Chuyên đề: Đường tròn

Nguyễn Thị Băng
Đ ờng tròn
I. Kiến thức cần nhớ
1. Ph ơng trình đ ờng tròn :

Phơng trình đờng tròn tâm I(a;b), bán kính R có dạng:

2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
(1)
Hay dạng khai triển:
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
với điều kiện
2 2 2
c a b R= +


Phơng trình
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
(2) với điều kiện
2 2
0a b c+ >
là phơng trình
đờng tròn tâm I(a;b), bán kính
2 2
R a b c= +
2. Ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn :
Cho đờng tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R
a. Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C) tại điểm

0 0
( ; )M x y
Tiếp tuyến của đờng tròn tại M là đờng thẳng đi qua M và có VTPT
MI
uuur
0 0
( ; )a x b y
nên tiếp tuyến có phơng trình là:

0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0a x x x b y y y + =
b. Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
Để viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
ta
sử dụng điều kiện sau:
Đờng thẳng

: Ax+By+C=0 tiếp xúc với (C)

d(I;

)= R
3. Vị trí t ơng đối của điểm và đ ờng tròn :
Cho đờng (C) có tâm I(a;b), bán kính R và điểm
0 0
( ; )M x y

+) IM>R

M nằm ngoài đờng tròn
+) IM=R

M nằm trên đờng tròn
+) IM<R

M nằm trong đờng tròn
Chú ý: Để kiểm tra một điểm
0 0
( ; )M x y
có nằm trên đờng tròn hay không ta có
thể làm theo một trong hai cách sau:
C1: so sánh IM và R
C2: Thay toạ độ điểm M vào phơng trình đờng tròn, nếu thoả
mãn phơng trình thì M nằm trên đờng tròn , nếu không thì M không nằm trên đờng
tròn
(Thông thờng làm theo cách 2)
4. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng tròn :
Cho đờng (C) có tâm I(a;b), bán kính R và đờng thẳng

: Ax+By+C=0
+) d(I; )>R

không cắt (C)
+) d(I; )=R

tiếp xúc với (C)
+) d(I; )<R

cắt (C) tại điểm hai điểm phân biệt
Chú ý: Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và ta giải hệ phơng trình sau:

( )PT C
PT




5. Vị trí t ơng đối của hai đ ờng tròn :
Cho hai đờng tròn không đồng tâm :
(
1
C
):
2 2
1 1 1
2 2 0x y a x b y c+ + =
có tâm
1 1 1
( ; )I a b
, bán kính R=
2 2
1 1 1
a b c+
Nguyễn Thị Băng
và (
2
C

):
2 2
2 2 2
2 2 0x y a x b y c+ + =
có tâm
2 2 2
( ; )I a b
, bán kính R=
2 2
2 2 2
a b c+

Xét vị trí tơng đối của hai đờng tròn (
1
C
) và (
2
C
)
+)
1 2 1 2
I I R R> +


(
1
C
) và (
2
C

) không cắt nhau và ở ngoài nhau
+)
1 2 1 2
I I R R<


(
1
C
) và (
2
C
) không cắt nhau và lồng nhau
+)
1 2 1 2
I I R R= +


(
1
C
) và (
2
C
) tiếp xúc ngoài với nhau
+)
1 2 1 2
I I R R=

(
1
C
) và (
2
C
) tiếp xúc trong với nhau
+)
1 2 1 2 1 2
R R I I R R < < +

(
1
C
) và (
2
C
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Để tìm toạ độ giao điểm của (
1
C
) và (
2
C
) ta cũng giải hệ phơng trình tạo
bởi (
1
C
) và (
2

C
)
6. Tiếp tuyến chung của hai đ ờng tròn :
Cho hai đờng tròn không đồng tâm :
(
1
C
):
2 2
1 1 1
2 2 0x y a x b y c+ + =
có tâm
1 1 1
( ; )I a b
, bán kính R=
2 2
1 1 1
a b c+
và (
2
C
):
2 2
2 2 2
2 2 0x y a x b y c+ + =
có tâm
2 2 2
( ; )I a b
, bán kính R=
2 2

2 2 2
a b c+

+) Nếu (
1
C
) và (
2
C
) ngoài nhau: có 4 tiếp tuyến chung
+) Nếu (
1
C
) và (
2
C
) tiếp xúc ngoài : có 3 tiếp tuyến chung
+) Nếu (
1
C
) và (
2
C
) cắt nhau : có 2 tiếp tuyến chung
+) Nếu (
1
C
) và (
2
C

) tiếp xúc trong : có 1 tiếp tuyến chung
+) Nếu (
1
C
) và (
2
C
) lồng nhau : không có tiếp tuyến chung
Để viết phơng trình tiếp tuyến chung ta thờng gọi phơng trình tiếp tuyến chung ,
sau đó sử dụng điều kiện để một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn
II. Các dạng bài tập :
Dạng 1: Xác định toạ độ tâm và bán kính của đ ờng tròn
Bài 1: Tìm toạ độ tâm và bán kính của các đờng tròn sau
a.
2 2
( 4) ( 2) 7x y+ + =
d.
2 2
10 10 55x y x y+ =
b.
2 2
( 5) ( 7) 15x y + + =
e.
2 2
8 6 8 0x y x y+ + + =
c.
2 2
6 4 36x y x y+ =
f.
2 2

4 10 15 0x y x y+ + + + =

Bài 2: Cho đờng cong (
Cm
) có phơng trình:

2 2
( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m+ + + + + =
a. CMR: (
Cm
) luôn là đờng tròn với mọi giá trị của m
b. Tìm tập hợp tâm các đờng tròn (
Cm
) khi m thay đổi
c. CMR khi m thay đổi, họ các đờng tròn (
Cm
) luôn đi qua hai điểm cố định
d. Tìm những điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ (
Cm
) không đi qua dù m lấy
bất cứ giá trị nào
Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng tròn thoả mãn điều kiện cho tr ớc
Ph ơng pháp : PP1: Tìm tâm và bán kính, sau đó thay vào phơng trình (1)
PP2: Gọi phơng trình đờng tròn cần tìm có dạng (2) . Sau đó sử dụng
giả thiết để tìm ra các tham số a,b,c(thông thờng phải thiết lập đợc hệ gồm 3 phơng
trình ẩn là a,b,c )
Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau
a. Đi qua điểm A(3;4) và có tâm là gốc toạ độ
Nguyễn Thị Băng
b. Đi qua điểm A(3;1), B(5;5) và tâm I nằm trên trục tung

c. Đi qua điểm A(1;2), B(2;1) và tâm I nằm trên d: 3x+4y+7=0
d. Đi qua điểm A(1;2), B(3;1) và tâm I nằm trên d: 7x+3y+1=0
e. Đờng kính AB với A(1;1) và B(3;3)
f. Đi qua 3 điểm A(1;3), B(5;6), C(7;0)
( Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
g. Tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC biết:
AB: 3x+4y-6=0; AC: 4x+3y-1=0; BC: y=0
(Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC)
h. Đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với các trục toạ độ
i. Có tâm I thuộc đờng thẳng d: 3x-5y-8=0 và tiếp xúc với các trục toạ độ
j. Đi qua điểm A(9;9) và tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(6;0)
k. Đi qua hai điểm A(-1;0), B(1;2) và tiếp xúc với đờng thẳng x-y-1=0
Bài 4: (B-05) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0), B(6;4). Viết
phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng
cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5
Bài 5: (A-07) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),
B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đờng cao kẻ từ B; M và N lần lợt là trung
điểm của các cạnh AB và BC. Viết phơng trình đờng tròn đi qua các điểm
H,M,N
Dạng 3: Viết ph ơng trình tiếp tuyến của đ ờng tròn
+) Tiếp tuyến tại một điểm
+) Tiếp tuyến đi qua một điểm
0 0
( ; )M x y
C1: Gọi phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo PTTQ. Sau đó sử
dụng điều kiện để một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn
C2: Tiến hành làm theo hai bớc:
B1: Kiểm tra đờng thẳng :
0
x x=

có phải là tiếp tuyến của đờng
tròn không?
B2: Gọi phơng trình tiếp tuyến cần tìm theo hệ số góc. Sau đó sử
dụng điều kiện để một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn

Bài 6: Cho đờng tròn (C):
2 2
( 2) ( 1) 25x y + =
a. Xác định tâm và bán kính của đờng tròn
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn tại điểm M(6;-2)
c. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-
3;2)
d. Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn biết tiếp tuyến song song với đờng
thẳng

: 5x-12y+10=0
Bài 7: Cho đờng tròn (C):
2 2
6 2 6 0x y x y+ + + =
và điểm A(1;3)
a. CMR: A ở ngoài đờng tròn
b. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A
c. Gọi
1
T
,
2
T
là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác A
1

T
2
T
Bài 8: Cho đờng tròn (C):
2 2
4x y+ =
và một điểm A(2;4). Từ M kẻ hai tiếp tuyến
Nguyễn Thị Băng

1
MT
,
2
MT
với đờng tròn, trong đó
1
T
,
2
T
là các tiếp điểm
a. Viết phơng trình đờng thẳng
1
T
2
T
b. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) song song với
1
T
2

T

Dang 4: Vi trí t ơng đối của điểm và đ ờng tròn
Ph ơng pháp : để xét vị trí tơng đối của điểm
0 0
( ; )M x y
và đờng tròn (C) tâm
I(a;b), bán kính R ta có hai cách sau:
C1: so sánh IM và R
C2: Sử dụng Phơng tích của một điểm
Nhắc lại khái niệm Phơng tích của một điểm: Cho đờng tròn (I;R) và một
điểm M. Một đờng thẳng

thay đổi , luôn đi qua M , cắt đờng tròn tại hai
điểm A và B. Khi đó P (M;O)=
2 2 2 2
.MA MB MI R d R= =
uuur uuur
(d=MI)
Khi đó: +) Nếu P (M;O)>0 thì M nằm ngoài đờng tròn (C)
+) Nếu P (M;O)=0 thì M nằm trên đờng tròn (C)
+) Nếu P (M;O)<0 thì M nằm trong đờng tròn (C)
Chú ý: +) Nếu đờng tròn (C) có phơng trình:
2 2
2 2 0x y ax by c+ + =
và
0 0
( ; )M x y
thì
P (M;O)=

2 2
0 0 0 0
2 2x y ax by c+ +
+) Nếu đờng tròn (C) có phơng trình:
2 2 2
( ) ( )x a y b R + =
và
0 0
( ; )M x y
thì
P (M;O)=
2 2 2
0 0
( ) ( )x a y b R +
Bài 9: Cho đờng tròn (C):
2 2
2 2 7 0x y x y+ =
. Xét vị trí tơng đối của điểm M đối
với đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a. M(1;1) b. M(4;1) c. M(3;5)
Bài 10: Tìm điểm M thuộc đờng tròn (C):
2 2
4 6 11 0x y x y+ + =
sao cho khoảng
cách MA đạt giá trị lớn nhất , nhỏ nhất biết:
a. A(3;2) b. A(0;1)
Dạng 5: Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng tròn
Ph ơng pháp : Để xét vị trí tơng đối của đờng thẳng

và đờng tròn (C) ta

có hai cách sau:
C1: +) Tính d(I;

)
+) So sánh d(I;

) với R. Từ đó rút ra kết luận
C2: Xét hệ phơng trình tạo bởi phơng trình của đờng thẳng và ph-
ơng trình của đờng tròn
Bài 11: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng

và đờng tròn (C) trong các trờng hợp
sau:
a.

: x+y-4=0 và (C):
2 2
2 2 1 0x y x y+ + + + =
b. : 3x+4y-12=0 và (C):
2 2
2 2 1 0x y x y+ + =
c. : 2x-y-5=0 và (C):
2 2
20 50 0x y x+ + =
Bài 12: Cho đờng thẳng d: 3x+4y-3=0 và đờng tròn (C) có phơng trình :
Nguyễn Thị Băng

2 2
7 0x y x y+ =

a. Xác định toạ độ giao điểm của d và (C)
b. Lập phơng trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó
Bài 13: Cho đờng thẳng d: 3x-2y-1=0 và đờng tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 2x y+ + + =

a. Xác định vị trí tơng đối của d và (C)
b. Tìm trên d điểm
0 0
( ; )M x y
sao cho
2 2
0 0
x y+
đạt giá trị nhỏ nhất
c. Tìm trên d điểm
1 1
( ; )N x y
sao cho
1 1
x y+
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 14: Cho đờng tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y + =
. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
M(2;1) và cắt đờng tròn (C) tại hai điểm E,F sao cho M là trung điểm của EF
Bài 15: Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng tròn (C):
2 2
4 6 11 0x y x y+ + =

sao cho
khoảng cách từ M đến

dạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Biết:
a.

: x-y-2=0
b.

: x+y-7=0
c.

: y-1=0
Dạng 6: Vị trí t ơng đối của hai đ ờng tròn và ph ơng trình tiếp tuyến chung của
hai đ ờng tròn
Ph ơng pháp : xem lại phần lí thuyết
Bài16: Cho hai đờng tròn: (
1
C
):
2 2
4 8 11 0x y x y+ + =
và (
2
C
):
2 2
2 2 2 0x y x y+ =
a. Xét vị trí tơng đối của (
1

C
)và (
2
C
)
b. Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (
1
C
)và (
2
C
)
Bài 17: Cho hai đờng tròn (
1
C
):
2 2
2 4 4 0x y x y+ + =
và (
2
C
):
2 2
2 2 14 0x y x y+ + =
a. CMR hai đờng tròn (
1
C
)và (
2
C

) cắt nhau
b. Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của (
1
C
)và (
2
C
) và qua điểm
M(0;1)
BTVN
BT1: .Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy , cho im v ng
trũn (O) :
1. Chng minh rng A l mt im nm ngoi ng trũn (O).
2. Vit phng trỡnh cỏc ng thng i qua im A v tip xỳc vi ng trũn (O).
BT2: Trong mt phng vi h ta cỏc vuụng gúc Oxy cho ng thng
v hai im
1. Vit phng trỡnh ng trũn i qua v cú tõm .
2. Vit phng trỡnh ng tip tuyn ti A vi ng trũn .
NguyÔn ThÞ B¨ng
3. Viết phương trình các tiếp tuyến với , biết tiếp tuyến đi qua . Tìm tọa độ tiếp
điểm .
BT3: Cho ®êng trßn: .. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn
cã hÖ sè gãc .
BT4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(- 2; 1) và đường thẳng d : 3x - 4y = 0
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
b. Viết phương trình tập hợp các điểm mà qua các điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) sao
cho hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
BT5: Cho đường tròn
Và đường thẳng
a. Chứng minh rằng không cắt

b. Từ điểm M thuộc kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng
minh rằng khi M thay đổi trên thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
BT6: Cho họ đường tròn có phương trình:
Tìm tập hợp tâm của khi thay đổi.
BT7: Viết phương trình đường tròn đi qua A(1,0) và tiếp xúc với hai đường thẳng
BT8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn và một điểm
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt theo một dây cung có độ dài 8
BT9: Trong mặt phẳng với hệ Đề các trực chuẩn , cho đường tròn và
đường thẳng
a. Chứng minh rằng từ một điểm M bất kỳ trên ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến phân
biệt tới (C).
b. Giả sử hai tiếp tuyến từ M tới (C) có các tiếp điểm là A và B. Chứng minh rằng khi M
chạy trên đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
BT10: Cho đường tròn và đường thẳng ( là
tham số).
a. Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt .
b. Tìm để độ dài đoạn luôn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
NguyÔn ThÞ B¨ng
BT11: Cho họ đường tròn có phương trình:
Chứng minh rằng luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
BT12: Trong mặt phẳng tọa độ cho có phương trình .Viết
phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm đến .
BT13: Cho hai đường tròn
có tâm lần lượt là và
1. Chứng minh tiếp xúc ngoài với và tìm tọa độ tiếp điểm .
2. Gọi là một tiếp tuyến chung không đi qua của và . Tìm tọa độ giao điểm
của và đường thẳng .
Viết phương trình đường trong đi qua và tiếp xúc với hai đường tròn và tại .
BT14: Trong mặt phẳng với hệ tạo độ vuông góc Oxy, xét họ đường tròn có phương trình

( là tham số).
Xác định tọa độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với trục Oy.
BT15 : Cho họ đường tròn có phương trình:
Tim để tiếp xúc với
BT16 : Cho họ đường tròn có phương trình:
Tìm để tiếp xúc với đường tròn
BT17 : Cho đường tròn có phương trình: .Viết phương trình tiếp
tuyến của đường tròn đi qua .
BT18 : Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng hai nghiệm
BT 19 : Cho đường tròn (T) có phương trình :
a. Xác định tâm và bán kính của (T).