Bất đẳng thức Svacxơ - Vận dụng trong hình học

Bất đẳng thức Svacxơ
(Vận dụng thiết lập khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng)
I. Bất đẳng thức Svacxơ :
1. Cho hai số hạng bất kỳ : (a.x) và (b.y) , với a,b,x,y
∈
R

( ) ( )
2 2 2 2
. .a x b y a b x y
+ ≤ + +
(*)
Dấu “=” xảy ra khi:
. .a y b x
=
( một cách dễ nhớ ta viết:
a b
x y
=
)
 Hướng chứng minh 1: vận dụng phương pháp đánh giá tương đương
( )
*
¬ →
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
. .a x b y a b x y
 

+ ≤ + +
 
 
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2. .a x ax by b y a b x y
⇔ + + ≤ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2. .a x ay bx b y a x a y b x b y
⇔ + + ≤ + + +
2 2 2 2
2. . 0a y ay bx b x
⇔ − + ≥
( )
2
0ay bx
⇔ − ≥
( luôn đúng
, , ,a b x y R
∀ ∈
)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
. .a y b x
=
 Hướng chứng minh 2: vận dụng tích vô hướng hai vectơ
Xét hai vectơ:
( )
;u a b=
r
và

( )
;v x y=
r
; với
a,b,x,y
∈
R
( )
. . .cos ,u v u v u v
=
r r r r r r
( )
. . . cos ,u v u v u v
⇔ =
r r r r r r
. .u v u v
⇔ ≤
r r r r
(vì
( )
cos , 1u v
≤
r r
)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
. . . . .a x b y a b x y a x b y a b x y
⇔ + ≤ + + ⇔ + ≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi :
( )

cos , 1u v
=
r r
( )
,u v k
π
⇒ =
r r
,
k Z
∈
⇒
u
r
cùng phương
v
r
⇒

0 . . 0
a b
a y b x
x y
= ⇔ − =
. .a y b x
⇔ =
 Hướng chứng minh 3: vận dụng tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai sau:

( )

( ) ( )
2 2 2 2 2
2.f t a b t ax by t x y
= + − + + +
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2f t a t axt x b t byt y
⇔ = − + + − +
( ) ( ) ( )
2 2
f t at x bt y
⇔ = − + −
( )
0f t
⇒ ≥
,
t R
∀ ∈
Trần Hoàng Tuấn
Trang 1
• Nếu:
2 2
0 0a b a b
+ = ⇔ = =
⇒
( )
2 2
0f t x y
= + ≥

, (đúng
,x y R∀ ∈
)
• Nếu:
2 2
0a b
+ >
( nghĩa là a,b không đồng thời bằng 0),
lúc này
( )
f t
trở thành tam thức bậc hai thật sự nên tồn tại
biệt số Δ
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
b ac ax by a b x y
′
∆ = − = + − + +
Vì
( )
0f t
≥
, do đó:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
0 0ax by a b x y

∆ ≤ ⇔ + − + + ≤
( ) ( )
2
2 2 2 2
ax by a b x y
⇔ + ≤ + +

( ) ( )
2 2 2 2
. .a x b y a b x y
⇔ + ≤ + +
Dấu “=” xảy ra khi :
0
∆ =
( ) ( )
2
2 2 2 2
. .ax by a b x y a y b x
⇔ + = + + ⇔ =
 Hướng chứng minh khác: …………………………………
2. Mở rộng nhiều số hạng: ( còn gọi là BĐT Bunhiacopski – BĐT Cauchy )
,
k k
a x R
∀ ∈
với
1;k n
=
, ta luôn có:
( ) ( )

2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
. . ... . ... ...
n n n n
a x a x a x a a a x x x
+ + + ≤ + + + + + +
Tổng quát:
( )
2 2
1 1 1
. .
n n n
k k k k
k k k
a x a x
= = =
   
≤
 ÷  ÷
   
∑ ∑ ∑
Dấu “=” xảy ra khi :
1 2
1 2
...
n
n
a
a a
x x x

= = =
Chứng minh:
 Vận dụng tam thức bậc hai.
 Vận dụng phương pháp quy nạp toán học.
 Vận dụng phương pháp tích vô hướng hai vectơ trong hệ tọa độ không gian n
chiều.
 Vận dụng phương pháp khác:……………………………
II. Vận dụng BĐT Svacxơ thiết lập khoảng cách từ một điểm M
o
(x
o
;y
o
) đến một đường
thẳng (D): Ax + By +C = 0
M
o
(x
o
;y
o
)
Ta có:
( ) ( )
2 2
o o o
M M x x y y
= − + −

(D):Ax+By+C=0

( ) 0M d Ax By C
∈ ⇔ + + =
H
M
Trần Hoàng Tuấn
Trang 2
( )
0
o o o o o o
Ax By C Ax By C Ax By C Ax By C
+ + = + + − = + + − + +

( ) ( ) ( ) ( )
o o o o
A x x B y y A x x B y y
= − + − = − + −

( )
( ) ( )
2 2
2 2
o o
A B x x y y
 
≤ + − + −
 

( ) ( )
2 2
2 2

.
o o
A B x x y y
= + − + −

( ) ( )
2 2
2 2
o o
o o
Ax By C
x x y y
A B
+ +
⇔ − + − ≥
+
2 2
o o
o
Ax By C
M M
A B
+ +
⇔ ≥
+
Dấu “=” xảy ra khi: M≡H , nghĩa là :
( ) ( )
0
o o
A y y B x x

Ax By C
− = −



+ + =


Do đó:
min
2 2
o o
o
Ax By C
M M
A B
+ +
=
+
Hay
2 2
o o
Ax By C
MH
A B
+ +
=
+
Hay:
/( )

2 2
o
o o
M D
Ax By C
d
A B
+ +
=
+

Trần Hoàng Tuấn
Trang 3