HUONG DAN ON TAP CHUONG III DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:
Chứng minh rằng: Mệnh đề P(n) đúng với mọi n∈ ¥ *
* Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1
* Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) đúng với mọi n = k ≥ 1 (xem đây là giả thiết để c/m bước 3)
* Bước 3: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với n = k + 1
Vậy: P(n) đúng với mọi n∈ ¥ * (đpcm)
Phương pháp chứng minh trên gọi là phương pháp quy nạp toán học
1. Bài tập mẫu:
Bài 1: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * , ta có: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 (1)
Giải: + B1: Khi n = 1, ta có: VT = 1, VP = 12 = 1 ⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng
+ B2: Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: Sk = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
+ B3: Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 = k2 + 2k + 1
Thật vậy: Sk + 1 = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1]
= Sk + [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 ⇒ (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng với n∈ ¥ * (đpcm)
n(3n + 1)
Bài 2: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * thì 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) =
(1)
2
1(3.1+ 1)
= 2 ⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng
Giải: + Khi n = 1, ta có: VT = 2, VP =
2
k(3k + 1)
+ Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: Sk = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) =
2
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
(k + 1)[(3(k + 1) + 1] 3k2 + 7k + 4
=

Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] =
2
2
Thật vậy: Sk + 1 = 2 + 5 + 8 + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)]
k(3k + 1)
3k2 + 7k + 4
⇒ (1) đúng khi n = k + 1
= Sk + [3(k + 1) – 1)] =
+ (3 k + 2) =
2
2
Vậy: (1) đúng với n∈ ¥ * (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * thì n3 – n chia hết cho 3 (1)
Giải: Gọi An = n3 – n
+ Khi n = 1: A1 = 13 – 1 = 0M3 ⇒ (1) đúng
+ Giải sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: Ak = k3 – kM3
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)M3
Thật vậy: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1 = k3 + 3k2 + 2k
= (k3 – k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3k(k + 1)
Mà AkM3 và 3k(k + 1)M3 nên: Ak + 1 = (k + 1)3 – (k + 1)M3 ⇒ (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng với n∈ ¥ * (đpcm)
Bài 4: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * thì 4.6n + 5n – 4 chia hết cho 5 (1)
Giải: Gọi An = 4.6n + 5n – 4
+ Khi n = 1: A1 = 4.61 + 51 – 4 = 25M5 ⇒ (1) đúng
+ Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: Ak = 4.6k + 5k – 4M5
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 4M5
Thật vậy: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 4 = 4.6k.6 + 5k.5 – 4 = 24.6k + 5k.5 – 4
= (4.6k + 5k – 4) + (20.6k + 4.5k) = Ak + 5(4.6k + 4.5k – 1)
Mà: AkM5 và 5(4.6k + 4.5k – 1)M5 nên: Ak + 1 = 4.6k + 1 + 5k + 1 – 4M5 ⇒ (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng với n∈ ¥ * (đpcm)

1


Bài 5: Cho tổng Sn =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1)

a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
1 1
1 1
6 2
=
S2 = +
=
=
Giải: a) S1 =
1.3 3
3 3.5 15 5
2 1 15 3
3 1 28 4

S3 = +
=
=
S4 = +
=
=
5 3.7 35 7
7 7.9 63 9
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
b) Dự đoán: Sn =
=
(1)
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1) 2n + 1
1
1
+ Khi n = 1: VT = , VP = ⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng
3
3
1
1
1
1

k
+
+
+ ... +
+ Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: Sk =
=
1.3 3.5 5.7
(2k − 1)(2k + 1) 2k + 1
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là:
1
1
1
1
1
k +1
k +1
+
+
+ ... +
+
=
Sk + 1 =
=
1.3 3.5 5.7
(2k − 1)(2k + 1) [2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1] 2(k + 1) + 1 2k + 3
1
1
1
1
1

+
+
+ ... +
+
Thật vậy: Sk + 1 =
1.3 3.5 5.7
(2k − 1)(2k + 1) [2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1]
1
1
k
= Sk +
=
+
[2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1] 2k + 1 (2k + 1)(2k + 3)
2k2 + 3k + 1
(k + 1)(2k + 1)
k +1
⇒ (1) đúng khi n = k + 1
=
=
=
(2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3
Vậy: (1) đúng với n∈ ¥ * (đpcm)
2. Bài tập tự luyện
n(n + 1)
Bài 1: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * thì:
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
2
n
n(n + 1)(2n + 1)

1 1 1
1 2 −1
b) + + + ... + n = n
c) 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
6
2 4 8
2
2
1 n+1
n(4n2 − 1)
n
2
2
2
2
(3
−
3)
d) 3 + 9 + 27 + … + 3 =
e) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) =
2
3
2
2
n(n + 1)(n + 2)
n (n + 1)
f) 13 + 23 + 33 + … + n3 =
g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) =
3
4

2
2
2
2
1
2
3
n
n(n + 1)
+
+
+ ... +
=
h)
1.3 3.5 5.7
(2n − 1)(2n + 1) 2(2n + 1)
Bài 2: Chứng minh rằng với n∈ ¥ * thì: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9
c) n 3 + 11n chia hết cho 6
d) 11n + 1 + 122n – 1 chia hết cho 133
e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6
n
f) 13 – 1 chia hết cho 6
g) 3n 3 + 15n chia hết cho 9
1
1
1
1
n
+

+
+ ... +
Bài 3: Cho tổng Sn =
. ĐS: Sn =
1.5 5.9 9.13
(4n − 3)(4n + 1)
4n + 1
a) Tính S1, S2, S3, S4
b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
1
1
1
1
n
+
+
+ ... +
Bài 4: Cho tổng Sn =
. ĐS: Sn =
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
n+ 1
a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
2


II. DÃY SỐ:
1. Dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), Ký hiệu: un = u(n) hoặc (un) với n∈ ¥ *
Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un, …
Trong đó u1 là số hạng đầu; un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

2. Dãy số hữu hạn: Hàm số u xác định trên tập M = { 1,2,3,4,...,m} với m∈ ¥ *
Viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, …, um. Trong đó: u1 là số hạng đầu; um là số hạng cuối
3. Cách cho một dãy số:
a) Cho bằng công thức của số hạng tổng quát
b) Cho bằng phương pháp mô tả
c) Cho bằng phương pháp truy hồi
4. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn:
a) Dãy số (un) gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un hoặc un + 1 – un > 0 với n∈ ¥ *
b) Dãy số (un) gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un hoặc un + 1 – un < 0 với n∈ ¥ *
c) Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu ∃ một số M: un ≤ M, ∀n∈ ¥ *
d) Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu ∃ một số m: un ≤ m, ∀n∈ ¥ *
e) Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: m ≤ un ≤ M, ∀n∈ ¥ *
Bài tập mẫu:
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
3n + (−1)n
2n + 1
3n n
u
=
u
=
a) n
b) n
c) un = n
4n + (−1)n+1
n2
2
2
8 13 2
5 7 9 11

Giải: a) 5 số hạng đầu là: ; 1; ; ;
b) 5 số hạng đầu là: 3; ; ;
;
5 13 15 3
4 9 16 25
3 9 2 27 3 81 243 5
c) 5 số hạng đầu là: ;
;
;
;
2 4
8
8
32
 u1 = 1
Bài 2: Cho dãy số 
với n ≥ 1
 un+1 = un + 2n + 1
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = n2 (1)
Giải: a) 5 số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25
b) + Khi n = 1, ta có: u1 = 12 = 1 ⇒ (1) đúng
+ Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: uk = k2
+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 = (k + 1)2
Thật vậy: uk + 1 = uk + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇒ (1) đúng khi n = k + 1
Vậy: (1) đúng khi n∈ ¥ *
2n + 1
Bài 3: Cho dãy số (un) với un =
2n − 1
31

a) Tìm 6 số hạng đầu của dãy số
b) Tìm xem
là số hạng thứ mấy của dãy số
29
5 7 9 11 13
Giải: a) 6 số hạng đầu là: 3; ; ; ;
;
3 5 7 9 11
2n + 1 31
31
⇔ 58n + 29 = 62n – 31 ⇔ 4n = 60 ⇔ n = 15. Vậy:
=
b) Ta có:
là số hạng thứ 15
2n − 1 29
29
 u1 = 2

1 với n ≥ 1
Bài 4: Cho dãy số (un) xác định như sau: 
u
=
2
−
n
+
1

un


a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp u n =

c) Tìm số hạng thứ 101 của dãy số
3

n+ 1
(1)
n


Giải: a) 6 số hạng đầu của dãy số là: 2;
b) + Khi n = 1: u1 =

3 4 5 6 7
; ; ; ;
2 3 4 5 6

1+ 1
= 2 ⇒ (1) đúng
1

+ Giả sử (1) đúng khi n = k ≥ 1, tức là: uk =

k +1
k

+ Chứng minh rằng (1) đúng khi n = k + 1, tức là: uk + 1 =

(k + 1) + 1 k + 2
=
k +1
k +1

1
k
k+ 2
⇒ (1) đúng khi n = k + 1. Vậy: (1) đúng khi n∈ ¥ *
=2–
=
uk
k +1 k +1
101+ 1 102
=
c) Số hạng thứ 101 là: u101 =
101
101
* Phương pháp xét tính tăng, giảm của dãy số (un)
1) Cách 1: + Lập hiệu H = un + 1 – un và xét dấu biểu thức này
+ Nếu H > 0, ∀n∈ ¥ * thì dãy số (un) tăng
+ Nếu H < 0, ∀n∈ ¥ * thì dãy số (un) giảm
un+1
2) Cách 2: + Lập tỷ số T =
(với ĐK un > 0, ∀n∈ ¥ * )
un
+ Nếu T > 1, ∀n∈ ¥ * thì dãy số (un) tăng
+ Nếu T < 1, ∀n∈ ¥ * thì dãy số (un) giảm
Bài 5: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
n

n+ 1
n
2n − 1
a) un = 2n – 1
b) un = n
c) un = n
d) un =
e) un = (−1)n.
3
n+ 2
n+ 1
2 +1
Giải: a) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = 2(n + 1) – 1 – (2n – 1) = 2n + 2 – 1 – 2n + 1 = 2 > 0
Suy ra: H > 0 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
un+1 2(n + 1) − 1 2n + 1
=
=
Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ * : Xét tỷ số: T =
un
2n − 1
2n − 1
2n + 1
Do
> 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > 1 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
2n − 1
n + 1 n n + 1− 3n −2n + 1
= 2n+1
b) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = n+1 − n =
3
3

32n+1
3
−2n + 1
Do – 2n + 1 < 0 và 32n + 1 > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ 2n+1 < 0 , ∀n∈ ¥ * ⇒ H < 0 ⇔ un + 1 < un.
3
Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm
un+1 n + 1 3n n + 1
*
= n+1 . =
Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T =
un
3
n
3n
n+ 1
Do
< 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T < 1 ⇔ un + 1 < un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số giảm
3n
2n+1 − 1 2n − 1 (2n+1 − 1)(2n + 1) − (2n+1 + 1)(2n − 1)
−
=
c) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un = n+1
2 + 1 2n + 1
(2n+1 + 1)(2n + 1)
22n+1 + 2n+1 − 2n − 1− 22n+1 + 2n+1 − 2n + 1
2.2n+1 − 2.2n
4.2n − 2.2n
2n+1
=
=

=
=
(2n+1 + 1)(2n + 1)
(2n+1 + 1)(2n + 1) (2n+1 + 1)(2n + 1) (2n+1 + 1)(2n + 1)
2n+2 − 2n+1
n+1
n+1
n
* ⇒
Do 2 > 0 và (2 + 1)(2 + 1) > 0, ∀n∈ ¥
> 0 , ∀n∈ ¥ *
n+1
n
(2 + 1)(2 + 1)
⇒ H > 0 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
un+1 2n+1 − 1 2n + 1 22n+1 + 2n+1 − 2n − 1
*
=
.
=
Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T =
un 2n+1 + 1 2n − 1 22n+1 − 2n+1 + 2n − 1
Thật vậy: uk + 1 = 2 –

4


22n+1 + 2n+1 − 2n − 1
> 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > 1 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
2n+1

n+1
n
2 − 2 + 2 −1
n + 1+ 1 n + 2
=
d) Cách 1: Xét hiệu H = un + 1 – un =
n + 1+ 2 n + 3
Do n + 2 > 0 và n + 3 > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ H > 0 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
un+1 n + 1+ 1 n + 2 (n + 2)(n + 2) n2 + 4n + 4
*
=
.
=
=
Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T =
un n + 1+ 2 n + 1 (n + 3)(n + 1) n2 + 4n + 3
Do

n2 + 4n + 4
> 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > 1 ⇔ un + 1 > un. Vậy: Dãy số (un) là dãy số tăng
2
n + 4n + 3
n
1
2
3
4
e) un = (−1)n.
, ta có: u1 = − ; u2 = ; u3 = − ; u4 =
n+ 1

2
3
4
5
Nhận thấy: u1 < u2; u2 > u3; u3 < u4. Vậy: Dãy số (un) không tăng cũng không giảm
* Phương pháp xét tính bị chặn của dãy số (un)
+ Nếu CM được: un ≤ M, ∀n∈ ¥ * (1) hoặc un ≥ m, ∀n∈ ¥ * (2) hoặc m ≤ un ≤ M, ∀n∈ ¥ * (3)
+ Nếu (1) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn trên bởi M
+ Nếu (2) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn dưới bởi n
+ Nếu (3) xảy ra thì dãy số (un) bị chặn
Bài tập mẫu
Bài 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un), biết:
2n − 1
2n2 + n + 1
2n3 − 1
n + (−1)n
u
=
a) un =
b) n
c) un =
d) un =
n2 + n
n+ 1
2n + 1
n2 + 2
2
2n + n + 1
Giải: a) Ta có: un =
> 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn dưới

2
n +n
2
2n + n + 1
n− 1
= 2− 2
≤ 2, ∀n∈ ¥ * (lấy tử chia cho mẫu)
Ta lại có: un =
2
n +n
n +n
⇒ dãy số (un) bị chặn trên. Vậy: Dãy số (un) bị chặn
2n − 1
> 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn dưới
b) Ta có: un =
2
n +2
2n − 1 2n − 1 2n − 1
1
<
=
= 2 − < 2 , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn trên.
Ta lại có: un =
2
2
n
n
n +2
n
Vậy: Dãy số (un) bị chặn

2n3 − 1
> 0 , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn dưới
c) Ta có: un =
n+ 1
2n3 − 1
≤ M , ∀n∈ ¥ *
Ta lại có: Dãy (un) không có số M nào mà un =
n+ 1
⇒ dãy số (un) không bị chặn trên. Vậy: Dãy số (un) không bị chặn
n + (−1)n
≥ 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn dưới
d) Ta có: un =
2n + 1
n + (−1)n n + 1 1
1
1 1 2
≤
= +
≤ + = , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn trên
Ta lại có: un =
2n + 1
2n + 1 2 2(2n + 1) 2 6 3
Vậy: Dãy số (un) bị chặn
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
n
n
n
2n − 1
 1

a) un = n
b) un = n
c) un =  1+ ÷
d) un =
2 −1
2 +1
n2 + 1
 n
 u1 = −1
Bài 2: Cho dãy số (un), biết: 
với n ≥ 1
 un+1 = un + 3
Do

5


a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = 3n – 4
c) Tìm số hạng thứ 200 của dãy số (596)
d) Tìm xem 245 là số hạng thứ mấy của dãy số (83)
2n
Bài 3: Cho dãy số (un) định bởi: un = 2
n +1
9
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Số
là số hạng thứ mấy của dãy số (9)
41
n− 1

Bài 4: Cho dãy số (un), biết: un =
n(n + 1)
12
3
a) Tìm số hạng thứ 25 của dãy số (
)
b) Số
là số hạng thứ mấy của dãy số (7)
325
28
 u1 = 1
Bài 5: Cho dãy số (un) xác định như sau: 
với n ≥ 2
 un = 2un−1 + 1
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = 2n – 1
c) Tìm xem 1023 là số hạng thứ mấy của dãy số (10)
 u1 = 2
Bài 6: Cho dãy số (un), biết: 
với n ≥ 1
 un+1 = 2un − 1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh un = 2n – 1 + 1 bằng phương pháp quy nạp
b) Tìm xem 257 là số hạng thứ mấy của dãy số (9)
5

u
=
1
,u

=
1
2

2
Bài 7: Cho dãy số (un), biết: 
với n ≥ 3
 u = 1 (3u − u )
 n 2 n−1 n−2
2n+1 − 3
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) CM bằng phương pháp quy nạp: un =
2n−1
Bài 8: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:
2− n
n2 − 1
a) un = 2n2 – 5 (tăng)
b) un =
(giảm)
c) un = 2
(tăng)
n+ 1
n +1
n2 + n + 1
2n + 1
u
=
d) un =
(giảm)
e)

(giảm)
n
n2 + 1
2n
d) un = 2n + (−1)n (không tăng, không giảm)
Bài 9: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:.
1
n− 1
2n + 1
a) un = − 2(giảm)
b) un =
(tăng)
c) un =
(giảm)
n
n+ 1
5n + 2
3n n
d) un = (−1)n (2n + 1) (không tăng, không giảm)
e) un = n (tăng)
2
Bài 10: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) sau:.
2n + 1
a) un = 101 – 2n (giảm)
b) un = 3n – 7 (tăng)
c) un =
(tăng)
n2
Bài 11: Xét tính bị chặn của dãy số (un) sau:
1

1
4n2 − 1
*
0
<
u
≤
u
=
a) un =
(
,
;
bị
chặn)
b)
( 0< un < 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn)
∀
n
∈
¥
n
n
3
(n + 2)2
9
n + 4n
2
n+ 2
n +1

3 2
c) un =
(un ≥ 2, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn dưới) f) un =
( 1< un ≤
, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn)
2
n
n +1
2
n
n 1
2n + (−1) 1
d) un =
( ≤ un ≤ 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn)
e) un =
( ≤ un ≤ 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn)
n+ 1 2
2n + 1 3
6


III. CẤP SỐ CỘNG
1. Nếu (un) là CSC (un) có công sai d thì un+1 = un + d với n∈ ¥ *
Đặc biệt: Khi d = 0 thì CSC là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)
2. Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2 trong đó u1 là số hạng đầu, d là công sai
u +u
3. Các số hạng của cấp số cộng: uk = k−1 k+1 với k ≥ 2
2
n
n

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: a) Sn = (u1 + un )
b) Sn = [2u1 + (n − 1)d]
2
2
Bài tập mẫu
Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?. Tìm số hạng đầu và công sai của
 u1 = 1
5− 3n
nó ? (nếu có) a) un = 9 − 5n
b) un =
c) un = 2n + 1
d) 
4
 un+1 = 1− un
Phương pháp: Xét hiệu H = un+1 − un ; a) Nếu H là hằng số thì dãy số là cấp số cộng
b) Nếu H = f(n) thì dãy số không phải là cấp số cộng
Giải: a) Xét hiệu: un + 1 – un = 9 – 5(n + 1) – (9 – 5n) = 9 – 5n – 5 – 9 + 5n = – 5
Vậy : Dãy số un = 9 – 5n là một cấp số cộng. Số hạng đầu là: u1 = 9 – 5 = 4 ; công sai là: d = – 5
5− 3(n + 1) 5− 3n 5− 3n − 3− 5+ 3n
3
−
=
=−
b) Xét hiệu: un + 1 – un =
4
4
4
4
5− 3n
1

3
Vậy: Dãy số un =
là một cấp số cộng. Số hạng đầu là: u1 = ; công sai là: d = −
4
2
4
n+1
n
n+1
n
c) Xét hiệu: un + 1 – un = 2 + 1− 2 − 1= 2 − 2
Vậy: Dãy số un = 2n + 1không phải là 1 cấp số cộng.
d) Ta có: u1 = 1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = 0, ...
 u1 = 1
Nhận thấy: u2 – u1 = –1 ≠ u3 – u2 = 1. Vậy: Dãy số 
không phải là 1 cấp số cộng
 un+1 = 1− un
Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un = 7n − 3
a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC
b) Tìm u2012
c) Tính tổng 100 số hạng đầu
d) Số 1208 là số hạng thứ mấy của CSC
Giải: a) Số hạng đầu: u1 = 4; công sai: d = 7
b) u2012 = 14081
n
100
[2.4 + (100 − 1).7] = 35050
c) S100 = [2u1 + (n − 1)d] =
2
2

d) Ta có: 7n – 3 = 1208 ⇔ n = 173. Vậy: Số 1208 là số hạng thứ 173 của CSC
Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 5 ; d = 3 và Sn = 34275
a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng.
b) Tìm u 99
c) Số 1502 là số hạng thứ bao nhiêu ?
d) Tìm n
Giải: a) un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).3 = 2 + 3n
b) * Cách 1: u99 = 5 + (99 – 1).3 = 299
* Cách 2: u99 = 2 + 3.99 = 299
c) * Cách 1: un = u1 + (n – 1)d ⇔ 1502 = 5 + (n – 1).3 ⇔ 3n = 1500 ⇔ n = 500
* Cách 2: un = 2 + 3n ⇔ 1502 = 2 + 3n ⇔ 3n = 1500 ⇔ n = 500
n
n
d) Ta có : Sn = [2u1 + (n − 1)d] ⇔ 34275 = [2.5+ (n − 1).3] ⇔ 68550 = 10n + 3n2 – 3n
2
2
 n = 150
⇔ 3n2 + 7n – 68550 = 0 ⇔ 
. Vậy: n = 150
 n = − 457(loaïi)
3

Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 và u51 = – 145. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Giải: Ta có: u20 = u1 + 19d; u51 = u1 + 50d

7


 u1 + 19d = −52
u = 5

⇔ 1
Khi đó, ta có hệ: 
d = −3
 u1 + 50d = −145
Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = 5 + (n – 1).( –3) = 8 – 3n
Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u18 – u3 = 75. Tìm công sai d
Giải: Áp dụng công thức: um = uk + (m – k)d
Khi đó : u18 = u3 + (18 – 3).d ⇔ u18 – u3 = 15d ⇔ 15d = 75 ⇔ d = 5
Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u4 + u12 = 90. Tìm S15
Giải: Ta có: u4 + u12 = u1 + 3d + u1 + 11d = 2u1 + 14d = 90
15
15
(2u1 + 14d) = .90 = 675
Suy ra : S15 =
2
2
Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:
 u6 = 8
 u1 + u6 = 18
 u9 − u4 = 15
a) 
b) 
c)  2
2
 u3 + u7 = 22
 u3.u8 = 184
 u2 + u4 = 16
17

u1 =


 u1 + u6 = 18
 u + u + 5d = 18
2u + 5d = 18

3
⇔ 1 1
⇔ 1
⇔
Giải: a) 
 u1 + 2d + u1 + 6d = 22
2u1 + 8d = 22
 u3 + u7 = 22
d = 4

3
 u9 − u4 = 15  u1 + 8d − u1 − 3d = 15
5d = 15
⇔
⇔
b) 
(u1 + 2d)(u1 + 7d) = 184
(u1 + 2d)(u1 + 7d) = 184
 u3.u8 = 184
d = 3
d = 3
d = 3
⇔
⇔  2
⇔

(u1 + 6)(u1 + 21) = 184
 u1 = 2; u1 = −29
 u1 + 27u1 − 58 = 0
 u6 = 8
 u1 + 5d = 8
 u1 = 8− 5d
⇔
⇔
c)  2


2
2
2
2
2
(8− 4d) + (8− 2d) = 16
(u1 + d) + (u1 + 3d) = 16
 u2 + u4 = 16
 u1 = −6
 u1 = 8− 5d
 u1 = −2

⇔
⇔
hoặc 
14
2
d = 2
20d − 96d + 112 = 0

d = 5
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?. Tìm số hạng đầu và công sai của
nó ? (nếu có)
n
7 − 3n
a) un = 5 – 2n (CSC)
b) un = − 1(CSC)
c) un = 3n (không là CSC) d) un =
(CSC)
2
2
Bài 2: Cho 1 cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un = 5− 4n
a) Tìm số hạng đầu và công sai của CSC (u1 = 1; d = – 4)
b) Tìm u2013 (–8047)
c) Tính tổng 200 số hạng đầu (–79400)
d) Số – 8019 là số hạng thứ mấy của CSC (2006)
Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = –7 ; d = 2 và Sn = 7040
a) Tìm công thức số hạng tổng của cấp số cộng (un = 2n – 9)
b) Tìm u1973 (3937)
c) Số 4013 là số hạng thứ bao nhiêu ? (2011)
d) Tìm n (88)
Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u30 = 83 và u80 = 233. Tìm số hạng tổng quát của CSC đó. (3n – 7)
Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u20 – u5 = – 15. Tìm công sai d (d = –1)
Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60. Tìm S23 (690)
Bài 7: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng (un), biết:
 u7 + u15 = 50
 u1 − u3 + u5 = 10
 u7 − u3 = 8
 u7 = 8

a) 
b) 
c)  2
d)

2
 u1 + u6 = 17
 u2.u7 = 75
 u13 = 23
 u4 + u12 = 1170
 u1 = 16
 u1 = 3  u1 = −17
 u1 = 21/ 5  u1 = 0
 u1 = −7
ĐS: a) 
b) 
;
c) 
;
d) 
d = −3
d = 2 d = 2
d = 3
d = 3
d = 5/ 2
8


IV. CẤP SỐ NHÂN
1. Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có: un + 1 = un.q với n∈ ¥ *

Đặc biệt: a) Khi q = 0: CSN có dạng: u1, 0, 0, ..., 0,...
b) Khi q = 1: CSN có dạng: u1, u1, u1,..., u1,...
c) Khi u1 = 0 thì ∀ công bội q: CSN có dạng: 0, 0, 0, ..., 0, ...
2. Số hạng tổng quát: un = u1.qn−1 với n ≥ 2, trong đó u1 là số hạng đầu và q là công bội
3. Các số hạng của cấp số nhân: u2k = uk−1.uk+1 với k ≥ 2 hay uk = uk−1.uk+1
4. Tổng n số hạng đầu của CSN: Sn =

u1(1− qn )
với q ≠ 1. Đặc biệt : Nếu q = 1 thì Sn = n.u1
1− q

Bài tập mẫu
1
Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = − . a) Tìm công thức của số hạng tổng quát
2
3
b) Tìm u12
c) Hỏi
là số hạng thứ mấy?
256
n−1
11
3
 1
 1
n–1
Giải: a) Ta có: un = u1.q = 3.  − ÷
b) u12 = 3.  − ÷ = −
2048
 2

 2
n−1

n−1

n−1

8

3
1
1
1
 1
 1
⇔  − ÷ =  − ÷ ⇔ n – 1 = 8 ⇔ n = 9
c) Ta có:
= 3.  − ÷ ⇔  − ÷ =
256
256
 2
 2
 2
 2
3
Vậy: Số
là số hạng thứ chín
256
Bài 2: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18.
a) Tìm công bội

b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên
2
2
Giải: a) Ta có: u3 = 18 ⇔ u1.q = 18 ⇔ 2.q = 18 ⇔ q2 = 9 ⇔ q = ±3
2[1− (−3)10 ]
2(1− 310 )
= −29524
= 59048 ; * Với q = –3: S10 =
b) * Với q = 3: S10 =
1− (−3)
1− 3
Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 22n + 1
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q
b) Tính S14
c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân
2(n+1)+1
u
2
22n+3
2n+ 3− 2n−1
= 22 = 4
Giải: a) Xét tỷ số: n+1 = 2n+1 = 2n+1 = 2
un
2
2
2n + 1
Vậy: Dãy số (un) với un = 2
là cấp số nhân. Số hạng đầu: u1 = 23 = 8 và công bội q = 4
8(1− 46 )
= 10920

b) Ta có: S6 =
1− 4
c) Ta có: un = 22n + 1 ⇔ 2048 = 22n + 1 ⇔ 211 = 22n + 1 ⇔ 2n + 1 = 11 ⇔ n = 5
Vậy: Số 2048 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân
 u1 + u5 = 51
Bài 4: Cho cấp số nhân (un) có 
. a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
 u2 + u6 = 102
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng 3069 ?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
4
4
 u + u q = 51
 u (1+ q ) = 51
(1)
 u1 + u5 = 51
⇔ 1 1 5
⇔ 1
Giải: a) 
4
 u1q + u1q = 102
 u1(1+ q )q = 102 (2)
 u2 + u6 = 102
Thay (1) va (2), ta được: 51.q = 102 ⇔ q = 2. Suy ra: u1.17 = 51 ⇔ u1 = 3
3.(1− 2n )
= 3069 ⇔ 1 – 2n = – 1023 ⇔ 2n = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10
b) Ta có: Sn =
1− 2
Vậy: Tổng của 10 số hạng đầu sẽ bằng 3069
c) Ta có: un = u1.qn – 1 ⇔ 12288 = 3.2n – 1 ⇔ 2n – 1 = 4096 ⇔ 2n – 1 = 212 ⇔ n – 1 = 12 ⇔ n = 13

Vậy: Số 12288 là số hạng thứ 13
9


Bài 5: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
32

 u5 = 9
 u4 − u2 = 72
 u4 + u2 = 270
a) 
b) 
c) 
 u5 − u3 = 144
 u3 + u5 = 810
 u = − 64
6

27
32

 4 32
u
=
(1)
5

 u1q = 9
32
64

2
9
⇔
⇔q= −
.q = −
Giải: a) 
Thay (1) vào (2), ta được:
9
27
3
 u = − 64
 u q4.q = − 64 (2)
6
1


27
27
4
 2  32 ⇔
Suy ra: u1.  − ÷ =
u1 = 18
9
 3
 u1.q3 − u1q = 72
 u1.q(q2 − 1)) = 72
(1)
 u4 − u2 = 72
⇔
⇔

b) 

4
2
2
 u1.q − u1q = 144
 u1.q.q(q − 1) = 144 (2)
 u5 − u3 = 144
Thay (1) vào (2), ta được: 72q = 144 ⇔ q = 2. Suy ra: u1.2.3 = 72 ⇔ u1 = 12
3
2
(1)
 u4 + u2 = 270
 u1q + u1q = 270
 u1q(q + 1) = 270
⇔ 2
⇔
c) 
4
2
 u1q + u1q = 810
 u1q.q(1+ q ) = 810 (2)
 u3 + u5 = 810
Thay (1) va (2), ta được: 270q = 810 ⇔ q = 3. Suy ra: u1.3.10 = 270 ⇔ 9
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ?. Tìm số hạng đầu và công bội của
nó ? (nếu có). a) un = (−5)2n+1 (CSN)
b) un = (−1)n.33n+1 (CSN)
1
Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = − ; q = 3.

3
1
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát ( un = (− ).3n – 1 )
b) Tìm u9 (–2187)
3
c) Hỏi –59049 là số hạng thứ mấy? (n = 12)
3
Bài 3: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = -3, u6 = −
32
1
3069
a) Tìm công bội ( )
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên ( −
)
2
512
2n−1
n  3
Bài 4: Cho dãy số (un) với un = (−2) . ÷
 2
9
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q (u1 = –3 ; q = − )
2
16113
2187
b) Tính S5 ( −
)
c) Hỏi số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân (n = 4)
16

8
 u2 + u5 = 156
Bài 5: Cho cấp số nhân (un) có 
.
 u3 + u6 = −468
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u1 = 2; q = –3)
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu sẽ bằng – 29524 ? (10) c) Số 1458 là số hạng thứ mấy ? (7)
Bài 6: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
 u5 = 96
 u7 − u4 = −702
 u4 + u6 = −540
 u4 − u2 = 25
a) 
b) 
c) 
d) 
 u2 + u4 = −60
 u3 − u1 = 50
 u7 = 384
 u6 − u3 = −234
ĐS: a) u1 = 6; q = ±2

b) u1 = -1; q = 3

c) u1 = ±2 ; q = ±3
10

d) u1 = −

200

1
;q=
3
2