CHUYEN DE KHAO SAT HAM SO LUYEN THI DAI HOC 2011

Chuyên đề khảo sát hàm số

Ôn thi đại học 2011

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN

Xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) .
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M ( x0 ; y0 ) :

(y

y = f ' ( x0 )( x - x0 ) + y0

0

= f ( x0 ) )

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k
- Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: f’(x0) = 0
(*)
- Giải PT (*) tìm được hoành độ tiếp điểm x0 Þ tung độ tiếp điểm y0 Þ bài toán trở về dạng 1
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) đi qua điểm M ( a; b )
Cách 1. (Phương pháp tiếp điểm)
- Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ) , suy ra tiếp tuyến D có phương
trình dạng y = f ' ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) ()
- Vì M ( a; b ) Î D nên b = f ' ( x0 )( a - x0 ) + f ( x0 ) (**)
- Giải phương trình (**) tìm được x0 Þ bài toán trở về dạng 1.
Cách 2. (Phương pháp điều kiện tiếp xúc)
- Đường thẳng D đi qua M ( a; b ) , với hệ số góc k (chưa biết k ) có phương trình dạng
y = k ( x - a) + b

(***)

ìï f ( x ) = k ( x - a ) + b (1)
- Điều kiện cần và đủ để D tiếp xúc với (C ) là hệ í
có nghiệm.
(2)
ïî f ' ( x ) = k
- Thế (2) vào (1), giải phương trình tìm được x , sau đó thay x vào (2) tìm được k , rồi thay k vào
phương trình (***) Þ phương trình tiếp tuyến cần lập.
Chú ý :

ìï f ( x ) = g ( x )
a) Đ/k để hai đường cong y = f ( x ) và y = g ( x ) tiếp xúc nhau là hệ í
có nghiệm.
ïî f ' ( x ) = g ' ( x )
b) Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau, vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến k = f '( x0 ), k = tan j ( j là góc hợp bởi giữa tiếp tuyến và trục hoành).

k -a
= tan j
1 + ka
ax - y0 + b
e) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng D : y = ax + b ( Û ax - y + b = 0 ) là : 0
.
a2 + 1
 
f) DABC vuông tại A khi và chỉ khi AB. AC = 0 ; DABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC .
d) Tiếp tuyến có hệ số góc k (chưa biết k ) tạo với đường thẳng y = ax + b một góc j thì

Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm

ax + b
Bài 1. Tìm a, b để đồ thị hàm số y =
cắt Oy tại A ( 0; -1) đồng thời tiếp tuyến tại A có hệ số góc
x -1
bằng 3.
Đáp số: a = -4, b = 1
Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) = x3 + 3 x 2 + mx + 1 có đồ thị (Cm).
a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C ( 0;1) , D, E .
b) Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Đáp số: a )0 ¹ m <

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

9
4

b) m =

9 ± 65
8

Trang 1

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“

Chuyên đề khảo sát hàm số

Ôn thi đại học 2011

Bài 3. (ĐH Huế khối D-1998) Chứng minh rằng hàm số y = - x 4 + 2mx 2 - 2m + 1 luôn đi qua 2 điểm cố
5
3
định A và B . Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
Đáp số: m = ; m =
4
4
1
Bài 4. (ĐH khối B-2004) Cho hàm số y = x 3 - 2 x 2 + 3 x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của
3
(C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp số: y = - x + 8 / 3
3
Bài 5. (HV Quân Y 1997) Cho hàm số y = x + 1 - m( x + 1) có đồ thị (Cm).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tai các giao điểm của (Cm) với Oy.
b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Đáp số: a ) y = - mx + 1 - m b)m=9 ± 4 5; m = -7 ± 4 3
2x -1
Bài 6. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Cho M bất kì trên (C) có xM = m . Tiếp tuyến của (C) tại M
x -1
cắt hai tiệm cận tại A, B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và
diện tích tam giác IAB không đổi.
x +1
Bài 7. Cho hàm số y =

có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) tạo với hai tiệm cận
x -1
của (C) một tam giác có diện tích không đổi.
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
1 3 1 2
4
x + x - 2 x - có đồ thị (C). Viết phương tình
3
2
3
tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đương thẳng d : y = 4 x + 2 .
1
m
1
Bài 9. (ĐH khối D-2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = x 3 - x 2 + . Gọi M là điểm thuộc (Cm) có
3
3
3
hoành độ x = -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại điểm M song song với đường thẳng 5 x - y = 0 .
Đáp số: m = 6
2
( 3m + 1) x - m + m m ¹ 0 tại giao điểm giao
Bài 10. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y =
(
)
x+m
điểm của (C) với trục Ox song song với đường thẳng d : y + 10 = x . Viết phương trình tiếp tuyến.
1
3
Đáp số: m = - ; y = x 5

5
3x - 2
Bài 11. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành một
x -1
góc 450.
Đáp số: y = - x + 2; y = - x + 6

Bài 8. (DB1 ĐH khối B-2002) Cho hàm số y = f ( x ) =

Dạng 3: Đ/k tiếp xúc của hai đường
Bài 12. (DB1 ĐH khối D-2008) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = - x 3 - ( 2m + 1) x 2 - m - 1 . Tìm m để đồ thị
(Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx - m - 1 .
Đáp số: m = 0; m = 1/ 2
Bài 13. Cho hµm sè y = x 3 - 3 x + m . T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè tiÕp xóc víi trôc Ox
Đáp số: m = ±2
Dạng 4: Tìm điểm sao cho tiếp tuyến thoả mãn tính chất nào đó
2x -1
Bài 14. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường
x -1
tiệm cận của (C), Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 2

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê

`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyên đề khảo sát hàm số

Ôn thi đại học 2011

2x
có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp
x +1
1
tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng .
4
Đáp số: M ( -1/ 2; -2 ) ; M (1;1)

Bài 15. (ĐH khối D-2007) Cho hàm số y =

x
có đồ thị (C). Viết phương trình d của (C) sao cho d
x -1
và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
x+2
Bài 17. (DB2 DDH khối B-2003) Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
2x + 3
đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc toạ độ O.
Đáp số: y = - x - 2

Bài 18.. (ĐH Công Đoàn 2001) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = 2 x 2 + 3 x 2 - 12 x - 1 sao cho
tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ.
Bài 19. Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến đồ thị (C): y = x 3 - 3 x 2 + 2 hai tiếp tuyến vuông

Bài 16. (DB2 ĐH khối D-2007) Cho hàm số y =

góc với nhau.
ĐS: M ( 55 / 27; -2 )
Bài 20. (ĐHSP Hà Nội II, khối B, 1999) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
của hàm số y = - x 3 + 3 x + 2 .
ĐS: a > 2; -1 ¹ a < -2 / 3
1
Bài 21. Tìm m để đồ thị (C): y = x 4 - x3 - 3 x 2 + 7 luôn luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với
2
đường thẳng y = mx .
x+2
Bài 22. Tìm m để từ điểm A ( 0; m ) kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y =
sao cho 2 tiếp điểm
x -1
nằm về hai phía với trục hoành.
Bài 23. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C): y = x3 - 3 x2 + 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song
song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
ĐS: A(3; 1) và B(–1; –3)
3
2
Bài 24. Cho hàm số y = x - 3x + 4 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số
góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông
ĐS: m =

góc với nhau.

18 ± 3 35
9

CHUYÊN ĐỀCỰC TRỊ
Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị
1. Hàm bậc ba: y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
(a ¹ 0)
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c
Hàm số có cực trị (có CĐ và CT) Û f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Û D y ' > 0 .
Chú ý:
+ Hai cực trị CĐ,CT đối xứng nhau qua điểm uốn.

ìïD y ' > 0
, trong đó x1 , x2 là các nghiệm của y ' = 0 .
ïî y( x1 ) . y( x2 ) < 0
( Û PT ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ¹ 0 ) có ba nghiệm phân biệt).
+ Hai giá trị CĐ, CT trái dấu nhau í

2. Hàm trùng phương: y=f(x) = ax4 + bx2 + c
(a ¹ 0)
3
2
Đạo hàm y’ = f’(x) = 4ax + 2bx = 2x(2ax + b).

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 3

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ

˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyên đề khảo sát hàm số

é ìa ¹ 0
êí
îb = 0
Hàm số có đúng cực trị Û ê
;
ê ìa ¹ 0
êí
ëê îa.b > 0

Ôn thi đại học 2011
ìa ¹ 0
îa.b < 0

Hàm số có đúng 3 cực trị Û í

Chú ý:
+ Nếu hàm số có 3 cực trị thì 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân.
+ Để nhận biết tại điểm x0 là hoành độ của CĐ hay CT, ta có hai dấu hiệu:
1. Dấu hiệu 1 (Xét dấu đạo hàm y’): Lập bảng biến thiên.
2. Dấu hiệu 2 (Xét dấu đạo hàm y”): Dựa vào điều kiện sau

ìï y ' ( x0 ) = 0
x0 là điểm CĐ Û í
ïî y '' ( x0 ) < 0

ìï y ' ( x0 ) = 0
x0 là điểm CT Û í
ïî y '' ( x0 ) > 0

Bài 1. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1
1) y = x 3 + mx 2 + ( m + 6 ) x - ( 2m + 1)
3
é m < -2 ìm ¹ -2
Đáp số: 1) ê
2) í
ëm > 3
î-3 < m < 1
Bài 2. (ĐH Bách khoa HN-2000) Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx 2 - ( m - 1) x - 1 không có cực trị.
2) y = ( m + 2 ) x3 + 3 x 2 + mx - 5

Bài 3. (ĐH Khối B 2002) Tìm m để hàm số y = mx 4 + ( m 2 - 9 ) x 2 + 10 có 3 điểm cực trị.

Đáp số: m < -3;0 < m < 3
1 4
3
x - mx 2 + chỉ có cực đại mà không có cực tiểu.
4
2
Bài 5. (ĐH kiến trúc-1999) Tìm m để hàm số y = mx 4 - ( m - 1) x 2 + (1 - 2m ) có đúng một cực trị.

Bài 4. (ĐH cảnh sát-2000) Tìm m để hàm số y =

Bài 6. (ĐH khối A DB1 - 2001) Tìm m để hàm số y = ( x - m ) - 3 x đạt cực tiểu tại điểm có hoành
độ x = 0 .
Đáp số: m = -1
4
2
2
Bài 7. (ĐH khối B - 2002) Tìm m để hàm số y = mx - ( m - 9 ) x + 10 có ba cực trị.
3

Đáp số: m < 3 hoặc 0 < m < 3
Bài tập tự luyện
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu
1) y = 2 x 3 - 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 .

x 2 + mx - m + 2
.
x - m +1
Bài 2. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1) x 3 - 3 ( m - 1) x 2 + ( 2m 2 - 3m + 2 ) x - m ( m - 1) .
2) y =

3) y =

2) y = mx3 + 3mx - ( m - 1) x - 1 .

x 2 + ( m + 2 ) x + 3m + 2

.

4) y =
x +1
Bài 3. Tìm m để hàm số
1) y = x 3 - 2mx 2 + ( m 2 - 1) x + 2 đạt cực đại tại x = 2 .
2) y = - mx 4 + 2 ( m - 2 ) x + m - 5 có một cực đại tại x =

mx 2 + ( m + 1) + 1
mx + 2

.

1
.
2

x 2 - 2mx + 2
3) y =
đạt cực tiểu khi x = 2 .
x-m
x2 - x + m
4) y =
có một giá trị cực đại bằng 0 .
x -1
Bài 4. Tìm m để hàm số y = ( x - 1) ( x 2 - 4mx - 3m + 1) có hai giá trị cực trị trái dấu.
Bài 5. Cho hàm số y = x 3 - 3 ( m + 1) x 2 + 6 ( m + 1) x + 1 .
GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 4

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ

˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyên đề khảo sát hàm số
1) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương.
2) Tìm m để hàm số nhận x = 3 + 3 làm điểm cực tiểu.

Ôn thi đại học 2011

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Phương trình đường thẳng đi qua CĐ và CT của hàm bậc ba y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
* Chia f(x) cho f’(x) ta được: f ( x) = Q( x). f '( x) + Ax + B
ìï y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B
* Khi đó, giả sử ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị thì: í
ïî y2 = f ( x2 ) = Ax 2 + B
* Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y = Ax + B .
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 - 3 x 2 - 6 x + 8 .
Đáp số: y = -6 x + 6 .
Bài 2. (ĐH khối A-2002) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = - x 3 + 3mx 2 + 3 (1 - m 2 ) x + m3 - m 2 .
Đáp số: y = 2 x - m 2 + m .
Bài 3. Tìm m để hàm số y = 2 x 3 + 3 ( m - 1) x 2 + 6 ( m - 2 ) x - 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song
song với đường thẳng y = -4 x + 1 .
ĐS: m = 1; m = 5 .
Bài 4. Tìm m để hàm số y = 2 x + 3 ( m - 1) x + 6m (1 - 2m ) x có các điểm cực trị nằm trên đường thẳng
3

2

y = -4 x .
ĐS: m = 1 .
Bài 5. Tìm m để hàm số y = x - 3 x + m x + m có các điểm cực cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua
1
5
đường thẳng y = x - .
ĐS: m = 0 .
2
2
Bài tập tự luyện
m
Bài 1. (ĐH – DB2 khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + m +
có cực trị tại các điểm A, B sao
x-2
cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O .
ĐS: m = 2 .
3
2
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x + mx + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với
đường thẳng y = 3 x - 7 .
3

2

2

ĐS: m = ±

3 10
.
2

Bài 3. Tìm m để hàm số y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 có CĐ, CT cách đều đường thẳng D : y = x - 1 .
Bài 4. Tìm m để hàm số y = x 3 - 3 ( m + 1) x 2 + m + 2 có hai giá trị cực trị trái dấu và đường thẳng đi qua
hai cực trị đi qua điểm M ( -1; 4 ) .
Bài 5. Tìm tập hợp trung điểm của hai cực trị của hàm số y =

1 3
2
x - mx 2 - x + m + .
3
3

Dạng : Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó
Bài 1. Tìm m để hàm số y = 2 x 3 - 3 ( m + 2 ) x 2 + 6 ( 5m + 1) x - ( 4m3 + 1) có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.
1
Đáp số: - < m < 0 .
3
3
2
Bài 2. (ĐH khối B DB2 - 2006) Tìm m để hàm số y = x + (1 - 2m ) x + ( 2 - m ) x + m + 2 có hai điểm cực
đại, cực tiểu đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 5

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyờn kho sỏt hm s

ễn thi i hc 2011
5
7
ỏp s: m < -1; < m < .
4
5
3
2
Bi 3. (C - 2009) Tỡm m hm s y = x - ( 2m - 1) x + ( 2 - m ) x + 2 cú cc i v cc tiu ng thi
cỏc im cc tr ca hm s cú honh dng.
1
ỏp s: - < m < 1, m ạ 0 .
3
4
2
4
Bi 4. (HV quan h quc t 1996) Tỡm m hm s y = x - 2mx + 2m + m cú cỏc im cc tr lp
thnh mt tam giỏc u.
ỏp s: m = 3 3 .
Bi 5. Tỡm m th hm s y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 cú ba im cc tr to thnh mt tam giỏc u.

ỏp s: m = 3 3 .
Bi 6. (H khi A BD1 - 2004) Tỡm m hm s y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 cú ba im cc tr l ba nh ca
mt tam giỏc vuụng cõn.
ỏp s: m = 1 .
3
2
Bi 7. Chng minh rng hm s y = x - 3 ( m + 1) x + 3m ( m + 2 ) x + 1 luụn cú cc i, cc tiu. Xỏc nh
m hm s cú cc i, cc tiu ti cỏc im cú honh dng .
ỏp s: m > 0 .
Bi 8. (Khi B - 2007) Tỡm m hm s y = - x 3 + 3 x 2 + 3 ( m 2 - 1) x - 3m 2 - 1 cú cc i v cc tiu v cỏc
im cc tr ca th hm s cỏch u gc ta O.
1
ỏp s: m = .
2
4
2
2
Bi 9. Tỡm m hm s y = x + 2(m - 2) x + m - 5m + 5 cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1 tam
giỏc vuụng cõn.
ỏp s: m = 1.
3
2
2
2
Bi 10. Tỡm m hm s y = x + 2 ( m - 1) x + ( m - 4m + 1) x - 2 ( m + 1) t cc tr ti x1 , x2 tha món

1 1 1
+ = ( x1 + x2 )
x1 x2 2

ỏp s: m = 1; m = 5 .

Bi 11. (H Khi A 2005) Tỡm m hm s y = mx +
tim cn xiờn bng

1
cú cc tr v khong cỏch t im cc tiu n
x

1
.
2

Bi tp t luyn
Bi 1. Tỡm m hm s
1
1) y = x 3 - mx 2 + mx - 1 t cc i ti hai im x1 , x2 sao cho x1 - x2 8 .
3
ổ
ử
1 - 65 ự ộ1 - 65
S: m ẻ ỗỗ -Ơ;
; +Ơ ữữ .
ỳẩờ
2 ỷ ở 2
ố
ứ
1
1
2) y = mx3 - ( m - 1) x 2 + 3 ( m - 2 ) x + t cc tr ti hai im x1 , x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .

3
3
4
2
3) y = x - mx + 4 x + m cú 3 cc tr l A, B, C v tam giỏc ABC nhn gc ta O lm trng
tõm.
2
Bi 2. Cho hm s y = x 3 + ( m + 1) x 2 + ( m 2 + 4m + 3) x Gi x1 , x2 l cỏc im cc tr ca hm s.
3
1) Tỡm m hm s t cc tr ti ớt nht 1 im > 1.
2) Tỡm m sao cho A = x1 x2 - 2 ( x1 + x2 ) t giỏ tr ln nht.
S: 1) -5 < m < -3 + 2 ;

GV: Hong Ngc Quang Trung tõm GDTX H Tựng Mu. Lc Yờn. Yờn Bỏi

2) m = -4

max A =

9
.
2

Trang 6

`èi`ấĩèấèiấ`iấiấvấ
víấ*ấ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê

ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chun đề khảo sát hàm số

Ơn thi đại học 2011

Bài 3. (ĐH Khối B 2005) CMR với mọi m, đồ thị hàm số y =
khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu bẳng
Bài 4. (ĐH Khối A 2007) Tìm m để đồ thị hàm số y =

x 2 + ( m + 1) + m + 1
x +1

ln có cực trị và

20 .
x 2 + 2 ( m + 1) + m 2 + 4m

có cực đại, cực tiểu, đồng
x+2
thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vng tại O .
ĐS: m = -4 ± 2 6 .
1
Bài 5. Tìm m để hàm số y = x 3 - mx 2 - x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
3
2 13
ĐS: m = 0 ; khoảng cách =
.
3

CHUN ĐỀ TƯƠNG GIAO
1. Phương pháp chung:
·

Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f ( x) = g ( x)
(1)

·

Khảo sát nghiệm của phương trình (1). Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của
(C1) và (C2).
Chú ý: * (1) vơ nghiệm Û (C1) và (C2) khơng có điểm chung
* (1) Có n nghiệm Û (C1) và (C2) có n điểm chung
* Nghiệm x0 của (1) chính là hồnh độ điểm chung của (C1) và (C2). Khi đó tung độ điểm
chung y0 = f ( x0 ) hoặc y0 = g ( x0 )

·

2. Xét phương trình f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

(1)

a) Đ/k để (1) có 1, 2, 3 nghiệm
·
·

·

ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu
(1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í
ïỵyCĐ .y CT < 0
ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu
(1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í
ïỵyCĐ .y CT = 0
é f (x ) không có cực đại, cực tiểu
ê
(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi ê ìïf (x ) có cực đại, cực tiểu
ê íïy .y > 0
ë ỵ CĐ CT

b. Đ/k để (1) có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng, cấp số nhân
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSC:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm x1 , x 2 , x 3 lập thành CSC khi đó x 2 = -

(1)
(2)
( 3)

b
thế vào (1) à giá trị của
3a

tham số
Đ/k đủ: Thay giá trị tham số tìm được trong đ/k cần vào PT (1) để xem nó có 3 nghiệm lập thành
CSC hay khơng.
* Đ/k (1) có 3 nghiệm lập thành CSN:
Đ/k cần: G/s (1) có 3 nghiệm x1 , x 2 , x 3 lập thành CSN khi đó x 2 = 3 -

d
thế vào (1) à giá trị của
a

tham số

GV: Hồng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục n. n Bái

Trang 7

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyờn kho sỏt hm s
ễn thi i hc 2011
/k : Thay giỏ tr tham s tỡm c trong /k cn vo PT (1) xem nú cú 3 nghim lp thnh
CSN hay khụng.
Chỳ ý: Nu a = 1 ị x 2 = 3 -d ị f ( x 2 ) = 0 ị c 3 = b 3d

3. Xột phng trỡnh f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c = 0

(d ạ 0 )

(2)

t t = x 2 /k t 0 ta c phng g (t ) = at 2 + bt + c = 0

(*)

a) /k (2) vụ nghim, cú 1,2, 3,4 nghim
* (2) vụ nghim khi v ch khi (*) vụ nghim hoc cú nghim t 1 Ê t 2 < 0

ỡùt = 0
* (2) cú 1 nghim khi v ch khi (*) cú nghim ớ 1
ùợt 2 < 0
* (2) cú 2 nghim khi v ch khi (*) cú nghim t 1 < 0 < t 2
ỡùt = 0
* (2) cú 3 nghim khi v ch khi (*) cú nghim ớ 1
ùợt 2 > 0
* (2) cú 4 nghim khi v ch khi (*) cú nghim 0 < t 1 < t 2
b) /k (2) cú 4 nghim lp thnh mt cp s cng
ỡD > 0
ù
ỡ
ù0 < t 1 < t 2
ùt 2 = 9t 1
(2) cú 3 nghim lp thnh CSC (*) cú 2 nghim ớ
ớ
t
=
9
t
ù
1
ợ2

ùt 1 .t 2 > 0
ùt + t > 0
ợ1 2
ax + b
4. Xột phng trỡnh
= mx + n ( 3)
cx + d
ổ
dử
- a phng trỡnh v dng: f (x ) = Ax 2 + Bx + C = 0
(**)
ỗx ạ - ữ
cứ
ố

ỡD > 0
d
ù
(3) cú 2 nghim phõn bit khi v ch khi (**) cú 2 nghim phn bit ạ - ớ ổ d ử
c
ùf ỗ - c ữ ạ 0
ứ
ợ ố
Chỳ ý: Trờn õy ch l iu kin trong trng hp tng quỏt, khi gii bi toỏn c th ta c gng nhm
nghim phõn tớch phng trỡnh v dng tớch khi ú iu kin s n gin hn

5. Bi tp:
Dng 1: Tỡm /k th ct trc honh ti k im phõn bit
Bi 1 (DB2 H Khi D -2002) Tỡm m th hm s y = x 4 - mx 2 + m - 1 ct trc honh ti 4 im
phõn bit.

ỏp s: 1 < m ạ 2
2
Bi 2 (DB1 H Khi B -2003) Tỡm m th hm s y = ( x - 1) x + mx + m ct trc honh ti 3

(

)

im phõn bit.
ỏp s: m > 4;0 < m ạ Bi 4: Tỡm m th hm s y = x 3 - 3x 2 + 3 (1 - m ) x + 1 + 3m ct trc honh
a) ti 1 im
b) ti 2 im
c) ti 3 im

ỏp s: a )m < 1 b)m=1

1
2

c)m>1

Bi 5: Tỡm m th hm s y = x + ( m + 1) x + 2mx + m ct trc honh ti 3 im phõn bit cú
3

2

2

honh õm
GV: Hong Ngc Quang Trung tõm GDTX H Tựng Mu. Lc Yờn. Yờn Bỏi

Trang 8

`èi`ấĩèấèiấ`iấiấvấ
víấ*ấ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyên đề khảo sát hàm số

Ôn thi đại học 2011
Đáp số: 0 < m <

(

)

(

)

1
4

Bài 6:Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 - 2mx 2 + 2m 2 - 1 x + m 1 - m 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ dương
Đáp số: 1 < m <

(

2

)

3

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x - 1) x - 2mx - m - 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
2

hoành độ lớn hơn -1
Đáp số:
Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x - x + 18mx - 2m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn
x1 < 0 < x 2 < x 3
Đáp số: m < 0
3
2
Bài 9. (ĐH khối A 2010). Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2 x + (1 - m ) x + m cắt trục hoành tại 3 điểm
3

2

phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4.
Đáp số: -

1
< m < 1; m ¹ 0
4

Dạng 2: Tìm đ/k để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại k điểm phân biệt
Bài 9 (CĐ -2008) Tìm m để đồ thị hàm số y =

x
cắt đường thẳng d : y = - x + m tại hai điểm phân
x -1

biệt
ém < 0
Đáp số: ê
ëm > 4

Bài 10: Cho hàm số y =

2 3
8
8
x - x 2 - 4x + . Tìm m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số tại 3
3
3
3

điểm phân biệt
35
< m ¹ -4
8
Bài 11 (DB2 ĐH Khối D -2003) Cho hàm số y = 2x 3 - 3x 2 - 1 có đồ thị (C), gọi d k là đường thẳng đi qua

Đáp số: -

điểm M ( 0; -1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

9
Đáp số: - < k ¹ 0
8
3
2
Bài 12 (ĐH Khối D -2006) Cho hàm số y = x - 3x + 2 có đồ thị (C), gọi d là đường thẳng đi qua điểm

A ( 3;20 ) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 13 (ĐH Khối D -2009) Tìm m để đường thẳng

y = -1 cắt đồ thị

y = x 4 - ( 3m + 2 ) x 2 + 3m tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.

(C ) của
m

hàm số

1
Đáp số: - < m < 1, m ¹ 0
3

Bài 14: Tìm để đường thẳng d : y = x + 2m cắt đồ thị hàm số y =

3x + 1
tại hai điểm phân biệt A, B .

x -4

Tìm m để đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Đáp số:

x +1
có đồ thị (C).
x -1
a) Chứng minh rằng đường thẳng d : 2x - y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên
hai nhánh của (C).
b) Tìm m để độ dài AB ngắn nhất

Bài 15: Cho hàm số y =

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 9

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyờn kho sỏt hm s

ễn thi i hc 2011

Dng 3: Tỡm /k th ct trc honh ti cỏc im lp thnh cp s cng, cp s nhõn
Bi 16: Tỡm m th hm s y = x 3 - 3mx 2 + 2m ( m - 4 ) x + 9m 2 - m ct trc honh ti 3 im lp
thnh cp s cng

ỏp s: m = 1
Bi 17: Tỡm m th hm s y = x - ( 3m + 1) x + ( 5m + 4 ) x - 8 ct trc honh ti 3 im lp thnh
3

2

cp s cng

ỏp s: m = 2
Bi 18: Tỡm m th hm s y = x - 2 ( m + 1) x + 2m + 1 ct trc honh ti 4 im lp thnh cp s
4

2

cng
4
9
vi h s gúc

ỏp s: m = 4; m = Bi 19: (H Khi D -2008) Chng minh rng mi ng thng i qua im I (1;2 )

k ( k > -3) u ct th hm s y = x 3 - 3x 2 + 4 ti 3 im phõn bit I, A, B ng thi I l trung im
ca on thng AB

CHUYấN HM S CHA DU GI TR TUYT I

1. Phng phỏp chung:
v th ca hm s cú mang du GTT ta cú th thc hin cỏc bc sau:
Bc 1: Phỏ du GTT
+ Xột du biu thc cha bờn trong du GTT.
+ S dng /n kh du GTT (vit hm s cho bi nhiu biu thc)
Bc 2: V th tng phn ri ghộp li (v chung trờn cựng mt h trc to
2. Cỏc kin thc s dng:
ã /n GTT:
ỡ A neỏu A 0
+ A =ớ
ợA neỏu A < 0

ã
1.
2.
3.

Mt s tớnh cht ca th:
th hm s y = f(x) v y= - f(x) i xng nhau qua trc honh Ox.
th hm s y = f(x) v y = f(-x) i xng nhau qua trc tung Oy.
th hm s y = f(x) v y = - f(-x) i xng nhau qua gc to O.

3. Bi toỏn tng quỏt:

ã

ỡ( C1 ) : y = f ( x)
ùù
T th (C): y = f(x), hóy suy ra th cỏc hm s sau: ớ( C2 ) : y = f ( x )
ù

ùợ( C3 ) : y = f ( x)
Dng 1: T th ( C ) : y = f ( x) suy ra th ( C1 ) : y = f ( x )

ỡùf ( x ) neỏu f ( x ) 0
B1: Ta cú ( C1 ) : y = f ( x ) = ớ
ùợ-f ( x ) neỏu f ( x ) < 0
B2: T th (C) cú th suy ra th (C1) nh sau:
- Gi nguyờn phn th (C) nm phớa trờn Ox

(1)
(2)
(do 1)

GV: Hong Ngc Quang Trung tõm GDTX H Tựng Mu. Lc Yờn. Yờn Bỏi

Trang 10

`èi`ấĩèấèiấ`iấiấvấ
víấ*ấ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyờn kho sỏt hm s
- Ly i xng qua Ox phn th (C) nm phớa di trc Ox
- B phn th (C) nm phớa di trc Ox.
Minh ho

ã

ễn thi i hc 2011
(do 2)

Dng 2: T th ( C ) : y = f ( x) suy ra th ( C2 ) : y = f ( x )

ỡùf ( x ) neỏu x 0 (1)
B1: Ta cú ( C2 ) : y = f ( x ) = ớ
ùợf ( - x ) neỏu x < 0 (2)
B2: T th (C) cú th suy ra th (C 2) nh sau:
- Gi nguyờn phn th (C) nm phớa phi trc Oy
- Ly i xng qua Oy phn th (C) nm phớa bờn phi trc tung
- B phn th (C) nm phớa bờn trỏi trc Oy (nu cú).

(do 1)
(do 2)

Minh ho

ã

Dng 3: T th ( C ) : y = f ( x) suy ra th ( C3 ) : y = f ( x )

ỡf ( x ) 0
ù
B1: Ta cú ( C2 ) : y = f ( x ) = ớộ f ( x)
(1)
ùờ - f ( x) (2)
ợở

B2: T th (C) cú th suy ra th (C 3) nh sau:
- Gi nguyờn phn th (C) nm phớa trờn Ox
- Ly i xng qua Ox phn th (C) nm phớa trờn trc Ox
- B phn th (C) nm phớa di trc Ox (nu cú).

(do 1)
(do 2)

Minh ho

GV: Hong Ngc Quang Trung tõm GDTX H Tựng Mu. Lc Yờn. Yờn Bỏi

Trang 11

`èi`ấĩèấèiấ`iấiấvấ
víấ*ấ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“


Chuyên đề khảo sát hàm số
3. Ví dụ:
VD1: Cho hàm số y = - x 3 + 3 x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
a) y = - x 3 + 3 x
b) y = - x 3 + 3 x

Ôn thi đại học 2011

c) y = - x 3 + 3 x

x +1
(1)
x -1
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
4. Từ đồ thị (C), hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:
x +1
x +1
x +1
x +1
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
x -1
x -1
x -1
x -1
4. Bài tập:

VD2: Cho hàm số y =

e) y =

x +1
x -1

Bài tập 1: Cho hàm số y = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 3 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + 3 = m có nhiều hơn 2 nghiệm
Đáp số: b) 5 < m < 6 c) 4 £ m £ 5
Bài tập 2 (Khối B - 2009) Cho hàm số y = 2 x 4 - 4 x 2 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình x 2 x 2 - 2 = m có đúng 6 nghiệm phân biệt
Đáp số: 0 < m < 1
5. Bài tập tự luyện
Bài tập 1 (Khối A - 2006) Cho hàm số y = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 4 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Tìm m để phương trình 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - 4 = m có 6 nghiệm phân biệt
Đáp số: 4 < m < 5
Bài tập 2: Cho hàm số y = - x 4 + 8 x 2 - 10 có đồ thị (C)
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
d) Tìm m để phương trình - x 4 + 8 x 2 - 10 = m có 8 nghiệm phân biệt
Đáp số: 0 < m < 6

GV: Hoàng Ngọc Quang – Trung tâm GDTX Hồ Tùng Mậu. Lục Yên. Yên Bái

Trang 12

`ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ
˜vˆÝÊ*ÀœÊ*
Ê
`ˆÌœÀÊ
/œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê
ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“