Hình học của không gian hilbert

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----o0o----

TRẦN THỊ HIÊN

HÌNH HỌC
CỦA KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:
TS. BÙI KIÊN CƢỜNG

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
Thầy TS. BÙI KIÊN CƯỜNG, đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá
trình viết khóa luận tốt nghiệp.
Em chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoaTOÁN, Trường
Đại Học SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong 4
năm học tập. Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không
chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu khóa luận mà còn là hành trang
quí báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.
Cuối cùng em kính chúc quý Thầy, Cô dồi dào sức khỏe và thành
công trong sự nghiệp cao quý.
Em xin chân thành cảm ơn!
Tác giả

Trần Thị Hiên


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: “Hình học của không
gian Hilbert” là công trình nghiên cứu của bản thân. Các kiến thức, kết
quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin
chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà trường
đề ra.
Tác giả
Trần Thị Hiên


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu: ........................................................................ 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................ 1
4. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................ 1
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 2
6. Đóng góp của khóa luận .................................................................... 2
NỘI DUNG............................................................................................... 3
Chương 1. HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT ....................... 4
1. Tích vô hướng và tích nửa vô hướng ................................................ 4
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ........................................................ 5
3. Bất đẳng thức tam giác...................................................................... 6
4. Không gian Hilbert............................................................................ 7
5. Định lý Pythagore ............................................................................. 8
6. Định lý Apollonius .......................................................................... 10

7. Phép chiếu vuông góc ..................................................................... 11
8. Định lý biểu diễn Riesz.................................................................... 19
Chương 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC CỦA
KHÔNG GIAN HILBERT ..................................................................... 23
KẾT LUẬN ............................................................................................ 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 33


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan
trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học.
Trong chương trình học, bộ môn Giải tích hàm đã được đưa vào và
trở thành một học phần quan trọng. Việc nghiên cứu không gian Hilbert
là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích hàm. Không gian Hilbert
là một dạng tổng quát hoá của không gian Euclid mà không bị giới hạn
về vấn đề giới hạn chiều. Đó là một không gian có tích vô hướng, nghĩa
là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt là khái niêm
trực giao hay vuông góc). Hơn nữa, nó thoả mãn một yêu cầu nữa là tính
đầy đủ để chắc chắn rằng giới hạn là tồn tại khi cần, làm các định nghĩa
khác nhau trong tính toán vi phân dễ dàng hơn. Không gian Hilbert cho
phép các trực giác hình học có thể được áp dụng vào một số không gian
hàm vô hạn chiều. Đặc biệt là các yếu tố hình học của không gian
Hilbert và dạng bài tập có liên quan. Với mong muốn được nghiên cứu
và tìm hiểu sâu sắc hơn về vấn đề đó, em đã chọn đề tài: “Hình học của
không gian Hilbert” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và
tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt về hình học của không gian
Hilbert.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về hình học của không gian Hilbert.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các khái niệm và kết quả về không gian Hilbert.

1


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Phương pháp giải tích hàm
6. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là một tài liệu tổng quan về hình học của không gian
Hilbert. Cụ thể là các yếu tố hình học như phép trực giao, cơ sở Hilbert
và phép đẳng cấu,…trong không gian Hilbert.

2


NỘI DUNG
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội
dung khóa luận gồm có
Chƣơng 1: Hình học của không gian Hilbert
1. Tích vô hướng và tích nửa vô hướng
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
3. Bất đẳng thức tam giác
4. Không gian Hilbert
5. Định lý Pythagore
6. Định lý Apollonius
7. Phép chiếu vuông góc

8. Định lý biểu diễn Riesz
Chƣơng 2: Một số bài toán liên quan đến hình học của không gian
Hilbert.

3


Chƣơng 1
HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN HILBERT
1. Tích vô hƣớng và tích nửa vô hƣớng
Ta đã được là quen cơ bản về tích vô hướng trong chương trình
trung học phổ thông như sau: “Cho hai véc tơ a và b đều khác véc tơ 0 .
Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a . b , được xác định bởi
công thức:

a.b  a . b cos(a, b).
là tích vô hướng trong không gian 2 chiều. Ở đây, ta sẽ mở rộng tích vô
hướng lên không gian tuyến tính X trên trường K .
Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K là
trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ). Ta gọi là tích vô hướng trên
không gian X mọi ánh xạ từ tích Đề-các X  X vào trường K , kí hiệu

(, ) , thoả mãn các tiên đề:
1)

x, y  X  ,  y, x    x, y  ;

2)

x, y, z  X  ,  x  y, z    x, z    y, z  ;

3)

 x, y  X     K  ,  x, y     x, y  ;

4)

x  X  ,  x, x   0 , nếu  x, x   0 thì

x  .

Các phần tử x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số  x, y 
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi
là hệ tiên đề tích vô hướng.
Ta gọi  ,  là tích nửa vô hướng nếu nó thoả mãn 3 điều kiện đầu và
điều kiện 4‟)

x  X  ,  x, x   0 .

4


Ví dụ 1.2. a) Trong C  a, b  các hàm liên tục trên  a, b thì ánh xạ

 x, y 

b

 x, y    x t  y t dt
a

là một tích vô hướng.
b) Trong l2 , với x  k  , y   k  , ta định nghĩa


 x, y     
k 1

k

k

Thì  ,  là tích vô hướng.
 Một số tính chất cơ bản
1)

x  X  ,  , x   0 , vì  , x    0.x, x   0. x, x   0 .

2)

x, y  X  ,   K  ,  x, y     x, y  . Thật vậy,

 x, y    y, x     y, x     x, y  .
3)

x, y, z  X  ,  x, y  z    x, z    y, z  .

Thật vậy,  x, y  z    y  z, x    y, x    x, z    x, y    x, z  .
2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Định lý 1.3. Giả sử  ,  là một tích vô hướng trên X. Khi đó

 x, y  

x y , x, y  X .

Chứng minh. Nếu  x, y   0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Nếu  x, y   0 , thì   ta có

0   x    x, y  y, x    x, y  y   x    x, y  y, x     x, y  y, x  
2

  x, y  x, y  y, y 
 x  2  x, y    2  x, y  y ,
2

2

2

2

ta nhận được một tam thức bậc hai đối với  không âm với mọi giá trị

  . Do đó

5


 x, y 

4

  x, y  x
2

2

y  0   x, y   x
2

2

2

y

2

  x, y   x y
Vì vậy,  x, y   x y  x, y  X  . Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.4 ( Góc của hai véc tơ). Nếu x, y  0 thì số

cos =

 x, y 
x y

được gọi là cosin của hai véc tơ x, y và  được gọi là góc của hai véc tơ

x, y .

3. Bất đẳng thức tam giác
Trong không gian véc tơ định chuẩn X, bất đẳng thức tam giác
được phát biểu như sau:

x  y  x  y , x, y  X .
Không gian thực là một không gian véc tơ định chuẩn với chuẩn là
giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số
thực x và y bất kì như sau:

x  y  x  y , x, y  .
Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng
để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị
của từng số trong hai số đó.
Cũng có thể ước lượng chặn dưới bằng cách dùng bất đẳng thức
tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với hai số thực x và y :

x  y  x y .

6


4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5. Giả sử  ,  là một tích vô hướng trên X . Khi đó

x   x, x  , x  X xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh
2

bởi tích vô hướng.
Chứng minh.
+ Theo Tiên đề 4 của tích vô hướng, x là hoàn toàn xác định và

x  0, x  X
x  0  x  .
+   K , x  X ta có:

x 

  x,  x     x, x     x, x   
2

x .

+ x, y  X

x  y   x  y, x  y   x   x, y    y, x   y
2

2

 x  2Re  x, y   y
2

 x  2  x, y   y
2

2

2

2

 x 2 x y  y  x  y
2

2



2

.

Vậy x  y  x  y , suy ra điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z,... nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;
2) H được trang bị một tích vô hướng  ,  ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x 
Nếu K 

 x, x  , x  H .

(hoặc ℂ) thì không gian Hilbert tương ứng được gọi là

không gian Hilbert thực (hoặc phức).

7


Ví dụ 1.7. Cho X 

n

với tích vô hướng:

 x, y    xi yi , x   x1 , x2 ,..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn  
n

n

i 1

và chuẩn x 

n

x
i 1

Hilbert.

2
i

thì

n

cùng với tích vô hướng là không gian





Ví dụ 1.8. Tập l2  x   xn  , xn  K , n  1:  xn  

 x, y    x
n

i 1

n

n

2

i 1

yn là một tích vô hướng trên l2

và chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là x 

n

x
i 1

n

2

. Vậy l2 cùng với

tích vô hướng là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.9. (Không gian con của không gian Hilbert). Mọi không
gian véc tơ con đóng của không gian Hilbert được gọi là không gian
Hilbert con.
5. Định lý Pythagore
Định nghĩa 1.10. Cho H là không gian Hilbert. Ta nói hai phần tử

x, y  H là trực giao nhau nếu  x, y   0 . Kí hiệu x  y .
Nếu A là tập con của H , A   , x  H , ta nói x trực giao với A nếu x
trực giao với mọi phần tử trong A . Kí hiệu x  A .
Vậy x  A  x  y, y  A
Nhận xét: Ký hiệu  là góc của hai véc tơ x, y . Khi đó hai véc tơ x, y
trực giao với nhau khi và chỉ khi cos  0 , tức là hai véc tơ „vuông góc”
với nhau.

8


Một số tính chất cơ bản:
1. x  y, y  H  x   .
2.   H .
3. Nếu x  A , A   y1 , y2 ,..., yn   H thì x trực giao với tổ hợp tuyến
tính các phần tử trong A . Kí hiệu x  span  A .
4. Giả sử x  xn , n  1 và dãy xn hội tụ đến y khi n   thì x  y .
5. A là tập trù mật khắp nơi trong H , x  A  x   .
Định lý 1.11. (Định lý Pythagore). Nếu x  y thì x  y  x  y .

2

2

2

Mở rộng cho n véc tơ đôi một trực giao x1 , x2 ,..., xn , khi đó
n

x
i 1

i

2

  xi ,  n 
n

2

i 1



.

 x, x  và từ giả thiết suy ra

Chứng minh. Từ công thức x 

x  y   x  y, x  y   x   x, y    y, x   y  x  y .
2

2

2

2

2

Phần mở rộng chứng minh bằng quy nạp.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian Hilbert H và không gian con E  H .
Tập con F  H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E
gọi là phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu:

F  H E .
Khi đó ta viết H  E  F và E  F gọi là tổng trực tiếp của E và F .
Định lý 1.13. Giả sử là không gian Hilbert, H1 là không gian con đóng
của nó, H 2  H1 thì H là tổng trực tiếp của H1 và H 2 .
Chứng minh. Cho x  H , x1  H gần nhất với x . Đặt x2  x  x1 . Ta thấy
x2  H . Thật vậy, cho y  H1 .Ta thấy hàm f (t )  x  x1  ty của biến
2

thực t có cực tiểu tại x  0 , do đó f ' (0) .

9

x2  ty  x2
f (0)  lim
t 0
t
2

Mà

2

 ( x2 , y)  ( y, x2 )  2Re( x2 , y)

'

Do đó Re( x2 , y)  0 . Thay y bởi yi , ta được Im( x2 , y)  0 .
Nên ( x2 , y)  0 , tức là x2  H 2 . Ta thấy H là tổng trực tiếp của H1 và H 2 .
Tổng này suy trực tiếp từ tính trực giao của H1 và H 2 : Nếu x  H1  H 2 ,
thì ( x, x)  0 , tức là x  0 . Thực tế, H là tổng trực tiếp của 2 không gian
con trực giao H1 và H 2 , kí hiệu H  H1  H 2 .
6. Định lý Apollonius
Đẳng thức hình bình hành. Cho H là không gian Hilbert, x, y  H ta có

x  y  x  y  2( x  y ).
2

2

2

2

Đây là biểu thức đại số của định lý Apollonoius mà bảo toàn tổng
diện tích các hình vuông trên cạnh của hình bình hành bằng tổng diện
tích các hình vuông trên đường chéo.
Minh hoạ hình học cho đẳng thức hình bình hành:Lục + Lam = Đỏ

Chứng minh. Ta có

x  y  x  y  x   x, y    y, x   y  x   x, y    y, x   y
2

2

2

2

2

 2 x  2Re  x, y   2Re  x, y   2 y
2



2 x  y
2

2

.

10

2

2


Đẳng thức được chứng minh.
Định lý Jordan-Neumann (Định lý đảo của định lý Apollonius). Nếu 
là một chuẩn trong không gian véc tơ (phức) thoả mãn

x  y  x  y  2( x  y )
2

2

2

2

thì V là không gian tiền Hilbert với x  ( x, x) và tích vô hướng cho bởi
2

 x, y  



1
2
2

2
x  y  x  y  i x  iy  i x  iy
4

2

.

7. Phép chiếu vuông góc
Định lý 1.14 (Hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian
Hilbert). Cho không gian Hilbert H và H0 là không gian con của H. Khi
đó mỗi phần tử x  H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x  y  z , y  H0 , z  H0.

(*)

Phần tử y trong biểu diễn gọi là hình chiếu của phần tử x lên H0.
x  u , theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại một
Chứng minh. Đặt d  uinf
H
0

dãy phần tử (un )  H 0 sao cho lim x  un  d .
n

Ta có
2 x  un

2

 2 x  um

2

u  um
4 x n
2

2

 un  um .
2

Kí hiệu d k  x  uk (k  1,2,...) .
Vì

1
(u n  u m )  H 0 , nên un  um
2

2

 2dn2  2dm2  4d 2 (n, m  1,2,...).

u n  u m  0 . Do H là không gian Banach và tính đóng của
Do đó nlim
, m

không gian con H 0 ta được lim un  y  H0 nghĩa là
n

x  y  lim
x  un  d .
n

11


Đặt z  x  y ta chứng minh z  H 0 . Thật vậy, giả sử v  H 0 mà
( z, v)  c  0 , do đó v   . Suy ra phần tử w  y 
2

c
d  xw  x y
v
(v, v)
2

2

c
v  H 0 và
(v, v)


c
c 
  z 
v, z 
c

(v, v)
(v, v) 

2

c
c
c
c.c
2
 z 
c
c
(
v
,
v
)

z

 d2
2
(v, v)
(v, v)
(v, v)
(v, v)
2

Điều này vô lý. Suy ra ( z, u)  0, u  H 0 hay z  H 0 . Hệ thức (*) được

chứng minh.
Giả sử phần tử x  H có thể biểu diễn dưới dạng (*) bằng hai cách
x  y  z  y' x' , y, y' H 0 , z  H 0 , z'  H 0

Khi

đó ( y  y' )  ( z  z' )  0, y  y' H 0 , z  z'  H 0 .

Áp

dụng

định

lý

Pythagore ta được y  y'  z  z'  0  y  y' , z  z' , nghĩa là biểu diễn
2

2

(*) là duy nhất.
Định lý được chứng minh.
Tổng quát hoá định lý trên ta có:
Định lý 1.15 (Hình chiếu lên tập lồi đóng). Cho K  H là tập lồi đóng,
khác rỗng. Khi đó với mọi f  H đều tồn tại duy nhất phần tử u  K sao
cho

f  u  min
f  v  dist  f , K 

vK

(1.1)

với dist  f , K  là khoảng cách từ f xuống K . Hơn nữa u đặc trưng bởi
tính chất

u  K và  f  u, v  u   0, v  K .

(1.2)

Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên K và được kí hiệu
bởi

u  PK f .

12


Bất đẳng thức (1.2) nói rằng tích vô hướng của u f với uv bất kì

 v  K  là  0 , nghĩa là góc 

xác định bởi hai véc tơ trên là 


2

.

f



u


2

v
Chứng minh. a). Sự tồn tại
Gọi  vn  là dãy cực tiểu của (1,1), nghĩa là vn  K và

dn  f  vn  d  inf
f v
vK
Ta chứng minh rằng  vn  là dãy Cauchy.
Thật vậy, áp dụng đẳng thức hình bình hành với a  f  vn và b  f  vm
ta có

vn  um
vn  um
d n2  d m2
f


2
2
2
2

2

v  um
v v
 d vì thế
Nhưng n m  K nên f  n
2
2
2

2
2
2
 vn  vm   dn  dm 
d

 
2
 2 

Và

lim vn  vm  0

m , n

Do đó  vn  hội tụ tới giới hạn u  K với d  f  u .
b) (1,1) tương đương với (1.2)

13


Giả sử u  K thoả mãn (1.1) và w  K . Ta có v  1  t  u  tw, t  0,1 và
do đó

f  u  f  1  t  u  tw    f  u   t  w  u 
Nên

f  u  f  u  2t  f  u,w  u   t 2 w  u
2

2

2

Từ đây suy ra

2 f  u,w  u   t w  u , t 0,1
2

Cho t

0 ta thu được (1.2).

Giả sử có phần tử u thoả mãn (1.2) khi đó ta có

u  f  v  f  2 f  u, v  u   u  v  0, v  K
2

2

2

Kéo theo (1.1)
c) Sự duy nhất
Giả sử có u1 , u2 thoả mãn (1.2). Ta có

f

 u1 , v  u1   0, v  K

(1.3)

f

 u2 , v  u2   0, v  K

(1.4)

Trong (1.3) ta chọn v  u2 và trong (1.4) ta chọn v  u1 và cộng các
bất đẳng thức tương ứng ta thu được u1  u2  0 . Chứng tỏ u1  u2 .
2

Nhận xét. Cho K  E là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Banach lồi đều E . Khi đó với mỗi f  E tồn tại duy nhất phần tử u  E
thoả mãn

f  u  min
f  u  dist  f , K 

vK
Mệnh đề 1.16. Giả sử K  H là một tập lồi đóng khác rỗng, khi đó PK
không tăng khoảng cách nghĩa là

PK f1  PK f 2  f1  f 2 , f1 , f 2  H

14


Chứng minh. Đặt u1  PK f1 và u2  PK f 2 . Ta có

f

1

f

2

 u1 , v  u1   0, v  K

(1.5)

 u2 , v  u2   0, v  K

(1.6)

Chọn v  u2 trong (1.5) và v  u1 trong (1.6) rồi cộng các bất đẳng
thức

ta

thu

u1  u2   f1  f2 , u1  u2  .
2

được

Từ

đó

suy

ra

u1  u2  f1  f 2 . Suy ra
PK f1  PK f 2  f1  f 2 , f1 , f 2  H
Định nghĩa 1.17. Giả sử M  H là một không gian con tuyến tính đóng,

f  H . Khi đó u  PM f được đặc trưng bởi
u  M và  f  u, v   0, v  M

(1.7)

Hơn nữa PM là toán tử tuyến tính và được gọi là phép chiếu trực giao.
Chứng minh. Từ (1.2) ta có

f

 u, v  u   0, v  M

Và do đó

f

 u, tv  u   0, v  M , t 

Từ đó suy ra (1.7). Ngược lại nếu u thoả mãn (1.7) thì

f

 u, v  u   0, v  M

Hơn thế nữa rõ ràng PM tuyến tính.

 f , u  là một phiếm hàm tuyến tính

Với mỗi f  H thì ánh xạ u

liên tục trên H . Hơn nữa định lý sau đây chỉ ra rằng mọi phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên H đều có dạng như vậy.
Bất đẳng thức Bessel
Với mọi hệ trực chuẩn x A  và với mọi véc tơ x

 x, x   x, x .
2

αA

15

(1.8)


(Tổng của vế trái được hiểu là supAo Ao x, x  , ở đây cận trên đúng lấy
2

trên các tập con hữu hạn A0  A . Không khó để chỉ ra rằng tổng này chỉ
hữu hạn nếu chỉ có đếm được các số hạng khác 0.)
Chứng minh. Theo định nghĩa tổng ở vế trái của (1.8) chỉ cần kiểm tra
bất đẳng thức này đối với tập hữu hạn chỉ số A . Cho H1 là không gian
con của H sinh bởi hệ x ,   A , H 2  H1 . Khi đó x   C x  y ,
 A

trong đó y  H 2 . Vì x  là trực giao và H1 và H 2 trực giao với nhau.

x, x   c

x, x    c 2   y, y .

,

αA

Và điều này suy ra (1.8).

□.

Định nghĩa 1.18. Hệ trực chuẩn x αA trong không gian Hilbert H
được gọi là đầy nếu phần bù trực giao của nó chỉ có phần tử 0.
Đẳng thức Parseval: (Khái quát của định lý Pythagore): Với mọi hệ trực
chuẩn đầy x α  A và với mọi véc tơ x,

 x, x     x, x 

2

.

(1.9)

αA

Chứng minh. Cho A0 là tập tất cả x, x   0 . Như đã đề cập ở trên, A0
đếm được. Ta đánh số nó và viết x1 , x2 ,... thay cho x , x ,... và c1 , c2 ,...
1

thay

cho

S nk  S n

2

c , c ,... Xét
1

 i 1 ci
nk

chuỗi

2

2

và chuỗi

c
i

của
2

i

tổng

2

S n  i 1 ci xi .
n

Vì

hội tụ, chuỗi Sn  là Cauchy cho

S  lim Sn và y  x  S . Ta cần chỉ ra y  0 . Muốn vậy chỉ cần chứng

minh y trực giao với hệ x  αA .
Với  A0 thì y  0 là hiển nhiên theo cách xây dựng, với   A0 , nó suy
ra từ đẳng thức

 y, x    x  S, x   lim( x  S , x )  0 .
i

n

i

n

16

i


n

2

S n , S n   lim
Vậy y  0 và do đó x, x   lim
 ci   c .
n 
n 
i 1

2

□

αA

Định lý 1.19. Mọi hệ trực chuẩn đầy x αA trong không gian Hilbert

H là một cơ sở Hilbert, nghĩa là với mọi véc tơ x ∊ H có thể viết duy
nhất dưới dạng
x   c x , trong đó c  x, x  .
αA

Nhận xét: Khái niệm về cơ sở Hilbert nói chung khác với cơ sở trong
không gian tuyến tính và chỉ trùng với nó trong trường hợp hữu hạn
chiều.
Sự khác biệt bắt nguồn từ thực tế tổ hợp tuyến tính vô hạn là thỏa
mãn trong không gian Hilbert, nhưng không có nghĩa trong không gian
tuyến tính.
Định lý 1.20. Mọi không gian Hilbert có một cơ sở Hilbert. Mọi cơ sở
của không gian H đã cho có cùng lực lượng (Lực lượng này được gọi là
số chiều của H ).
Chứng minh. Sử dụng bổ đề Zorn, dễ dàng chứng minh sự tồn tại hệ cực
đại các véc tơ trực chuẩn trong H . Nếu nó không đầy thì bằng cách nối
hệ này với véc tơ đơn vị trong phần bù trực giao của nó, sẽ dẫn tới mâu
thuẫn với tính cực đại của hệ. Do đó, cực đại của hệ là đầy, và theo định
lý trên, hệ này là một cơ sở Hilbert trong H .
Sự kiện hai cơ sở Hilbert trong không gian hữu hạn chiều có cùng
lực lượng suy từ sự kiện tương tự trong đại số tuyến tính, bởi vì trong

trường hợp này, khái niệm cơ sở và cơ sở Hilbert là trùng nhau. Giả sử

H có cơ sở (Hilbert) đếm được xn n . Khi đó H là vô hạn chiều (vì xn
độc lập tuyến tính) và tách được (tức là có một tập con trù mật đếm
được).

17


Do đó, với mọi cơ sở khác y  chứa vô hạn phần tử. Nếu A
không đếm được, thì H chứa tập không đếm được của các hình cầu rời
nhau bán kính bằng 1 (chỉ cần lấy các hình cầu với tâm tại điểm
2 y ,  A ), dẫn tới mâu thuẫn với sự tách được của H . Trường hợp số

chiều không đếm được đòi hỏi thêm thông tin về lý thuyết tập hợp và ta
bỏ qua phép chứng minh nó. 
Nhận xét. Với không gian Hilbert tách được, sự tồn tại của cơ sở có thể
chứng minh bằng quá trình trực giao mà không sử dụng bổ đề Zorn. Giả
sử xn nN là hệ đếm được của các véc tơ trong H mà phần bù trực giao
của nó chỉ có phần tử 0 (ví dụ, họ đếm được của các véc tơ trù mật trong

H là tồn tại vì H tách được). Loại bỏ các véc tơ dư thừa, ta giả định hệ

x  độc lập tuyến tính. Ta định nghĩa dãy mới của các véc tơ  y 
n

n

z 
n

n

n

,

như sau
y1  x1

z1 

y1
y1

y2  x2  x2 , z1 z1

z2 

y2
y2

zn 

yn
yn

……..
n 1

y n  xn   xn , z i z i
i 1

Dễ thấy hệ  zn  trực chuẩn và bao tuyến tính của z1 ,..., zn trùng với của
x1 ,..., xn .. Do đó zn n là cơ sở trong H .

Chú ý: Nếu hệ ban đầu  xn  nằm trong không gian con (không đóng)

H 0  H thì hệ  zn  cũng nằm trong H 0 . Từ đây suy ra sự tồn tại của
một cơ sở trong mọi không gian tiền Hilbert tách được.

18


Định lý 1.21. Hai không gian Hilbert đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có
cùng số chiều.
Chứng minh. Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh
điều kiện đủ. Giả sử H1 và H 2 có cùng số chiều. Nghĩa là H1 và H 2 có cơ
sở

x  ,   A

và

 y  ,   A

với cùng lực lượng, cho toán tử

U : H1  H 2 xác định bởi U   c x    c y . Đẳng thức Parseval chỉ
  A

  A

ra toán tử này đẳng cự (tức là bảo toàn tích vô hướng) và do đó ánh xạ

H1 vào không gian con đầy L  H 2 . Vì L có cơ sở

 y  ,   A ,

L  0 .
Do đó L  H 2 .

□.

Hệ quả: Mọi không gian Hilbert vô hạn chiều tách được là đẳng cấu
8. Định lý biểu diễn Riesz
Định lý 1.22. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert
H đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng

f  x    x, a  , x  H ,
Trong đó, phần tử a  H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f  a .
Chứng minh. a là phần tử cố định thuộc không gian H .
Ánh xạ

f :H K
x

 x, a 

Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H . Thật
vậy ,   K , x, y  H , ta có

f   x   y     x   y , a     x, a     y , a 
   x, a     y, a 
  f  x   f  y

19


 f là phiếm hàm tuyến tính.

x  H , f  x    x, a   a x

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

 f bị chặn.
Do

f  x  a x  f  a .
Nếu a   thì lấy x0 

a
 x0  1
a
 a  1
1 2
 f  x0    , a  
 a, a   a  a
a

 a  a

Mặt khác f  x0   f  x0  f

 f  a
Bất đẳng thức cũng đúng cho a   .
Vậy f  a .
Ngược lại mỗi f  H  ( H  là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên H )

đều tồn tại duy nhất a sao cho f  x    x, a  , x  H và

f  a . Thật vậy
Đặt H0  x  H : f  x   0 .
Khi đó H 0 là không gian véc tơ con của H .
Hơn nữa H 0 là đóng vì mọi dãy

 x  H
n

0

sao cho xn  x khi

n  .
Ta có

f  x   lim
f  xn   0  x  H 0  H 0 đóng.
x 

Vậy H 0 là không gian véc tơ con của H .

20


+ Nếu H 0  H nghĩa là f  0 thì chọn a    H

f  x    x, a    x,   0, x  H
+ Nếu H 0  H , khi đó H  H0  H 
Và tồn tại một phần tử x0  H0 , x0    x0  H0 .
Mỗi x  H , đặt y  xf  x0   x0 f  x 
Khi đó f  y   f  x  f  x0   f  x0  f  x   0  y  H 0

 0   y, xn    xf  x0   x0 f  x  , x0 
 f  x0  x, x0   f  x  x0  0
2

 f  x0  
 f  x    x,
2 x0 


x
0


Đặt a 

f  x0 
x0

2

 a  H và f  x    x, a  , x  H .

Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất.
Giả sử f  x    x, a    x, a'  , x  H
Ta chứng minh a  a ' .
Thật vậy, 0   x, a  a'  , x  H

 a  a'    a  a' .
Vậy a là duy nhất.
Tính

f  x    x, a   a x , x  H
 f  a

Ngược lại chọn x0 

a
thì x0  H và x0  1
a

 f  sup f  x   f  x0  
x 1

Vậy f  a , suy ra điều phải chứng minh.

21

a
,a  a .
a