Bất đẳng thức jensen ứng dụng trong việc giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ NGUYỆT HOA

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN- ỨNG DỤNG TRONG VIỆC
GIẢI VÀ SÁNG TẠO RA CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

LỜI CẢM ƠN


Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại
số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong trƣờng ĐHSP Hà Nội
2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của
mình tới Thầy Phạm Lƣơng Bằng- ngƣời đã tận tình giúp đỡ em trong
quá trình hình thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. hơn
nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh
khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của
các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện và
có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Nguyệt Hoa

LỜI CAM ĐOAN
Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của
riêng tôi do chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành
trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu tham khảo. Nó không trùng
với kết quả của bất cứ ngƣời nào khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Trần Thị Nguyệt Hoa


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU................................................................................... 1
VÀI NÉT TÓM TẮT VỀ NHÀ TOÁN HỌC JENSEN ....................... 2
PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .......................................................... 3
1.1. Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm ...................................................... 3
1.2. Tính chất cơ bản của hàm lồi .................................................... 3
1.3. Điều kiện đủ để một hàm số là hàm lồi hoặc lõm ........................ 7
PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN ............... 8
CHƢƠNG 1: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN TRONG
VIỆC CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ............................... 8
1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển ..................................... 8
1.2. Chứng minh các bất đẳng thức khác nhờ sử dụng bất đẳng thức
Jensen ............................................................................................. 15
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁNCỰC TRỊ ............................. 36
2.1. Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp giá trị lớn nhất(GTLN); giá
trị nhỏ nhất (GTNN) ........................................................................ 36
2.2. Các bài toán cực trị ................................................................... 38
PHẦN 3: SÁNG TẠO ..................................................................... 46

KẾT LUẬN ..................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 58


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhƣ chúng ta đã biết trong toán học thì bất đẳng thức là một
chuyên đề khó và hấp dẫn đối với học sinh. Nó đòi hỏi phải có sự sáng
tạo, thông minh, kiên trì, song càng đi sâu tìm hiểu thì nó càng lôi cuốn.
Vì vậy chúng thƣờng có mặt trong các kì thi học sinh giỏi, thi đại học và
thi cao đẳng.
Chuyên đề bất đẳng thức xuyên suốt quá trình học không chỉ ở
các lớp THCS, THPT mà đại học vẫn đƣợc giảng dạy. Để giải các bài
toán bất đẳng thức thì có không ít phƣơng pháp giải chẳng hạn phƣơng
pháp biến đổi tƣơng đƣơng, phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên của
hàm số, phƣơng pháp tam thức bậc 2… Trong những phƣơng pháp đó ta
không thể không kể đến một phƣơng pháp khác đặc biệt đó là phƣơng
pháp sử dụng tính chất cơ bản nhất của hàm lồi và tính chất đó đƣợc gọi
là Bất đẳng thức Jensen
Đƣợc sự gợi ý, động viên và tận tình giúp đỡ của Thầy Phạm
Lƣơng Bằng cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu
và thực hiện bài khóa luận với đề tài “ Bất đẳng thức Jensen- Ứng dụng
trong việc giải và sáng tạo ra các bài toán sơ cấp”
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về bất đẳng thức Jensen và áp dụng vào việc giải,
sáng tạo các bài toán bất đẳng thức trong phổ thông
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài tập về bất đẳng thức
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

1


VÀI NÉT TÓM TẮT VỀ NHÀ TOÁN HỌC JENSEN
Johan Ludwig William Valdemar Jensen hay còn gọi là Johan
Jensen (08/05/1859- 05/03/1925).
Ông vừa là một nhà toán học ngƣời Đan Mạch, vừa là một kỹ sƣ.
Ông là chủ tịch của Hội toán học Đan Mạch từ 1892 đến 1903.

Jensen đã đƣợc sinh ra tại Nakskov,Đan Mạch. Nhƣng ông đã dành
nhiều thời gian thơ ấu của mình ở miền Bắc Thụy Điển. Vì cha của ông
có đƣợc một công việc quản lý bất động sản, gia đình của họ trở về Đan
Mạch trƣớc năm 1876, khi Jensen ghi danh theo học trƣờng Đại học
công nghệ Copenhagen. Ông không những nghiên cứu toán học về các
đối tƣợng khác nhau tại trƣờng đại học mà còn công bố một bài nghiên
cứu trong toán học. Ông đã tự học các chủ đề toán học tiên tiến, tuy
nhiên ông không có một học vị nào trong toán học. Thay vào đó, ông là
một kỹ sƣ thành công cho Công ty Điện thoại Bell tại Copenhagen từ
năm 1881 tới 1924, và trở thành ngƣời đứng đầu bộ phận kĩ thuật vào
năm 1890. Tất cả các nghiên cứu toán học của ông đã đƣợc thực hiện
trong thời gian rảnh rỗi. Jensen chủ yếu nổi tiếng vì bất đẳng thức
Jensen. Năm 1915, Jensen đã chứng minh đƣợc bất đẳng thức Jensen
trong phân tích phức tạp.

2


PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm

1.1.1.Định nghĩa hàm lồi: Giả sử A là tập lồi trong R. Hàm số f(x):
A → R1 đƣợc gọi là hàm lồi trên A, nếu x1, x2  D;   0;1 thì
f  x1  (1   ) x2    f  x1   1    f  x2 

Nhận xét về ý nghĩa hình học: Giả sử f(x) là hàm lồi trên D. Xét các
điểm A x1, f  x1  ; B x2 , f x 2   . Khi đó ta luôn nhận thấy cung AB
luôn nằm dƣới dây AB.
1.1.2.Định nghĩa hàm lõm: Hàm số f(x): A → R1 đƣợc gọi là hàm
lõm trên A, nếu –f(x) là hàm lồi.
Tức là x1 , x2  D;   0;1, x1  x2 ; ta có:
f  x1  (1   ) x2    f  x1   1    f  x2  .

1.2. Tính chất cơ bản của hàm lồi
1.2.1.Tính chất 1(Bất đăng thức Jenxen):
Cho f(x) là hàm lồi trên D. Giả sử x1, x2 ,, xn  D;i  0; i  1, n sao

 n
 n
cho  i  1. Chứng minh rằng : f  i xi   i f  xi .
i 1
 i1
 i1
n

Chứng minh: Bằng quy nạp:
-Với n=2 thì bất đẳng thức Jensen hiển nhiên đúng( theo định nghĩa
hàm lồi).
-Giả sử BĐT đúng với n=k – 1.
-Xét khi n=k.
Giả sử x1, x2 ,, xn  D;i  0; i  1, n sao cho

3

n


i 1

i

1


k 2

k

Ta có:

 x   x  
i i

i 1

i 1

i i

x

k 1 k 1

  k xk

(1)

k 2

Đặt    i  0    1
i 1

Vì vậy từ (1) ta suy ra:
k 2




x

i xi  1     k 1 xk 1  k xk 


i i
1 
1  
i 1
i 1
k

Do

 k 1

 k  1. Mà f  x   f nên suy ra
1 1




x*   k 1 xk 1  k xk   D
1 
1
Áp dụng giả thiết quy nạp với k  1 điểm x1; x2 ;; xk 2 ; x * và bộ số

1;; k 1;1   với

k 2

  1     1
i 1

i

Ta có:

 k

f  i xi  
 i 1


k 2
 k 2
*
f i xi  1    x   i f  xi   1    f  x* 
 i 1
 i 1

(2)

Mặt khác theo định nghĩa hàm lồi ta có:




 

f  x*   f  k 1 xk 1  k xk    k 1 f  xk 1   k f  xk  
1  1
1
1

Thay (3) vào (2) ta có:

 k
 k 2



f  i xi   i f  xi   (1   )  k 1 f  xk 1   k f  xk 

1
1  

 i1
 i1
 k
 k 1
Hay f  i xi   i f  xi 
 i 1
 i1
Vậy bất đẳng thức Jensen đƣợc chứng minh.

4

(3)


*TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:
f(x) là hàm lồi trên D; x1; x2 ;; xn  D ; ta có:

 x  x  xn  f  x1   f  x2   f  xn 
f 1 2

n
n



với n  

Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  xn .
1.2.2.Tính chất 2:Giả sử f là hàm lồi trên D.
Khi đó x1; x2 ; x3  D , và x1  x2  x3 ; ta có:

a)

f  x2   f  x1  f  x3   f  x1 

x2  x1
x3  x1

b)

f  x2   f  x1  f  x3   f  x2 

x2  x1
x3  x2

Chứng minh: Gọi M1, M2, M3 là ba điểm của đƣờng cong y = f(x) theo
thứ tự có các hoành độ x1, x2 , x3 Y . Gọi M là giao điểm của đƣờng
thẳng x  x2 với đƣờngthẳng M1M2. Vì f là hàm lồi trên đoạn M1M3 nằm
phía trên cung M2M3 của đƣờng cong y = f(x). Do đó yM 2  yM . Trong đó
yM 2 , yM theo thứ tự là tung độ của M2 và M.

Phƣơng trình đƣờng M1M3 là:

y  f  x1  

f  x3   f  x1 
 x  x1 

x3  x1

 yM  f  x1  

f  x3   f  x1 
 x2  x1 
x3  x1

Từ yM2  yM nên suy ra

f  x2   f  x1  

f  x3   f  x1 
 x2  x1 
x3  x1

5




f  x2   f  x1  f  x3   f  x1 

x2  x1
x3  x1

(1)

Từ (1) suy ra:  f  x2   f  x1   x3  x1    f  x3   f  x1   x2  x1 

  f  x2   f  x1   x2  x1    x3  x1 
  f  x3   f  x2    f  x2   f  x1  x2  x1 



f  x2   f  x1  f  x3   f  x2 

x2  x1
x3  x2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
1.2.3.Tính chất 3:
Nếu f là hàm f lồi trên D và f có đạo hàm tại mọi x  D thì đạo
hàm f ' của f là một hàm đồng biến trên D.
Chứng minh: Giả sử x1, x2  D và x1  x2 .
Ta chứng minh: f '( x1 )  f "( x2 ).
Thật vậy gọi  ,  ,  là ba số thực sao cho: x1        x2 .
Khi đó x   x1 ,  và t   ; x2 . Ta có x1  x        t  x2 .
Ta có:

f  x   f  x1  f    f  x  f     f  


x  x1
x
 


 lim
x x1

f    f    f  t   f   f  x   f  x2 


 
t 
x  x2

f  x   f  x1  f     f   f    f   


x  x1
 
 
 lim
t  x2

f  x   f  x2 
x  x2

Theo giả thiết f  x  có đạo hàm tại x1 và x2 nên:

6

(1)


lim

x x1

f  x   f  x1 
f  x   f  x2 
 f  x1  ;lim
 f  x2 
t  x2
x  x1
x  x2

Từ (1) và (2) suy ra f '( x1 )  f '( x2 )

(2)

(đpcm).

1.3. Điều kiện đủ để một hàm số là hàm lồi hoặc lõm
Cho f  x  là một hàm số liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên
khoảng  a; b  . Nếu nhƣ f " x   0; x   a; b  thì f(x) là hàm lồi trên (a; b)
. Ngƣợc lại thì f(x) là hàm lõm trên  a; b  .
Chứng minh: Giả sử f " x   0; x   a; b  ; ,   0 mà     1.
Ta phải chứng minh: f  x1   x2    f  x1    f  x2 

(*)

Rõ ràng (*) đúng khi x1  x2 . Vậy ta xét x1  x2 .
Không giảm tính tổng quát ta giả sử x1  x2  x1   x1   x2  x2 .
Xét hàm số f  x  trên  x1; x1   x2  . Theo định lý Lagrange tồn tại  1
sao cho x1   1   x1   x2 và
f  x1   x2   f  x1    x1   x2  x1  f '  1 

f '  1  

f  x1   x2   f  x1  f  x1   x2   f  x1 

 x2  1    x2
  x2  x1 

(**)

Vẫn theo Lagrange tồn tại  2 sao cho  x1   x2   2  x2 và
f  x2   f  x1   x2    x2   x1   x2  f '  2 

 f '  2  

f  x2   f  x1   x2 
  x2  x1 

(***)

Do f " x   0, x  a; b  f '  x là hàm đồng biến trên (a; b) .Và

 1   2  f '  1   f '  2 .
Tức là từ (**) và (***):

7


f  x2   f  x1   x2  f  x1   x2   f  x1 


  x2  x1 
  x2  x1 
Do   0;   0   f  x1    f  x2   f  x1   x2 
⟹ Đpcm

PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
CHƢƠNG 1: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN
TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển
1.1.1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetric Meanns- Geometric
Means)
Chứng minh rằng: a1, a2 ,, an  0 ; ta có:

a1  a2  an n
 a1a2 an
n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an .
Chứng minh: Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:
1. Tồn tại ai  0; 1  i  n  . Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
2. ai  0; i  1, n
Xét hàm số f  x   e x , với x   ;  
Ta có: f '  x   e x suy ra f " x   e x
Vậy f(x) là hàm lồi với mọi x   ;   .
Giả sử a1 , a2 ,, an đều dƣơng, khi đó tồn tại x1, x2 ,, xn sao cho:
e x1  a1; e x2  a2 ;; e xn  an .

Theo bất đẳng thức Jensen ta có:

e

x1  x2  xn
n

e x1   e xn

n

8


1

 x1  xn  n

Tức là: e
Hay:

e x1  e xn

n

a1  a2  an n
 a1a2 an
n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  an hay x1  x2  xn .
Kết hợp cả hai trƣờng hợp trên ta có điều phải chứng minh.
1.1.2.Bất đẳng thức Bunhiakowski
Cho 2n số thực: a1, a2 ,, an ; b1, b2 ,, bn . Khi đó ta có:

a

2
1

 an 2  b12  bn 2    a1b1  anbn 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

a1 a2
a
   n
b1 b2
bn

Chứng minh:
Xét hàm số y  f  x   x2
Ta có f '  x   2 x suy ra f " x   2  0; x    ;  
Do đó f  x  là hàm lồi trên ℝ.

ai
bi 2
; i  1, n.
Lấy xi  , i  n
bi
2
bj
j 1

Khi đó rõ ràng: i  0; i  1, n và

n

  1.
i 1

i

Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
f  1 x1  n xn   1 f  x1   n f  xn 

  1 x1  n xn    1x12  n xn 2 
2

9


2



 1  a

2
1  2 a12
2 1
2 an 
2 an 


 n
b

b

b

b
 1

 1 2

n
n
n
bn  
b1
bn 2 
 b 2  b1
2
bj
j

 
j

1
j


1



 n
 n

2
  a1b1  anbn    a j 2  b j 2 
 j 1  j 1 

  a1b1  anbn    a12  an 2  b12  bn 2 .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1  xn hay

a1 a2
a
   n .
b1 b2
bn

Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.1.3. Bất đẳng thức Schwarz
Cho 2n số thực: a1, a2 ,, an ; b1, b2 ,, bn . Trong đó bi  0; i  1, n .

a12 a22
an 2  a1  an 




Chứng minh rằng:
b1 b2
bn
b1  bn

2

Chứng minh: Xét hàm số f  x   x 2 .
Ta có f '  x   2 x suy ra f " x   2  0; x    ;  
Do đó f(x) là hàm lồi trên ℝ.
Lấy xi 

ai
b
; i  n i ; i  1, n
bi
bj
j 1

n

Rõ ràng: i  0; i  1, n, i  1
i 1

Theo bất đẳng thức Jensen ta có:
f  1 x1  n xn   1 f  x1   n f  xn 

  1x1  n xn   1x12  n xn 2
2

10


2

 a1
 a12
an 
1
an 2 

b  bn  
 bn
 b1

2 1
bn   n 2  b1
bn 
 n   b1
 bj 
 bj 
j

1


 j 1 
1

 a  an 
 1

2

b1  bn

 a12
an 2 

 
bn 
 b1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1  xn hay

a1 a2
a
   n .
b1 b2
bn

1.1.4. Bất đẳng thức Holder
Với hai bộ số không âm bất kì  a1 , a2 ,, an  và  b1 , b2 ,, bn  ; ta có:
n

a b
k 1

k k

Với p  0; q  0 và

1
p


 

  ak p   bk q 
 k 1   k 1 
n

n

1
q

(*)

1 1
  1.
p q

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số  và  không đồng thời
bằng 0 sao cho:  ak p   bk q ; k  1, n
Chứng minh
Trƣớc hết ta chứng minh kết quả:
Với hai số thực không âm bất kì a;b và p  0; q  0 sao cho

a p bq
Ta có: ab 

p q

1 1
 1
p q

( Bất đẳng thức Young)

(1)

Thật vậy
+) Khi a=0 hoặc b=0 thì hiển nhiên (1) đúng.
x1
p

x2
q

+) Giả sử a  0; b  0 thì tồn tại x1; x2 sao cho: e  a; e  b
Xét hàm số: f  x   e x

11


Ta có: f '  x   e x suy ra f " x   e x  0; x R.
 f  x  là hàm lồi trên ℝ.

1
1  1
1
Do vậy: f  x1  x2   f  x1   f  x2 
q  p
q
p
1
1 
 x1  x2 
p
q



e



1 x1 1 x2
e  e
p
q
p

x
x
1  p1  1  q2 
 e e  e   e 
p   q  

x1
p

x2
q

q

a p bq
 ab 

p q
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2  a p  e x1  e x2  b q .
Ta chứng minh (*):
+) Nếu a1  a2   an  0 hoặc b1  b2  bn  0 thì (*) trở
thành đẳng thức; khi đó (*) luôn đúng.
+) Nếu ai  0, b j  0; i, j  1, n
Áp dụng kết quả trên cho a 

ak

a

1

p

 an



1
p p

;b 

bk

b

q
1

 bn



1
q q

Ta đƣợc:

ak bk

a

p

1

 an

p

 b
1
p

q
1

 bn



1
q q

1
ak p
1
bk q
 . p
 .
p a1  an p q b1q  bn q

Cho k  1, n . Cộng n bất đẳng thức cùng chiều ta có:

a1b1  anbn

a

1

p

 an

p

 b
1
p

q
1

 bn



1
q q

1 a1 p  an p 1 b1q  bn q
 . p
 .
p a1  an p q b1q  bn q

12


 a1b1  anbn   a1  an
p

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

1 1
  1.
p q
p

 b
1
p

q
1

 bn



1
q q

ak p
bk q


 a1 p  an p  b1q  bnq

a1 p
an p
 q   q
b1
bn
Với quy ƣớc: Nếu bk  0 với một số k nào đó thì ak  0 .
Từ kết quả trên ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số  và

 không đồng thời bằng 0 sao cho:  ak p   bk q ; k  1, n .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.1.5. Bất đẳng thức Minkowski
Cho hai dãy số a1 , a2 ,, an và b1, b2 ,, bn thỏa mãn ai  0; bi  0; i  1, n
Chứng minh rằng:

n

a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  .   an  bn 

Chứng minh:



Xét hàm số: f  x   ln 1  ex
Ta có: f '  x  



ex

ex
;
f
"
x

 0; x  R
 
x 2
1  ex
1  e 

⟹ f  x  là hàm lồi trên ℝ.
Theo bất đẳng thức Jensen với: xi  ln

bi
1
; i  1, n; i  ; ta có:
ai
n

 bn 
 b1 
 b1
bn 

 ln ln  
ln
1



ln
1  


an 
 a1


a

1

 an 
n
ln 1  e


n





13



 a  b  an  bn 
b b 

 ln 1  n 1  n   ln n 1 1
a1 an 
a1 an


 a  b  an  bn 
b b 
 1  n 1  n   n 1 1
a1 an 
a1 an


 n a1 an  n b1 bn  n  a1  b1  .   an  bn 
Dấu bằng xảy ra  ln

b1
b
b
b
 ln n  1  n
a1
an
a1
an

Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.1.6. Bất đẳng thức Petrovixa
Giả sử f(x) là hàm lồi trên D. Lấy xi 0; a; i  1, n thỏa mãn

 n 

xi   0; a  . Chứng minh rằng:  f  xi   f  xi    n  1 f  0 

i `
i 1
 i 1 
n

n

Chứng minh:



 x n 
Ta có: f  xi   f  n i  xi  
 x i 1 
j


 j 1


n



j # i ; j 1
n

xj

x
j 1

.0
j

n

n

Do

x
j 1

j

và 0  0;a  và

xi

 0;

n

x
j 1

j



j i ; j 1
n

xj

x
j 1

 0;
j

n

xi



n

x
j 1

j



j i ; j 1

n

xj

x
j 1

Nên theo định nghĩa hàm lồi ta có:

14

1
j


n

 n 
f  xi   n
f   xj  
 x j  j1 
xi

j 1



j i ; j 1
n

xj

x
j 1

f  0  ; i  1, n

(1)

j

Cộng n bất đẳng thức dạng (1) ta có:





n
n
 1
 n  n
f  xi    n
f  xi    x j   xi 


 x  i 1   j 1
i 1
i 1
 i



 i1




xj 
j i ; j 1
.f  0 
n
x j 

j 1

n



n
 n

x

n

1
Chú ý rằng:   j  
 x j
i 1  j i ; j 1 
j 1

(2)

n

(3)

n
 n 
Thay (3) vào (2) ta có:  f  xi   f  xi    n  1 f  0 
i 1
 i 1 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1   xn  0 .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.2. Chứng minh các bất đẳng thức khác nhờ sử dụng bất đẳng
thức Jensen
1.2.1. Các bất đẳng thức đại số:
1.2.1.1. Cho a,b,c,d là những số thực dƣơng thỏa mãn a+b+c+d=1.
Chứng minh rằng:

a
b
c
d
2





1 a
1 b
1 c
1 d
3

Chứng minh:
Xét hàm số: f  x  
Ta có: f '  x  

x
với 0  x  1.
1 x

2 x
2 1  x 

3

 f " x  

⟹ f(x) là hàm lồi trên  0;1 .

15

4 x
8 1  x 

5

 0, x   0;1


Áp dụng bất đẳng thức Jensen với a, b, c, d   0;1 ta có:

abcd 
1 2
f  a   f b   f  c   f  d   4 f 
4f  
4
3


 4


a
b
c
d
2




1 a
1 b
1 c
1 d
3

Dấu bằng xảy ra  a  b  c  d 

1
4

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.1.2. Cho số nguyên dƣơng n và n số thực dƣơng x1; x2 ;; xn sao cho:

x1  x2  xn  1 . Chứng minh rằng:
2

2

2

 3 1
 3 1  3 1
1

x


x


 xn    n  3  n 
 1
  2


x1  
x2 
xn 
n




2

Chứng minh:
Xét các hàm số: f  x   x2 có f '  x   2 suy ra f " x   2  0 , với x  0

g  x   x3 có g '  x   3x2 suy ra g " x   6 x  0 , với x  0

h x 

1
2
1
có h '  x   2 suy ra h"  x   3  0 , với x  0 .
x
x
x

Vậy f  x  ; g  x  ; h  x  là các hàm số lồi trên  0;1 .
Theo bất đẳng thức Jensen ta có:





1
1
1
f  x13    f  x23    f  xn3  
x1 
x2 
xn 




1
1 1
1 
 nf   x13  x23  xn3     
x1 x2
xn  
 n
1
 x  x  xn 
Mặt khác: x  x2  xn  n  1 2
  2
n

 n
3

3
1

3

3

16


1 1
1
1
   n.
 n2
x

x

x
x1 x2
xn
1
2
n
n
1
1 1
1  1
1
1
  x13  x23  xn3       n2  2   n  3

n
x1 x2
xn  n 
n 
n

Mà f(x) đồng biến trên  0;  nên ta có:

1
1 1
1 
f   x13  x23  xn3      
x1 x2
xn  
 n

1
1  
1
f   n2  2     n  3 
n  
n 
 n




1
1
1 

1
 f  x13    f  x23    f  xn3    n  n  3 
x1 
x2 
xn  
n 




1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   xn  .
n
Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.1.3. Cho a1; a2 ;; an  0. Chứng minh rằng:

a a an
a1 a2
1
2

an

 a  a  an 
 1 2

n



a1  a2  an

Chứng minh
Xét hàm số: f  x   x ln x ; với x  0 .
Ta có: f '  x   ln x  1 suy ra f " x  

1
 0 khi x  0
x

Do vậy f  x  là hàm lồi khi x  0 .
Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có:

 a  a  an  1
f 1 2
   f  a1   f  a2   f  an  
n

 n

17

2

2




a1  a2  an  a1  a2  an  1

.ln 
   a1 ln a1  a2 ln a2  an ln an 
n
n

 n

 a  a  an 
 ln  1 2

n



a1  a2  an





 ln a1a1  a2a2  an an (1)

Dựa vào tính đồng biến của hàm số y  ln x khi x  0 ; ta thấy ngay:

(1)  a a an
a1 a2
1
2

an

 a  a  an 
 1 2

n



a1  a2  an

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.1.4. Chứng minh rằng với mọi a1; a2 ;; an là các số thực trong

1  a1 1  a2 1  an 
a1a2 an
1 

khoảng  ;1 ta luôn có:
n
n
2 
 a1  a2  an   n  a1  a2  an 
Chứng minh:

1 
Xét hàm số: f  x   ln x  ln 1  x  ; với x   ;1
2 
Ta có: f '  x  

1

1
1
1
1 

suy ra f " x   2 
 0; x   ;1
2
x 1 x
x 1  x 
2 

1 
Theo bất đẳng thức Jensen với   a1; a2 ;; an    ;1 , ta có:
2 
 a  a  an 
f  a1   f  a2   f  an   nf  1 2

n


 ln a1  ln 1  a1   ln a2  ln 1  a2   ln an  ln 1  an 

 a  a  an 
 a1  a2  an 
 n ln  1 2
  ln 1 

n
n







 a  a  an 
a1a2 an
 ln 
  n ln  1 2

 n  a1  a2  an 
 1  a1 1  a2 1  an  

18


 a  a  an 
 ln  1 2

 n  a1  a2  an 

n

Do ln x là hàm đồng biến với mọi x  0

 a  a  an 
a1a2 an

 1 2

1  a1 1  a2 1  an   n  a1  a2  an 



n

1  a1 1  a2 1  an 
a1a2 an

n
n
 a1  a2  an   n  a1  a2  an 

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.1.5. Chựng minh rằng với mọi số tự nhiên n; ta có:

1
1
1
1



1
n 1 n  2 n  3
3n  1
Chứng minh:
Xét hàm số: f  x  
Ta có: f '  x  

1
, với x  0 .
x

1
2
f " x   3  0; x  0 .
2 suy ra
x
x

Vậy f(x) là hàm lồi khi x  0 .
Theo bất đẳng thức Jensen, với x  0; k  x ; ta có:

 k  x  k  x  1
f k   f 
   f  k  x   f  k  x 
2

 2

1
1
1
 2. 

(1)
k kx kx
Áp dụng (1) với k  2n  1 ; ta có:

1
1
1

2
 2n  1  n  2n  1  n 2n  1

1
1
1

2
 2n  1   n  1  2n  1   n  1 2n  1
…

19


1
1
1

2
 2n  1  1  2n  1  1 2n  1
Cộng từng vế n bất đẳng thức trên và thêm vào mỗi vế

1
, ta có:
2n  1

1
1
1
1
1
1
1


 


n 1 n  2 n  3
2n 2n  1 2 n  2
3n  1
  2n  1

1
2n  1

3 n 1

Hay

1
1
j
j  n 1



Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
1.2.1.6. Cho ai  0; bi  0; i  1, n
1) Cho k  1 hoặc k  0 . Chứng minh rằng:
k

n

a
i 1

k

i

1k
i

b

1k

 n   n 
  ai   bi 
 i1   i 1 

(*)

2) Cho 0  k  1. Chứng minh rằng:
k

n

a
i 1

i

k

1k
i

b

1k

 n   n 
  ai   bi 
 i1   i 1 

Chứng minh:
-Rõ ràng khi k  1 hoặc k  0 (*) trở thành đẳng thức.
- Xét với k  0 và k  1
Xét hàm số f  x   x k , với x  0 .
Ta có: f '  x   k.x k 1 và f " x   k  k  1.xk 2
Nhƣ vậy: Nếu k  1hoặc k  0 thì f " x   0; x  0; còn nếu 0  k  1
thì f "( x)  0; x  0.

20

Nhƣ thế thì f(x) là hàm lồi khi k  1 hoặc k  0 ; còn f(x) là hàm lõm khi
0  k 1

1) Xét khi k  1 hoặc k  0
Theo bất đẳng thức Jensen, áp dụng với: xi 

ai
b
; ai  n i ; i  1, n
bi
bj
j 1

Ta có: f  a1 x1  a2 x2  an xn   a1 f  a1   a2 f  a2   an f  an  (1)
Vì a1 x1  a2 x2  an xn 

1  a1
a2
an 
b

b

b


1
2

n
n
b1
b2
bn 

bj
j 1



a1  a2  an
b1  b2  bn

Nên thay vào (1) ta có:
k
k
k
k
 a1  a2  an 
 an  
 a2 
1   a1 

  n  b1    b2    bn   
 b2 
 b1  b2  bn   b   b1 
 bn  
j
j 1

k

 a  a  an 
1
 1 2
  n
 b1  b2  bn   b
j 1

k

1k

 n   n 
  ai   bi 
 i 1   i 1 

k
k
  a1 k
an  
a2 





k 1 
  b k 1  b k 1


b


2
n
 1

j

n

 ai k bi1k .
i 1

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh.
2) Chứng minh tƣơng tự nhƣ phần 1).
1.2.1.7. Cho 0    1;0    1 và     1.Chứng minh bất đẳng thức:

     2
Chứng minh:
Xét hàm số: f  x   x x với 0  x  1 .

21