  0  f '( x )  2 x 5

0

 x6
10

 C  C  (do f (1)  0)
3
3
1
6
  x 10 
23
 I  
  dx 
3
3 
7
0
 f ( x) 

Cách 2: Trắc nghiệm
1
2
4
   f '( x) dx 
11 1

Từ  01
  f '( x)  f '( x)  2 x 5 dx  0.

2
0
 x 5 f '( x)dx 

11

0
 x 6 10
23
Chọn f '( x)  2 x 5  f ( x) 
 I .
3
3
7
Câu 11: Xét hàm số f ( x) liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x . Tích
1

phân

 f ( x)dx bằng
0

A.

2
.
3

B.

1
.
6

2
.

15
Lời giải

C.

D.

3
.
5

Chọn C.
Ta có: 2 f ( x)  3 f (1  x)  1  x (1) .
Đặt t  1  x , thay vào (1) , ta được: 2 f (1  t )  3 f ( t)  t hay 2 f (1  x )  3 f ( x)  x (2) .
Từ (1) & (2) , ta được: f ( x ) 
1

Do đó, ta có:



1

f ( x )dx 

0

3
5 0

3
2
x
1 x .
5
5
1
2
2 4
2
x dx   1  x dx  
 .
50
5 15 15

Câu 12. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn f  ( x )  2018 f ( x)  2018.x 2017 .e 2018 x với
mọi x   và f (0)  2018 . Tính giá trị f (1) .
A. f (1)  2019 e 2018 .

B. f (1)  2019 e 2018 .

C. f (1)  2018 e 2018 .

D. f (1)  2017.e 2018

Lời giải
Chọn A
Ta có f ( x)  2018 f ( x )  2018.x 2017 .e 2018 x 
1


0

f ( x)  2018 f ( x)
 2018.x 2017
e 2018 x

1
f ( x)  2018 f ( x )
2017
d
x

0 2018.x dx (1).
e 2018 x

1

Xét I  
0

1
1
f ( x)  2018 f ( x)
2018 x
2018 x

d
x


f
(
x
).
e
d
x

0
0 2018. f ( x).e dx
e 2018 x

1
u  f ( x )
du  f ( x )dx
Xét I 1   2018. f ( x ).e 2018 x dx . Đặt 

2018 x
dx  v  e 2018 x
0
dv  2018.e

6


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1

1

Do đó I 1  f ( x ).( e 2018 x )   f ( x).e 2018 x dx  I  f (1).e 2018  2018.
0

0

1

Khi đó từ (1) suy ra I  f (1).e 2018  2018  x 2018  f (1)  2019.e 2018 .
0

Câu 13. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f (0)  1 và
1

1

2

1
3   f   x   f  x     dx  2 
9
0 
0
3
5
A. .
B. .
2
4

1

3

f   x  f  x  dx . Tính tích phân   f  x   dx .
0

5
C. .
6
Lời giải

D.

7
.
6

Chọn D.
Áp dụng BĐT Holder ta có:
2

2

1
1 
1

2
1 
9    f ( x )  f ( x)   dx   4   f ( x) f ( x)dx   4  f ( x) f 2 ( x)dx

9 
0
0 
0

2

1
1 
1 
2

 9    f ( x ) f ( x )  dx   4  f ( x) f 2 ( x)dx  0
9 
0
0 

2

1
f 3 ( x) 1
1
1
 9   f ( x ) f 2 ( x )dx    0  f ( x) f 2 ( x)  
 x C
9
9
3
9
0

1
1
Vì f (0)  1 nên C  . Khi đó f 3 ( x)  x  1.
3
3
1
1
3
1

7
Vậy   f ( x)  dx    x  1 dx  .
3
6

0
0
Câu 14: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và thỏa mãn f   x   2018 f  x   x sin x. Tính

2

I

 f  x  dx ?



2

A.

1

1009

B.

2

2019

1

2019
Lời giải.

C.

D.

1

2018

Chọn B
Theo giả thiết f   x   2018 f  x   x sin x.  f  x   2018 f   x   x sin x.





suy ra 2018 2  1 f ( x )  2017 x sin x  f  x  
Do đó I 

1
2019


2

1

1
x.sin x .
2019


2

 x.sin x.dx   2019  x.d  cos x 




2




2






2
1 
1
2

2
2

x
cos
x

cos
x
.
dx

sin
x

.








2019 
2019
2019

2
2



2

Câu 15: Cho hàm số y  f  x  có f   x  liên tục trên nửa khoảng 0;   thỏa mãn

7


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
3 f  x   f   x   1  e 2 x . Khi đó:
1

1
 
e 1 2

A. e 3 f  1  f  0  
C. e 3 f  1  f  0  

B. e 3 f  1  f  0  

2

e



2

1

e2  1  8
3

1

1
 
2 e 1 4
2



D. e 3 f  1  f  0   e 2  1





e 2  1  8.

Lời giải
Chọn
Ta có

C.


3 f  x   f   x   1  e 2 x  3e 3 x f  x   e 3 x f   x   e 2 x e 2 x  3   e 3 x f  x    e 2 x e 2 x  3.
Lấy Tích phân từ 0 đến 1 hai vễ ta được
1

1

1
1

3x
2x
2x
0 e f ( x) dx  0 e e  3dx  e f ( x) 0  3
3x

 e 3 f  1  f  0  

e

2

1





2x

e 3



3

1

0

2

e 1  8


3
Câu 16. Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn
2

các điều kiện f '  0   1 và  f '  x    f   x  . Đặt T  f  1  f  0  , hãy chọn khẳng định
đúng?

A. 2  T  1 .
B. 1  T  0 .
C. 0  T  1 .
D. 1  T  2 .
Lời giải
Chọn B
d  f '  x  
f   x 
1
Từ giả thiết ta có 
dx   1.dx  
dx   1.dx  '
 xc
2
2
f x
 f '  x
 f '  x 




 c  1
1
1

'
Mà f  0   1 nên  '
  ln 2
1 T  

x1
0
 f x   x  1

Câu 17. [2D3-4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  1 ,
1

2
9


f
'
x


0 
 dx  5 và

A. I 

3
.
5

1

 f
0

1

2
x dx  . Tính tích phân I   f  x  dx .
5
0



B. I 

1
.
4

C. I 

3
.
4

D.

343
.
48

Lời giải
Chọn B.
Đặt t  x  x  t 2  dx  2tdt . Đổi cận: x  0  t  0 ; x  1  t  1 . Ta có

1

1

1

1

1
2
  2t. f  t  dt  t 2 . f  t    t 2 . f '  t  dt  f  1   t 2 . f '  t  dt  1   t 2 . f '  t  dt
0
5 0
0
0
0

1

1

  t 2 . f '  t  dt 
0

1

3
3
, hay  x 2 . f '  x  dx  (1).
5

5
0
1

2
9
1
Hơn nữa ta có   f '  x   dx  (2) theo giả thiết và  x 4 dx  (3).
5
5
0
0

8


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Xét tích phân
1
1
1
1
(1);( 2);( 3)
2
2
9
3
1
2
2

4



 6.  9.  0 .
f
'
x

3
x
dx

f
'
x
dx

6
x
.
f
'
x
dx

9
x
dx







0
0 
0
0

5
5
5









Mà f '  x   3 x 2

2

 0 với mọi x  0;1 . Vậy f '  x   3x 2 .

Do đó f  x   x3  C . Lại có f  1  1  C  0 . Vậy f  x   x 3 .
1

1

1
Vậy I   f  x  dx   x 3dx  .
4
0
0

Câu 18. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời f (0)  0 ; f (1)  1 và
1

  f '(x)

2

1  x dx 



ln 1  2

0

A.

1

1

2

1 2
ln 1  2 .
2







. Tính tích phân

f ( x)



1  x2

0

dx .

2 1 2
1
ln 1  2 . C. ln 1  2 .
2
2
Lời giải



B.







D.



 



2  1 ln 1  2 .

Chọn C.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
1

  f '(x)

1

2

1  x dx.

0

0

1

Mặt khác



2

1

dx    f '( x)dx   1 .
1  x2
0

1

2



1  x 2 dx  ln x  1  x 2

0

|  ln 1  2  .
1

0

Vậy đẳng thức xảy ra, khi đó f '( x). 4 1  x 2 
1

Vì

 f '( x)dx  1 nên k  ln
0

1

Suy ra

f ( x)



1  x2

0

Câu

19:

1



dx  ln 1  2


0

Cho

1



1 2



k
4

1 x

2

 f '( x) 

k
1  x2

.

.

f 2 ( x) 1 1
f ( x) f '( x )dx  ln 1  2
 ln 1  2 .
2 |0 2



hàm

số

y  f x



liên



tục



 \0; 1

trên

thỏa:

x  x  1 f   x   f  x   x2  x , x  0; 1 và f  1  2 ln 2. Biết f  2   a  b ln 3  a , b    . Tính
a 2  b2  ?

A.

3
.
4

B.

13
.
4

1
.
2
Lời giải

C.

D.

9
.

2

Chọn D.
Ta có x  x  1 f   x   f  x   x  x  1
 f  x 

f x
x  x  1

 1  f  x

f x
x
x


2
x  1  x  1
x 1


x 
x
  f  x.


x1 x 1


9

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
2
2

x 
x
2
Vậy   f  x  .
dx

dx  x  ln x  1  2  ln 3  1  ln 2  1  ln


1
x 1
x1
3
1
1
2
1
2
2
1
2
 f  2  .  f  1 .  1  ln   a  b ln 3    2 ln 2   1  ln
3

2
3
3
2
3

3
a

2
2

2  a 2  b2  9 .
 a  b ln 3  1  ln 3  
3
3
2
b   3

2





Câu 20 : [THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 4 - 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên


 3; 3 và đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên. Biết f  1  6 và
g x  f x

 x  1


2

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. Phương trình g  x   0 có đúng hai nghiệm thuộc 
 3; 3 .
B. Phương trình g  x   0 có đúng một nghiệm thuộc 
 3; 3  .
C. Phương trình g  x   0 không có nghiệm thuộc 
 3; 3 .
D. Phương trình g  x   0 có đúng ba nghiệm thuộc 
 3; 3  .
Lời giải
Chọn B.
Ta có g '  x   f '  x    x  1
Dễ thấy từ hình vẽ ta có phương trình g '  x   0 có 3
nghiệm trên đoạn 
 3; 3  là 3; 1; 3 .
Ta có g  1  f  1  2  6  2  4  0
g  3   f  3   8, g  3   f  3   2.

Ngoài ra ta có bảng biến thiên của hàm số g  x  như sau
Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường
y  f '  x  , y  x  1, x  3, x  1 lớn
hơn diện tích hình thang ABCD là 6.

Do đó
1

  f '  x    x  1 dx  6  f 1  f  3   6  f  3   0  f  3   2  2.

3

Hay g  3   0 .
Tương tự, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f '  x  ,

y  x  1,

x  1, x  3 nhỏ hơn diện tích hình thang EFGH là 4.
3

Nên

  x  1  f '  x   dx  4  6  f  3   f 1  4  f  3  8  f  3   8  0. Hay g  3   0.
1

10


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Vậy phương trình g  x   0 có đúng một nghiệm thuộc 
 3; 3  .
Câu 21:

[THPT NGÔ QUYỀN HẢI PHÒNG - 2018] Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có
2

 f  x  dx  1 . Tính giới hạn của dãy số
1

 n3 
 4n  3  
1 
n
n  n6 
n
.  f  1 
f

f
 ... 
f



n 
3  n 
n 
6  n 
n 
4 n  3 
n  
2
4
A. lim un  2
B. lim un  .

C. lim un  1 .
D. lim un  .
3
3
Lời giải
Chọn B.
un 











3
n

1


1
1
3
1
2.3
1



un 
f  1 
. f  1  
. f  1
. f 1
  ... 
3 
2.3 
n
n 
n 
3  n  1 
n

1

1



1

n
n
n










f  1 1
3  n  1 
1
3
1
2.3 
1

 un 
 .
. f  1  
. f  1
 ... 
. f  1

3 
2.3 
n
n 
n 
n 
3  n  1 
n


1


1
 1 n
n
n









f  1 1  1
3  n  1  
3
1
2.3 
1


un 
 .
. f  1 
. f  1
. f 1
  ... 

n
n 
n 
n 
n

3 
2.3 
3  n  1 

 1
1
1
n
n
n


1

 lim un  
0

1
1  3x

.f





1  3 x dx

2
Đặt t  1  3 x suy ra dx  tdt
3
Đổi cận x  0  t  1; x  1  t  2
2

Suy ra lim un 

2
2
f  t  dt  .

31
3

3

Câu 22. Cho hàm số f  x  là một nguyên hàm của hàm số g  x  trên khoảng  ;   và thỏa
4

2
2
2
2x  1
11
mãn các điều kiện  f  2    6  8  f  1  , 

dx  .
2
16
1 x   f  x 


2
f x  g x
Tính tích phân I  
f  x  dx.
2
1 x   f  x 


A. I 

21
 3ln 2 .
16

B. I 

21 3
 ln 2
32 2

C. I 

21
 ln 2

32

D. I 

21 3
 ln 2
16 2

Lời giải
11


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Chọn B
2

Ta có 2 I  

2

2  f  x    2. f   x  . f  x 
x   f  x  

1

2

Đặt J  
1

2

dx
2

2x  1
x   f  x  

2

dx . Khi đó: J  2 I  

Ta có: K  

1  2 f  x. f  x
x f

1



2

dx

2

(1) .



2

x   f  x  

1

1  2 f  x. f  x
11
 2 I   2dx  
dx
2
16
1
1
x   f  x  
2
1  2 f   x  . f  x
Xét K  
dx
2
1
x   f  x  
2

2

2 x  1  2  f  x    2. f   x  . f  x 



2

x

2

dx  
1



 ln 2  f 2  2   ln 1  f 2  1

d  x  f 2  x  
x f

2

x

 ln x  f 2  x 

2
1



Từ giả thiết suy ra :



2

 

K  ln 2  6  8  f  1   ln 1   f  1 

2

  ln 8  8  f 1   ln 1   f 1   ln 8  3 ln 2
2

2

11
21
21 3
 3 ln 2 
 3 ln 2  I 
 ln 2
16
16
32 2
Câu 23. Cho hàm số f  x  có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn các

Thay vào (1) ta được: 2 I  2 

2

điều kiện f '  0   1 và  f '  x    f   x  . Đặt T  f  1  f  0  , hãy chọn khẳng định
đúng?
A. 2  T  1 .
B. 1  T  0 .
C. 0  T  1 .
D. 1  T  2 .
Lời giải
Chọn B
d  f '  x  
f   x 
1
Từ giả thiết ta có 
dx   1.dx  
dx   1.dx  '
 xc
2
2
f x
 f '  x
 f '  x 




 c  1
1
1

'
Mà f  0   1 nên  '

  ln 2
1 T  
x1
0
 f x   x  1

Câu 24: Cho hàm số

f  x

thỏa mãn

 f  x

2

 f  x   f   x   15x4  12x ,

x  

và

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2  1 bằng ?

A.

9
.
2

5
.
2

B.

C. 10 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn D.
2

Ta có f  x   f   x   f   x   f  x   f   x  .



Do đó

  
f  x   f   x     15 x  12 x  dx  3x
4

5

 6 x2  C .

12

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Mà f  0   f   0   1 nên f  x   f   x   3 x 5  6 x 2  1 .

 f  x   f   x  dx    3 x  6 x
f x x
  2 x  x  C , mà
5

Suy ra

2

6

3

Tức là
Vậy f

2

2

2



 1 dx .
f 2 x

f  0   1 nên

2



x6
 2 x3  x  1 .
2

 1  8 .

2

Câu 25: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f  0   f  1  0 . Biết
1


0

f 2  x  dx 

1

1
,
2



f   x  cos  x  dx 

0

A.  .

B.


. Tính
2

1

 f  x  dx .
0

1
.


C.

2
.


D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C.
1

Ta có

1
1
1

f  x  cos  x  dx   cos  x  df  x   f  x  cos  x    f  x  sin  x  dx
0
0
0


0

1

1

1


1

  f  1  f  0     f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx  .
2
2
0
0
0
2

b
b
b

Áp dụng bất đẳng thức   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx ta có:
a
a
a

2

1
1
1
1

1 
1 1  cos 2 x
1  x sin 2 x  1 1
2
2
   f  x  sin  x  dx    f  x  dx. sin  x  dx  

dx   

4 0
20
2
22
4  0 4
0
0


.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f  x   k sin x .
Từ đó ta có:
1
1
1
1
1  cos 2 x
k
sin 2 x  1 k
  f  x  sin xdx   k sin 2  x  dx  k 
dx   x 
  k  1.
2 0
2
2
2  0 2
0
0

Suy ra f  x   sin x .
1

Do đó


0

1

f  x  dx   sin xdx  

Câu 26: Cho hàm số

0

cos x 1 2
 .
 0 

f  x  xác định trên  \1 thỏa mãn f '  x  

3
;
x1

f  0   1 và

f  1  f  2   2 . Giá trị của f  3  bằng

A. 1  2 ln 2 .

B. 1  ln 2 .

C. 1 .

D. 2  ln 2 .

Lời giải
Chọn C.
3
dx  3ln x  1  C
x 1
3 ln  x  1  C1 khi x  1
 f  x  
3 ln   x  1  C 2 khi x  1
Theo giả thiết:

Ta có f  x    f '  x  dx  

13


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
 f  0   1
C  1
C  1
 1
 1


3 ln 2  C1  C 2  2
C 2  1  3 ln 2
 f  1  f  2   2
 3ln  x  1  1 khi x  1
 f x  
 3ln   x  1  1  3 ln 2 khi x  1
Vậy f  3   3 ln 2  1  3ln 2  1 .

Câu

27:

Cho

hàm

số

f   x    2x  3  f 2  x   0 ,

y  f  x  có

đạo

f  x   0 x  0

hàm
và

liên

tục

f  1 

1
.
6

trên

khoảng
Tính

giá

D.

6047
.
4038

 0;  
trị

biết
của

P  1  f  1  f  2   f  3   ...  f  2017  .

A.

6059
.
4038

B.

6055
.
4038

6053
.
4038
Lời giải

C.

Chọn B
2

f   x    2 x  3   f  x    0 

 f 'x
2

 f 'x

 2x  3  

 f  x  
 f  x  
1
1
1

 x2  3x  C  f  x   2
 f  1 
4C
f x
x  3x  C

2

dx    2 x  3 dx

1
1
1
1
1
1
nên ta có
  C  2  f x  2


6
4C 6
x  3x  2 x  1 x  2

P  1  f  1  f  2   f  3   ...  f  2017 

Mà f  1 

 1

1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
6055
.
      ... 

 1 

2 3 3 4 4 5
2018 2019
2 2019 4038

2
4
x
Câu 28. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,  f  x  dx  4 . Tính I   xf    dx .
0
0
2
A. I  12 .
B. I  112 .

C. I  28 .
D. I  144 .

Lời giải
Chọn B
*) Đặt t 

x  x  2t
; với x  0  t  0; x  4  t  2 .

2
dx  2dt

2

2

2

0

0

0

*) I   2tf   t  2dt  4  tdf  t   4tf  t |20 4  f  t  dt
2

 4.2. f  2   4. f  x  dx  4.2.16  4.4  112 .
0

Câu 29: [2D3-3] Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  , F  x  và f  x  là các hàm liên tục trên
 , thỏa mãn

A. I  8 .

2

3

1

0

 F  x  1 dx  1; F  3   3 . Tính I  
B. I  9 .

xf  x  dx

C. I  10 .

D. I  11 .

Lời giải
Chọn A

14


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404

2

2

3

3

1

1

0

0

*) Ta có : 1   F  x  1 dx   F  x  1 d( x  1)   F  t  dt   F  x  dx  1 .
3

3

3

0

0

0

*) I   xf  x  dx   xdF  x   xF  x |30   F  x  dx  3F  3   1  8 .

1

Câu 30: [2D3-3] Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  1  2 f  0   2 ,  f  x  dx  5 . Tính
0

3
x
I    6  x  f    dx .
0
3
A. I  61 .
B. I  63 .

C. I  65 .

D. I  67 .

Lời giải
Chọn B
*) Đặt t 

 x  3t
x
; với x  0  t  0; x  3  t  1 .

3
dx  3dt

1

1

1

0

0

*) I    6  3t  . f   t  .3dt  9   2  t  df  t   9  2  t  f  t   |10 9  f  t  d  2  t 
0

1

 9  f  1  2 f  0    9  f  t  dt  9.2  9.5  63 .
0

1

Câu 31: Cho hàm số y  f  x  , liên tục trên 0;1 và thỏa mãn

  x  1 f '  x  dx  10 và
0

1

2 f  1  f  0   2 . Tính I   f  x dx .
0

A. I  12 .

C. I  12 .

B. I  8 .

D. I  8 .

Lời giải
Chọn D.
 u  x  1
 du  dx
Đặt 

.
dv  f '  x  dx  v  f  x 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:
1
1 1
10    x  1 f '  x  dx   x  1 f  x    f  x dx   2 f  1  f  0    I  2  I
0
0

0

 I  2  10  8 .
Câu 32: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có f  0   0 ; f   x   10 với mọi x   . Tìm GTLN
mà f  3  có thể đạt được?
A. 30.

B. 10.

C. 60.
Lời giải

D. 20.

Chọn A
3

Vì 10  f  x   0 với mọi x   nên:
'

 10  f   x  dx  0
0

3

 10 x  f  x    0  10.3  f  3    10.0  f  0    0  f  3   30
0
Vậy GTLN mà f  3  có thể đạt được là 30.
15


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 33: Cho hai hàm f  x  và g  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn hệ thức
4
 f  1  g  1  4
. Tính I    f  x   g  x   dx .

1
 g  x    x. f '  x  ; f  x    x.g '  x 

A. 8 ln 2 .

B. 3 ln 2 .

D. 4 ln 2 .

C. 6 ln 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có f ( x )  g( x)   x  f '( x)  g '( x)    f ( x)  g( x) dx    x  f '( x)  g '( x ) dx .
  x  f ( x)  g( x)    f ( x)  g( x)dx   x  f ( x)  g( x)  C  f ( x )  g( x )  

C
x

Vì f (1)  g(1)  C  C  4
4

4

4
 I    f ( x)  g( x) dx   dx =8ln2 .
x
1
1
Câu 34: Cho hàm số

f  x

 f   x 

thỏa mãn

2

 f  x   f   x   15x 4  12x ,

x  

và

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2  1 bằng ?

A.

9
.
2

B.

5
.
2

C. 10 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn D.
2
Ta có f  x   f   x    f   x   f  x   f   x  .



 







Do đó f  x   f   x    15 x 4  12 x dx  3 x 5  6 x 2  C .
Mà f  0   f   0   1 nên f  x   f   x   3x5  6 x2  1 .

 f  x   f   x  dx    3 x  6 x
f x x
  2 x  x  C , mà
5

Suy ra

2

2

6

3

Tức là

2

2



 1 dx .
f  0   1 nên

f 2 x
2



x6
 2 x3  x  1 .
2

Vậy f 2  1  8 .
Câu 35: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f  0   f  1  0 . Biết
1


0

f 2  x  dx 

1
,
2

1



f   x  cos  x  dx 

0

A.  .

B.


. Tính
2

1
.


1

 f  x  dx .

0

2
.

Lời giải

C.

D.

3
.
2

Chọn C.
1

Ta có


0

1

1
1
f   x  cos  x  dx   cos  x  df  x   f  x  cos  x     f  x  sin  x  dx
0
0

0

16


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1

1

1

  f  1  f  0     f  x  sin  x  dx    f  x  sin  x  dx 
0

0


1
  f  x  sin  x  dx  .
2
2
0

2

b
b
b


Áp dụng bất đẳng thức   f  x  g  x  dx    f 2  x  dx. g 2  x  dx ta có:
a
a
a

2

1
1
1
1

1 
1 1  cos 2 x
1  x sin 2 x  1 1
   f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  
dx   

4 0
20
2
22
4  0 4
0
0


.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f  x   k sin x .
Từ đó ta có:

1
1
1
1
1  cos 2 x
k
sin 2 x  1 k
  f  x  sin xdx   k sin 2  x  dx  k 
dx   x 
  k  1.
2 0
2
2
2  0 2
0
0

Suy ra f  x   sin x .
1

Do đó


0

1

f  x  dx   sin xdx  
0

cos x 1 2
 .
 0 
2

Câu 36: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và f  2   16 ,


0

A. I  12.

B. I  112.

4

x
f  x  dx  4 . Tính I   xf    dx.
2
0

C. I  28.

D. I  144.

Lời giải
Chọn B
x
x
Đăt u  x , dv  f    dx  du  dx , v  2 f  

2
2
4

4

 x 
Suy ra I   2 xf     2 
 2  0

0

2
x
f   dx  8 f  2   4  f  t  dt  112.
2
0

Câu 37 :Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ

y

thị f '( x) như hình vẽ bên:
Biết f ( a). f (b)  0 hỏi đồ thị hàm số y  f ( x)
cắt trục hoành tại ít nhất bao nhiêu điểm?
A. 4 .
C. 2 .

a

b

c
x

B. 3 .
D. 1 .

Lời giải
Chọn C.
17


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Từ đồ thị của f '( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) sau đây:
x



a

f '( x )

0



0





c

b

0





f (b )
f ( x)

f (a )

f (c )

f (b )
Theo đề ra và bảng biến thiên ta có:
 f ( a). f ( b)  0
 f ( b)  0



 f ( a)  f ( b )
 f ( a)  0

y 0

f (a )
f (c )
b

Ta có:

c

c

 f '( x)dx    f '( x)dx   f '( x)dx  0  f (c)  f (a)  0  f (c)  f (a)  0 .
a

b

a

Vì hàm số y  f ( x) liên tục trên  nên y  f ( x) liên tục trên  a; b và f ( a). f (b)  0 nên
tồn tại x1   a; b  sao cho f ( x1 )  0 .
Vì hàm số y  f ( x) liên tục trên  nên y  f ( x) liên tục trên b; c  và f ( b). f (c )  0 nên
tồn tại x2   b; c  sao cho f ( x2 )  0 .
Mặt khác  a; b    b; c    nên đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành tại ít nhất tại hai
điểm.
Câu 38: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên 1; 8  và thỏa mãn
2

2

8

2

2
2
 f x 3  dx  2 f x 3 dx  2 f  x  dx  x 2  1 dx
1 
1
1

3 1

 

2

 





3

Tích phân   f '  x   dx bằng:
1

A.

8 ln 2
.
27

B.

ln 2
.
27

4
.
3
Lời giải

C.

D.

5
.
4

Chọn A.
Đặt t  x 3  dt  3x 2 dx
2

2

8

2

2
2
2
3
3
2
1  f x  dx  2 1 f x dx  3 1 f  x  dx  1 x  1 dx

 

 





18


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2

2
2





3
3
2
f
t
1

t
1

t






8 f t 
8
8
 






dt  2 
dt  

dt  0
2
2
2
1
1
1
3
3
3
t
t
t
2

2


 f t   1  t 3 
 
 dt  0
1
1
3

t


8

2
3

1

2

2

3
2
8
8
 f  t   t  1  f '  t   t 3    f '  x   dx 
ln t 
ln 2 .
3
27
27
1
1

Câu 39: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f  0   f  1  0 . Biết
1



f 2  x  dx 

0

1
,
2

1



f   x  cos  x  dx 

0

A.  .

B.


. Tính
2

1

 f  x  dx .
0

1
.


C.

2
.


D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C.
u  cos  x 
du   sin  x  dx
Đặt 

. Khi đó:
dv  f   x  dx
v  f  x 
1


0

1

1

f   x  cos  x  dx  cos  x  f  x    f  x  sin  x  dx
0



1



0

1

1

  f  1  f  0    f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx   f  x  sin  x  dx 
0

0

1

2

1

0

1

1
.
2

1

Cách 1: Ta có   f  x   k sin  x   dx   f 2  x  dx  2 k  f  x  sin  x  dx  k 2  sin 2  x  dx
0



0

0

0

1
k2
k
 0  k 1.
2
2
1

Do đó

2

  f  x   sin  x  dx  0  f  x   sin  x  . Vậy

0

1


0

1

f  x  dx   sin  x  dx 
0

2
.


Cách 2: Sử dụng BĐT Holder.
2

b
b
b

2
2
f
x
g
x
d

x

f
x
d
x
.
           g  x  dx .
a
a
a


Dấu “=” xảy ra  f  x   kg  x  , x   a; b  .

19


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2

1
1
1

1 
1
Áp dụng vào bài ta có    f  x  sin  x  dx    f 2  x  dx. sin 2  x  dx  ,
4 0
4

0
0


suy ra f  x   k sin  x  .
1

Mà

1



f  x  sin  x  dx 

0

1

Vậy


0

1
1
 k  sin 2  x  dx   k  1  f  x   sin  x  .
2
2
0

1

f  x  dx   sin  x  dx 
0

2
.


Câu 40: Cho hàm số f  x   0 xác định, có đạo hàm trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện
x

1
g
(
x
)

1

2018
f (t)dt


.
Tính
tích
phân
I


g( x) dx

0

0
 g( x)  f 2 ( x )


A. I 

1009
.
2

B. I  505 .

C. I 

1011
.
2

D. I 

2019
2

Lời giải
Chọn C.

 g '( x)  2018 f ( x)
Từ giả thiết ta có 
 2018 f ( x)  2 f ( x). f '( x)
 g '( x)  2 f '( x). f ( x)
 f ( x)  0
 2 f ( x) 1009  f '( x)  0  
 f '( x)  1009
+ T/hợp f ( x)  0 (loại)
+ T/hợp f '( x)  1009  f ( x)  1009 x  C
x

Thay ngược lại ta được: 1  2018  1009t  C  dt   1009 x  C 

2

0

x

2
 1009 2

 1  2018 
t  Ct    1009 x  C   C 2  1
 2
0

Suy ra f ( x)  1009 x  1 loại vì f ( x)  0x  0;1
Hoặc f ( x )  1009 x  1

1

1

1

Khi đó I   g( x ) dx   f ( x)dx    1009 x  1 dx 
0

0

0

1011
.
2

Câu 41: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục
1

trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  1 ,

2

  f   x  dx  9 và
0

1
3
 x f  x  dx 

0

1
. Tích phân
2

1

 f  x dx
0

bằng

20


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
5
7
6
A. .
B. .
C. .
D. .
3
2
4
5
Lời giải

Chọn B
1

Ta có  x f  x  dx 
3

x4 f  x 
4

0

1



f   x   9 x4



1

2

2

0

 f  x  

1

1
  x 4 f   x  dx   x 4 f   x  d x   1 .
40
0
1

0

9 x 14
5

  f  x dx  .
5
5
2
0

f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  10 ,

1

1

2
  f   x  dx  7 và  x f  x  dx  3 . Tích phân
0

0

A.

0

1

5

Câu 42:Cho hàm số
2

1

dx    f   x   dx  18  x 4 f   x  dx  81 x 8 dx  0  f   x   9 x 4  0

0

1

1

1
0

7
.
20

B.

 f  x dx bằng:
0

43
.
5

C.

15
.
4

D.

6
5

Câu 43: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  1  10 ,
1

1

2

1

3
  f   x  dx  27 và  x f  x  dx  2 . Tích phân
0

0

A. 

9
.
30

B.

 f  x dx

bằng:

0

59
.
5

C.

23
.
2

Câu 44: Cho hàm số f  x  xác định trên  \2; 1 thỏa mãn f '  x  

D.

9
30

1
, f  3   f  3   0
x  x2
2

1
. Giá trị biểu thức f  4   f  1  f  4  bằng:
3
1
1
1 4
A. ln 2  .
B. ln 80  1 .
C. ln  ln 2  1 .
3
3
3 5

và f  0  

D.

1 8
ln  1 .
3 5

Lời giải
Chọn A.
Ta có f  x   

dx
1  1
1 
1
x1
 

dx  ln
C.

x x2
3  x1 x  2 
3 x2
2

21


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1
x 1
 C1 khi x  2
 ln
3
x


2

 1
x 1
Do hàm số f  x  không xác định tại x  1; x  2  f  x    ln
 C 2 khi  2  x  1
3
x

2

1
x 1
 C 3 khi x  1
 ln
 3 x  2
1
1 2
1
f  3   f  3   0  ln 4  C1  ln  C 3  0  C1  C3   ln 10 .
3
3 5
3
1
1
1
1 1
f  0     ln 2  C2   C 2   ln 2 .
3
3

3
3 3
1 5
1
1 1
1 5 2
f  4   f  1  f  4   ln  C1  ln 2  C 2  ln  C3
 ln  ln 2  C 2  C1  C 3
3 2
3
3 2
3 2 3
1 5 2
1 1
1
1 1 5
1  1 1
 ln  ln 2   ln 2  ln 10   ln  .4.2.    ln 2 .
3 2 3
3 3
3
3 3 2
10  3 3

Câu 45: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
f  x   0, x   , f   x   e x . f 2  x  , x   và f  0  

1
. Phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại
2

điểm có hoành độ x0  ln 2 là:
A. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .

B. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .

C. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .

D. 2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
Lời giải

Chọn A.
Ta có f   x    e . f
x



2

 x



f  x
f 2 x

ln 2

x

e 


0

ln 2

ln 2
 f  x 
 1 
x
  ex
 2
dx   e dx  


0
 f  x  
 f  x  0

 

ln 2
0

1
1
1

 1  f  ln 2   .

3
f  ln 2  f  0 
2

 1
2
Vậy f   ln 2   e . f  ln 2   2.   
.
9
 3
2
1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y    x  ln 2    2 x  9 y  2 ln 2  3  0 .
9
3
ln 2

2

Câu 46 : Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn:
x

1

g  x   1  2018  f  t dt , g  x   f  x  . Tính
2

0

A.

1011
.
2

B.

1009
.
2

 g  x dx.
0

C.

2019
.
2

D. 505.

Lời giải
Chọn A.
22


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Ta có g  0   1
x

g  x   1  2018  f  t dt
0

g '  x

 g '  x   2018 f  x   2018 g  x  

2



g  x

t

 2018  
0

g 'x
g x

1



g  t   1  2018t  g  t   1009t  1   g  t dt 
0

x





t

dx  2018  dx.
0

1011
.
2

2

Câu 47: Cho hàm số f  x    3 3 f   t   3 f   t   3dt . Tính f '  x  .
0

A. f '  x   2 .

B. f '  x   1  3 2 .

D. f '  x   2 .

C. f '  x   1  3 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Đạo

hàm





hai

2



f   x   3 3 f   x  3 f   x  3  f   x

 f   x   1

3

vế



3





ta

được:

2

 3 f x  3 f x  3

 2  f x  1  3 2 .
x

 1

Câu 48: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng   ;   thỏa mãn
 2


2 x  1  11   f  t dt .
a

Tìm a
A. 120.

B. 60.

C. 121.
Hướng dẫn giải

D. 61.

Chọn B

x

1

2 x  1  11   f  t dt 

2x  1

a

x

Suy ra,

2 x  1  11  
a

 f  x
x

x

1
1

1
dt    2t  1 2 d  2t  1   2t  1 2  2 x  1  2a  1
2a
2t  1
a

1

 2 x  1  11  2 x  1  2 a  1  a  60
x2

Câu 49: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R thỏa mãn

 f  t dt  x cos  x  . Tính f  4 
0

A. f  4  

1
.
4

B. f  4   1 .

C. f  4   4 .

D. f  4   2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
x2


 f  t dt  x cos  x    x  . f  x   cos  x   x sin  x   2 xf  x   cos x  x sin  x 
2

2

2

0

Thay x  2 vào hai vế ta được 4 f  4   1  f  4  

1
.
4

23


Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
Câu 50: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f   x   x 

1
, x  0 và f  1  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m
x

của f  2  .
A. m 

1
 ln 2 .
2

B. m  2  2 ln 2 .

C. m  1  ln 2 .

D. m 

5
 ln 2 .
2

Hướng dẫn giải
Chọn D
2

2


1
5
5
f  2    f  2   f  1   f  1   f   x  dx  f  1    x   dx  1   ln 2  m   ln 2
x
2
2
1
1
x

Câu 51: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R thỏa mãn f  x    1  t 2 f   t  dt . Mệnh đề nào dưới
0

đây đúng ?
A. f  1  f  2   2 f  3  .

B. f  1  f  2   2 f  3  .

C. f  1  f  2   2 f  3  .

D. f  1  f  2   2 f  3  .
Hướng dẫn giải

Chọn B
Đạo hàm hai vế ta được f   x   1  x 2 f   x   f   x  

1
 0, x
1  x2

 f  1  f  2   f  3   f  3   2 f  3 
Câu 52: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn
x

2
2
2
 f  x      f  t   f   t   dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?


0



 



B. f  1  2018 .

A. f  1  2018 e .

C. f  1  2018 .

D. f  1  2018 e .

Hướng dẫn giải
Chọn D



2

 

2 f  x. f  x  f  x  f  x



2



 f x  f x



2

 0  f  x  f  x 

f  x
f  x

1

 ln f  x   x  C  f  x   e x C

Thử vào đẳng thức đã cho suy ra
x
2C 2 x

e e

x

  2 e 2 C e 2 t dt  2018  e 2 C e 2 x  e 2C .e 2 t  2018  e 2C  2018  e C  2018
0

0

Vậy f  x   e x C  e x .e C  2018e x . Suy ra f  1  2018 e .

Câu 53: Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị dương và có đạo hàm f   x  liên tục trên R thỏa mãn
x

2
2
2
2  f  x      4 f  t   f   t   dt  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?


0



 

A. f  1  1009 e 2 .



B. f  1  1009 e .

C. f  1  1009 e .

D. f  1  1009 e 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
24

Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2



 

Đạo hàm hai vế ta được : 4 f  x  . f   x   2 f  x   f   x 
 f   x  2 f  x 

f  x
f  x



2



 f x  2 f x



2

0

 2  ln f  x   2 x  C  f  x   k.e 2 x k  0

Thử vào đẳng thức đã cho suy ra

x
2 4x

2k e

x

  8 k 2 e 4 t dt  2018  2 k 2 e 4 x  2 k 2 .e 4 t  2018  2 k 2  2018  k  1009
0

0

Vậy f  x   1009e 2 x  f  1  1009e 2
Câu 54: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hàm số f ( x ) liên tục, có đạo hàm
đến cấp 2 trên  và f (0)  0, f '(1) 

9
,
2

1
2
 [f '( x)] dx 
0

39
,
4

1

 (x

2

0

5
 x) f "( x)dx  . Tính tích phân
2

2

I   f ( x)dx .
0

A.

14
.
3

B.14.

C.

7
.
3

D. 7.

Lời giải
Chọn D.
9
9
 2 a  b  (1)
2
2
1
4
39
(2)
[ f '( x)]2  ( ax  b)2   ( ax  b) 2 dx  a 2  2 ab  b 2 
3
4
0

Chọn f ( x )  ax 2  bx , f (0)  0; f '( x)  2 ax  b , f '(1) 

1

1

Lại có: f "( x)  2 a   ( x 2  x) f "( x)dx  2 a ( x 2  x)dx 
0

0

5a

5a 5
3

  a  (3)
3
3 2
2

9
Từ đây thay a , b vào (2) kiểm chứng (2) đúng.
2
2
2
3
3
Vậy ta tìm được f ( x )  ( x 2  x) . Vậy I   f ( x)dx   (x 2  x)dx  7
2
20
0

Thay (3) vào (1) ta được b 

Câu 55: Cho hàm số f  x  liên tục trên   thỏa mãn f   x   x 

1
, x    và f  1  1. Tìm giá
x

trị nhỏ nhất của f  2  .
A. 3.

B. 2.

C.

5
 ln 2.
2

D. 4.

Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết f   x   x 

1
, x    nên lấy tích phân hai vế với cận từ 1 đến 2 ta
x

được:
2


1

2


1
3

f   x  dx    x   dx   ln 2.
x
2
1

25