TOAN9 DE7 HK2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 4
Trường THCS QUANG TRUNG
GV: Dương Mộng Thùy Vân
ĐỀ TOÁN LỚP 9 (ĐỀ 1)
Bài 1: (2,25 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

4 x + y = −1
6 x − 2 y = 9

b/ 

a/ (x – 2)2 = 4x – 3

c/ 4x4 – 13x2 +3 = 0

Bài 2: (1 điểm) Sân bóng đá mini (dành cho 5 người) trường THCS Chu Văn An là hình chữ nhật có
chiều rộng nhỏ hơn chiều dài, chu vi là 112m và diện tích là 720m2. Tính kích thước sân bóng đá.
Bài 3: (1,5 điểm)

Cho hàm số y = 2x 2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4 x − 2 có đồ thị là (D)

a/ Vẽ đồ thị (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy.
b/ Cho (D1): y = mx – m + 2. Tìm m để (P) và (D1) có hai điểm chung phân biệt.
Bài 4: (1,75 điểm)

Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 3 = 0 (x là ẩn số)

a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m..
b/ Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m.
2
2

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa hệ thức x1 + x2 = 3 ( x1 + x2 )

Bài 5: (0,75 điểm)
Trong vườn sinh học của nhà trường , các em trong CLB sinh học có thu hoạch được một số rau xanh
gồm: cải ngọt và rau muống . Trong đó 60% là cải ngọt, còn lại là rau muống. Khối lượng cải ngọt nhiều
hơn khối lượng rau muống là 30kg. Giá mỗi kg cải ngọt là 30000 đồng, giá mỗi kg rau muống là 12000
đồng. Hỏi các em trong C LB sinh học bán được bao nhiêu tiền từ số rau xanh thu hoạch được?
Bài 6: (2,75 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD. Tia AD cắt (O) tại M ( M
≠ A). Vẽ ME ⊥ AC tại E.
a/ Chứng minh tứ giác MDEC nội tiếp và AD. AM = AE. AC
b/ Gọi H là điểm đối xứng của M qua BC. Tia BH cắt AC tại S. Chứng minh AH.AD = AS.AC


c/ Tia CH cắt AB tại T, tia MS cắt (O) tại N và BN cắt ST tại I. Chứng minh I là trung điểm MN.

--- HẾT --HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA TOÁN 9 HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ 1
Bài

Nội dung hướng dẫn chấm
Bài 1

a/ 0.75đ

a/ (x – 2)2 = 4x – 3
⇔ x2 – 4x + 4 = 4x – 3
⇔ x2 – 8x + 7 = 0
(a = 1; b = – 8; c = 7)
a+b+c=1–8+7=0

⇒ PT có hai nghiệm phân biệt.
c 7
⇒ x1= 1; x2 = = = 7
a 1

b/ 0,75đ

4 x + y = −1
6 x − 2 y = 9

b/ 

Điểm từng phần
0,25
0,25

0,25

0,25

8 x + 2 y = −2
6 x − 2 y = 9

⇔ 

=7
14 x
⇔ 
4 x + y = −1
1


 x = 2
⇔
4. 1 + y = −1
 2

c/ 0,75đ

1

x =
⇔
2
 y = −3
c/ 4x4 – 13x2 +3 = 0
Đặt t = x2 ≥ 0
⇒ 4t2 – 13t + 3 = 0
(a = 4; b = – 13; c = 3)
∆ = b2 – 4ac = ( – 13)2 – 4.4. 3 = 121 > 0; 121 = 11
⇒ PT có hai nghiệm phân biệt.

0,25

0,25

0,25


− ( −13) +11
−b + ∆

=
= 3 ( n)
2a
2.4
− ( −13) −11 1
−b − ∆
t2 =
=
= ( n)
2a
2.4
4
∗ t 1 = 3 ⇒ x 1 = 3 ; x2 = – 3 ;
1
1
1
∗ t2 = ⇒ x3 = ; x4 = – ;
4
2
2

0,25

Nửa chu vi hình chữ nhật: 112 : 2 = 56 (m)
Gọi x (m) là chiều rộng hình chữ nhật; x > 0.
Chiều dài hình chữ nhật là: 56 – x và x ≤ 28.
Diện tích hình chữ nhật là 720m2, ta có phương trình:
x . (56 – x ) = 720
⇔ – x2 + 56x – 720 = 0
⇔ x2 – 56x + 720 = 0

…………………………
Giải phương trình ta có: x1 = 20 (n); x2 = 36 (loại)
∗ x1 = 20.
Vậy chiều rộng (sân bóng đá mini) là 20m, chiều dài là 36
m.

0,25

t1 =

Bài 2
1đ

Bài 3

0,25

0,25
0,25

0,25

a/ ∗Bảng giá trị:

a/

x

1đ

y = 2x2

–2

–1

0

1

8

2

0

2

0,25

x

1

2

y = 4x – 2

2

6

0,25

∗Vẽ đồ thị:

0,25

0,25


b/
0,5

b/

Tìm m để (P) và (D1) có hai điểm chung phân biệt.

 y = 2 x 2 ( P )

 y = mx − m + 2

0,25

( D1 )

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D 1):
2x2 = mx – m + 2
⇔ 2x2 – mx + m – 2 = 0
(a = 2; b = – m ; c = m – 2 )

∆ = b2 – 4ac
= ( – m)2 – 4. 2. (m – 2)
= m2 – 8m + 16
= (m – 4)2
∗Để (P) và (D1) cắt nhau tai hai điểm phân biệt thì:
∆ > 0 ⇔ (m – 4)2 > 0 mà (m – 4)2 ≥ 0; ∀ m .
⇒ (m – 4)2 ≠ 0
⇔m – 4 ≠ 0
⇔m ≠ 4
Vậy m ≠ 4 thì (P) và (D1) có hai điểm chung phân biệt.

0,25


Bài 4
a/
0,5đ

a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m.
x2 – 2mx + 2m – 3 = 0
(a = 1; b’= – m ; c = 2m – 3)
∆’ = b’2 – ac
0,25

= ( – m)2 – 1. (2m – 3)
= m2 – 2m + 3
= (m – 1)2 + 2 > 0; ∀ m

(vì (m – 1)2≥ 0; ∀ m )

Vậy PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b/
0,5đ

c/
0,75đ

b/ Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m

−b − ( −2m )
=
= 2m
 S = x1 + x2 =
a
1

 P = x x = c = 2m − 3 = 2m − 3
1 2

a
1

0,25

0,25
0,25

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 thỏa hệ thức:

x12 + x2 2 = 3 ( x1 + x2 )
⇔ S2 – 2P = 3S

0,25

⇔ (2m) – 2.(2m – 3) = 3.2m
2

⇔…

0,25

⇔ 2m2 – 5m + 3 = 0
a+b+c=2+(–5)+3=0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔ m1 = 1(n) hay m =

3
(n)
2

Vậy m = 1hay m =

3
hai nghiệm x1; x2 của PT thỏa hệ
2

thức:

0,25

x12 + x2 2 = 3 ( x1 + x2 )

Bài 5

Gọi x (kg) là khối lượng cải ngọt (x > 30)

0,75đ

Khối lượng rau muống là : x – 30 (kg)

0,25


Số cải ngọt chiếm 60% tổng số rau xanh thu hoạch, nên
khối lượng cải ngọt và khối lượng rau muống tỉ lệ theo 3:2
Ta có phương trình:
x x − 30
=
⇔ 2x = 3(x – 30) ⇔ – x = – 90
3
2
⇔ x = 90 (n)

0,25

Số kg cải ngọt thu hoạch được: 90 kg.
Số kg rau muống thu hoạch được: 90 – 30 = 60(kg)
Số tiền các em trong CLB sinh học bán được :
90. 30000 + 60 . 12000 = 3420000 (đồng)

0,25

Vậy tổng số tiền thu được là 3420000 (đồng)
Bài 6

a/
1đ

a/ CM tứ giác MDEC nội tiếp và AD. AM = AE. AC
∗Xét tứ giác MDEC:

0,25

·
MDC
= 900 (AD là đường cao ∆ABC)
·
MEC
= 900 (ME ⊥ AC tại E)

0,25


·
·
⇒ MDC
= MEC
= 900
⇒ Tứ giác MDEC nội tiếp ( Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh MC

dưới 1 góc vuông)
∗ Xét ∆ADE và ∆ACM:
·
chung
MAC
·ADE = ·ACM ( góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác nội
tiếp MDEC).
⇒ ∆ADE ∼ ∆ACM (g – g)
b/
1đ

⇒

0,25

0,25

AD AE
DE
=
=
AC AM CM

⇒ AD . AM = AE . AC

0,25

b/ Chứng minh AH.AD = AS.AC
H là điểm đối xứng của M qua BC.
⇒ BC là đường trung trực của HM.

0,25

⇒ BC ⊥ HM tại D mà BC ⊥ AD tại D
⇒ A, H, D, M thẳng hàng.

0,25

∗Xét ∆BHM có : BH = BM (tính chất đối xứng)
⇒ ∆ BHM cân tại B
·
·
·
·
⇒ BMH
mà BMH
(cùng chắn cung AB)
= BCA
= BHM
·
·
⇒ BHM
= BCA
⇒ tứ giác HSCD nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)
·
⇒BSC
= 900

0,25

c/
0,75đ

∗Xét ∆AHS và ∆ACD
·
chung
DAC
·AHS = ·ACD ( góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác
nội tiếp HSCD)

0,25

⇒∆AHS ∼ ∆ACD (g – g)

0,25

⇒

AH AS HS
=
=
AC AD CD

⇒AH. AD = AS. AC
c/ Chứng minh I là trung điểm MN
Chứng minh H là trực tâm ∆ABC
Chứng minh tứ giác BTSC nội tiếp
Chứng minh BE2= BI. BN = BK. BA
Chứng minh IK = IS = IT suy ra đpcm.

0,25