Trac nghiem word toan 12 nguyen ham tich phan huynh duc khanh

 Bài 02

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Nếu ò f ( x) dx = F ( x) +C thì ò f éëu( x) ùû.u'( x) dx = F éëu( x) ùû+C .
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm
tích

ù
f ( x) = gé
ëu( x) ûu'( x)

I = ò f ( x) dx ,

trong đó ta có thể phân

thì ta thực hiện phép đổi biến số

t = u( x) ,

suy ra

dt = u'( x) dx .

Khi đó ta được nguyên hàm: ò g( t) dt = G ( t) +C = G éëu( x) ùû+C.
Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u( x) .
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ a;b] và có đạo hàm liên tục
trên đoạn [ a;b] . Khi đó: ò udv = uv- ò vdu. ( *)
Để tính nguyên hàm ò f ( x) dx bằng từng phần ta làm như sau:
Bước 1. Chọn

u, v

Sau đó tính

sao cho f ( x) dx = udv (chú ý

v = ò dv

và

 dv = v'( x) dx ).

du = u'.dx .

Bước 2. Thay vào công thức ( *) và tính ò vdu .
Chú ý. Cần phải lựa chọn

u

và

dv

hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được

và tích phân ò vdu dễ tính hơn ò udv . Ta thường gặp các dạng sau
ésin x ù
údx
I = ò P ( x) ê

P ( x)
êcos xú , trong đó
ë
û
ìï u = P ( x)
ïï
dạng này, ta đặt ïíï dv = éêsin x ùúdx .
ïï
ê
ëcos xú
û
îï

● Dạng 1.
Với

● Dạng 2.

I = ò P ( x) eax+bdx ,

Với dạng này, ta đặt
● Dạng 3.

● Dạng 4.

trong đó P ( x) là đa thức.

ìï u = P ( x)
ï
í

ïï dv = eax+bdx .
î

I = ò P ( x) ln( mx + n) dx ,

Với dạng này, ta đặt

là đa thức.

trong đó P ( x) là đa thức.

ìï u = ln( mx + n)
ï
í
ïï dv = P ( x) dx
î

ésin x ù x
úe dx .
I = òê
êcos xú
ë
û

.

v


ỡù

ộ
ự
ùù u = ờsin x ỳ
ùớ
ờcos xỳ hoc
ở
ỷ
ùù
x
ùùợ dv = e dx

Vi dng ny, ta t

cú th t ngc li

ỡù u = ex
ùù
ùớ
ộsin x ự .
ùù dv = ờ
ỳdx
ờcos xỳ
ùùợ
ở
ỷ

CU HI TRC NGHIM

Vn 1. PHNG PHP I BIN S

Cõu 1. Bit ũ f ( u) du = F ( u) +C. Mnh no di õy ỳng ?
A. ũ f ( 2x - 1) dx = 2F ( 2x - 1) +C.

B. ũ f ( 2x - 1) dx = 2F ( x) -

C. ũ f ( 2x - 1) dx = F ( 2x - 1) +C.

D. ũ f ( 2x - 1) dx = F ( 2x - 1) +C.
2

Li gii. t

1+C.

1

u = 2x - 1ắắ
đ du = 2dx

Khi ú ũ f ( 2x - 1) dx = ũ f ( u)

du 1
1
1
= ũ f ( u) du = F ( u) +C = F ( 2x - 1) +C.
2
2
2
2

Chn D.
F ( x)

Cõu 2. Tỡm hm s
( 2x +1)

tha món

F Â( x) = ( 2x +1)

2018

A.

F ( x) =

C.

F ( x) = 2017( 2x +1)

+ 2018.

2018

2016

Li gii. Ta cú ũ( 2x +1)

+ 2018.

2017

dx.

t

2017

v

( 2x +1)

ổ 1ử
Fỗ
ữ
ỗ- ữ
ữ= 2018.
ỗ
ố 2ứ

2018

B.

F ( x) =

D.

F ( x) = 4034( 2x +1)

4036

+ 2018.
2016

+ 2018.

u = 2x +1ắắ
đ du = 2dx
2018

Khi ú ũ( 2x +1)
Theo gi thit
Vy

F ( x) =

2017

( 2x +1)
1
1 u2018
dx = ũ u2017du = .
+C =
2
2 2018
4036

+C.

ổ 1ử
Fỗ
- ữ
đ C = 2018.
ữ
ỗ
ữ= 2018 ắắ
ỗ
ố 2ứ

( 2x +1)

2018

4036

+ 2018 .

Chn B.

Cõu 3. Tỡm nguyờn hm ca hm s f ( x) = x( x2 +1)
A. ũ f ( x) dx = -

10
1 2
x +1) +C.
(
20

C. ũ f ( x) dx = 2( x2 +1)

10

9

1

dx =

.
1

B. ũ f ( x) dx = 20( x2 +1)
D. ũ f ( x) dx = ( x2 +1)

+C.

Li gii. Ta cú ũ f ( x) dx = ũ x( x2 +1)
Khi ú ũ x( x2 +1)

9

9

dx.

t

10

+C.

Chn B.

+C.

+C.

t = x2 +1 ắắ
đ dt = 2xdx .

10
1 9
1 t10
1
t dt = . +C = ( x2 +1) +C.
ũ
2
2 10
20

Vy ũ f ( x) dx = 20( x2 +1)

10

10


Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2016 – 2017)
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

2

A. ò f ( x) dx = 3( 2x - 1)
C. ò f ( x) dx = -

1
2x - 1+C.
3

Lời giải. Ta có ò f ( x) dx =ò
Khi đó ò

1

D. ò f ( x) dx =
2

2x - 1dx.

2x - 1dx = ò t.tdt = ò t2dt =

F ( x)

Câu 5. Biết

1

B. ò f ( x) dx = 3( 2x - 1)

2x - 1 +C.

Đặt

2x - 1.

2x - 1+C.

2x - 1+C.

t = 2x - 1 ® t2 = 2x - 1¾¾
® tdt = dx.

t3
1
+C = ( 2x - 1) 2x - 1 +C.
3
3

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

Chọn B.
ln x
× ln2 x +1
x

và

1

2
ù
F ( 1) = ×Tính é
ëF ( e) û .
3

A.

2
éF ( e) ù = 8×
ë
û 3

Lời giải. Ta có ò
Đặt

2
éF ( e) ù = 8 ×
ë
û 9

B.

C.

2
éF ( e) ù = 1 ×
ë
û 9

ln x
dx.
x

ln x
t3
2
2
×
ln
x
+
1d
x
=
t
d
t
=
+C =
ò x
ò
3

(

)

ln2 x +1

3

3

+C.

1
1
1
F ( 1) = ¾¾
® +C = Û C = 0.
3
3
3

Theo giả thiết
Suy ra F ( x) = (
Câu 6. Biết

D.

ln x
× ln2 x +1dx .
x

t = ln2 x +1 Þ t2 = ( ln2 x +1) ¾¾
® tdt =

Khi đó

2
éF ( e) ù = 1×
ë
û 3

)

ln2 x +1
3

F ( x)

3

ù 8 Chọn
¾¾
®é
ëF ( e) û = 9 ×
2

B.

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

ln x
x

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

F ( x) =

ln2 x
+C .
2

B.

F ( x) =

ln2 x
+2 .
2

C.

F ( x) =

ln2 x
- 2.
2

D.

F ( x) =

ln2 x
+ x +C .

2

Lời giải. Ta có ò f ( x) dx = ò
Khi đó ò

Đặt

t = ln x ¾¾
® dt =

dx
.
x

ln x
t2
ln2 x
dx = ò tdt = +C =
+C.
x
2
2

Theo giả thiết
Suy ra

ln x
dx .
x

F ( x) =

F ( e2 ) = 4 ¾¾
®
ln2 x
+ 2.
2

ln2 ( e2 )
2

+C = 4 Û C = 2.

Chọn B.

Chú ý: Đáp án A được gọi là họ nguyên hàm của hàm số f ( x) .

và

F ( e2 ) = 4 .


F ( x)

Câu 7. Biết
F ( 0) = - ln2 .

A.

f ( x) =

là một nguyên hàm của hàm số

Tìm tập nghiệm

S = { ±3} .

B.

S = { 3} .

1

Lời giải. Ta có ò x dx = ò
e +1
Đặt

C.

S = { - 3} .

D.

S = Æ.

ex +1- ex
dx = ò dx ex +1

thỏa

F ( x) + ln( ex +1) = 3.

của phương trình

S

1
và
ex +1

ex
ò ex +1dx = x -

t = ex +1¾¾
® dt = ex dx .

ex
ò ex +1dx.

Khi

đó

ex
dt
x
x
ò ex +1dx = ò t = ln t +C = ln e +1 +C = ln( e +1) +C.
1

Do đó ò ex +1dx = x Theo giả thiết
Suy ra

ln( ex +1) +C.

F ( 0) = - ln2 ¾¾
® 0- ln2 +C = - ln2 Û C = 0.

F ( x) = x - ln( ex +1) .

Xét phương trình

F ( x) + ln( ex +1) = 3 Û x - ln( ex +1) + ln( ex +1) = 3 Û x = 3.

Chọn

B.
F ( x)

Câu 8. Hàm
2

f ( x) = xex

nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số

?

A.

1 2
F ( x) = ex + 2 .
2

C.

F ( x) = -

1 x2
e +C .
2
x2

Lời giải. Ta có ò f ( x) dx = ò xe
1

dx.

1

F ( x)

D.

F ( x) = -

B đúng với

C=

5
,
2

f ( x)

).

2
1
2- ex
2

(

).

1
t = x2 ¾¾
® dt = 2xdx ® xdx = dt.
2

Đặt
1

là một nguyên hàm của

(

F ( x) =

2

Khi đó ò f ( x) dx = ò et dt = et +C = ex
2
2
2
Vì

1 x2
e +5
2

B.

+C

.

nên đáp án A đúng với

đáp án D đúng với

C = - 1.

C =2,

đáp án

Vậy chỉ có đáp án C là sai.

Chọn C.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy các đáp án A, B, D sai khác nhau hằng số nên
chắc chắn rằng nó là một nguyên hàm của f ( x) .
Câu 9. Cho
A.

I =ò

I = ò tet dt.

Lời giải. Đặt

eln x
dx
x

B.

và

t = ln x.

I = ò et dt.

t = ln x ¾¾
® dt =

1
dx .

x

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
C.
Khi đó

I =ò

et
dt.
t

I = ò et dt .

I = ò tdt.

D.
Chọn B.

Câu 10. Kí hiệu F ( x) là họ các nguyên hàm của hàm số
Mệnh đề nào sau đây là đúng?

f ( x) = sin4 x cos x .


A.

F ( x) =

cos5 x

+C .
5

B.

F ( x) =

cos4 x
+C .
4

C.

F ( x) =

sin4 x
+C .
4

D.

F ( x) =

sin5 x
+C .
5

Lời giải. Ta có ò f ( x) dx = ò sin

4

x cos xdx .

t5

Khi đó ò f ( x) dx = ò t4dt = +C =
5
Câu 11. Biết

F ( x)

æ
pö
÷
Fç
÷
ç
÷= 2.
ç
è2ø

F ( 0) .

Tính

Đặt

sin5 x
+C.
5

t = sin x ¾¾
® dt = cos xdx .

Chọn D.

là một nguyên hàm của hàm số

A.

F ( 0) = -

1
ln2 + 2.
3

B.

F ( 0) = -

2
ln2+ 2.
3

C.

F ( 0) = -

2
ln2- 2.

3

D.

F ( 0) = -

1
ln2- 2.
3

f ( x) =

sin x
1+ 3cos x

và

sin x

Lời giải. Ta có ò 1+ 3cos x dx .
Đặt

t = 1+ 3cos x ¾¾
® dt = - 3sin xdx ® sin xdx = sin x

1

Khi đó ò 1+ 3cos x dx = - 3 ò
Theo giả thiết
Suy ra

F ( x) = -

Câu 12. Cho
thỏa

æ
pö
÷= 0.
Fç
÷
ç
÷
ç
è4ø

1
dt.
3

dt
1
1
= - ln t +C = - ln 1+ 3cos x + C.
t
3
3

æ
pö

÷
Fç
® C = 2.
÷= 2 ¾¾
ç
÷
ç
è2ø
1
1
2
ln 1+ 3cos x + 2 ¾¾
® F ( 0) = 2- ln22 = 2- ln2.
3
3
3

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

Tính

æ
pö
÷×
Fç
÷
ç
÷

ç
è2ø

f ( x) = cot x

A.

æ
pö
÷= - ln 2.
Fç
÷
ç
÷
ç
è2ø

B.

æ
pö
÷= 1 ln2.
Fç
÷
ç
÷ 2
ç
è2ø

C.

æ
pö
÷= - ln2.
Fç
÷
ç
÷
ç
è2ø

D.

æ
pö
÷= - 2ln2.
Fç
÷
ç
÷
ç
è2ø

cos x

Lời giải. Ta có ò cot x dx = ò sin x dx. Đặt
cos x

Khi đó ò cot x dx = ò sin x dx = ò
Theo giả thiết

Suy ra

t = sin x ¾¾
® dt = cos xdx .

dt
= ln t +C = ln sin x +C.
t

æ1 ö
æ
pö
÷
÷
Fç
= 0 ¾¾
® lnç
÷
÷
ç
ç
÷+C = 0 Û C = ln
÷
ç4ø
ç 2ø
è
è

F ( x) = ln( sin x ) + ln

Chọn B.

æö

( 2) .

1
÷= ln( 2) = ln2. Chọn B.
( 2) ¾¾® F çççèp2ø÷
÷
2

trên

æ 2p ö
ç
0; ÷
÷
ç
÷
ç
è 3ø


Câu 13. Gọi
F ( 0) = 0.

A. T

Tính

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số
æ
÷
çp ö
÷
Fç
ç ÷

f ( x) = tan2x

thỏa mãn

æ
÷
çp ö
÷
Fç
ç ÷

T = 2e è6ø - e è2ø.

B. T

= 1.

C. T

= 2.

=-

2.

D. T

= 0.

sin2x

Lời giải. Ta có ò tan2x dx = ò cos2x dx.
Đặt

t = cos2x ¾¾
® dt = - 2sin2xdx ® sin2xdx = sin2x

Khi đó ò tan2x dx = ò cos2x dx = Theo giả thiết
Suy ra
Vậy T

1 dt
1
1
= - .ln t +C = - ln cos2x +C.
ò
2 t
2
2

F ( 0) = 0 ¾¾
® C = 0.
æ
1
pö
÷
ln cos2x ¾¾
®F ç
÷
ç
÷= 0
ç
è
2
2ø

F ( x) = = 2. eln

1
dt.
2

2

- e0 = 2- 1= 1.

và

æ

pö
1 æö
1÷
÷
ç
Fç
÷
÷
ç
ç
÷= - 2 lnè
÷= ln
ç6ø
ç2ø
è

( 2) .

Chọn A.

LẤY TRỌN BỘ
TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM BẢN PDF VÀ WORD tại
/>