80 bai bat dang thuc hay

1 
1 
1  729

1  3 1  3 1  3  
Chứng minh rằng:  a  b  c  512

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 6.
Lời giải.
1 
1 
1  729 729


1  3 1  3  1  3  
 a  b  c  512 512
1
1 
1
 1 1 1  1
 A  1  3  3  3    3 3  3 3  3 3   3 3 3
a b c  a b b c c a  a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai tổng trong dấu ngoặc ta được:
3
3
1
1 

A  1
 2 2 2  3 3 3  1 


abc a b c a b c  abc 

3

Lại theo bất đẳng thức Cô – si ta được:
A  1

3
3
1
1 

 2 2 2  3 3 3  1 

abc a b c a b c  abc 

3

abc 
1
1
 .
  8, hay
3
abc 8



Lại theo BĐT Cô – si ta có: abc  

3

3

1
729
Suy ra: A  1   
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2.
 8  512

2) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2004)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0  a  2, 0  b  2, 0  c  2 và a + b + c = 3. Chứng
minh rằng: a3 + b3 + c3  9.
Lời giải. Giải sử a = max(a, b, c) ; c = min(a, b, c).
0  c  1  a  2.

1  a  2  (a  2)(a  1)  0  a 2  3a  2
3
2
3
Vì a + b + c = 6 ⇒  a  3a  2a  3(3a  2)  2a  7a  6  a  7a  6. (1)
(2)
Mặt khác: 0  c  1  c3  c.

(3)
Nếu 0  b  1  b  b
Từ (1), (2) và (3) ta được: a3 + b3 + c3  7a – 6 + c + b = 6a – 3  9
Nếu 1  b  2 thì tương tự ta có: b3  7b – 6 (4)
Từ (1), (2) và (4) ta được:

a3 + b3 + c3  7a + c + 7b – 12 = 21 – 6c - 12  9.
Vậy a3 + b3 + c3  9.
3) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
3

a
b
c


1
a  (a  b)(a  c) b  (b  c)(b  a ) c  (c  a )(c  b)

Bài làm. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số: ( a , b ) và ( c , a ) ta
có: (b  c)(b  a)  ( ac  ab )2  ab  ac ,
Do đó: a  (b  c)(b  a)  a  ab  ac , và
a
a
a


a  (a  b)(a  c) a  ab  bc
a b c

1


b
b


,
b

(
b

c
)(
b

a
)
a

b

c
Tương tự ta có:

c
c

c  (c  a )(c  b)
a b c

Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
a
b
c



a  (a  b)(a  c) b  (b  c)(b  a) c  (c  a)(c  b)
a
b
c
a b c



1
a b c
a b c
a b c
a b c



Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trở thành đẳng thức khi a2 = bc , b2 = ac, c2 = ab
, suy ra a = b = c.
Vậy dấu “=” của Bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
3) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: x + y + z = 0,
x  1  0, y  1  0, y  4  0 . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q

x
y
z



x 1 y 1 z  4

Lời giải. Đặt a  x  1, b  y  1, c  z  4 thì a > 0 , b > 0, c > 0 và a + b + c = 4
a 1 b 1 c  4
1 1 4
4
4
16
8
1 1 4


 3     ; S    
 

a
b
c
a b c a b c a bc 3
a b c
8 1
 Q  3 S  3  .
3 3
1
1
Vậy MaxA = khi x = y = 
và z = 1.
3
2
Q

3) (Trích đề Chuyên sư phạm Hà Nội năm 2014)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P 

1
1
1


x
y
z

Bài làm.
3) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a 3  b3  c 3 a 2  b 2 b 2  c 2 c 2  a 2 9
 2



2abc
c  ab a 2  bc b 2  ac 2

Bài làm.
a2
b2
c2
a 2  b2 b2  c 2 c 2  a 2



 2


2bc 2ac 2ab c  ab a 2  ac b 2  ac
a 2  bc b 2  c 2 b 2  ac c 2  a 2 c 2  ab a 2  b 2 3

 2

 2

 2

2bc
a  bc
2ac
b  ac
2ab
c  ab 2
A

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

 a 2  bc
2bc   b 2  ac
2ac   c 2  ab
2ab  3
A
 2



 2
 


2
a  bc   2ac
b  ac   2ab
c  ab  2
 2bc

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các cặp số trong ngoặc ra có:
A 222

2

3 9

2 2


Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
3) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T

a2
b2
c2



a 2  (b  c) 2 b 2  (c  a ) 2 c 2  (a  b) 2

Lời giải. Áp dụng các bất đẳng thức:
(b  c)2  2(b2  c 2 ); (a + b)2  2(a 2  b2 );
(c + a)2  2(c 2  b2 ), ta có:
a2
b2
c2
T 2


a  2(b 2  c 2 ) b 2  2(a 2  c 2 ) c 2  2(a 2  b 2 ) hay

 
 

a2
b2
c2
T 3  2

1


1

 1
  2
  2
2

2
2
2
2
2
 a  2(b  c )   b  2(a  c )   c  2(a  b ) 


2
1
1
1
 .5(a 2  b 2  c 2 )  2
 2
 2
.
2
2
2
2
2
2 
5
 a  2(b  c ) b  2(a  c ) c  2(a  b ) 
1 1 1
, , ta được:
m n p
2
3
T  3  .9  T  .

5
5
 9 .Suy ra:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba bộ số dương m, n, p và
1 1 1
1
(m  n  p)      3. 3 mnp . 3
mnp
m n p

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là

3
khi a = b = c.
5

3)
(Trích Chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2005)
Giả sử x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện
xy 2 z 2  x 2 z  y  3 z 2. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 
1
z

Lời giải. Điều kiện có thể viết lại là: xy 2  x 2 .  y.
Biểu thức P có dạng: P 

1
1

 x4  y 4
z4

. Đặt

z4
.
1  z 4 ( x4  y 4 )

1
3
z2

1
 t ta thu được bài toán sau:
z

“Với x, y, t là các số dương thỏa mãn: xy 2  yt 2  tx 2  3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

1
”
t  x4  y 4
4

Theo BĐT Cô – si Cô – si cho 4 số dương ta có:
 x 4  y 4  y 4  1  4 xy 2
 4 4 4
2
4

4
4
4
4
4
 y  t  t  1  4 yt  3( x  y  t )  3  4( xy  yt  tx )  12
 t 4  x 4  x 4  1  4tx 4

1
1
 x4  y 4  z 4  3  4
 .
4
4
x y z
3

Vậy Pmin 
3)
3

1
đạt được khi x = y = z = 1
3

Giải sử x, y là các số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 2  y 2  1.


Chứng minh rằng: 1  x  y  2.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1.
2.

P  1 2x  1 2 y .

Lời giải 1. Từ ( x  y)2  2( x 2  y 2 )  2 suy ra: x  y  2
Đẳng thức xảy ra khi x  y 

1
. Mặt khác: ( x  y)2  x 2  y 2  2 xy  1  2 xy  1 Suy
2

ra: x  y  1.
Đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc y = 0.
2. Ta có: P 2  2  2( x  y)  2 1  2( x  y)  4 xy .
Do x  y  2 và 4 xy  2( x 2  y 2 )  2 suy ra:
P 2  2  2 2  2 1  2 2  2  P  2  2 2  2 3  2 2 Đạt được khi x  y 

1
.
2

Mặt khác: x  y  1 và 4 xy  0 nên P 2  2  2  2 1  2  0  P  4  2 3.
Vậy Pmin  4  2 3. đạt được khi

x  0 hoặc y  0

9)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T  2ac  bd  cd , trong đó các số thực

a, b, c, d thỏa mãn điểu kiện 4a2  b2  2 va c + d = 4.
Lời giải. Với mọi a, b , c, d  R ta có:

c2
c 2
2

(1)
 2ac  4a 
(2a  2 )  0
4


d 2
d2


2
(
b

)

0

bd

b

(2)



2
4


 (c  d ) 2  0

(c  d ) 2 cd
cd


(3)



8
2


Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
c 2 d 2 cd (c  d ) 2
3(c  d ) 2
3.42
2
2
T  2ac  bd  cd  4a  b  


 (4a  b ) 

 2
 8.
4
4
2
8
8
8
2

2

T = 8 khi và chỉ khi xảy ra đồng thời các dấu “=” ở các BĐT (1), (2), (3). Tức là
1
2

khi a  , b  1, c  d  2 . Vậy giá trị lớn nhất của T là 8.
10) (Trích đề vào Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2005 – 2006)
Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nữa chu vu tam giác. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1


 2    .
p a p b p c
a b c

Lời giải. Nhận xét: Với x , y là các số dương thì

1 1
4
 
. Từ nhận xét này
x y x y

1
1
4
4


 ;
p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c
1
1
4
1
1
4

 ;

 .
Tương tự ta có:
p b p c a
pc pa b

ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
4


1
1
1
1 1 1


 2    .
p a p b p c
a b c

12) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Chu Văn An năm 2005 – 2006)
Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức:

1 2 3
   6. Xét biểu thức: P  x  y 2  z 3 .
x y z

1)
Chứng minh rằng: P  x  2 y  3z  3.
2)
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Lời giải. 1. Theo bất đẳng thức Cô – si, ta có:
P  3  x  ( y 2  1)  ( x3  1  1)  x  2 y  3z

Suy ra P  x  2 y  3z  3. (đpcm)

3.
Áp dụng kết quả trên kết hợp bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
2

1 2 3 
1
2
3
6( P  3)  ( x  2 y  3 z )       x .
 2 y.
 3z .
  36
y
z 
x
x y z 
Hay P  3. Vậy MinP = 3 đạt được khi x = y = z = 1.

13) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = 6. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: Q 

x3
y3
z3


yz zx x y

Lời giải. Sử dụng BĐT Cô – si cho ba số dương ta có:
x3

yz
x3 y  z

 2  33
.
.2  3x
yz
2
yz 2

Tương tự ta có:

y3
zx

 2  3 y;
zx
2

z3
x y

 2  3 z.
x y
2

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Q  x  y  z  6  3( x  y  z )  Q  2( x  y  z )  6  6.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2.
Vậy Qmin= 6 khi x = y = z = 2.
13) (Trích đề Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2005-2006)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  x2  x  1  x2  x  1.
2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:
1 1 1
   1 . Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2)  1.
x y z

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. 1) Tập xác định của hàm số y là R . Nhận thấy y > 0 với mọi giá trị của
x nên để tìm giá trị nhỏ nhất của y ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của y2.
Mà: y 2  2 x 2  2  2 ( x 2  x  1)( x 2  x  1) = 2 x 2  2  2 x 4  x 2  1  4.
Dấu “=” xảy ra khi x = 0.
Vậy ymin= 4 khi x = 0.
2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – 2. Ta phải chứng minh: abc ≤ 1.
Thật vật từ:

5

1 1 1
1
1
1
  1 


1
x y z
a2 b2 c2

Theo bất đẳng thức Cô – si:
1
1  1
1  1 b
c 
bc
1
 

 
 

a2 2 b2 2 c2 2b2 c2
(b  2)(c  2)

(1)

Tương tự ta có:
1
ca

b2
(c  2)(a  2)

1
ab

c2

(a  2)(b  2)

(2);

(3)

Nhân (1), (2) và (3) theo vế ta được điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay x = y = z = 3.
14) Cho a, b là các số lớn hơn 1 và thỏa mãn điều kiện a + b  4 .Tìm giá trị nhỏ
a4
b4

(b  1)3 ( a  1)3
Lời giải. Do a  1 , b  1 nên (a – 1) > 0 và (b – 1) > 0. Áp dụng bất đẳng thức

nhất của biểu thức: A 

Cô – si cho hai số không âm ta có:
A

2a 2 b 2
(a  1)(b  1) (a  1)(b  10

Mà: 0  1.(b  1) 

b2
4

(1)
0  1.(a  1) 

(2)

a2
4

(3)

4  a  b  2 ab

(4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
2a 2b 2 43 128 128
A


 32.
a 3b3
ab
4

 a4
b4


3
(a  1)3
 (b  1)
A  32   a  1  b  1  1  a  b  2.


ab  4



Vậy GTNN của A là 32 đạt được khi a = b = 2.
15) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a 2  b2  c2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: M 

ab 2  bc 2  ca 2
(ab  bc  ca ) 2

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – cốp – xki ta có:
(ab  bc  ca)2  ( a . a .b  b. b.c  c . c .a)2  (a  b  c)(ab2  bc 2  ca 2 )
(a  b  c)2  3(a 2  b2  c 2 ). Do a 2  b2  c 2  3 nên a + b + c  3.

Từ (1) và (2) suy ra: M 

(1)

(2)

ab 2  bc 2  ca 2
1
1


2
(ab  bc  ca )
abc 3

1
khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra ở (1) và (2) tức là a  b  c  1 .
3
1
Vậy Mmin= khi a  b  c  1 .
3

M=

16) (Trích chuyên SPHN năm 2006-2007)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y  z) xyz  1 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức: T  ( x  y)( x  z)
Lời giải. Ta có;
6


T  ( x  y )( x  z )  x( x  y  z )  yz  2 x( x  y  z ). yz  2

 x( x  y  z )  1.

T 2
yz  1
.
 x, y, z  0.

 x( x  2)  1
 x  2  1.
 x0

Chọn y = z = 1. Thì điều kiện trở thành: 

Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 chẳng hạn khi ( x; y; z)  ( 2 1;1;1)
17) Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab  bc  ca (a  b  c ) 2
P 2

a  b2  c2
abc

Lời giải. Nhận thấy với x, y, z là các số thực dương ta có:
i ) ( x  y ) 2  0  x 2  y 2  2 xy 

x y
  2 (1)
y x

 x y x z  y z
1 1 1
9
1 1 1
ii )     ( x  y  z )  3              9.    
(2)
x y z x yz
a b c
 y x  z x  z y
iii ) ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2  0  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1), (2) và (3) khi và chỉ khi x = y = z.

Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vào bài toán ta có:
P

ab  bc  ca
1 1  ab  bc  ca
9
 1
 (a  b  c)      2 2 2  (a 2  b 2  c 2 ).
 18
2
2
2
a b c
ab  bc  ca
 ab bc ca  a  b  c

 ab  bc  ca a 2  b 2  c 2  8(a 2  b 2  c 2 )
 2 2 2 
 18  2  8  18  28.

ab  bc  ca  ab  bc  ca
 a b c
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
P  28  
 a  b  c.
ab

bc

ca



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 28 khi a = b = c.
8  x4
8  y4
8  z4


 0 (1)
18) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn:
16  x 4 16  y 4 16  z 4

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  xyz
Lời giải. Ta có:
 8  x4
  8  y4
  8  z4

1
1
1
1
(1)  

1


1
 1  3 




(2)
 

4
4
4
4
4
4
16  x 16  y 16  z
8
 16  x
  16  y
  16  z

1
1
1  1
1  1  y4
z4 






Từ (2) suy ra:




 

16  x 4  16 16  y 4   16 16  z 4  16  16  y 4 16  z 4 


1  y4
z4  1
y2 z2


.
(BĐT Cauchy)


16  16  y 4 16  z 4  8 (16  y 4 )(16  z 4 )

Tương tự ta có:
1
1
x2 z 2

.
16  y 4 8 (16  x 4 )(16  z 4 )

7

(4);

1
1
x2 y 2

.
16  z 4 8 (16  x 4 )(16  y 4 )

(5)


Nhân theo từng vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) và rút gọn lại ta được:
x4 y 4 z 4  83  xyz  4 4 2  4 4 2  xyz  4 4 2.

Giá trị lớn nhất của P là 4 4 2 đạt được khi x, y, z có hai số bằng  4 8 số còn lại
bằng 4 8 .
Giá trị nhỏ nhất của P là 4 4 2 đạt được khi x, y, z có hai số bằng 4 8 số còn lại
bằng  4 8 , hoặc cả 3 số bằng  4 8 .
19) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh
2
1
 a 3  b3  c 3  .
9
4
3
Lời giải. Đặt: T  a  b3  c3  3abc. Do a  b  c  3 nên:
T  (a  b)3  c3  3abc  3ab(a  b)  (a  b  c)3  3c(a  b)(a  b  c )  3abc  3ab(a  b)

rằng:

 1  3c(a  b)  3abc  3ab(1  c)

Vậy T  1  3(ab  bc  ca)  6abc
Lại có:

(1)

a 2  a 2  (b  c)2  (a  b  c)(a  b  c);

b 2  b 2  (a  c) 2  (a  b  c)(a  b  c);

c 2  c 2  (a  b)2  (a  b  c)(a  b  c).

Hơn nữa a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên:

a  b  c  0,

a  b  c  0,

 a  b  c  0;

abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c )  (1  2c )(1  2b)(1  2a )  1  4(ab  bc  ca )  2(a  b  c )  8abc
 1  4(ab  bc  ca)  7abc  0;

Do đó:
2 8
6abc    (ab  bc  ca)
3 3

(2)

va

ab  bc  ca  2abc 

1
4

(3)

Từ (1) và (2) áp dụng BĐT (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) ta có:
1 1
1 1
1 1 2
 (ab  bc  ca )   (a  b  c) 2    ;
3 3
3 9
3 9 9
a  b  c  1
1
2
abc .
T  khi và chỉ khi 
9
3
 abc
T

1
4

Từ (1) và (3) dẫn đến: T  1  3(ab  bc  ca)  2abc  1  3. 

1
4

20) (Trích đề thi HSG T.P Hồ Chí Minh năm học 2006-2007)
a) Chứng minh rằng: ( x  y  z )2  3( x 2  y 2  z 2 ), với mọi x, y, z là số thực
1
1
4
4
4 x  1  4 y  1  4 z  1  21.

1
4

b) Cho x  y  z  1, x   , y   , z   . Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi x, y, z bằng bao nhiêu?
( x  y  z )2  3( x 2  y 2  z 2 )
Lời giải. a) Ta thấy:
 2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  2 zx  0
 ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2  0

Bất đẳng thức này đúng. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b) Áp dụng câu a) ( 4 x  1  4 y  1  4 z  1)2  3(4 x  1  4 y  1  4 z  1)  21.
8


Suy ra: 4 x  1  4 y  1  4 z  1  21.
1

Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  3
21) (Trích đề vào Chuyên đại học Vinh năm 2006-2007)
2
2
Cho các số thực x, y thỏa mãn x  y  6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức: P  x  5 y.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;  5) va ( x; y)
ta có:
P2  (1.x  ( 5). y)2  (12  ( 5)2 )( x2  y 2 )  6.6  36  P2  36  6  P  6

Vậy Pmin= - 6 và Pmax= 6
22) (Trích đề vào Chuyên đại học Vinh năm 2006-2007)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
bc5 ca4 ab3


 6.
1 a
2b
3 c

Dấu “=” xảy ra khi nào?
Lời giải. Đặt: P 

bc5 ca4 ab3


 6.

1 a
2b
3 c

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số dương ta có:
1
1 
36
36
 1
P  3  12 



 9.
 3
(1  a)(2  b)(3  c) 1  a  2  b  3  c
 1 a 2  b 3  c 
3
1  a  2  b  3  c
Suy ra P  6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi 
 (a; b; c)  (3; 2;1).
 abc  6

23) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn. Chứng minh rằng:
2
 2a   2b   2c  9(a  b  c)
1



1


1



 
 

b  
c  
a 
ab  bc  ca

2

2

2

(*)

Đẳng thức xảy ra khi nào.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp – xki ta có:
2

 2a   2b   2c  1 
 a b c 
(1)

) 1    1    1     3  2     
b  
c  
a  3

 b c a 
 a 2 b2 c2 
a b c
)
(ab  bc  ca )      (ab  bc  ca )    
b c a
 ab bc ca 
2

2

2

2

a
b
c 

2
  ab .
 bc .
 ca .
  (a  b  c)
ab

bc
ca 


Đặt S 

(2)

(a  b  c) 2
, dễ thấy S  3
ab  bc  ca

Từ (1) và (2) suy ra để chứng (*) ta chỉ cần chứng minh rằng:
9


1
(3  2 S ) 2  9 S  ( S  3)(4 S  3)  0.
3
Điều này đúng vì S  3 . Đẳng thức ở (*) xảy ra khi và chỉ khi:


S 3

2b
2c
 2a
 1
 1
 a  b  c.

1 
b
c
a

a
b
c




ab bc ca
24) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2  y 2  z 2  xyz. Tìm giá trị lớn
x
y
z
 2
 2
nhất của biểu thức: A  2
x  yz y  zx z  xy

Lời giải. Nhận xét: với mọi số a, b, c luôn có: (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0 hay
a 2  b2  c 2  ab  bc  ca (1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT (1) kết hợp với giả thiết x2  y 2  z 2  xyz. ta có:
A

x
2 x 2 . yz



y
2 y 2 .zx



1 1 1
1 1
1 1 
 
.

.

.

z x
x y 
2 z 2 .xy 2  y z
z

1  1 1 1  1 xy  yz  zx 1 x 2  y 2  z 2 1
     .
 .
 .
2 x y z  2
xyz
2

xyz
2
1
1
Rõ ràng: A   x  y  z  3. Vậy Amax   x  y  z  3
2
2
25) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
1
 
 3
 1  2  1  2  1.
2
ab bc ca
a
b
c

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với:
ab  bc  ca
ab  bc  ca
ab  bc  ca
a2 1
b2  1

c2 1
1
1
1 


ab
bc
ca
a2
b2
c2
c(a  b) a (b  c) b(c  a )
(a  b)(a  c)
(b  c )(b  a )
(c  a )(c  b)





2
2
ab
bc
ca
a
b
c2
Do (ab  bc  ca  1)

(1)
c( a  b)
a (b  c )
b (c  a )
Đặt
 x,
 y va
 z , . Khi đó (1) trở thành bất đẳng thức
ab
bc
ca
quen thuộc: x  y  z  xy  yz  zx (luôn đúng với mọi số dương x, y, z)


Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  a  b  c 

3
.
3

26) Cho a, b, c là số dương. Chứng minh rằng:

(1  a 2b)(1  b 2 )
 2.
(a 2  a  1)(1  b3 )

Lời giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
(a  1)(1  b 2 )(1  a 2b)
 2  a  b 2  b 2 a  a 2b  b3a 2  ba 3  1  2a 3  2b3  a 3b3
2

3
(a  1)(a  a  1)(1  b )

10


Từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương:
2b3  1  3b2 ; 3(a3  b3 )  3(a 2b  ab 2 ); a3b3  a3  a3  3a3b; a 3b3  a3b3  b3  3a 2b3 .

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức (*).
27) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x y
x  y4  6
4

(1)

Lời giải. Ta có: x 4  1  2 x 2 ; y 4  1  2 y 2 .
Do đó:
x 4  y 4  6  2 x 2  2 y 2  4  ( x  y)2  ( x  y)2  4  ( x  y)2  4  2 ( x  y) 2 .4  4 x  y .
x y
1
x y
1
 . Với x = 1, y = -1 thì: 4
 .
4
4
x  y 6 4

x  y 6 4
x y
1
 .
Với x = -1, y = 1 thì 4 4
x  y 6
4
1
1
Vậy biểu thức (1) có giá trị lớn nhất là và giá trị nhỏ nhất là  .
4
4
1
4

Suy ra:  

4

28) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu 2007-2008)
1
y

Cho x, y là các số dương thỏa mãn x   1. Tìm GTNN của biểu thức:
A

x y
 .
y x

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có:
1 x 

1
x
y
 2 , suy ra  4
y
y
x

(1)

Áp dụng bất đẳng thức (1) và bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có:
x y x
y 15 y
x y 15.4 17
  

2 .

 .
y x y 16 x 16 x
y 16 x 16
4
17
1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
đạt được khi x  và y = 2.
2

4
A

29) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu 2007-2008)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
a
b
c
3


 .
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. Đặt A là biểu thức cần chứng minh . Ta có:
Aa

 ab 2
ab 2
bc 2
ca 2
bc 2
ca 2 

b



c


3




2
2
2 
1  b2
1  c2
1  a2
 1 b 1 c 1 a 

 ab 2 bc 2 ca 2 
(a  b  c) 2 3
 3


 .
  3
6
2
 2b 2c 2a 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

30) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
a 4  b4
b4  c4
c4  a4


 1.
ab(a 3  b3 ) bc (b3  c 3 ) ca (c 3  a 3 )

11


1 1 1
a b c
4
4
4
3
4
4
3
3
Từ a  b  a b  ab suy ra: 2(a  b )  a  a b  b4  ab3  (a  b)(a3  b3 )

Lời giải. Từ giả thiết ab + bc + ca = abc     1

Vậy

a 4  b4
ab 1 1 1


   
3
3
ab(a  b ) 2ab 2  a b 

Làn tương tự sau đó công theo vế và kết hợp với giả thiết ta suy ra điều phải
chứng minh.
31) Cho 5 số dương x, y, z, t, u thỏa mãn điều kiện x  y  z  t  u  4 . Tìm giá trị
( x  y  z  t )( x  y  z )( x  y )
.
xyzt
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức (a  b)2  4ab (dấu “=” xảy ra khi a = b). Ta có:

nhỏ nhất của biểu thức: P 

42  ( x  y  z  t  u ) 2  4( x  y  z  t )u

(1)

( x  y  x  t )  4( x  y  z )t

(2)

( x  y  z )  4( x  y ) z

(3)

( x  y )  4 xy

(4)

2

Do x, y, z, t, u là các số dương nên nhân theo vế các bất đẳngtrên và rút gọn ta
thu được: 16( x  y  z  t )( x  y  z)( x  y)  256 xyztu.
Suy ta P 

( x  y  z  t )( x  y  z )( x  y )
 16.
xyzt

1

x  y  4
x  y  z  t  u  4

 x y z t  u
1


 z
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi  x  y  z  t  

 t 1
x y  z


x y


 u2

1
1
4
2
2
2
2
32) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P  ab2  bc2  ca 2  abc.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 16 đạt được khi x  y  , z  , t  1, u  2

Lời giải. Do vai trò của các a,b, c trong biểu thức có tính hoán vị vòng quanh,
nên không mất tính tổng quát giả sử b là số nằm giữa a và c.
Khi đó: (b  a)(b  c)  0.
Ta có:
P  ab 2  bc 2  ca 2  abc  (bc 2  a 2b)  (ab 2  ca 2  a 2b  abc)
c2  a2 c2  a2
 b(c  a )  a(b  a)(b  c)  b(c  a )  2 b .
.
2
2
2

2

2

3

 2
 a2  c2  
b  2

 2 

 2.
 2.
27

12

2

2


Ở đây ta dùng bất đẳng thức Cô – si cho ba số (b 2 ,

c2  a2 c2  a2
,
).
2
2

Đẳng thức xảy ra khi:


 a 2  b2  c2  3

 a  b  c 1
. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2.
a(b  a )(b  c)  0  
 a  0, b  1, c  2.

2
2
 b c a
2


33) Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng:
a 2  b2 b2  c2 c2  a 2


0
bc
ca
ab

(1)

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. Do vế trái của BĐT không thay đổi trong phép hoán vị a, b, c nên
không mất tính tổng quát giả sử a  b  c  0 . Khi đó a 2  b2  0; b2  c2  0;
1
1
1

1

;

.
bc
ab
ca
ab
a 2  b2 b2  c2 c2  a 2 a 2  b2 b2  c2 c2  a 2





 0.
Ta có:
bc
ca
ab
ab
a b
a b

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
34) (Trích đề thi Chuyên Ams năm học 2008-2009)
Cho a là số thay đổi thỏa mãn 1  a  1 . Tìm giá trị lớn nhất của b để bất đẳng
thức sau luôn đúng: 2 1  a4  (b 1)( 1  a2  1  a2 )  b  4  0.
Lời giải. Đặt t  1  a2  1  a2 ,0  t  2.
Bài toán trở thành tìm b lớn nhất sao cho t 2  (b  1)t  b  2  0, t  0; 2  .

t2  t  2
2
 b, t  0; 2   M  t  1 
 1  b, t  0; 2.
t 1
t 1
Sử dụng bất đẳng thức Cô- si ta có: M  2 2  1.
Đẳng thức xảy ra khi t  2  1.
Suy ra M  b, t  0; 2  khi và chỉ khi b  2 2  1.
Vậy giá trị lớn nhất của b thỏa mãn bài toán là b  2 2  1.


35) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương)
Cho x, y thỏa mãn 16 x 2  9 y 2  144. Chứng minh rằng: 2 x  y  1  2 5  1.
Lời giải. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
(ax  by)2  (a 2  b2 )( x 2  y 2 )

(1)

Thật vây: (1)  2axby  a x  b y  (ax  by)2  0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi ax = by. Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có:
2 2

2

2

2

1

5
1

(2 x  y)   .4 x  .3 y   (16 x 2  9 y 2 )  20 (do 16 x 2  9 y 2  144 ). Suy ra:
3
2
 36
2 x  y  1  2 5  1 hoặc 2 x  y  1  2 5  1. Từ đó suy ra: 2 x  y  1  2 5  1.
2

13



8x  9 y

 x  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  2 x  y  2 5  
16 x 2  9 y 2  144
y  



9
5
8
5
36) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a2  b2  c 2  1 Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức: (a  b  c)3  a(2bc  1)  b(2ac  1)  c(2ab  1).

Lời giải. Ta có:
A  (a  b  c)3  a(2bc  1)  b(2ac  1)  c(2ab  1)  (a  b  c)3  (a  b  c)  6abc.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: (a  b  c)2  3(a 2  b2  c 2 )  3
(1)
Suy ra: a  b  c  3
(2)
Do a, b, c là các số không âm nên từ (1) và (2) suy ra: (a  b  c)3  3(a  b  c)
Suy ra: (a  b  c)3  (a  b  c)  2(a  b  c)  2 3 (3)
3

3
3
 abc   3 
Thao bất đẳng thức Cô si và (2) ta có: abc  
 
  
3
9

  3 

Từ (3) và (4) suy ra: A  2 3  6.
A

(4)

3 8 3


.
9
3

1
3
3
. vậy Max A 
.
 Đẳng thức xảy ra ở (1) và (4) xảy ra a  b 
9
9
3

37) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu năm 2008-2009)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy  yz  zx  xyz . Chứng minh rằng:
 1
y
z
x
1
1 
 2  2  3 2  2  2 .
2
x
y
z
y
z 
x

1
x

1
y

1
z

1
x

1
y

Lời giải. Ta có: xy  yz  zx  xyz     1. Đặt a  , b  , c 

1
ta có
z

a, b, c  0 và a + b + c = 1 (1)

Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:

a 2 b2 c2
   3(a 2  b 2  c 2 )
b
c
a

Vì a + b + c = 1 nên
 a2
  b2
  c2

(2)    2a  b     2b  c     2c  a  3(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2 
 b
  c
 a

2
2
2
(a  b) (b  c) (c  a)



 (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2
b
c
a
1 
1 
1 
   1 (a  b) 2    1 (b  c) 2    1 (c  a ) 2  0
b 
c 
a 
(a  c)

(b  a)
(c  b)

( a  b) 2 
(b  c) 2 
(c  a ) 2  0.
b
c
a

Bất đẳng thức này đúng vì a, b, c > 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
abc

1
hay x  y  z  3.
3

38) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Lam Sơn năm 2009-2010)
14

(2)


Cho biểu thức P  a 2  b2  c 2  d 2  ac  bd , trong đó ad  bc  1. Chứng minh rằng:
P  3.

Lời giải. Sử dụng giải thiết: ad – bc = 1, ta có:
(a 2  b2 )(c 2  d 2 )  (ac  bc)2  (ad  bc)2  (ac  bc)2  1.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

P  2 (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  ac  bd  2 1  (ac  bd ) 2  ac  bd .

Rõ ràng P > 0. Đặt x  ac  bd ta có:
P  2 1  x2  x  P2  4(1  x 2 )  4 x 1  x 2  x 2  ( 1  x 2  2 x)2  3  3.

Vậy P  3.
39) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh)
Cho các số thực a thỏa mãn 0  a  1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức: T 

a
1 a

.
2  a 1 a

Lời giải. Ta có:
T



a
1 a
2
2
3
3 
1
1 2 


 2  2
 1  2   1  1(do 0  a  1).
2a
1 a
2  q 1 a
2 
 (2  a)(1  a) 

Vậy max T  1, đạt được khi và chỉ khi a  0  a  1.
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a(1  a) 

(a  1  a) 2 1
 .
4
4




 2
3
2
1
 . Vậy min T  đạt được khi a  1  a  a  .
Suy ra: T  2 

1
3
2
 2   1  3.

4 


40) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Vĩnh Phúc)
2
3
 2
 14.
ab a  b 2
Lời giải. Với hai số thực dương x, y bất kì ta có: ( x  y)2  4 xy x, y  0 , suy ra:
1 1
4
1
4

và  
. Từ đó ta có:
2
x y x y
xy ( x  y )
1 1 1
4
3
3
4
.  .
 2 (1);
 2
 3.
 12 (2)

2
2
2 ab 2 (a  b)
2ab a  b
2ab  a 2  b 2

Cho a, b là số dương thỏa mãn a  b  1. Chứng minh rằng:

Cộng (1) và (2) theo vế ta được điều phải chứng minh.
1
2

Đẳng thức xảy ra khi a  b  .
41) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh 2008-2009)
Cho a, b là số thực dương. Chứng minh rằng: a 2 

1
1
 b 2  2  2 2.
2
b
a

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
 a
1
a
1
b

1
1
b
2
2
2

2.
,
b


2.
.
Suy
ra
:
a


b


2


  2 2.
 b
b2
b

a2
a
b2
a2
a 

Đẳng thức xảy ra khi a  b  1
a2 

15


42) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh 2008-2009-Chuyên toán)
Cho a, b, c, d đều thuộc đoạn  0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P  3 abcd  3 (1  a)(1  b)(1  c)(1  d ).

Lời giải. Sử dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
a  b  c  d  2 ab  2 cd  4 4 abcd .

abcd 
Từ đó suy ra: abcd  
 . Do đó với a, b, c, d   0;1 ta có:
4


0  a  b  c  d  4, 0  4  a  b  c  d  4, Suy ra:
4

4

 a  b  c  d 3 a  b  c  d
3
abcd  
 
4
4



(1)
4

(1  a)  (1  b)  (1  c)  (1  d )  3 4  a  b  c  d
3 (1  a )(1  b)(1  c)(1  d )  
(2)

 
4
4


Từ (1) và (2) ta thấy P  1 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được khi
a  b  c  d  0 hoặc a  b  c  d  1.

43) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Sư phạm Hà Nội 2008 – 2009)
Các số thực x, y, z khác nhau và thỏa mãn ( z  x)( z  y)  1. Chứng minh bất đẳng
thức:

1
1

1


 4.
2
2
( x  y ) ( z  x) ( z  y ) 2

Lời giải. Đặt a  z  x, b  z  y từ giả thiết suy ra: a  0 , b  0 và ab  1 . Bất đẳng
thức cần chứng minh trở thành:
1 1
1
a2
1
a2
( a 2  1) 2
2
 

4



a

4


 2.
a b ( a  b) 2

(a 2  1) 2 a 2
(a 2  1) 2
a2

(*)

Áp dụng BĐT Cô-si Cho hai số dương ta thấy (*) luôn đúng. Vậy BĐT được
chứng minh.
44) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3. Chứng minh bất
1
1
1
1



.
2
2
1  a (b  c) 1  b (a  c) 1  c (b  a) abc
Lời giải. Chứng minh: abc  1 . Từ đó suy ra: 1  a 2 (b  c)  a(bc  ca  ab)  3a.
1
1
1
1
1
1

 ;
 .

Do đó:
. Tương tự ta có:
2
2
2
1  a (b  c) 3a
1  b (a  c) 3b 1  c (b  a) 3c

đẳng thức:

2

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được:
1
1
1
1  1 1 1  ab  bc  ca
3
1


    


.
2
2
1  a (b  c) 1  b (a  c) 1  c (b  a) 3  a b c 
3abc
3abc abc

2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
45) (Trích đề thi vào Chuyên Trần Phú Hải Phòng)
1) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: (a  b  c)      9.
a b c
1



1

1



2) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3. Chứng minh rằng:
1
2009

 670.
2
2
a b c
ab  bc  ca
2

16

Lời giải. 1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
1
1 1 1
(a  b  c)      3 3 abc .3 3
9
abc
a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
2) Do ab  bc  ca 

(a  b  c) 2
2007
 3 nên
 669.
3
ab  bc  ca

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức phần 1 ta có:
1
2
1
1
1

 2


2
2

2
2
a b c
ab  bc  ca a  b  c
ab  bc  ca ab  bc  ca
9
9
9
 2

  1.
2
2
2
a  b  c  2(ab  bc  ca) (a  b  c)
9
1
2009
Vậy 2 2 2 
 670.
a b c
ab  bc  ca
2

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
46) (Trích Chuyên Đại học Vinh năm 2009 – 2010)
Cho các số thực x, y thỏa mãn: x  8 y  0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P  x 

1

.
y( x  8 y)

Lời giải. Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có:
P  ( x  8 y)  8 y 

1
 6.
y( x  8 y)

 x  8y  8y
 x  16 y
 x4



 3 1 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
1
1
8
y

y 
y .



y( x  8 y)
64

4



1
Vậy minP = 6. khi và chỉ khi x = 4 và y = .
4

47) (Trích Chuyên Đại học Vinh năm 2009 – 2010)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  2 y  3z  18. Chứng minh rằng:
2 y  3 z  5 3 z  x  5 x  2 y  5 51


 .
1 x
1 2 y
1  3z
7

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải. Đặt P 

 1
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5
1
1 


 P  3  2



.
1 x
1 2 y
1  3z
 1  x 1  2 y 1  3z 

Áp dụng BĐT quen thuộc với các số dương:

a 2 c 2 (a  c) 2
 
.
b d
bd

a c
 , suy ra:
b d

4
1 
9
72
P  3  24 

 .
  24.
3  x  2 y  3z 7
 2  x  2 y 1  3z 
51

Suy ra P  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1  x  1  2 y  1  3z và
7
x  2 y  3z  18  ( x; y; z )  (6;3; 2).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

48) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi)
17


x
đạt giá trị lớn nhất.
( x  2010) 2
x
1

.
Lời giải. Ta có: ( x  2010)2  4.2010.x . Suy ra: N 
2
( x  2010)
8040
1
Vậy N max 
đạt được khi x = 2010.
8040
49) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
9
2

.

thức: P 
1  2( ab  bc  ca ) abc

Cho x > 0. Tìm giá trị của x để biểu thức N 

Lời giải. Theo giả thiết:
9
2(a  b  c)
9
1
1 
 1

 2
 2    .
2
2
(a  b  c)  2(ab  bc  ca)
abc
a b c
 ab bc ca 
a 2 c 2 (a  c) 2
. (*)
Áp dụng BĐT quen thuộc với các số dương:  
b d
bd
a c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  , suy ra:
b d
1

1
1
4
1
9
 



.
ab bc ca ab  bc ca ab  bc  ca
P

2

Lại sử dụng BĐT (*) cho các số dương ta có:
9
36
92
P 2


 81.
a  b 2  c 2 2(ab  bc  ca ) (a  b  c ) 2
1
Đẳng thức xảy ra khi a  b  c 
3
1
Vậy Pmin  81 khi a  b  c 
3

50) (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2009-2010)
Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
a2
b2
c2


 2.
(b  c) 2 (c  a ) 2 (a  b) 2
bc
ca
ab


 1.
Lời giải. Dễ thấy:
(a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)
2

a2
b2
c2
b
c 
 a






  2  2.
2
2
2
(b  c) (c  a) (a  b)  b  c c  a a  b 
a
b
c


Đẳng thức xảy ra khi:
=0
bc ca a b

Từ đó suy ra:

51) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  2 x  1  4 x  x 2 .
Lời giải. Điều kiện: 1  4 x  x2  0 . Ta có: P  2 x 

(1  4 x  x 2 )  1
x2
 1   1.
2
2

Đẳng thức xảy ra khi x = 0.
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được khi x = 0.
52) (Trích vào 10 Chuyên Phan Bội Châu năm 2009-2010)

18


Cho a, b, c là số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: P  a 2  b 2  c 2 

ab  bc  ca
.
a b  b2c  c 2 a
2

Lời giải. Từ
3(a 2  b2  c 2 )  (a  b  c)(a 2  b2  c 2 )  a3  b3  c3  a 2b  b2c  c 2 a  ab 2  bc 2  ca 2

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy:
a3  ab2  2a 2b;

b3  bc 2  2b2c;

c3  ca 2  2c 2 a.

Suy ra: 3(a 2  b2  c 2 )  3(a 2b  b2c  c 2 a)  0.
Do đó: P  a 2  b 2  c 2 

ab  bc  ca
9  (a 2  b 2  c 2 )
2
2
2


a

b

c

.
a 2  b2  c2
2(a 2  b 2  c 2 )

Đặt t  a 2  b2  c, ta chứng minh được t  3.
Từ đó: P  t 

9t t 9 t 1
3 1
     3    4  P  4.
2t
2 2t 2 2
2 2

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy MinP = 4 khi và chỉ khi a = b = c = 1.
53) (Trích vào lớp 10 Chuyên Quang Trung – Bình Phước)
Cho x > y  0. Chứng minh rằng: x 

4
 3.
( x  y )( y  1) 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải. Biến đổi vế trái BĐT cần chứng minh và áp dụng BĐT Cauchy ta có:
VT  ( x  y ) 

y 1 y 1
4
( y  1) 2
4
4 ( x  y ).



1

4
.
 1  3.
2
2
2
( x  y )( y  1)
4
( x  y )( y  1) 2

Đẳng thức xảy ra khi x = 2 và y = 1.
54) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0  a  1, 0  b  1, 0  c  1. Chứng minh rằng:
1 
1 1 1

1 
 ( a  b  c)  3    .

a b c
 abc 

Lời giải. Từ (a  1)(b  1)  0  1  a  b  ab 
Từ đó:

1 1 1
  1 .
ab a b

1
1
1
 1 1 1
 
 2     3
ab bc ac
a b c

Vậy:
1 
1
1
1

1 1 1
 
 a  b  c  2     3
1 
 (a  b  c)  a  b  c 

ab bc ac
 abc 
a b c
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
 2 (a  b  c)         3  6     3  3    .
a b c
a b c
a b c a b c

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
1 1 1
   2010
55) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x y z
 ax 3  by 3  cz 3 .

3
.
Chứng minh rằng: x  y  z 
670

Lời giải. Trước hết ta chứng minh kết quả sau:
19


Với x, y, z là các số thực dương ta có:

1 1 1
9

  
x y z x yz

(*)

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 1 1
1
1 1 1
9
( x  y  z )      3 3 xyz .3 3
9   
.
xyz
x y z x yz
x y z

Vậy (*) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Áp dụng bất đẳng thức (*) kết hợp với
2010 

1 1 1
   2010 ta được:
x y z

9
9
3
 x y z 


.
x yz
2010 670

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x yz

1 1 1
    2010
x y z
 ax 3  by 3  cz 3

1

x  y  z 

670
 a  b  c.

56) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh năm 2010-2011-Chuyên toán)
Giả sử x, y, z là các số dương thỏa mãn hệ thức: a  b  c  18 2. Chứng minh
1

x( y  z )

rằng:

1

1
1

 .
y ( z  x)
z( x  y) 4

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
2
2
2 x( y  z ) 
(2 x  y  z ).
2
4
1
2 2

.
x( y  z ) 2 x  y  z

0  x( y  z ) 

Suy ra:

1
2 2

;
x( y  z ) 2 x  y  z

1
2 2

;
z( x  y) x  y  2 z
1 1 1
9
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên và áp dụng BĐT   
x y z x yz

Tương tự:

Ta được

1
1
1
18 2
1



 (dpcm).
x( y  z )
x( z  x)
z ( x  y ) 4( x  y  z ) 4

Đẳng tức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  6 2.
57) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh năm 2010-2011)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  x 2  x  2 x y  y 2  y  2 y x  2010.

Lời giải. Ta có: P  ( x  y )2  ( y  x )2  2010  2010 (x  0; y  0).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 hoặc x = y = 0.
57) Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
a  2b  6
3

3



1
b  2c  6
3

3



1
c  2a 3  6
3

Lời giải. Đặt vế trái của BĐT là A.
20

 1.

(*)


Với x, y, z là các số thực dương ta có:

1 1 1
9
  
x y z x yz

(*)

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 1 1
1
1 1 1
9
( x  y  z )      3 3 xyz .3 3
9   
.
xyz
x y z x yz
x y z

Vậy (*) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Sử dụng bất đẳng thức (*) và (1) ta có:
6
a 3  2b3  6



9
9
1
2
1  3
1  3
 3
 1.
3
3
3
a  2b  6
(a  2)  (b  2)  (b  2)
a 2 b 2
3

Tương tự với hai số hạng còn lại và sau ra: 6 A 
Ta sẽ chứng minh

3
3
3
 3
 3
3
a 2 b 2 c 2
3

(2)

1
1
1
 3
 3
 1 (3)
a 2 b 2 c 2
3

Thật vậy, biến đổi (3) và sử dụng giả thiết abc = 1. Ta có: (3)
 a3b3  b3c3  c3a3  3 (đúng theo BĐT Cauchy)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 1.
Từ (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
59) Chứng minh rằng với mọi số dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx  3, ta có bất
đẳng thức:

1
4
3

 .
xyz ( x  y )( y  z )( z  x) 2

Lời giải. Với BĐT Cauchy ta có xyz  1 và
2 2
xyz ( x  y )( y  z )( z  x)
1
3

2( xy  yz  zx)
 .
Mà 3 ( xy  yz )( yz  zx)( zx  xy ) 
nên Q  1  P  Q 
2 xyz 2
3
Q

1
4


2 xyz ( x  y )( y  z )( z  x)

60) (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010)
1
1
1
1
(a  b  c  3 abc ) 2




Chứng minh rằng:
(a, b, c  0)
a  b b  c c  a 2 3 abc (a  b)(b  c)(c  a )
Lời giải. Dễ thấy: (a  b)(b  c)(c  a)  c 2 (a  b)  a 2 (b  c)  b2 (c  a)  2abc.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta được:

(
1
1
1 
 1
c 2 (a  b)  a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  2abc). 


 3

 a  b b  c c  a 2 abc 

1
1
1
1
  c a  b .
 a b  c.
 b c  a.
 2abc . 3
ca
bc
ca
2 abc


2

2


3
  c  a  b  abc .




Suy ra điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
61) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T  3 1  2 x 2  2 40  9 y 2 ,
Trong đó x, y là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = 1.
Lời giải. Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai bộ số không âm ta có:
21




2

2 11
 2  2 
(1  2 x 2 ) 1    1  x   3 1  2 x 2 
(3  2 x).
11
 9  3 
1
Đẳng thức xảy ra khi: x  .
3

Tương tự ta có: (40  9 y 2 )(40  4)  (40  6 y)2  2 40  9 y 2 
Đẳng thức xảy ra khi y 

11
.(40  6 y).
11

1
3

11
(49  6( x  y ))  5 11.
11
1
1
Đẳng thức xảy ra khi x  , y  .
3
3

Từ đó ta có: T 

62) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An)
Cho a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a  b  c  3. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P  a b  b c  c a  abc .
Lời giải. Đặt a  x, b  y, c  z  x, y, z  0, x2  y2  z2  3.
Khi đó: P  x 2 y  y 2 z  z 2 x  xyz.
Không mất tính tổng giát giả sử: y  x  z . Khi đó ta có:
y( x  y)( x  z )  0  xyz  xy 2 . Suy ra:
x 2 y  y 2 z  z 2 x  xyz  xy 2  xz 2  x( y 2  z 2 )  x(3  x 2 )  2  ( x  1)2 ( x  2)  2.
Do đó: P  2. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 hoặc a = 1, b = 0, c = 2 và các

hoán vị .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 2.

63) (Trích đề tuyển sinh Lớp 10 Chuyên Lam Sơn 2010-2011)
Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  1.
Chứng minh rằng: b  c  16abc.
Đẳng thức xảy ra khi nào.
Lời giải. Ta có: (a  b  c)2  (a  (b  c))2  4a(b  c).
Do a  b  c  1 nên từ bất đẳng thức trên suy ra: 1  4a(b  c)  b  c  4a(b  c)2 .
Lại có: (b  c)2  4bc  b  c  16abc.
1
2

1
4

Đẳng thức xảy ra khi a  ; b  c  .
64) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 6  3 y 4  y 6  3x 4 ,
Trong đó x, y là các số dương thỏa mãn
1
x

1
y

Lời giải. Ta có: 2   

1 1
  2.
a b

4
 x  y  2. Từ đó suy ra: x3  y 3  2; x 2  y 2  2.

x y

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp- xki: a12  b12  a22  b22  (a1  a2 )2  (b1  b2 )2 ,
Từ đó suy ra: P  x6  3 y 4  y 6  3x 4  ( x3  y 3 )2  3( x 2  y 2 )2  4.
Ta được Min P = 4 khi x = y = 1.

22


65) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn hai điều kiện: a + b + c = 1 và
ab  bc  ca  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 

2
2
2
5



a b bc c a
ab  bc  ca

Lời giải. Không mất tính tổng quát giải sử: a > b > c. Khi đó ta có:
A

2
2
2
5




.
a b bc a c
ab  bc  ca

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc:

1 1
4
2 2
 

, (m  0, n  0).
m n mn
m2  n2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = n. Ta có:
1 
2
5
10
5
 1
A  2






ab  bc  ca a  c
ab  bc  ca
 a b bc  a c
20 2
20 2

(a  c)(a  c  4b)
(1  b)(1  3b)



(1).

(3  3b  1  3b) 2
2 3
 4  (1  b)(1  3b) 
.
4
3
Kết hợp với bất đẳng thức (1) suy ra: A  10 6.

2 6
a 
6

a

b

b


c
,3

3
b

1

3
b
,

1

 b
Đẳng thức xảy ra khi: 
a b  c 1
3



2 6
c 
6


Lại có: 3(1  b)(1  3b) 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=10 6 khi a 

1
2 6
2 6
,b  ,c 
hoặc các hoán vị
3
6
6

66) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2010-2011)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
 2
 2
 9.
a  2bc b  2ca c  2ab
2

Lời giải. Với x, y, z là các số thực dương ta có:

1 1 1
9
  
x y z x yz

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 1 1

1
1 1 1
9
( x  y  z )      3 3 xyz .3 3
9   
.
xyz
x y z x yz
x y z

Vậy (*) được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Áp dụng BĐT (*) ta có:
1
1
1
9
9
9
 2
 2
 2

 9
2
2
2
a  2bc b  2ca c  2ab a  b  c  2ab  2bc  2ca (a  b  c )
1
2

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

23

(*)


67) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x  y  1  z. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P 

x3 y 3
( x  yz )( y  zx )( z  xy ) 2

Lời giải. Cho a  b  c  z vào P, biến đổi ta được: P 
Vì ( x  y)2  4 xy nên P 
x
2

x
2

x3 y 3
.
( x  y ) 2 ( x  1)3 ( y  1)3

1
x2 y 2
.

4 ( x  1)3 ( y  1)3

Lại có: x  1    1  3 3

x2
27 2
27 2
 ( x  1)3 
x , tương tự ( y  1)3 
y .
4
4
4

2

Từ đó: P    .
 27 
Đẳng thức xảy ra khi x  y  2; z  5.
2

2

2
Vậy maxP=   .
 27 

68) Cho a, b, c thỏa mãn a > b > c. Chứng minh rằng: a 2  b2  c2  (a  b  c)2 .
Lời giải. BĐT cần chứng minh tương đương với
a 2  b2  c 2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2 ac  (b  c)(b  a)  0, (luôn đúng do a > b > c).

69) Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
1


 ... 
 4.
1 2
3 4
5 6
79  80

Lời giải. Đặt
S1 

1
1
1
1
1
1

 .. 
, S2 

 ... 
.
1 2

3 4
79  80
2 3
4 5
80  81

Khi đó, ta có: S1  S2  81  1  8.
1

Lại có: 2k  2k  1 

2k  2k  1
Do đó: S1  S2 nên S1  4.



1
2k  2k  1

 2k  1  2k với k  1.

70) (Trích đề thi vào Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012)
Với x, y là số thực dương tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

x3

x3  8 y 3

4 y3

.
y 3  ( x  y )3

Lời giải. Ta chứng minh hai bất đẳng thức:
x3
x2

x3  8 y 3 x 2  2 y 2

(1)

và

y3
y2

y 3  ( x  y )3 x 2  2 y 2

(2)

x3
x4
 2
 x 2  y 2  2 xy (luôn đúng)
Thật vậy: BĐT (1)  3
3
2 2
x  8y
(x  2 y )
y3

y4

 ( x 2  y 2 )( x 2  3 y 2 )  y ( x  y )3 .
3
2
2
2 2
y  ( x  y)
(x  2 y )
2
2
2
2
Ta có: x  3 y  x  y  2 y 2  2 xy  2 y 2  2 y( x  y ).

BĐT (2) 

24


1
2

Nên: ( x 2  y 2 )( x 2  3 y 2 )  ( x  y ) 2 .2 y ( x  y )  y ( x  y )3
Suy ra bất đẳng thức (2) luôn đúng.
Từ (1) và (2) ta được P  1.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy Pmin=1.
71) (Trích đề thi Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012- Chuyên toán)
Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn đẳng thức: xy  yz  zx  5 , tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P 

3x  3 y  2 z
6( x  5)  6( y 2  5)  ( z 2  5)
2

.

Lời giải. Vì xy  yz  zx  1. nên ta có:
6( x 2  5)  6( y 2  5)  z 2  5  6( x  y )( x  z )  6( y  z )( y  x)  ( z  x)( z  y )
3( x  y )  2( x  z ) 3( x  y )  2( y  z ) ( z  x)  ( z  x) 9 x  9 y  6 z 3



 (3x  3 y  2 z ).
2
2
2
2
2
2
Suy ra: P  .
3


Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 2.
2
3

Vậy MinP = .
72) Cho x, y, z là các số thực dương chứng minh rằng:

x2  z 2 z 2  y 2 y 2  x2


0
yz
x y
zx

(1)

Đẳng thức xảy ra khi nào?
x2  z 2 z 2  y 2 y 2  x2


Lời giải. Cách 1. Gọi vế trái BĐT (1) là A ta có: A 
yz
x y
zx

 1
1  2 1
1  2 1
1 
 x2 



 y 
 z 


 yz zx
 zx x y
 x y yz
x2 ( x  y)
y 2 ( y  z)
z 2 ( z  x)
x2 (x2  y2 )  y2 ( y2  z 2 )  z 2 (z 2  x2 )




( y  z )( z  x ( z  x)( x  y ) ( x  y )( y  z )
2( x  y )( y  z )( z  x)


( x 2  y 2 )2  ( y 2  z 2 )2  ( z 2  x 2 )2
.
2( x  y )( y  z )( z  x)

Do x, y, z là các số dương nên A > 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x 2  y 2  y 2  z 2  z 2  x 2  x  y  z.

Cách 2. Do vai trò bình đẳng khi hoán vị vòng quanh x, y, z nên không mất tính
tổng quát, Giả sử: x = max  x; y; z . Ta có:
x2  z 2
z2  y2
y2  x2
( x  z )( x  y ) ( y  z ) 2 ( y  z )
 ( x  z) 
 ( z  x) 

 ( y  x) 

.
yz
x y
zx
yz
( x  y )( z  x )
Vì x, y, z là các số dương và x  y; x  z nên A  0.
( x  z )( x  y )  0
 x  y  z.
Đẳng thức xảy ra khi: 
yz 0

A

73) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm 2011-2012)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
25