Bất đẳng thức hay và đẹp

Nguyễn Kim Cờng -Kĩ thuật áp dụng bất đẳng thức Cô-si Nxb Giáo Dục -
2006
1. Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng:
.c
6
1
b
3
1
a
2
1
c
6
1
b
3
1
a
2
1
2
3
222333






++++

Bài giải
Đặt
2222
2
1
222
Ac
6
1
b
3
1
a
2
1
c
6
1
b
3
1
a
2
1
A
=++

++=
.
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm ta có:

A.a3Aaa
2333
++

A.a3Aa2
233
+

A.a
4
3
A
4
1
a
2
1
233
+
(1)
Tơng tự
A.b3Ab2
233
+

A.b
2
1
A
6
1
b
3
1
233
+
(2)

A.c3Ac2
233
+

A.c
4
1
A
12
1
c
6
1
233
+
(3)

Cộng (1), (2), (3) đợc:






+++++
2223333
c
6
1
b
3
1
a
2
1
.A
2
3
A
2
1
c
6
1
b
3
1

a
2
1

33333
A
2
3
A
2
1
c
6
1
b
3
1
a
2
1
+++

3333
Ac
6
1
b
3
1
a

2
1
++
.
hay
.c
6
1
b
3
1
a
2
1
c
6
1
b
3
1
a
2
1
2
3
222333

++++
(đpcm)
Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra
.cba
Ac
Ab
Aa
33
33
33
==





=
=
=
2. (D nh cho b n c)
Cho x
1
, x
2
,...,x
k
0; m, n N
*

sao cho m n;
1
,
2
,...,
k
0.
Chứng minh rằng:
( )
n
m
n
kk
n
22
n
11
m
kk
m
22
m
11
x....x.x.x....x.x.
++++++
.