Biểu diễn nhóm hữu hạn

TRƯƠNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN HUYỀN NGỌC

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN HUYỀN NGỌC

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
Th.S ĐỖ VĂN KIÊN

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã
nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo
trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với
các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là Th.S Đỗ Văn Kiên người đã tận tình
hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này.
Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề
mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Em
kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Huyền Ngọc


LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Biểu diễn nhóm hữu
hạn” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận
của mình. Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu
tham khảo của khóa luận.
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ
lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của Th.S Đỗ Văn Kiên
cũng như các thầy cô trong tổ Đại số. Đây là đề tài không trùng với đề
tài của các tác giả khác.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các

bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Huyền Ngọc


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................... 3
1.1. Nhóm ............................................................................................... 3
1.1.1. Khái niệm nhóm........................................................................ 3
1.1.2. Nhóm con .................................................................................. 5
1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương ...................................... 5
1.1.4. Đồng cấu nhóm ......................................................................... 6
1.1.5. Nhóm cyclic và cấp của nhóm .................................................. 8
1.1.6. Nhóm hữu hạn........................................................................... 8
1.2. Vành và trường ............................................................................. 10
1.2.1. Vành ........................................................................................ 10
1.2.2. Trường..................................................................................... 11
1.3. Môđun ........................................................................................... 11
1.3.1. Định nghĩa môđun .................................................................. 11
1.3.2. Môđun con .............................................................................. 12
1.3.3. Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ ................................................. 12
1.3.4. Đồng cấu môđun ..................................................................... 14
1.3.5. Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của hai đồng cấu môđun ......... 14
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN .............. 16
2.1. Các định nghĩa và ví dụ ................................................................ 16
2.1.1. Biểu diễn ma trận .................................................................... 16

2.1.2. Biểu diễn tuyến tính ................................................................ 18
2.2. Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun ......................................... 22
2.3. Hai biểu diễn tương đương ........................................................... 24
2.3.1. Định nghĩa .................................................................................. 24
2.3.2. Biểu diễn con .......................................................................... 24


2.3.3. Biểu diễn bất khả quy ............................................................. 25
2.3.4. Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của các biểu diễn .................... 25
2.3.5. Mối quan hệ giữa các biểu diễn tuyến tính và các biểu diễn bất
khả quy .............................................................................................. 26
2.4. Đặc trưng của biểu diễn ................................................................ 28
2.4.1. Vết của biểu diễn .................................................................... 28
2.4.2. Đặc trưng của biểu diễn .......................................................... 29
2.4.3. Đặc trưng của tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của biểu diễn .... 30
2.5. Bổ đề Schur ................................................................................... 31
2.5.1. Định lý 2.5.1 (bổ đề Schur). ................................................... 31
2.5.2. Các hệ quả ............................................................................... 32
2.6. Đặc trưng của biểu diễn bất khả quy ............................................ 34
2.6.1. Tích vô hướng ......................................................................... 34
2.6.2. Đặc trưng bất khả quy ............................................................. 35
2.6.3. Số các biểu diễn bất khả quy .................................................. 37
2.7. Biểu diễn cảm sinh ........................................................................ 38
CHƯƠNG 3. BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN ............ 40
3.1. Biểu diễn của nhóm Abel.............................................................. 40
3.2. Biểu diễn của nhóm đối xứng ....................................................... 42
3.2.1. Định nghĩa............................................................................... 42
3.2.2. Biểu diễn của ࡿ࢔ (࢔ ≤ ૝) ...................................................... 42
3.3. Nhóm thay phiên ........................................................................... 44
3.2.2. Biểu diễn của nhóm ࡭࢔ (࢔ ≥ ૝)............................................ 45

KẾT LUẬN ............................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 49


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học, nó góp
phần thúc đẩy sự phát triển của toán học nói riêng và của loài người nói
chung. Ngày nay, khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển, toán học nói
chung và Đại số nói riêng cũng có những bước tiến bộ vượt bậc. Những
tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết
các lĩnh vực của toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất
lượng tử, cũng như một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học
lượng tử,… Có thể nói mọi ngành toán học đều cần tới đại số đại cương
và những hiểu biết về cấu trúc đại số. Trong đó nhóm hữu hạn là một
trong những đối tượng cơ bản của toán học. Nhóm hữu hạn là một nội
dung có nhiều ứng dụng trong Đại số đại cương đặc biệt là cấu trúc
nhóm. Vì vậy, với lòng yêu thích và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về nội
dung này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của
một khóa luận tốt nghiệp, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo –
Thạc sỹ Đỗ Văn Kiên, em xin trình bày những hiểu biết của mình về đề
tài “Biểu diễn nhóm hữu hạn”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong quá trình tìm hiểu đề tài đã giúp em làm quen với việc nghiên
cứu khoa học, tinh thần làm việc độc lập, tìm hiểu sâu hơn về đại số đặc
biệt là hiểu rõ hơn về nhóm hữu hạn thông qua biểu diễn của nó.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc
trưng của biểu diễn nhóm hữu hạn, các hình thức biểu diễn nhóm hữu

Nguyễn Huyền Ngọc

1

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

hạn và biểu diễn của một số nhóm đặc biệt như Abel ,Cyclic, đối xứng,
thay phiên.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên
cứu, lý luận phân tích, tổng hợp, đánh giá.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm có 3 chương:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Chương 2. Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn
• Chương 3. Biểu diễn của một số nhóm đặc biệt
Trong suốt quá trình thực hiện, được sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của
thầy giáo – Th.s Đỗ Văn Kiên, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
cuối khóa. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy.

Nguyễn Huyền Ngọc

2

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 1
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nhóm
1.1.1. Khái niệm nhóm
Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm là một cặp (‫ܩ‬, . ) trong đó ‫ ܩ‬là một tập hợp
khác rỗng và (. ) là một phép toán hai ngôi trên ‫ ܩ‬thỏa mãn 3 điều kiện
sau:
(G1) Kết hợp: Với mọi ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ܩ ∈ ݖ‬ta có ‫;ݖ)ݕݔ( = )ݖݕ(ݔ‬
(G2) Có đơn vị: Với mỗi ‫ ܩ ∈ ݔ‬tồn tại phần tử ݁ ∈ ‫ ܩ‬sao cho
‫;ݔ = ݔ݁ = ݁ݔ‬
(G3) Có nghịch đảo: Với mỗi ‫ ܩ ∈ ݔ‬luôn tồn tại phần tử ‫ ܩ ∈ ’ݔ‬sao cho
‫݁ = ݔ’ݔ = ’ݔݔ‬.
Chú ý 1.1.1.
+) Phần tử ݁ gọi là phần tử đơn vị của nhóm ‫ܩ‬.
+) Phần tử ‫ݔ‬′ thỏa mãn điều kiện (G3) gọi là phần tử nghịch đảo của‫ݔ‬,
thường kí hiệu ‫ି ݔ‬ଵ .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu phép toán trên ‫ ܩ‬thỏa mãn điều kiện
(G4) Giao hoán: ‫ݔݕ = ݕݔ‬,với mọi ‫ݔ‬, ‫ ܩ ∈ ݕ‬thì nhóm ‫ ܩ‬được gọi là
nhóm giao hoán (hay nhóm Abel).

Mệnh đề 1.1.1. Cho ‫ ܩ‬là một nhóm khi đó
b1. Mỗi phần tử ‫ ݔ‬của ‫ ܩ‬chỉ tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo
‫ି ݔ‬ଵ . Đặc biệt : ݁ ିଵ = ݁
b2. Trong ‫ ܩ‬có luật giản ước, hay mọi phần tử đều chính quy tức là với
mọi ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ܩ ∈ ݖ‬
‫ݖ = ݕ ⇒ ݖݔ = ݕݔ‬
‫ݖ = ݕ ⇒ ݔݖ = ݔݕ‬

Nguyễn Huyền Ngọc

3

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b3. Trong nhóm ‫ܩ‬, phương trình ܽ‫( ܾ = ݔ‬hoặc ‫ )ܾ = ܽݔ‬có nghiệm duy
nhất.
b4. Cho ‫ ܩ ∈ ݔ‬khi đó và số nguyên dương n ta định nghĩa
‫ ݔ‬௡ = x. x......... x
n

Khi đó với mọi số nguyên m ta có
‫ି ݔ‬௡ = (‫ି ݔ‬ଵ )௡
‫ ݔ‬௡ ‫ ݔ‬௠ = ‫ ݔ‬௡ା௠
(‫ ݔ‬௡ )௠ = ‫ ݔ‬௡௠
b5. Nếu ‫ ܩ‬là nhóm Abel thì với mọi x, y thuộc G ta có

(‫)ݕݔ‬௡ = ‫ ݔ‬௡ ‫ ݕ‬௡ .
Ví dụ 1.1.1.
1) Các tập ℚ*, ℝ* đều lập thành nhóm giao hoán với phép nhân thông
thường.
2) Tập hợp các số nguyên ℤ lập thành một nhóm Abel với phép toán
cộng thông thường.
3)

Tập

ܵଷ = ሼ݁; ݂ଵ = (23); ݂ଶ = (13); ݂ଷ = (12); ݂ସ = (123); ݂ହ =

(132)ሽ là tập các phép thế 3 phần tử lập thành một nhóm với phép nhân
các ánh xạ, nhóm này không giao hoán.
Ví dụ 1.1.2. Nhóm Quaternion Q8 là nhóm sinh bởi hai phần tử a và b và
ba quan hệ sau:
a 4 = e, a 2 = b 2 , aba = b

Q8 = a, b | a4 = e, a2 = b2 , aba = b
Ta thấy quan hệ này chỉ ra rằng mỗi phần tử của Q8 đều bằng một trong
8 phần tử sau:

Nguyễn Huyền Ngọc

4

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

{a b | 0 ≤ s ≤ 3;0 ≤ t ≤ 1}
= {e, a, a , a , b, ab, a b, a b}
s t

Vậy Q8

2

3

2

3

1.1.2. Nhóm con
Định nghĩa 1.1.3. Cho ‫ ܩ‬là một nhóm cùng với phép toán hai ngôi (·), ‫ܣ‬
là một bộ phận ổn định của ‫ܩ‬. ‫ ܣ‬được gọi là nhóm con của nhóm ‫ ܩ‬nếu
‫ ܣ‬cùng với phép toán cảm sinh lập thành một nhóm.
Mệnh đề 1.1.2. Một bộ phận A của một nhóm X là nhóm con của X nếu
và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A

ii)

e ∈ A , với e là phần tử trung lập của X

iii)

Với mọi x ∈ A, x −1 ∈ A .

Mệnh đề 1.1.3. Giao của một họ bất kỳ những nhóm con của một nhóm
‫ ܩ‬là một nhóm con của ‫ ܩ‬.
Ví dụ 1.1.3. Cho ‫ ܩ‬là một nhóm, ܽ ∈ ‫ ܩ‬. Đặt ‫ = ܣ‬ሼܽ௡ |݊ ∈ ℤሽ thì ‫ ܣ‬là
một nhóm con của ‫ ܩ‬.

1.1.3. Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử ‫ ܩ‬là một nhóm và‫ ܣ‬là nhóm con của ‫ ܩ‬. Khi
đó, ‫ ܣ‬được gọi là nhóm con chuẩn tắc của ‫ ܩ‬nếu ‫ି ݔ‬ଵ . ‫ݏ‬. ‫ ܵ ∈ ݔ‬với mọi
‫ ܣ ∈ ݏ‬và mọi x ∈ G . Ký hiệu ‫ ܩ ⊲ ܣ‬.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử A là một nhóm con của nhóm G. các điều kiện
sau là tương đương:
i)

A là chuẩn tắc

ii)

xA = Ax với mọi x ∈ G

Ví dụ 1.1.4. Trong nhóm các phép thế S3 ta xét nhóm con A3 gồm các
phép thế chẵn. Ta có

Nguyễn Huyền Ngọc

5

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
eA3 = A3 = {e, f1 , f 2 }

Vì f1, f2 ∈e A3 nên

e A3 = f1 A3 = f2 A3
Vì các lớp trái của A3 là các lớp tương đương nên chúng thành lập một sự
chia lớp của S3 , vậy ngoài lớp trái eA3 ra ta chỉ còn một lớp trái gồm các
phần tử còn lại f3 , f 4 , f5 . Ta suy ra
f 3 A3 = f 4 A3 = f5 A3 = { f 3 , f 4 , f5}

Cũng bằng lý luận tương tự, ta được
A3 = A3e = A3 f1 = A3 f 2 = {e, f1 , f 2 }
A3 f 3 = A3 f 4 = A3 f5 = { f3 , f 4 , f5}

Do đó A3 là chuẩn tắc.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử ‫ ܣ‬là một nhóm con chuẩn tắc của ‫ ܩ‬thì ‫ܩ‬/‫ܣ‬
cùng với phép toán hai ngôi đi từ ‫ܩ‬/‫ܩ × ܣ‬/‫ ܣ‬đến ‫ܩ‬/‫ ܣ‬biến (‫ܣݔ‬, ‫)ܣݕ‬
thành ‫ ܣݕݔ‬lập thành một nhóm gọi là nhóm thương của ‫ ܩ‬trên ‫ܣ‬.
Ví dụ 1.1.5. Tập thương ℤ/5ℤ cùng với phép toán (+) được định nghĩa
như sau
∀‫ ̅ݔ‬,‫ݕ‬ത ∈ ℤ/5ℤ :‫ ̅ݔ‬+‫ݕ‬ത = തതതതതതത
‫ݔ‬+‫ݕ‬
lập thành 1 nhóm thương.

1.1.4. Đồng cấu nhóm
Định nghĩa 1.1.6. Cho (ܺ, . ); (ܻ, . ) là 2 nhóm. Ánh xạ ݂: ܺ → ܻ gọi là
đồng cấu nhóm nếu với mọi ‫ݔ‬, ‫ ܺ ∈ ݕ‬ta có ݂(‫ݔ‬. ‫)ݔ(݂ = )ݕ‬. ݂(‫)ݕ‬
Đồng cấu ݂ được gọi là đơn cấu nếu ݂ là đơn ánh;
Đồng cấu ݂ được gọi là toàn cấu nếu ݂là toàn ánh;
Đồng cấu ݂ được gọi là đẳng cấu nếu ݂ là song ánh.

Nguyễn Huyền Ngọc

6

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chú ý 1.1.2.
-

Nếu tồn tại đẳng cấu ݂: ܺ → ܻthì ta cũng nói ܺ đẳng cấu với ܻ, ký

hiệu ܺ ≅ ܻ.
-

Nếu ܺ ≡ ܻ thì đồng cấu ݂: ܺ → ܺ gọi là tự đồng cấu.

Định nghĩa 1.1.7. Cho ݂: ܺ → ܻ là đồng cấu nhóm. Ta gọi các tập:
‫ = ݂ݎ݁ܭ‬ሼ‫݂|ܺ ∈ ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ݁௒ ሽ là hạt nhân của ݂

‫ = ݂݉ܫ‬ሼ݂ሺ‫ݔ‬ሻ|∀‫ܺ ∈ ݔ‬ሽ = ሺܺሻ là ảnh của ݂.

Mệnh đề 1.1.5.Cho ݂: ܺ → ܻ là đồng cấu nhóm. Khi đó:
i)

f (eX ) = eY

ii)

f ( x −1 ) =  f ( x ) 

−1

với mọi x ∈ X

iii)

Nếu ‫ ܻ ⊲ ܤ ; ܺ ⊂ ܣ‬thì ݂ሺ‫ܣ‬ሻ ⊂ ܻ và ݂ ିଵ ሺ‫ܤ‬ሻ ⊲ ܺ. Đặc biệt ta

iv)

݂ là đơn cấu khi và chỉ khi ‫ = ݂ݎ݁ܭ‬ሼ݁௑ ሽ

có ‫ܻ ⊂ ݂݉ܫ ;ܺ ⊲ ݂ݎ݁ܭ‬

݂ là toàn cấu khi và chỉ khi ‫ܻ = ݂݉ܫ‬

Mệnh đề 1.1.6. Tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm
f : X → Y ; g : Y → Z là hai đồng cấu nhóm. Khi đó gf : X → Z là một

đồng cấu nhóm.
Mệnh đề 1.1.7. (Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm)

Giả sử ݂: ܺ → ܻ là đồng cấu nhóm ‫݌‬: ܺ → ܺ/ ‫ ݂ݎ݁ܭ‬là toàn cấu chính

tắc. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu ݂ ̅ ∶ ܺ/‫ ܻ → ݂ݎ݁ܭ‬sao cho
ഥ ‫ ̅ ݂ ;݌‬là đơn cấu và ‫݂ = ̅ ݂݉ܫ‬ሺܺሻ tức là biểu đồ sau giao hoán
݂: ݂.
X

T

݂

݂̅

ψ
ܺ/‫݂ݎ݁ܭ‬

Nguyễn Huyền Ngọc

7

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hệ quả 1.1.1. Nếu ݂: ܺ → ܻ là đồng cấu nhóm thì ܺ/‫݂ ≅ ݂ݎ݁ܭ‬ሺܺሻ
Hệ quả 1.1.2. Nếu ݂: ܺ → ܻ là toàn cấu thì ܺ/‫ܻ ≅ ݂ݎ݁ܭ‬

1.1.5. Nhóm cyclic và cấp của nhóm

Định nghĩa 1.1.8. Nhóm ሺ‫ܩ‬, . ሻ được gọi là nhóm cyclic nếu nó chứa
phần tử ܽ sao cho mọi phần tử của ‫ ܩ‬đều bằng một lũy thừa nguyên nào

đó của ܽ. Phần tử ܽ có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh
của nhóm cyclic ‫ܩ‬.

Ví dụ 1.1.6. Nhóm cộng ℤ là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1 hoặc −1
Định nghĩa 1.1.9(Cấp của nhóm). Cấp của một nhóm G ký hiệu bởi G

là số phần tử của G nếu G có hữu hạn phần tử, bằng vô cùng nếu G có
vô hạn phần tử.
Cấp của phần tử a ∈ G là cấp của một nhóm cyclic sinh bởi a, ký hiệu
Ord(a).

Chú ý 1.1.3.
- Ord(a)=1 khi và chỉ khi a=e

- Ord(a)=m nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn a = e
m

- Ord ( a ) = ∞ khi và chỉ khi với mọi n ≠ m thì a ≠ a
n

m

1.1.6. Nhóm hữu hạn

Định nghĩa 1.1.10. Nhóm ‫ ܩ‬được gọi là nhóm hữu hạn nếu nó có hữu

hạn phần tử. Ngược lại nếu ‫ ܩ‬có vô hạn phần tử thì ‫ ܩ‬được gọi là nhóm
vô hạn.

Mệnh đề 1.1.7(Định lý Lagrange). Cấp của một nhóm G hữu hạn là bội
của cấp của mọi nhóm con của nó.

Chứng minh
Gọi A là một nhóm con của G, ta có G = n , A = m . Trước hết ta chứng
minh mọi lớp trái xA, x ∈G đều có số phần tử là m. Ta xét

Nguyễn Huyền Ngọc

8

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
A = { x1 , x2 ,..., xm }

Và các phần tử phân biệt xx1, xx2 ,..., xxm . Đó là tất cả các phần tử của
lớp trái xA. Như vậy xA có m phần tử. Vì G là hữu hạn nên số các lớp
trái là hữu hạn, gọi l là số các lớp trái xA. Do các lớp trái là rời nhau nên

ta có n=ml.
Tương tự ta cũng có l là số các lớp phải Ax.
Từ định lý Lagrange ta có các hệ quả:
Hệ quả 1.1.3. Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là
ước của cấp của G.
Hệ quả 1.1.4. Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là cyclic và được
sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm.

Ví dụ 1.1.7. Tập ܵ௡ tất cả các song ánh trên tập ሼ1,2,3, … , ݊ሽ cùng với

phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm. Nhóm ܵ௡ là hữu hạn và
|ܵ௡ | = ݊! Với n=3ta có nhóm các phép thế S3 có cấp 6. Ta lấy một

nhóm con của S3 là A = {e, f 3} , theo định lý Lagrange ta có số các lớp
trái của A là 3. Ta có các lớp trái:
eA = {ee = e, ef3 = f3}
f1 A = { f1e = f1 , f1 f3 = f 4 }
f 2 A = { f 2e = f 2 , f 2 f3 = f 5 }

f3 A = eA, vì f3 ∈eA
f4 A = f1A , vì f 4 ∈ f1 A
f5 A = f2 A, vì f5 ∈ f2 A
Bây giờ ta xét các lớp phải của A:
Ae = {ee = e, f 3e = f3} = Af3
Af1 = {ef1 = f1 , f3 f1 = f5} = Af5

Nguyễn Huyền Ngọc

9

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Af 2 = {ef 2 = f 2 , f3 f 2 = f 4 } = Af 4

Chú ý ta có: f1 A ≠ Af1, f2 A ≠ Af2 .
1.2. Vành và trường
1.2.1. Vành

Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi là một vành mỗi tập hợp ܴ khác rỗng cùng với

hai phép toán 2 ngôi:
phép cộng

và phép nhân

ሺ+ሻ: ܴ × ܴ → ܴ

ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ⟼ ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬

ሺ×ሻ: ܴ × ܴ → ܴ

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

ሺ‫ݔ‬, ‫ݕ‬ሻ ⟼ ‫ݕݔ‬

(R1):ܴ là một nhóm Abel đối với phép cộng.
(R2): Phép nhân có tính chất kết hợp.
(R3): Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng.

ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ‫ ݖݔ = ݖ‬+ ‫ݖ ;ݖݕ‬ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ = ‫ ݔݖ‬+ ‫ݔ∀ ;ݕݖ‬, ‫ݕ‬, ‫ܴ ∈ ݖ‬

Vành ܴ được gọi là giao hoán có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn
vị, tức là có phần tử 1 thuộc ܴ sao cho 1. ‫ݔ = ݔ‬. 1 với mọi ‫ܴ ∈ ݔ‬

Mệnh đề 1.2.1. Cho R là một vành. Với mọi x, y, z ∈ R ta có:
i)

x ( y − z ) = xy − xz , ( y − z ) x = yx − zx

ii)

0 x = x0 = 0

iii)

x ( − y ) = ( − x ) y = ( − x )( − y ) = xy

Ví dụ 1.2.1. Tập hợp ℤ các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân
thông thường là một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành số nguyên. Ta
cũng có vành các số hữu tỷ, các số thực, các số phức (các phép toán vẫn
là cộng và nhân thông thường)

Nguyễn Huyền Ngọc

10

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 1.2.2. Cho ሺܴ, +ሻ là một nhóm Abel. Gọi E là tập các tự đồng cấu
của R, trên ‫ ܧ‬ta định nghĩa hai phép toán (+) và ሺ×ሻ như sau:

(f

+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) với mọi f , g ∈ E , x ∈ R
fg ( x ) = f ( g ( x ) ) với mọi f , g ∈ E , x ∈ R

Khi đó ሺ‫ܧ‬, +,×ሻ là một vành.
1.2.2. Trường

Định nghĩa 1.2.2. Một vành ܴ được gọi là một trường, nếu ܴ là một

vành giao hoán và mọi phần tử khác không của ܴ đều có nghịch đảo.
Nghĩa là tập hợp ܴ ∗ = ܴ\ሼ0ሽ lập thành một nhóm đối với phép nhân
trong ܴ.

Ví dụ 1.2.3. Tập hợp ℚ các số hữu tỷ cùng với phép cộng và phép nhân
các số là một trường. Ta cũng có trường số thực ℝ và trường số phức ℂ.
1.3. Môđun
1.3.1. Định nghĩa môđun

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử ܴ là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một

môđun trái trên ܴ là một nhóm Abel ‫( ܯ‬viết theo lối cộng) cùng với một
ánh xạ

ܴ×‫ܯ→ ܯ‬
ሺܽ, ‫ݔ‬ሻ ↦ ܽ‫ݔ‬

thường được gọi là phép nhân với vô hướng trong ܴ thỏa mãn các điều

kiện sau đây với mọi ܽ, ܾ ∈ ܴ , với mọi ‫ݔ‬, ‫ܯ ∈ ݕ‬
(M1):ܽሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ = ܽ‫ ݔ‬+ ܽ‫ݕ‬
(M2):ሺܽ + ܾሻ‫ ݔܽ = ݔ‬+ ܾ‫ݔ‬

(M3):ሺܾܽሻ‫ܽ = ݔ‬ሺܾ‫ݔ‬ሻ

Tương tự một môđun phải trên ܴ là một nhóm abel ‫ ܯ‬cùng với ánh xạ

Nguyễn Huyền Ngọc

11

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
‫ܯ⟶ ܴ×ܯ‬
ሺ‫ݔ‬, ܽሻ ⟼ ‫ܽݔ‬

thỏa mãn các điều kiện giống như (M1), (M2) nêu trên trong đó các vô
hướng được viết ở bên phải và điều kiện ( M3 ) thay bằng điều kiện
(M3’): ‫ݔ‬ሺܾܽሻ = ሺ‫ܽݔ‬ሻܾ với mọi ܽ, ܾ ∈ ܴ

Sau đây ta chỉ xét các ܴ-môđun trái và gọi chúng là các ܴ-môđun.

Chú ý 1.3.1. Nếu ܴ là 1 trường thì mỗi ܴ-môđun là một không gian
vector.

Ví dụ 1.3.1. Cho ܺ là nhóm Abel, kí hiệu

‫݀݊ܧ = ܧ‬ሺܺ, ܺሻ = ሼ݂: ܺ → ܺ|݂ là đồng cấu nhóm}.

Theo ví dụ 1.2.2, ‫ ܧ‬là vành có đơn vị. Khi đó, Xlà một ‫ܧ‬-mođun với

phép nhân vô hướng

1.3.2. Môđun con

‫ܺ→ ܺ×ܧ‬

ሺ݂, ‫ݔ‬ሻ ↦ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử ‫ ܯ‬là một ܴ -môđun. Tập con ܰ ⊂ ‫ ܯ‬được gọi
là một ܴ -môđun con nếu:

i) ܰ là một nhóm con của nhóm cộng ‫ܯ‬.

ii) ܰ đóng kín đối với phép nhân vô hướng, tức là với mọi r ∈ R , x ∈ N thì

‫ݎ‬. ‫ܰ ∈ ݔ‬.

Ví dụ 1.3.2. Mọi nhóm Abel cộng đều là ℤ-môđun nên mọi môđun con
của ‫ ܯ‬là các nhóm con của ‫ܯ‬.

1.3.3. Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ
Định nghĩa 1.3.3(Ánh xạ song tuyến tính). Cho A, B và X là các môđun
trên R. Một ánh xạ f từ A × B vào X trên R gọi là ánh xạ song tuyến tính
nếu và chỉ nếu ta có:

Nguyễn Huyền Ngọc

12

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

f (α1a1 + α 2 a2 , b) = α1 f ( a1 , b ) + α 2 f ( a2 , b )
f ( a, β1b1 + β 2b2 ) = β1 f (a, b1 ) + β 2 f (a, b2 )

Định nghĩa 1.3.4. Giả sử ‫ܯ‬௜ là một họ ܴ-môđun, với mọi ݅ ∈ ‫ܫ‬. Gọi

⊕ Mi là tập hợp các dãy ሺ‫ݔ‬௜ ሻ௜∈ூ có hữu hạn giá trị khác 0 (tức ‫ݔ‬௜ = 0

i∈I

hầu hết trừ ra một số hữu hạn). Khi đó trên ⊕ Mi ta định nghĩa hai phép
i∈I

toán cộng và nhân như sau:

ሺ+ሻ: ሺ‫ݔ‬௜ ሻ௜∈ூ +ሺ‫ݕ‬௜ ሻ௜∈ூ = ሺ‫ݔ‬௜ + ‫ݕ‬௜ ሻ௜∈ூ

ሺ. ሻ: ߙሺ‫ݔ‬௜ ሻ௜∈ூ = ሺߙ‫ݔ‬௜ ሻ௜∈ூ

với mọi ‫ݔ‬௜ , ‫ݕ‬௜ ∈ ‫ܯ‬௜ , ߙ ∈ ܴ.

Dễ dàng kiểm tra được ⊕ Mi là một ܴ-môđun và được gọi là tổng trực
i∈I

tiếp của họ môđun ሺ‫ܯ‬௜ ሻ௜∈ூ .

Định nghĩa 1.3.5. Tích Ten-xơ của hai ܴ-mođun ‫ ܯ‬và ܰ là một cặp

ሺ߮, ܶሻ trong đó ܶ là một ܴ-môđun và ߮: ‫ ܶ → ܰ × ܯ‬là 1 ánh xạ song

tuyến tính có tính chất sau: Với mọi cặp ሺψ, ܷሻ trong đó ܷ là một ܴ-

mođun và ψ ∶ ‫ ܷ → ܰ × ܯ‬là 1 ánh xạ song tuyến tính tồn tại duy nhất

một ܴ-đồng cấu ℎ: ܶ → ܷ sao cho ψ = ℎ߮ tức là biểu đồ sau giao hoán
‫ܰ×ܯ‬

T

߮

h

ψ
U

Kí hiệu M ⊗ N .
Nhận xét 1.3.5. Với mọi α , β thuộc R, với mọi m, m1 , m2 thuộc M,

n, n1, n2 thuộc N ta có

Nguyễn Huyền Ngọc

13

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

(α m1 + β m2 ) ⊗ n = α .m1 ⊗ n + β .m2 ⊗ n
m ⊗ (α n1 + β n2 ) = α .m ⊗ n1 + β .m ⊗ n2
Ví dụ 1.3.3. Tích Ten-xơ của các ℤ -môđun ℤ 3 và ℤ 5 bằng 0.
Thật vậy, ta có (3,5)=1 suy ra tồn tại duy nhất u , v ∈ ℤ sao cho 3u+5v=1
Với mọi x∈ℤ3 thì 3x=0 và với mọi y ∈ℤ 5 thì 5y=0 khi đó
x ⊗ y = 1.( x ⊗ y ) = ( 3u + 5v )( x ⊗ y ) = 3ux ⊗ y + vx ⊗ 5 y = u.0 + v.0 = 0
Vì các phần tử x ⊗ y sinh ra ℤ3 ⊗ ℤ5 nên ℤ3 ⊗ ℤ5 = 0

1.3.4. Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.3.3. Cho ‫ ܯ‬và ܰ là hai ܴ-môđun. Một ánh xạ ݂: ‫ܰ → ܯ‬

được gọi là một đồng cấu môđun hay gọi là ܴ-đồng cấu (hoặc ánh xạ
tuyến tính) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i)
ii)

Với mọi ‫ݔ‬, ‫ ܯ ∈ ݕ‬thì ݂ሺ‫ ݔ‬+ ‫ݕ‬ሻ = ݂ሺ‫ݔ‬ሻ + ݂ሺ‫ݕ‬ሻ
Với mọi ߙ ∈ ܴ; ‫ܯ ∈ ݔ‬thì ݂ሺߙ‫ݔ‬ሻ = ߙ݂ሺ‫ݔ‬ሻ

Hơn nữa ,݂ gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh xạ tương ứng
là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.

Ví dụ 1.3.4. ‫ܯ‬, ܰlà hai ܴ-môđun. Khi đó ߠ: ‫ ܰ ⟶ ܯ‬là đồng cấu môđun
‫ݔ⟼ݔ‬

Định nghĩa 1.3.4 (Môđun đơn). Một ܴ-môđun ‫ܯ‬được gọi là đơn (hay
bất khả quy) nếu ‫ ≠ ܯ‬0, ‫ ;ݔܴ = ܯ‬với mọi ‫ ≠ ݔ‬0 là một môđun đơn.

1.3.5. Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của hai đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.3.5. Giả sử f : M → M ' và g : N → N ' là những đồng cấu
tùy ý cho trước của những môđun trên R.
Ta xét tích Ten-xơ M ⊗ N , M '⊗ N ' trên R cùng với các ánh xạ Ten-xơ ϕ
và ψ của chúng. Gọi h = f × g : M × N → M '× N ' là tích Đề-các của f và
g xác định bởi h ( x, y ) = ( f ( x ) , g ( y ) ) với mọi ( x, y ) ∈ M × N .

Nguyễn Huyền Ngọc

14

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Vì ψ

Trường ĐHSP Hà Nội 2

( f × g ) : M × N → M ′ ⊗ N′

là ánh xạ song tuyến tính nên từ định

nghĩa tích ten-xơ M ⊗ N suy ra tồn tại một đồng cấu duy nhất

k : M ⊗ N → M '⊗ N ' sao cho k .ϕ = ψ .h , tức là hình chữ nhật sau giao
hoán

M ×N
h

ϕ

M ⊗N
k

ψ

M '× N '

M '⊗ N '

Do đó ta suy ra k ( x ⊗ y ) = f ( x ) ⊗ g ( y ) với mọi x ∈M, y ∈ N .

Đồng cấu duy nhất xác định k được kí hiệu là

f ⊗ g : M ⊗ N → M '⊗ N '
gọi là tích Ten-xơ của các đồng cấu môđun đã cho f và g.

Ví dụ 1.3.5. Cho f : X → X ' và g : Y →Y ' là hai đồng cấu trên R. Khi
đó f ⊗ g : X ⊗Y → X '⊗Y ' được xác định bởi

 n
 n
f ⊗ g  ∑ xi ⊗ yi  = ∑ f ( xi ) ⊗ g ( yi ) với xi ∈ X , yi ∈Y
 i =1
 i =1
là một đồng cấu. Nếu f và g là các toàn cấu thì f ⊗ g cũng là toàn cấu.

Nguyễn Huyền Ngọc

15

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 2
LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN
2.1. Các định nghĩa và ví dụ
2.1.1. Biểu diễn ma trận

Ký hiệu ‫ݐܽܯ‬௡ là tập các ma trận vuông cấp ݊ với hệ số trên tập số phức.

‫ܮܩ‬௡ là tập các ma trận vuông cấp ݊ khả nghịch hệ số phức, gọi là nhóm

tuyến tính tổng quát phức bậc ݊.

Định nghĩa 2.1.1. Cho ‫ ܩ‬là một nhóm, một biểu diễn ma trận của một

nhóm ‫ ܩ‬là một đồng cấu nhóm

߮: ‫ܮܩ ⟶ ܩ‬௡

Nhận xét 2.1.1.

+ ϕ ( e ) = I , I là ma trận đơn vị.
+ ϕ ( gh ) = ϕ ( g )ϕ ( h )

( )

+ ϕ g −1 = ϕ ( g )

−1

+ ݊ gọi là bậc của biểu diễn, ký hiệu degϕ .

Ví dụ 2.1.1. Ánh xạ

1ீ : ‫ܮܩ ⟶ ܩ‬௡
g֏I

là một biểu diễn gọi là biểu diễn tầm thường, deg1G = n

Ví dụ 2.1.2. Cho G = g

n

và ߮ là biểu diễn ma trận bậc 1 của nhóm ‫ܩ‬,

tức là ϕ ( g ) = ( c ) ; c ∈ ℂ thì ϕ ( g k ) = ( c k ) với mọi ݇ ∈ ℤ
௡
௡
Suy ra ߮ሺ݁ሻ = ሺܿ ሻ ⇒ ܿ = 1

Suy ra ܿ là căn bậc ݊ của đơn vị. Trong ℂ có ݊ căn bậc n của đơn vị nên
có n biểu diễn bậc 1 của ‫ ܩ‬.

Chẳng hạn, G = g

4

Nguyễn Huyền Ngọc

thì ta có bốn biểu diễn ma trận bậc 1 của ‫ ܩ‬là

16

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
݁

Trường ĐHSP Hà Nội 2

g

g2

1ீ

ሺ1ሻ

ሺ1ሻ

߮ଶ

ሺ1ሻ

ሺ−1ሻ

߮ଵ

߮ଷ

ሺ1ሻ
ሺ1ሻ

g3

ሺ1ሻ

ሺ݅ሻ

ሺ−1ሻ

ሺ−݅ሻ

ሺ−1ሻ

ሺ1ሻ

ሺ−݅ሻ

ሺ1ሻ

ሺ−1ሻ
ሺ݅ሻ

Ví dụ 2.1.3. Cho nhóm đối xứng Sn và đồng cấu

ϕ : Sn → GL1

σ ֏ sigσ
là một biểu diễn một chiều của Sn và biểu diễn này được gọi là biểu diễn
dấu.

Ví dụ 2.1.4. Cho ϕ : Sn → GLn . Nếu π ∈ Sn thì ta lấy ϕ (π ) = ( xi , j ) với
1 nếu ߨሺ݆ሻ = ݅
‫ݔ‬௜,௝ = ൜
0 trường hợp khác

khi đó ϕ là một biểu diễn của Sn và gọi là biểu diễn định nghĩa.
Ma trận

ϕ (π ) được gọi là ma trận hoán vị của ma trận đơn vị với đúng

một số 1 trên mỗi hàng và mỗi cột. Đây là một biểu diễn.

Chẳng hạn trường hợp n = 3, biểu diễn định nghĩa của nhóm S3 như sau
1 0 0
ϕ ( (1) ) =  0 1 0  ;
0 0 1



 0 1 0
0 0 1
ϕ ( (1,2 ) ) =  1 0 0  ; ϕ ( (1,3) ) =  0 1 0  ;
0 0 1
1 0 0






1 0 0
0 0 1
0 1 0




ϕ ( ( 2,3) ) =  0 0 1  ; ϕ ( (1,2,3) ) =  1 0 0  ; ϕ ( (1,3,2 ) ) =  0 0 1 
 0 1 0
0 1 0
1 0 0







Nguyễn Huyền Ngọc

17

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 2.1.5. Cho G = Cn = σ

n

và trường F . Nếu F chứa

ζ

là một căn

bậc ݊ của 1. Khi đó có một biểu diễn σ i ֏ ζ i : G → GL1 ( F ) = F × . Biểu
diễn này là tầm thường nếu và chỉ nếu

ζ

có cấp ݊.

p
Đặc biệt nếu n=p là số nguyên tố và F có đặc số p, thì X −1 = ( X −1)

p

và 1 là căn bậc p duy nhất của 1 trên ‫ ܨ‬. Trong trường hợp này, biểu diễn

là tầm thường

1

i

σi ֏
 : C p → GL2 ( F )
 0 1
2.1.2. Biểu diễn tuyến tính
Biểu diễn của một nhóm trên một trường F phụ thuộc vào căn bậc n của
1 trên trường đó. Sau đây ta định nghĩa căn bậc n của đơn vị trong một
trường F.

Định nghĩa 2.1.2. Tập căn bậc n của 1 trên F là một nhóm nhân cyclic,
kí hiệu µn ( F ) .Phần tử sinh của nhóm này được gọi là căn nguyên thủy
bậc n của 1.
Nếu đặc số của F chia hết n thì µn ( F ) ≤ n . Ngược lại, nếu đặc số của
F không chia hết n thì đa thức
phân rã của

X n −1 tách được. Khi đó trong trường

X n −1 trên F thì µn ( F ) = n . Ví dụ khi thay thế một trường

con F của ℂ bằng F (ζ ) với ζ = e2π i/ n hoặc thay thế F bằng

F [ X ] / g ( X ) với g ( X ) là nhân tử bất khả quy của X n −1 không chia
h ết

X m −1 với mỗi ước thực sự m của n.

Giả sử ‫ ܩ‬là một nhóm hữu hạn, ‫ ܭ‬là một trường, ܸ là không gian vector

hữu hạn chiều trên ‫ܭ‬.

Nguyễn Huyền Ngọc

18

K36A – SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định nghĩa 2.1.3. Một biểu diễn tuyến tính của ‫ ܩ‬trong ܸ là một đồng
cấu nhóm ߮ từ ‫ ܩ‬vào nhóm ‫ܮܩ‬ሺܸሻ (nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính của

ܸ)

Ký hiệu ߮ሺ‫ݏ‬ሻ bởi ߮௦ , với mọi ‫ݏ‬, ‫ ܩ ∈ ݐ‬và ݁ là một đơn vị của nhóm ‫ܩ‬.
−1
߮௦௧ = ߮௦ ߮௧ ; ߮௘ = ‫݀ܫ‬௩ ; ϕs = (ϕs )

−1

-

ܸ được gọi là một không gian biểu diễn của nhóm ‫( ܩ‬hay đơn giản

-

Nếu ‫ ܭ‬là trường ℚ, ℝ hoặc ℂ thì ta nói ߮ là biểu diễn hữu tỷ, thực

một ‫ܩ‬-không gian)

hoặc phức (tương ứng của ‫)ܩ‬

Chú ý 2.1.2. Một biểu diễn tuyến tính của ‫ ܩ‬trên ‫ ܨ‬௡ (với ‫ ܨ‬௡ là không
gian vector

F n trên trường F) là một biểu diễn ma trận bậc ݊.

Ví dụ 2.1.6. Đặt G = Cn = σ và giả sử F chứa một phần tử lũy đẳng
nguyên thủy nghiệm bậc n của 1, gọi là

ζ

. Đặt G → GL (V )

σ ֏σV
là biểu diễn tuyến tính của G . Khi đó (σ V ) = (σ n ) = 1 và bậc của đa
V
n

thức tối tiểu của σ V chia hết X n − 1 . Mà X n − 1 có ݊ nghiệm phân biệt

ζ 0 ,ζ 1,...,ζ n−1 trong F nên không gian vector V có thể tách thành tổng

trực tiếp của n không gian con :

V = ⊕ Vi ,Vi = {v ∈V | σ v = ζ i v}

0≤i ≤n −1

Ngược lại, mỗi thành phần trực tiếp của G sinh ra một biểu diễn của
nhóm G .

Ví dụ 2.1.7. Gọi ‫ܭ‬ሾ‫ܩ‬ሿ là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức



 ∑ k s s  của các phần tử của ‫ ܩ‬với các hệ số ݇௦ trong ‫ܭ‬. Khi đó ‫ܭ‬ሾ‫ܩ‬ሿ
 s∈G 

Nguyễn Huyền Ngọc

19

K36A – SP Toán