daiso11 phuluc 2

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

II. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
(TN 2002) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau?
ĐS: 2296
Baøi 2.
(TN 2003) Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau:
Baøi 1.

ĐS: (x  8; y  3) .
Baøi 3.

Cxy1 : Cxy1 : Cxy1  6:5: 2

(TN 2004) Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k  N):

Pn 4

(n  k)!

�60A kn32 .

�
k �n
ĐS: BPT  �
(n  5)(n  4)(n  k  1) �60
�
+ Xét với n  4: BPT vô nghiệm.

+ Xét với n  {0, 1, 2, 3} được các nghiệm (n; k) là: (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3).
Baøi 4.
(TN 2005) Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
5
Cnn21  Cnn2  An2 .
2
ĐS: n  2.
(TN 2006–kpb) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 x)n
, nN*, biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.

Baøi 5.

5
ĐS: C10
 252 .

Baøi 6.

(TN 2007–kpb) Giải phương trình: Cn4  Cn5  3Cn61 (trong đó Cnk là số tổ hợp

chập k của n phần tử).
ĐS: n = 6.
Baøi 7.

(TN 2007–kpb–lần 2) Giải phương trình: 3Cn3  2Cn2  3An2 (trong đó Ank là số

chỉnh hợp chập k của n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n = 6.
Baøi 8.

(TN 2008–kpb) Giải bất phương trình: (n2  5)Cn4  2Cn3 �2An3 (trong đó Ank

là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n = 4; n = 5.
Baøi 9.
(TN 2008–kpb–lần 2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niutơn của
(2x  1)10 .
3
ĐS: 27C10
.

Baøi 10.

(TN 2011)

ĐS:

Trang 86


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1.



x1

x
2
2 23



(ĐH 2002A) Cho khai triển nhị thức:
n

 Cn0

 
x1
22

n

 Cn1

   
x1
22

n1

  

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai

 

n1
n
x1
x
x
n1
n
 ...  Cn 2 2 2 3
 Cn 2 3
triển đó Cn3  5Cn1 , số hạng thứ tư bằng 20n.

x
23

Tìm n và x.
HD: n = 7; x = 4.
Baøi 2.
(ĐH 2002B) Cho đa giác đều A 1A 2...A 2n nội tiếp đường tròn (O; R). Biết rằng
số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1, A 2, ... , A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1, A 2, ... , A 2n , tìm n.
Số tam giác là: C23n . Số hình chữ nhật là: Cn2 . ĐS: n = 8.

HD:

(ĐH
2002D)
Tìm
số
2

n n
C  2C  4Cn  ...  2 Cn  243.
HD: n = 5.
Baøi 4.
(ĐH
2002A–db2)
Giả
sử
Baøi 3.
0
n

nguyên

dương

n

số

n

sao

cho:

1
n

n

là

nguyên

dương

và

n

(1 x)  a0  a1x  ...  anx . Biết rằng tồn tại số k nguyên dương (1  k  n – 1) sao cho
ak1



ak



ak1

, hãy tính n.
9
24
Cnk1 Cnk Cnk1
HD:
 n = 10



2
9
24
Baøi 5.
(ĐH 2002B–db2) Tìm số n nguyên dương thoả bất phương trình
2

An3  2Cnn2 �9n (trong đó Ank , Cnk lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n
phần tử).
HD: n = 3; n = 4
Baøi 6.
(ĐH 2002D–db1) Gọi a1, a2,..., a11 là các hệ số trong khai triển sau:
(x  1)10(x  2)  x11  a1x10  a2x9  ...  a11.
Hãy tính hệ số a5 .
5
4
HD: a5  C10
 2C10
 672

(ĐH 2002D–db2) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó
có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử
8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.

Baøi 7.

8
5
4
3

HD: C18
 (C13
 C12
 C11
)  41811

Baøi 8.

(ĐH 2003A) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn
n

�1
�
của �  x5 �, biết rằng: Cnn41  Cnn3  7(n  3) (trong đó n là số nguyên dương, x >
�x3
�
0, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD:
Baøi 9.

4
C12
 495 .

(ĐH 2003B) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
Trang 87


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
S = Cn0 

22  1 1 23  1 2
2n1  1 n
Cn 
Cn  ... 
C .
2
3
n 1 n

( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2

HD:

n1
n1
(1 x)ndx . ĐS: S = 3  2 .
Sử dụng khai triển của (1 x)n . Tính �
n 1
1

(ĐH 2003D) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x3n3 trong
khai triển thành đa thức của (x2  1)n(x  2)n . Tìm n để a3n3  26n .

Baøi 10.

HD: Ta có: (x2  1)n  Cn0x2n  Cn1x2n2  Cn2x2n4  ...  Cnn

(x  2)n  Cn0xn  2Cn1xn1  22Cn2xn2  ...  2nCnn
+ Kiểm tra n = 1, n = 2: không thoả điều kiện bài toán.
+ Với n  3 thì x3n3  x2nxn3  x2n2xn1  hệ số của x3n3 trong khai triển
thành đa thức của (x2  1)n(x  2)n là: a3n3  23.Cn0.Cn3  2.Cn1.Cn1 .
Từ đó: a3n3  26n  n = 5.
Baøi 11.
(ĐH 2003A–db1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?
HD: 192
Baøi 12.
(ĐH 2003A–db2) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ
số khác nhau ?
HD: 952
Baøi 13.
(ĐH 2003B–db1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và
trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?
HD: 108
Baøi 14.
(ĐH 2003B–db2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra
6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
HD: 462
Baøi 15.
(ĐH 2003D–db1) Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ?
HD: 90720
Baøi 16.
(ĐH
2003D–db2)
Tìm

số
tự
nhiên
n
thoả
mãn:
Cn2Cnn2  2Cn2Cn3  Cn3Cnn3  100 .
( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

 

2

HD: n = 4 (Chú ý: C k.C nk  C k )
n n
n
(ĐH 2004A)
[1 x2(1 x)]8 .

Baøi 17.

Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của

HD: Khai triển [1 x2(1 x)]8 . Xác định được a8  C83.C32  C84.C40  168 70  238.
Baøi 18.
(ĐH 2004B) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu
đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ
3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
2 2 1

2 1 2
3 1 1
HD: Chia thành nhiều trường hợp. ĐS: C15
C10C5  C15
C10C5  C15
C10C5  56875.

Baøi 19.

(ĐH 2004D) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của
Trang 88


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng
7

�3
1 �
� x 4 �
x�
�

với x > 0.

HD: C74  35 .
(ĐH 2004A–db1) Cho tập A gồm n phần tử, n  7. Tìm n, biết rằng số tập con
gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tâọ A.
HD:

Baøi 21.
(ĐH 2004A–db2) Cho tập A gồm n phần tử, n > 4. Tìm n, biết rằng trong số
các tập con của A có đúng 16n tập con có số phần tử là số lẻ.
HD:
Baøi 20.

Baøi 22.

(ĐH 2004B–db1) Biết rằng (2 x)100  a0  a1x  ...  a100x100 . Chứng minh

rằng a2  a3 . Với giá trị nào của k thì ak  ak1 (0 �k �99) ?
HD:
Baøi 23.

(ĐH 2004B–db2) Giả sử (1 2x)n  a0  a1x  a2x2  ...  anxn . Tìm n và số

lớn nhất trong các số a0, a1, a2,..., an , biết rằng a0  a1  a2  ...  an  729 .
HD:
n

1�
Baøi 24.
(ĐH 2004D–db1) Biết rằng trong khai triển nhị thức Niutơn của �
�x  � tổng
� x�
các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24, tính tổng các hệ số của các số hạng chứa xk
với k > 0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương.
HD:
Baøi 25.
(ĐH 2004D–db2) Có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn dồng thời ba điều kiện

sau: gồm đúng 4 chữ số đôi một khác nhau; là số chẵn; nhỏ hơn 2158 ?
HD:
Baøi 26.
(ĐH 2005A) Tìm số nguyên dương n sao cho:
C21n1  2.2C22n1  3.22C23n1  4.23C24n1  ...  (2n  1).22nC22nn11  2005
( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Sử dụng khai triển của (1 x)2n1 . Lấy đạo hàm hai vế, rồi thay x = –2.
ĐS: n = 1002.
Baøi 27.
(ĐH 2005B) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh
miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
HD:
Baøi 28.

4 1 4 1 4
C31C12
.C2C8 .C1C4  207900.

(ĐH 2005D) Tính giá trị của biểu thức M 

An41  3A 3n
(n  1)!

, biết rằng:

Cn21  2Cn22  2Cn23  Cn2 4  149 (*)
(n là số nguyên dương, Ank , Cnk lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần
tử).
3

.
4
(ĐH 2005A–db1) Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2  3x)2n , trong

HD: Từ (*)  n = 5. Vậy M =
Baøi 29.

5
2n1
k
đó n là số nguyên dương thỏa mãn: C12n1  C32n1  C2n
1  ...  C2n1  1024 (*) ( Cn là

số tổ hợp chập k của n phần tử).
Trang 89


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

HD: Sử dụng khai triển của (1 x)2n1 . Lần lượt cho x = 1 và x = –1.
Tính được C21n1  C23n1  C25n1  ...  C22nn11  22n  2n = 10.
3 7 3
Suy ra hệ số của x7 là C10
3 .2 .

Baøi 30.

k

(ĐH 2005A–db2) Tìm k � 0,1,2,...,2005 sao cho C2005
đạt giá trị lớn nhất.

( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
HD:
Baøi 31.

k
k1
�
C2005
�C2005
�
�
k �1002
lớn nhất  � k
 k  1002hayk  1003
k1 (k  N)  �
k �1003
�
C2005 �C2005
�
(ĐH 2005B–db1) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:
2Pn  6A 2n  Pn A 2n  12

k
C2005

( Pn là số hoán vị của n phần tử và A nk là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).

HD: PT  (6  n!) n(n  1)  2  0  n = 3 hay n = 2.
Baøi 32.
(ĐH 2005B–db2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng
trăm, hàng ngàn bằng 8.
HD: a3  a4  a5  8  a3, a4, a5 �{1,2,5} hoặc a3, a4, a5 �{1,3,4}.
ĐS: 720 + 720 = 1440 (số).
Baøi 33.
(ĐH 2005D–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít
nhất 3 nữ.
5
4
3
HD: C53C10
 C54C10
 C55C10
 3690 cách.

(ĐH 2005D–db2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ
số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
HD: Thực hiện 2 bước:

Baøi 34.

+ Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A52  20 cách.
+ Xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại, có: A53  60 cách.
ĐS: 20.60 = 1200 số.
Baøi 35.

(ĐH 2006A) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn
n

�1
�
của �  x7 �, biết rằng C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220  1. (n nguyên dương, ( Cnk là
�x4
�
số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: + Từ giả thiết  C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1  220

(1)

+ Vì C2kn1  C22nn11k , k, 0  k  2n+1 nên:
C20n1  C21n1  C22n1  ...  C2nn1 



1 0
C
 C 2  ...  C22nn11
2 2n1 2n1



(2)

+ Từ khai triển của (1 1)2n1 suy ra:
C20n1  C21n1  ...  C22nn11  (1 1)2n1  22n1

(3)

+ Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n  220  n = 10.
6
+ Suy ra hệ số của x26 là: C10
 210 .
(ĐH 2006B) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4). Biết rằng số tập con gồm 4
phần tử bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k  {1, 2, 3, …, n} sao cho số

Baøi 36.

Trang 90


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
HD: Từ giả thiết suy ra: Cn4  20Cn2  n = 18.
Do

k1
C18
k
C18



18 k

9
10
18
1
2
9
 1  k  9, nên C18
 C18
.
 C18
 ...  C18
 C18
 ...  C18
k1

Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.
Baøi 37.
(ĐH 2006D) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học
sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. cần chọn 4 học sinh đi
làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn như vậy ?
HD: Dùng phương pháp loại trừ.
4
+ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C12
 495 .

+ Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 em là:
C52C41C31  C51C42C31  C51C41C32  270
+ Số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225.
Baøi 38.

(ĐH 2006A–db1) Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của (x2  x)100 , chứng
minh rằng:
99
100
198
199
1�
1�
1�
1�
0 �
1 �
99 �
100 �
100C100 � �  101C100 � �  ...  199C100 � �  200C100 � �  0 .

�2 �

�2 �

( Cnk

�2 �

�2 �

là số tổ hợp chập k của n phần tử).

1
HD: Lấy đạo hàm hai vế, cho x   , rồi nhân hai vế với –1, ta được đpcm.

2
Baøi 39.
(ĐH 2006A–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
HD: Số các số tự nhiên cần tìm là: 96 số. Chia thành nhiều trường hợp.
+ Có 24 số dạng a4a3a2a10; 18 số dạng a4a3a2a11; 18 số dạng a4a3a2a12;
18 số dạng a4a3a2a13; 18 số dạng a4a3a2a14
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + 2 + 3 + 4) = 180.
Tổng các chữ số hàng chục là:
1800
Tổng các chữ số hàng trăm là:
18000
Tổng các chữ số hàng nghìn là:
180000
+ Có 24 số dạng 1a3a2a1a0 ; 24 số dạng 2a3a2a1a0 ; 24 số dạng 3a3a2a1a0 ;
24 số dạng 4a3a2a1a0
Tổng các chữ số hàng chục nghìn là: 24(1 + 2 + 3 + 4).10000 = 2400000
+ Vậy tổng 96 số là: 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980
Baøi 40.
(ĐH 2006B–db1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng
cạnh nhau ?
HD: Số cách chọn hai trong ba chữ số lẻ đứng cạnh nhau là: A32  6 cách. Xem 2 số lẻ
đứng cạnh nhau là một phần tử x. Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số
chẵn 0, 2, 4, 6. Chia thành nhiều trường hợp.
ĐS: 6(18 + 18 + 24) = 360 số.
Baøi 41.
(ĐH 2006B–db2) Cho 2 đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1
có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt (n  2). Biết rằng có 2800
tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

Trang 91


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

HD: Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d1, 2 đỉnh thuộc d2 là: 10Cn2 .
2
Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d2, 2 đỉnh thuộc d1 là: nC10
.
2
Từ giả thiết: 10Cn2 + nC10
=2800, suy ra n = 20.

(ĐH 2006D–db1) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học
thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi
tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy ?
HD: Chia thành nhiều trường hợp theo số học sinh nữ.

Baøi 42.

7 2 9
8 3 8
8 2 9
ĐS: C73C26
C4C19  C72C26
C5C18  C72C26
C5C18 .

(ĐH 2006D–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000 ?
HD: Chia thành nhiều trường hợp. ĐS: 240 + 48 + 72 = 360 số.
Baøi 44.
(ĐH
2007A)
Chứng
minh
rằng:
2n
1 1 1 3 1 5
1
2 1
C2n  C2n  C2n  ...  C22nn1 
2
4
6
2n
2n  1
Baøi 43.

(n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Ta có:

(1 x)2n  C20n  C21nx  ...  C22nnx2n
(1 x)2n  C20n  C21nx  ...  C22nnx2n



 (1 x)2n  (1 x)2n  2 C21nx  C23nx3  ...  C22nn1x2n1

1



1
(1 x)2n  (1 x)2n
dx  �
C21nx  C23nx3  ...  C22nn1x2n1 dx
�
2
0
0





22n  1 1 1 1 3 1 5
1
 C2n  C2n  C2n  ...  C22nn1
2n  1 2
4
6
2n
Baøi 45.
(ĐH 2007B) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn



của (2  x)n , biết 3nCn0  3n1C1n  3n2Cn2  3n3Cn3  ...  (1)nCnn  2048

(n là số nguyên dương, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Ta có: 3nCn0  3n1Cn1  3n2Cn2  3n3Cn3  ...  (1)nCnn  (3 1)n  2n .

HD:

Từ giả thiết suy ra n = 11.
10 1
Hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của (2  x)11 là: C11
.2  22 .

Baøi 46.

(ĐH 2007D) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:
x(1 2x)5  x2(1 3x)10

HD: Hệ số của x5 trong khai triển của x(1 2x)5 là: (2)4C54 .
3
Hệ số của x5 trong khai triển của x2(1 3x)10 là: 33C10
.
3
Hệ số của x5 trong khai triển của x(1 2x)5  x2(1 3x)10 là: (2)4C54 + 33C10
Baøi 47.
(ĐH 2007A–db1) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm
4 chữ số khác nhau?
HD: Giả sử số cần lập là n = a1a2a3a4 > 2007. Xét hai trường hợp a4 = 0 và a4  0.
ĐS: 448 + 1568 = 2016 số.
Baøi 48.
(ĐH 2007A–db2) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần
lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh

Trang 92


Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng

lấy từ n  6 điểm đã cho là 439.
HD: Với n  2 thì n + 6  8. Số tam giác tạo thành không vượt quá C83 = 56 < 439
(loại). Vậy n  3.
Số tam giác tạo thành là: Cn36  C33  Cn3 = 439  n = 10.
2
3
�
�Ax  Cy  22
Baøi 49.
(ĐH 2007B–db1) Tìm x, y  N thỏa mãn hệ: � 3
.
2
A

C

66
�
x
�y
HD: (x = 4; y = 5).
Baøi 50.
(ĐH 2007B–db2) Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của

3
2
1
(x2  2)n , biết: An  8Cn  Cn  49 .

HD: Từ giả thiết tìm được n = 7. Suy ra hệ số của x8 là: C7423  280 .
Baøi 51.
(ĐH 2007D–db1) Chứng minh với mọi số n nguyên dương luôn có:
nC0n   n  1C1n  ...   1 n 2Cnn 2    1 n 1Cnn 1 0
HD: Sử dụng khai triển của (x  1)n . Lấy đạo hàm hai vế, rồi cho x = 1 ta được đpcm.
Baøi 52.
(ĐH 2007D–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
HD: 120 + 300 = 420 số.
Baøi 53.

(ĐH 2008A) Cho khai triển (1 2x)n  a0  a1x  ...  anxn , trong đó n  N và

các hệ số a0, a1,..., an thoả mãn hệ thức a0 

a
a1
 ...  n  4096 . Tìm số lớn nhất trong
2
2n

các số a0, a1,..., an .
HD: Đặt f(x) = (1 2x)n  a0  a1x  ...  anxn  a0 

a

a1
�1 �
 ...  n  f � � 2n .
2
�2 �
2n

Từ giả thiết suy ra: 2n  4096  n = 12.
k
k1
Với mọi k  {0, 1, 2, …, 11} ta có ak  2kC12
, ak1  2k1C12

ak

Giả sử:

ak1

 1�

k
2k C12

k1
2k1C12

 1�

k1

23
 1� k 
.
2(12  k)
3

Mà k  Z  k  7. Do đó a0  a1  ...  a8 .
Tương tự,

ak
ak1

 1� k  7. Do đó a8  a9  ...  a12 .

8
Vậy số lớn nhất trong các số a0, a1,..., an là a8  28C12
 126720 .

Baøi 54.

(ĐH 2008B) Chứng minh rằng

n 1 � 1
1 � 1


�
k1 �
� C k (n, k là các số
n  2 �C k

C
n1 � n
� n1

nguyên dương, k  n, Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).
n 1 � 1
1 � k!(n  k)! 1



�
.
k
k1 �
�
n  2 �C
n!
C
Cnk
n1 �
� n1
Baøi 55.
(ĐH 2008D) Tìm số nguyên
HD:

C21n  C23n  ...  C22nn1  2048
HD: Ta có:

dương

n

thoả

mãn

( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử).

0  (1 1)2n  C20n  C21n  ...  C22nn1  C22nn
Trang 93

hệ

thức


Trần Sĩ Tùng

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
22n  (1 1)2n  C20n  C21n  ...  C22nn1  C22nn

 C21n  C23n  ...  C22nn1  22n1 .
Từ giả thiết suy ra: 22n1  2048  n = 6.
Baøi 56.
(ĐH 2008A–db1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng
trăm, hàng ngàn bằng 8.
HD: 720 + 720 = 1440 số.
Baøi 57.
(ĐH 2008A–db2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2  3x)2n , trong

đó n là số nguyên dương thỏa mãn: C21n1  C23n1  C25n1  ...  C22nn11  1024 ( Cnk là số
tổ hợp chập k của n phần tử).
HD: Sử dụng khai triển của (1 x)2n1 . Lần lượt cho x = 1 và x = –1.
Tính được C21n1  C23n1  C25n1  ...  C22nn11  22n  2n = 10.
3 7 3
Suy ra hệ số của x7 là C10
3 .2 .
Baøi 58.
(ĐH 2008B–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít
nhất 3 nữ.
5
4
3
HD: C53C10
 C54C10
 C55C10
 3690 cách.

(ĐH 2008B–db2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
HD: Thực hiện 2 bước:

Baøi 59.

+ Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A52  20 cách.
+ Xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại, có: A53  60 cách.
ĐS: 20.60 = 1200 số.
k
Baøi 60.

(ĐH 2008D–db1) Tìm k � 0,1,2,...,2005 sao cho C2005
đạt giá trị lớn nhất.
( Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử)
k1
�
Ck �C2005
�
�
k �1002
k
HD: C2005
lớn nhất  � 2005
 k  1002hayk  1003
k
k1 (k  N)  �
k �1003
�
C2005 �C2005
�
Baøi 61.
(ĐH 2008D–db2) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức:
2Pn  6A 2n  Pn A 2n  12

( Pn là số hoán vị của n phần tử và A nk là số chỉnh hợp chập k của n phần tử).
HD: PT  (6  n!) n(n  1)  2  0  n = 3 hay n = 2.

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
Trang 94

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học

Trần Sĩ Tùng


Trang 95