Các bài toán hình dành cho HSG toán 9 phần 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.77 MB, 26 trang )
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu 21: THCS Tây Sơn Gò Vấp 2011
Cho đường tròn (O) và 1 dây AB không qua tâm .Vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc
cung nhỏ AB) .Trên cung nhỏ BC nhỏ lấy điểm N .Hai đường thẳng DN và KB cắt nhau tại F, CN và AB
kéo dài cắt nhau ở E
a) Chứng minh KFNC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh : AD2=DF.DN
c) Tiếp tuyến tại N của (O) cắt KE tại I.Chứng minh : IE= IF
d) Chứng minh :
Câu 22: Đề thi học kì 2 quận 3 năm 2015
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA>2R .Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC
của đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm ) .Vẽ dây BE của đường tròn (O) song song AC , AE cắt (O)
tại D khác E, BD cắt AC tại S .Gọi M là trung điểm DE
a) Chứng minh ; A,B,O,M,C cùng thuộc 1 đường tròn và SC2=SB.SD
b) Tia BM cắt (O) tại K khác B .Chứng minh CE=KD
c) Chứng minh tứ giác MKCD là hình bình hành
d) DE cắt BC tại V ,SV cắt BE tại H .Chứng minh 3 điểm H,O,C thẳng hàng
Câu 23: Thi Thử Lê Văn Tám quận Bình Thạnh 2017
Cho tam giác ABC nhọn (AB
lượt tại M,N,S
a) Chứng minh : A,E,F,H,K cùng thuộc 1 đường tròn.Xác định tâm I của đường tròn này
b) Chứng minh ; BCMN nội tiếp và SM.SN=SB.SC
c) AH cắt đường tròn (O) tại Q .Chứng minh : SQ2=SM.SN
d) Chứng minh : SI vuông góc OI
câu 24: Đề minh họa của Sở giáo dục đào tạo TPHCM
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh BCEF nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn qua 4 điểm này
b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M và cắt đường tròn (O) tại K và T ( K nằm giữa M và T )
.Chứng minh : MK.MT=ME.MF
c) Chứng minh IDKT là tứ giác nội tiếp
d) Đường thẳng vuông góc với IH tại I cắt AB,AC ,AD lần lượt ở N,S,Q .Chứng minh : Q là trung điểm
SN
câu 25: Kiểm tra chất lượng Trần Quốc Toản quận Bình Tân 2016
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB
a) Chứng minh ; BEFC là tứ giác nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn này
b)
EF cắt BC tại S . SA cắt đường tròn (O) tại K . Chứng minh AKFE là tứ giác nội tiếp
1
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1 trên
1 of 26
Sđt : 01655261612
1
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
c)
Gọi N là giao điểm AH và EF , M là giao điểm OA và BC . Chứng minh HI//MN
d) Gọi J là trung điểm AC , IJ cắt đường tròn (O) tại D . Chứng minh :
Câu 26: (Trung tâm Thăng Long )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB
D,E , BE cắt CD tại H , AH cắt BC tại F
a) Chứng minh : BDHF nt và DC là tia phân giác góc ̂
b) Chứng minh : tứ giác DEOF nội tiếp 1 đường tròn
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BE,CD chúng lần lượt cắt tia DC và tia BE tại M và N , MN
cắt AH và AO theo thứ tự ở I và K .Chứng minh MN vuông góc OA
d) Tia MN cắt tia DE ở Q .Chứng minh AQ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp (ADHE)
Câu 27: Trung tâm Thăng Long
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB ,AC và cát tuyến ADE ( D và E thuộc đường
tròn (O) , tia AE không đi qua O và AD
b) Gọi H là giao điểm OA và BC , M là giao điểm AE và BC .CM : tứ giác OHMK và DHOE là các tứ
giác nội tiếp
c) CM ; AM.AK = AD.AE
d) Tia OK cắt (O) tại T . Tia TM cắt (O) tại S , tia AS cắt (O) tại Q .Chứng minh ; QM vuông góc AT
Câu 28: Trung tâm Thăng Long
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R)(AB
a) CM: BCEF nội tiếp và ADGI nội tiếp
b) Tiếp tuyến tại B của (O,R) cắt EF tại T .vẽ OM vuông góc BC tại M .Chứng minh TM //CF và tứ
giác TBME nội tiếp
c) Tia MH cắt (O,R) tại N, AN cắt EF tại V.Chứng minh ; V,B,C thẳng hàng
d) Chứng minh : HI vuông góc AG
Câu 29: ( Tham Khảo trên internet)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) trong đó B,C là
hai tiếp điểm .Gọi H là giao điểm OA và BC
a) CM: ABOC là tứ giác nội tiếp và OA vuông góc BC
b) Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn (O) tại D .Chứng minh ABHD nội tiếp đường tròn (I)
.Xác định tâm I
c) Gọi T là trung điểm BD .Chứng minh T,O,I thẳng hàng và ID là tiếp tuyến của (O)
d) Gọi E là giao điểm cuả (I) với AC , S là giao điểm OA và BE .Chứng minh : TS // HD
Câu 30: Tham Khảo internet:
2
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2 trên
2 of 26
Sđt : 01655261612
2
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Cho tam giác ABC nhọn (AB,AC) nội tiếp đường tròn (O) , kẻ đường cao AD , qua A ta vẽ tiếp tuyến
xy với đường tròn (O) ( A là tiếp điểm),kẻ BM vuông góc xy ( M thuộc xy)
a) Chứng minh : ADBM nội tiếp và AC// MD
b) Vẽ CN vuông góc xy ( N thuộc xy) .Gọi I là giao điểm AB và MD, E là giao điểm AC và ND , P là
trung điểm AD.Chứng minh 3 điểm I,P,E thẳng hàng
c) Đường thẳng vuông góc với MD kẻ từ M cắt AD tại K.Chứng minh : DN vuông góc KN
d) Đường thẳng AD cắt (O) tại F( F khác A) .Chứng minh : AK=DF
Bài 31:Đề Tham Khảo 2017
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) với 2 điểm B và C cố định .Đường cao BE và CF cắt
nhau ở H
a) CM: Các tứ giác AEHF và BCEF nội tiếp 1 đường tròn .Xác định tâm I và tâm K của các đường
tròn này
b) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia OI tại M , AM cắt (O) tại D và cắt BC tại J .Kẻ OL vuông góc AD
tại L .Chứng minh JB.JC=JL.JM từ đó cm : AD2=4LJ.LM
c) Qua D kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC và AB lần lượt tại T và S . Chứng minh : T là
trung điểm DS
d) (O) và (K) cắt nhau tại N . Hai tia MB và MC cắt đường thẳng EF lần lượt tại P và Q .Chứng minh
B,P,N,E,I cùng thuộc 1 đường tròn
Bài 32: Đề Tham Khảo
Cho đường tròn (O’, R’) và đường tròn (O,R) (R’>R) cắt nhau tại A và B .Từ điểm C trên tia đối của tia
AB kẻ các tiếp tuyến CD,CE với đường tròn (O) và tiếp tuyến CF với đường tròn (O’)
a) Chứng minh : CE2=CA.CB
b) Chứng minh ; CD=CF
c) Các đường thẳng AD, AE cắt đường tròn (O’) lần lượt ở M và N , đường thẳng DE cắt MN tại I.
Chứng minh BEIN là tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh : I là trung điểm MN
Bài 33 Tham Khảo trên Internet
Cho tam giác ABC nhọn (AB
a) Chứng minh ; Tứ giác SAOI nội tiếp và AD là phân giác góc ̂
b) AD cắt BC tại E.Chứng minh : SE2=SB.SC
c) Vẽ đường kính DF của (O) , SF cắt (O) tại M( M khác F) .Chứng minh ; SE là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác MEF
d) Vẽ AH vuông góc SO( H thuộc SO) , AH cắt BC tại K.Chứng minh M,K,D thẳng hàng
Bài 34: Đề Tham Khảo thi lớp 10 quận 12
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB
3
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
3 trên
3 of 26
Sđt : 01655261612
3
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
a)
CM: AI là phân giác góc ̂ và AH=2OM
b)
CM: tứ giác FDME là tứ giác nội tiếp
c) Đường thẳng kẻ từ H vuông góc EF cắt OM tại K .Chứng minh M là trung điểm OK
d) Gọi Q là hình chiếu của I lên AC , N và P lần lượt là trung điểm MQ và AB .Chứng minh ; IN
vuông góc PN
Bài 35:Trung tâm Thăng Long
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) .Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H . Gọi I và K lần
lượt là trung điểm BC và AH
a)
CM: tứ giác BCEF, AEHF là các tứ giác nội tiếp
b)
AH cắt BC ở D .Chứng minh; Tam giác DEF nội tiếp đường tròn đường kính IK
c)
Qua B kẻ tiếp tuyến với (O) ( B là tiếp điểm )cắt OI tại Q .Cát tuyến QA cắt (O) tại M (M khác A) .
Gọi T là giao điểm của hai đường tròn (O) và (K) .Chứng minh : AB.CM= AC.BM và 3 điểm T,H,I thẳng
hàng
d)
Tia QC cắt EF tại S . Giả sử BC cố định , A di động trên cung lớn BC . Chứng minh; Tứ giác CFTS
nội tiếp , từ đó chứng minh tâm đường tròn tam giác CFS nằm trên 1 đường thẳng cố định
Câu 36: Trung tâm Thăng Long
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O)( A,B là hai tiếp
điểm ) Gọi I là giao điểm OM và cung nhỏ AB .Lấy C bất kỳ thuộc cung nhỏ IB .MC cắt (O,R) tại điểm
thứ hai là D .Gọi H là giao điểm OM và AB
a) Gọi K là trung điểm CD .Chứng minh 5 điểm O,A,M,B,K cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh ; OHCD là tứ giác nội tiếp và HB là tia phân giác góc ̂
c)
Gọi F là giao điểm của DH và (O) (F khác D) .Chứng minh 3 đường AF,BC,OM đồng quy tại 1 điểm
d) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt AB tại E .Gọi N là trung điểm MB .Chứng minh D,E,N
thẳng hàng
Câu 37: Thi thử BDVH Lý Tự Trọng
Cho đường tròn (O) cố định và điểm P cố định nằm ngoài đường tròn (O) .Từ P vẽ 2 tiếp tuyến PA và
PB đến đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm ), từ P vẽ cát tuyến PMN (M nằm giữa N và P và tia PM
nằm giữa 2 tia PA và PO ).Gọi H là trung điểm MN
a) Chứng minh : OP vuông góc AB tại 1 điểm ( gọi là điểm K) và 5 điểm P,O,A,B,H cùng thuộc 1
đường tròn
b) Chứng minh ; PK.PO=PB2=PM.PN
c)
Chứng minh ; OKMN là tứ giác nội tiếp và
d) Vẽ tia MT//PB( với T thuộc AB) . Tia NT cắt BP tại Q .Chứng minh : QK vuông góc OA
Câu 38: Thi thử THCS Colette quận 3
Cho tam giác ABC nhọn có AB
a) Chứng minh ; AEDC là tứ giác nội tiếp
4
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
4 trên
4 of 26
Sđt : 01655261612
4
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
b) Vẽ đường kính AK của (O) .Chứng minh; AB.AC= AD.AK
c) Gọi N là giao điểm 2 tia AD và CK .Qua N vẽ đường thẳng vuông góc AB , đường thẳng này cắt
AB và ED lần lượt ở S và L.Chứng minh: ELSC là hình chữ nhật
d) Gọi M là giao điểm AK và CE.Chứng minh MN,EL và SC đồng quy
Câu 39: Trung tâm Thăng Long
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , M di động trên đường tròn sao cho MA
trung điểm MB
a) Chứng minh : tứ giác ADIO nội tiếp
b) Chứng minh : 5 điểm A,D,I,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
c) Vẽ dây cung AK của (O) song song MB .Chứng minh 3 điểm C,I,K thẳng hàng
d) Gọi T là giao điểm AC và OI .Chứng minh : MC đi qua trung điểm của IT
Câu 40: Lê Anh Xuân Tân Phú 2016
Cho tam giác ABC nhọn ( có AB
b) Chứng minh : AH vuông góc BC tại D và AE.CE=BE.HE
c) Gọi K là giao điểm AD với đường tròn (O) .Chứng minh : ̂
̂
d) Gọi M là giao điểm IF và AC , N là giao điểm DE và CF .Chứng minh : MN vuông góc BC
Bài Giải:
Câu 21: Tây Sơn quận Gò vấp 2011
5
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
5 trên
5 of 26
Sđt : 01655261612
5
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu b và c
b) D là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên
nên ̂= ̂ ( 2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau ) từ đó
c) có ̂
và ̂
̂(
(
̂ =̂
)
̂ (
)
)
̂
(
(
̂
)
̂
)
câu d
+ta nhận thấy các tứ giác sau nội tiếp
CNBA nt
KCNF nt
EB.EA= EF.EK hay EB(KA+KE)=KE( BF+BE) nên EB.KA= KE.BF ( đpcm)
( phương tích)
EN.EC=EF.EK( phương tích )
Câu 22: Quận 3 học kì 2 năm 2015
Câu b và c:
+)Vì tứ giác BMOA nt nên ̂
̂
̂
̂
Vậy EC=KD
+)Mà BE //AC nên BE vuông góc OC nên OC là đường trung trực của BE( để ý là OE=OB) nên CE=CB vậy
CB=KD nên
suy ra CD//BK ( 2 cung bằng nhau chắn 2 dây song song ) , vậy MDKC
là hình bình hành ( đpcm)
Câu d: ta có tính chất sau : SC2=SB.SD ( tính chất bình phương độ dài tiếp tuyến)
Mặt khác ta lại có ̂
BD) nên ̂ = ̂
6
̂(
)
(
)
̂
̂ ( cùng chắn cung
từ đó SA=SC
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
6 trên
6 of 26
Sđt : 01655261612
6
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Mặt khác theo Talet BE//AC suy ra EH/SA= BH/SC= HV/VS kết hợp với SA=SC nên HB=HE, mà OC
đường trung trực của BE nên H,O,C thẳng hàng ( đpcm)
Câu 23: Thi Thử Lê Văn Tám quận Bình Thạnh
Câu b và c
+)Do kết quả câu b có SM.SN=SB.SC nên ta sẽ cm SB.SC =SQ2
+)Ta xét cặp tam giác SQB và SCQ có góc ̂
, ta cm rằng ̂
Do ABQC nội tiếp nên ̂
̂
̂ , mặt khác ta lại có tính chất quen thuộc sau trong đường tròn (O)( tự
(
cm lại xem như 1 bổ đề ): trực tâm H và Q đối xứng nhau qua trục BC nên từ đó
̂ ̂
nên ̂ ̂
+)Thật vậy vì MNCB là tgnt nên ̂ =180- ̂
̂
( góc B chung, ̂
+)Cuối cùng từ các kết quả trên ̂
̂(̂
̂
)
)
)
̂ SQB đồng dạng SCQ( g.g) nên SQ2=SB.SC=SM.SN ( đpcm)
Câu d
Do OI là đường trung bình tam giác AHD nên IO //HD và IO= HD nên ta cần cm : HD vuông SI
Ta gọi K là trung diểm HD thì IK là đường trung bình nên IK//AD( để ý AD vuông SH) nên SH vuông
IK suy ra H là trực tâm tam giác SIK nên HK vuông góc SI từ đó SI vuông góc IO ( đpcm)
Câu 24 : Đề minh họa TPHCM
7
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
7 trên
7 of 26
Sđt : 01655261612
7
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu b và c)
Ta có MK.MT=MB.MC( tính chất phương tích ) và MB.MC=ME.MF( EFBC là tgnt)
Từ đó MK.MT=ME.MF (1)
Ta sẽ chứng minh ; ME.MF=MI.MD hay là chứng minh ; EFDI là tứ giác nội tiếp
̂(
Thật vậy dễ có EFBC nội tiếp đường tròn tâm I nên ̂
cung ) mà ̂
̂
̂ ( do BFHD nt) từ đó ̂
̂
=MD.MI
từ đó có MK.MT=MI.MD nên có KTID là tứ giác nội tiếp ( phương tích đảo )
câu d:
+) Kẻ đường thẳng qua H vuông góc IH , đường thẳng này cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở G và V
như hình vẽ
+)Ta nhận thấy HG=HV.Ta sẽ chứng minh điều nàyhay là cm tam giác GVL cân tại L( AL là đường
kính của (O))
+) Thật vậy các tứ giác LHBG và LHVC là các tứ giác nội tiếp ( dễ dàng cm) nên từ đó ta có ̂ = ̂
và ̂ ̂ , mặt khác ta lại có kết quả quen thuộc sau : BHLC là hình bình hành (BH//CL và
CH//BL) nên dẫn đến ̂
̂
̂
+) Do GV //NS ( cùng vuông IH) nên theo talet thì
=
̂
(
)
(
)
Từ đó Q là trung điểm NS, như vậy ta có đpcm
8
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
8 trên
8 of 26
Sđt : 01655261612
8
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu 25: Trần Quốc Toản Bình Tân lần 6:
Câu c: Ta có tam giác AFN đồng dạng tam giác ACM (g.g) nên
Tương tự AFH đồng dạng ACK ( g,g) nên
=
=
suy ra MN//HK (đpcm)
Câu d) gọi Q là giao điểm còn lại của IJ với đường tròn .Khi đó nhận thấy IJ//AB nên BADQ là hình
thang cân nên BD=AQ, AD=BQ.Đểý rằng BIQ đồng dạng DIC nên BI/BQ= DI/DC
+)BC=2BI và AD=BQ nên vế trái =BC/AD=
=2 DJ/DC+ 2IJ/DC=2 DJ/DC+ AB/DC (1)
+CA=2AJ và BD=AQ nên CA/BD= 2 AJ/ QA ( để ý rằng AJ/QA=DJ/DC ( tam giác AJQ đông dạng DJC)
vậy CA/BD= 2DJ/DC (2)
(1) và (2) sẽ có BC/AD= CA/BD+ AB/CD
Vậy cuối cùng ta có dpcm
Câu 26: Trung tâm Thăng Long
9
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
9 trên
9 of 26
Sđt : 01655261612
9
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c)
+)Ta nhận thấy tam giác AMC vuông tại A , ANB vuông tại A và ̂
̂ ( EDBC nt )
Vậy tam giác MAC đồng dạng NAB ( g.g) do đó AM/AC = AN/AB (1)
̂
+) Mặt khác MANH là hình bình hành nên ̂
̂
̂ (2)
xứng của M qua A thì ta có ̂
̂ do vậy nếu gọi P là điểm đối
(
+) Do AM=AP nên từ (1) ta có AP/AC =AN/AB kết hợp thêm với (2) từ đó ta có
Do đó ̂
̂
(
Từ đó
Vậy ̂
10
=
̂
ta gọi thêm L là trung điểm NP thì
)
̂
nên
̂ kết hợp thêm ALIN là hình bình hành
̂ =
)
(
̂
̂
)
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1010
trên
of 26
Sđt : 01655261612
10
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu d: ta đi chứng minh rằng IK.IQ=IA2( để suy ra ̂
Thật vậy nối IE và ID thì theo tính chất đường tròn Ơ le ( xem lại lý thuyết) ta dễ có 5 điểm I,D,F,O,E
cùng thuộc đường tròn đường kính IO và IO vuông góc DE tại T( T là trung điểm DE) từ đó ta có
(
IE2=IT.IO và để ý rằng
Từ đó
(
)
̂
)
=
( do IE=IA)
̂ =90 độ nên ta có đpcm
Câu 27: Trung Tâm Thăng Long
11
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1111
trên
of 26
Sđt : 01655261612
11
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c:
+)AM.AK =AH.AO( AMH đồng dạng AOK) và AH.AO=AB2( hệ thức lượng ) và AB2=AD.AE ( tính chất
bình phương tiếp tuyến) vậy nên AM.AK=AD.AE
Câu d: + )ta có MB.MC=MS.MT ( tính chất phương tích )
+)MA.MK=MB.MC(BACT nội tiếp)
Vậy nên MA.MK=MS.MT từ đó SMA đồng dạng KMT( c.g.c) nên ̂
+) ̂
( )
(TM vuông góc AQ)
và AM vuông góc TQ
Vậy ta có M là trực tâm tam giác AQT nên QM vuông góc AT( đpcm)
Câu 28: Trung tâm Thăng Long
b) +) Ta có ̂
̂(
), để ý thêm EFBC là tứ giác nội tiếp nên ̂
tính chất tứ giác nội tiếp) vây nên ̂
̂
+) Do M là trung điểm BC vậy nên FM=MB=
̂(
(1)
(2) ,
Từ (1) và (2) ta có TM là đường trung trực của BF nên TM vuông BF ( để ý BF vuông góc CF) nên TM//
CF( đpcm)
Cm: TBME nt
Do TM//CF nên ̂
̂
̂
12
̂(
)mà EFBC nt nên ̂
(
̂(
) vậy nên
)
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1212
trên
of 26
Sđt : 01655261612
12
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
c) Ta sẽ cminh DV vuông góc DA( để ý DA vuông BC từ đó V,B,C sẽ thẳng hàng ) tức là cm NHDV nt
Ta sẽ chứng minh NFBV là tứ giác nội tiếp
Thật vậy vì ANBC nội tiếp nên ̂ ̂ (
tgnt) do đó ̂ ̂ từ đó ta có NFBV nội tiếp
) và EFBC nt nên ̂
̂ ( tính chất
NFBV nội tiếp nên AN.AV=AF.AB (ANF đồng dạng ABV) (3)
Để ý thêm rằng AF.AB=AH.AD( tam giác AFH đồng dạng ADB)(4)
Từ (3) và (4) suy ra AN.AV=AH.AD nên NHDV nội tiếp ( theo tính chất phương tích ngoài dạng đảo)
DO BHCK là hình bình hành ( kết quả quen thuộc ) và H,M,K thẳng hàng vậy nên HN vuông góc VN
̂
̂
.Từ đó V,B,C thẳng hàng
Câu d: ta cminh vuông góc bằng phương pháp cộng góc như sau
Vì EFBC nội tiếp nên ̂
̂ , đế ý là ̂
Vậy nên tam giác AEI
Từ đó
̂
̂ (
(
)
̂
)
̂ và ̂
̂ nên ̂
̂
( g.g) nên AI2=AE.AC ( đế ý AE.AC= AH.AD) nên AI2=AH.AD
̂ ,mặt khác AIGD là tứ giác nội tiếp ( chú ý ̂
) nên
̂
̂
̂
̂ = ̂ =90 độ .Vậy HI vuông góc AG (
đpcm)
Bài 29:Tham Khảo trên Internet
13
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1313
trên
of 26
Sđt : 01655261612
13
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu b và c
Câu b) ̂
̂)
nên ABHD nội tiếp .mặt khác để ý ̂
̂(
̂
̂ ( cùng chắn cung BD) nên ̂
Câu c) tam giác IBO =tam giác IDO( c.c.c) nên O,T,I thẳng hàng và ̂
̂
̂ vậy
nên ID là tiếp tuyến
Câu d
Nhận thấy BE vuông góc AC nên BE// OC nên BS//OC vậy theo Talet
=
Mặt khác ta lại có OT.OI=OB2( hệ thức lượng ) và OB2=OH.OA nên OT.OI=OH.OA (1)
Từ (1) suy ra
(
)
(
Nếu ta gọi K đối xứng với O qua I khi đó 2OI=OK nên có
̂ , để ý thêm rằng BAOK là hình bình hành nên ̂ = ̂
̂
̂
̂
)
̂
̂
song
song HD( đpcm)
Câu 30: Tham khảo trên Internet
14
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1414
trên
of 26
Sđt : 01655261612
14
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c) Ta có ̂
̂(
Mà ̂
Vậy ̂
̂
̂
̂(
̂
)
)
̂
̂
̂
̂
̂
nên KN vuông góc ND ta có đpcm
Câu d) Ta áp dụng tính chất phương tích như sau
+)AK.AD=AN.AM ( do KNDM là tgnt) và DF.AD=BD.DC( ABFC là tgnt)
Ta đi cm AN.AM= BD.DC hay là
Nhận thấy
(
)
(
)
=
=
suy ra
AM.AN=BD.CD vậy thì AK.AD=DF.AD suy ra AK=DF( đpcm)
Câu 31:
15
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1515
trên
of 26
Sđt : 01655261612
15
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu b)
+)Ta có 3 đỉnh B,L,C cùng nhìn cạnh OM dưới góc 90 độ thế nên 5 điểm B,L,O,M,C cùng thuộc đường
tròn đường kính OM nên tứ giác L,M,B,C nội tiếp nên LJ.JM=JB.JC( tính chất phương tích trong)
+) Vì JB.JC=JA.JD ( tính chất phương tích trong vì tứ giác ABDC nội tiếp ) từ đó LJ.JM=JA.JD
Mặt khác JA.JD=(AL+LJ)(DL-LJ)= (AD/2 – LJ)(AD/2+LJ) =
-LJ2 vậy nên LJ2+LJ.JM=AD2/4( hay
LJ.LM=AD2/ 4) từ đó có đpcm
Câu c)
+)Ta nhận thấy L là trung điểm AD nên ta sẽ đi cm LT//SD( để áp dụng tính chất đường trung bình suy
ra T là trung điểm SD) hay cminh ̂ ̂ ( để ý ̂ ̂ )
+) Vì TD //BM nên ̂
Vậy nên ̂ ̂
̂(
̂
̂ )
(
̂
̂
)
Câu d
+)ta chứng minh 2 tứ giác PBIE nội tiếp và PBEN nội tiếp để suy ra 5 điểm P,B,I,E,N cùng thuộc 1 đ tròn
̂ và ̂
+)Dễ thấy tam giác EIC cân ở I nên ̂
Lại có ̂
̂(
) và ̂
̂
̂ ( EFBC là tgnt)
̂(
̂
)
̂
vậy nên
PBIE là tgnt (1)
+)Có ̂
̂(
)
̂
̂(
)
̂ .Vậy PBEN nội tiếp
(2)
+) Từ (1) và (2) ta có đpcm
Câu 32:Tham Khảo 2017
16
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1616
trên
of 26
Sđt : 01655261612
16
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Lưu ý: 3 điểm M,B,E không thẳng hàng
̂(
̂
Câu c) BEIN nội tiếp vì ̂
( ))
̂(
của (O)) nên ̂ = ̂ .Vậy BINE là tứ giác nội tiếp ( đpcm)
Câu d) Ta dễ dàng tương tự cũng có BDIM nội tiếp
Từ đó tam giác BIM đồng dạng BEA ( g.g) và BIN đồng dạng BDA (g.g)
Do đó
=
Do đó
, mặt khác CDA đồng dạng CBD ( g.g) và CEA đồng dạng CBE(g.g)
và để ý CE=CD( t chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) vậy ta có đpcm
Câu 33:
17
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1717
trên
of 26
Sđt : 01655261612
17
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
b) +) Vì SA2=SB.SC nên ta đi cm SA=SE
+) Vì ̂
̂
Mà ̂
̂(
̂( tính chất góc ngoài ) và ̂
)
̂
̂(
̂
̂
) vậy nên ̂
̂ .Do vậy tam
giác SAE cân ở S nên SA=SE có đpcm
c) Vì SM.SF= SB.SC( tính chất phương tích ngoài ) nên SM.SF= SE2 từ đó có
̂
nên ̂
(
(
)
)
d) Vì DF là đường kính nên FM vuông góc DM
Ta sẽ cm FM vuông góc MK ( hay là ̂
Nhận xét rằng tam giác
̂
mà ̂
(
)
)
do vậy MFKI là tgnt
Câu 34: Đề thi thử quận 12
18
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1818
trên
of 26
Sđt : 01655261612
18
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c) Kẻ tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) .ta dễ dàng chứng minh được Ax// EF ( ̂
̂ từ đó EF vuông góc OA .Mà HK vuông góc EF nên HK//OA
̂
Từ đó AHOK là hình bình hành nên AH=OK.Mặt khác theo câu a ta có AH=2OM nên OK=2OM vậy M
là trung điểm OK điều phải chứng minh
Câu d) Ta sẽ xây dựng 1 tam giác vuông có cạnh huyền là PI rồi chứng minh IN vuông góc PN thông
qua chứng minh tứ giác nội tiếp
Kéo dài QM cắt AB tại L thì nhận thấy rằng IL vuông góc AB, ta đi chứng minh nhận xét này
̂
̂
̂
Vậy IL vuông góc AB từ đó ta chỉ cần đi chứng minh ILPN là tgnt
̂
̂
Vì tứ giác MICQ nội tiếp nên ̂
Mặt khác ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ vậy tam giác IBA đồng dạng IMQ( g.g) nên có
(
)
̂
̂ nên ILPN nội tiếp nên ̂
Câu 35: Trung tâm Thăng Long
19
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
1919
trên
of 26
Sđt : 01655261612
19
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c:
+)Vì OQ là đường trung trực của BC nên tam giác OBQ =tam giác OCQ( c.c.c) từ đó ̂
̂
Vậy QC cũng là tiếp tuyến của (O)
(
Khi đó
)
(
)
(
)
Vậy BM.AC=CM.AB( đpcm)
+) Vẽ đường kính AR của đường tròn (O) khi đó H,I,R thẳng hàng (Vì BHCR là hinh bình hành kết quả
quen thuộc)
Do AH là đường kính đường tròn (K) nên ̂
và ̂
nên T,H,R thẳng hàng Vậy 4 điểm
T,H,I,R thẳng hàng (đpcm)
Câu d
Ta có ̂
̂(
)
̂
̂ ( vì ATFE nội tiếp) và ̂
̂
từ đó ̂ = ̂
Câu 36: Trung Tâm Thăng Long
20
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2020
trên
of 26
Sđt : 01655261612
20
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu a,b: tự cm ( quen thuộc )
Câu c: Ta gọi P là giao điểm AF và BC .Ta sẽ chứng minh O,P,M thẳng hàng ( để ý OM là đường trung
trực của AB nên ta chỉ cần cm PA=PB)
̂)
Thật vậy nhận thấy CF//AB.Ta đi chứng minh nhận định này (cm ̂
̂
̂ = ̂ .do OHCD là tgnt nên ̂
Vì HB là tia phân giac góc ̂
Mặt khác ̂
̂(
)
̂
̂
̂ =̂
Từ đó AFCB là hình thang cân ( vì do hình thang lại nội tiếp đường tròn) nên PA=PB
Vậy O,M,P thẳng hàng ( cùng nằm trên đường trung trực của AB) ta có đpcm
Câu d: Kéo dài CE cắt DB tại Q.Nhận định rằng E là trung điểm CQ.Ta đi cm điều này
̂ ̂
̂ ̂
Nhận thấy K là trung điểm DC nên ta chỉ cần cm KE//DB
Do EC vuông OB nên EC//BM nên ̂
̂(
)
̂(
)
̂
̂
Vậy EK//DQ nên E là trung điểm QC . Ta kéo dài DE cắt MB tại N’ ( ta cm N’ trùng N)
Thật vậy theo talet có
21
=
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2121
trên
of 26
Sđt : 01655261612
21
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu 37: Thi thử Lý Tự Trọng
Câu c)
+)Vì PK.PO=PB2=PM.PN suy ra PK.PO=PM.PN nên OKMN nội tiếp ( tính chất phương tích ngoài dạng
đảo )
+) DO OKMN nội tiếp nên ̂ = ̂
̂
̂
Vậy nên ̂
̂
Mặt khác ̂
Để chứng minh :
̂
̂
̂
̂
̂
̂= ̂
ta định hướng cminh
̂ ( cm ở trên) và ̂
= ̂
̂
Thế nên
̂
̂=̂
Thật vậy có ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
(
)
(
)
Câu d)
+)ta định hướng cm Q là trung điểm BP( để KQ là đường trung bình t giác BPA nên KQ//PA mà PA
vuông góc OA nên KQ vuông OA)
+) Do MT //BP nên ta sẽ cm T là trung điểm ML với L là giao điểm MT và BN( hay là cm HT //BN do H
đã là trung điểm MN)
+) có MT//BP nên ̂
Vậy HTMA là tgnt
22
̂(
̂
̂
)
̂
̂
̂
̂(
)
̂
̂
̂ nên HT//BL suy ra T là trung điểm ML
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2222
trên
of 26
Sđt : 01655261612
22
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Theo talet dễ dàng có
nên BQ=PQ từ đó suy ra đpcm
Câu 38: Thi thử Colette quận 3
Câu c
Ta nhận thấy ̂ =90 và ̂
nên để chứng minh CESL là hình chữ nhật ta cm tứ giác CESL nt
̂ ̂ ̂
̂
Thật vậy nhận thấy tứ giác NCAS nội tiếp nên ̂ ̂
Vậy LSEC là tứ giác nội tiếp suy ra ̂
cho nên tứ giác LCES là hình chữ nhật ( đpcm)
Câu d ( lưu ý M,S,D không thẳng hàng )
Do ECLS là hình chữ nhật nên EL và SC cắt nhau tại trung điểm của chúng . Ta sẽ chứng minh MCNS
là hình bình hành ( nên MN đi qua trung điểm của SC) hay là cminh SM//NC
Hay là M là trực tâm tam giác ASC ( vì nhận thấy CE vuông AS )
̂
̂ = ̂(
̂) ̂ ̂(
Vì ACNS là tgnt
Từ đó ̂
̂
̂
̂
)
̂
̂
nên AM vuông góc SC
Vậy ta có MN,SC,EL đồng quy ( đpcm)
Bài 39: Trung tâm Thăng Long
23
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2323
trên
of 26
Sđt : 01655261612
23
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
Câu c gọi K’ là giao điểm CI với (O) .Ta chứng minh K’ trùng K ( hay là cm AK’// BC hay cm cung nhỏ
AM=cung nhỏ KB’)
Vì tứ giác DCIA nội tiếp ( đường tròn đường kính OD) nên ̂ ̂
̂
(
)
Mặt khác ̂
sđ cung AC từ đó vì ̂
̂ nên cung
AM=cung KB’ thế nên AK’// BC ( 2 cung bằng nhau chắn 2 dây song song ) nên K’ trùng K ( đpcm)
Câu d) Gọi P là giao điểm OD và AC thì OP.OD=OA2 =OM2 và tam giác OID đồng dạng OPT( g..g) nên
OP.OD=OI.OT=OM2 từ đó tam giác OIM đồng dạng OMT(c.g.c) nên ̂
( TM là tiếp tuyến của
(O))) và tam giác TMO vuông ở M và cũng dễ dàng cm TB là tiếp tuyến của (O)
(
Dễ có
) và
(
)
nên TI=2IL suy ra L là trung
điểm TI( đpcm)
Câu 40: Lê Anh Xuân Tân Phú 2016
24
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2424
trên
of 26
Sđt : 01655261612
24
Các bài hình ôn thi tuyển sinh 10 năm học 2017phần 2
câu c
Ta có ̂
̂ ( vì tam giác FIA cân ở I) , mặt khác dễ có ̂
Vậy nên FICK nội tiếp nên có ̂
̂
̂
̂
̂
̂ (đpcm)
Câu d
+)Ta đi chứng minh AM/MC = HN/CN( để dùng Talet đảo suy ra MN //AD nên MN vuông góc BC)
+)Theo tính chất quen thuộc EH là phân giác trong tam giác FEN và tương ứng EC là phân giác ngoài
tam giác FEN từ đó CN/CF = HN/HF nên HN/CN = HF/CF
+)Qua H kẻ HT //AC( T thuộc MF) thì AM=HT ( do AM/HT=AI/IH)
+)AM/MC= HT/MC=HF/CF ( talet) vậy nên AM/MC= HN/CN nên MN//AD vậy MN vuông BC( đpcm )
25
Thầy Trường ( gv chuyên luyện toán nâng cao THCS tại TPHCM )
Trang
Page
2525
trên
of 26
Sđt : 01655261612
25
