HUONG DAN ON TAP CHUONG III HH ELIP

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III – HÌNH 10 (CHUẨN)
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP: Kí hiệu: (E)
A. Kiến thức cần nhớ:
1. Nếu M �(E) thì F1M + F2M = 2a
x2 y2
2. Phương trình chính tắc (PTCT) của (E): 2  2  1 (a > b)
a b
2
2
2
a) a = b + c
b) Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)
c) * Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0), A2(a; 0)
* Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b), B2(0; b)
d) * Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
* Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b
e) Tiêu cự: F1F2 = 2c
g) PT cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = �a, y = �b
B. Phương pháp và bài tập mẫu:
x2 y2
1. Xác định các thành phần của elip khi biết PTCT của (E): 2  2  1
a b
2
2
B1: Tìm a, b và c = a  b
B2: Liệt kê các thành phần của elip
x2 y2
  1. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ
Bài 1: Cho PTCT của (E):
25 16
các đỉnh và tiêu điểm của (E)

a2  25 �
a 5
�
��
Giải: Ta có: � 2
suy ra: c = a2  b2  25 16  9  3
�b  16 �b  4
a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.5 = 10, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.4 = 8
b) Tiêu điểm: F1(-3; 0), F2(3; 0)
c) Đỉnh trục lớn: A1(-5; 0), A2(5; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -4), B2(0; 4)
d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2.3 = 6
Bài 2: Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các
đỉnh và tiêu điểm của (E)
x2 y2
2
2
�
  1 (chia 2 vế cho 36)
Giải: Từ (E): 4x + 9y = 36
9 4
a2  9 �
a 3
�
��
Ta có: � 2
suy ra: c = a2  b2  9  4  5
b

2
b


4
�
�
a) Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a = 2.3 = 6, Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b = 2.2 = 4
b) Tiêu điểm: F1(- 5 ; 0), F2( 5 ; 0)
c) Đỉnh trục lớn: A1(-3; 0), A2(3; 0), Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -2), B2(0; 2)
d) Tiêu cự: F1F2 = 2c = 2 5
2. Lập PTCT của elip
B1: Tìm a và b (hoặc a2 và b2)
a2  c2  b2
�
2
2
2 �
Vdct liên quan: c = a – b
Chú ý: a > b > 0
�2
2
2
�b  a  c
x2 y2
2
2
B2: Thay a, b (hoặc a và b ) vào PTCT của (E): 2  2  1
a b
Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:
a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 10 và 8
b) Độ dài trục lớn bằng 12 và tiêu cự bằng 6
1

c) Có 1 tiêu điểm F1(- 2 ; 0) và đi qua điểm M( 2 ; 1)
5
c
2
d) Đi qua điểm A (2; ) và tỉ số bằng
3
a
3
c
5
e) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số bằng
a
13
f) Độ dài trục lớn bằng 12 và đi qua M( 2 5;2)
Giải: a) Ta có: 2a = 10 � a = 5 và 2b = 8 � b = 4
x2 y2
 1
Vậy: PTCT của (E) là:
25 16
b) Ta có: 2a = 12 � a = 6 và 2c = 6 � c = 3 Suy ra: b2 = a2 – c2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27
x2 y2

1
Vậy: PTCT của (E) là:
36 27
x2 y2
c) Từ tiêu điểm F1(- 2 ; 0) � c = 2 . Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1
a b

2 1
Ta có: M( 2 ; 1)�(E), nên: 2  2  1 mà a2 = b2 + c2 = b2 + 2
a b
b2  1(loa�
i)
�
2
1
2
2
2
2
4
2
 2  1 � 2b + b + 2 = b (b + 2) � b – b – 2 = 0 � �2
Suy ra: 2
b 2 b
b 2
�
2
2
x y
� a2 = 2 + 2 = 4. Vậy: PTCT của (E) là:
 1
4 2
25
5
x2 y2
d) Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1 Ta có: A (2; ) �(E), nên: 4  9  1
3

a b
a2 b2
c 2
2
4 2 5 2
Từ tỉ số  � c = a mà b2 = a2 – c2 = a2 – a = a
a 3
3
9
9
25
a2  9
�
4
5 2 25 2
5 2
5 4
9
2
2
 1 � 4. a +
Suy ra: 2 
a = a . a � a – 5a = 0 � �2
a 5a2
9
9
9
9
a  0(loa�
i)

�
9
5
5
x2 y2
� b2 = a2 = .9  5. Vậy: PTCT của (E) là:
 1
9
9
9 5
5
5
c 5
a  .13  5
e) Ta có: 2a = 26 � a = 13 và tỉ số  � c =
a 13
13 13
x2
y2
2
2
2
2
2

1
Suy ra: b = a – c = 13 – 5 = 169 – 25 = 144. Vậy: PTCT của (E) là:
169 144
f) Ta có: 2a = 12 � a = 6
20 4

x2 y2
Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1 Ta có: M( 2 5;2)�(E), nên: 2  2  1
a b
a b
2
2
2
2
20 4
�
 2  1 � 20b + 144 = 36b � 16b = 144 � b = 9
36 b
x2 y2
 1
Vậy: PTCT của (E) là:
36 9
Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:
2


� 3�
a) Đi qua 2 điểm E(0; 1) và F �
1; �
� 2�
� 9�
� 12 �
4; �và N �
3; �
b) Đi qua 2 điểm M �
� 5�

� 5�
x2 y2
Giải: a) Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1
a b
�0 1
�a2  b2  1 �12  1
�
a2  4
�
� 3�
�
�a 4
�(E), ta có hệ: �
��
� �2
Ta có: E(0; 1) và F �
1; �
3
1
� 2�
�b  1
�1 4
� 1
2
� 2  2  1 �b
�a b
2
2
x y
 1

Vậy: PTCT của (E) là:
4 1
x2 y2
b) Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1
a b
81
�
�
16 25
�1 1


1

�
�
a2  25
�
�a2 b2
�a2 25
� 9�
� 12 �
��
� �2
4; �và N �
3; ��(E), ta có hệ: �
Ta có: M �
144
1
1

� 5�
� 5�
�b  9
�
� 
2
�b 9
�9  25  1
2
2
�
b
�a
2
2
x y
 1
Vậy: PTCT của (E) là:
25 9
Bài 4: Cho (E): 9x2 + 25y2 = 225. Tìm điểm M�(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông
x2 y2
2
2
�
 1
Giải: Ta có: 9x + 25y = 225
25 9
a2  25 �
a 5
�

��
� c = a2  b2  25 9  16  4
Suy ra: � 2
b

3
b

9
�
�
M nhìn F1F2 dưới một góc vuông � M�đường tròn (C) tâm O và bán kính bằng c = 4
� PT đường (C) là: x2 + y2 = 16
�
� 2 175
5 7
x 
2
2
x

�
�
�
9x  25y  225 �
�
�
16
4
�

�
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: � 2
�
�
2
81
x  y  16
9
�
�
�
y2 
y �
� 16
�
4
� 5 7 9�
�5 7 9 �
Vậy: M 1,2 �
�
; �và M 3,4 � ;� �
� 4 4�
�4
4�
�3 4 �
Bài 5: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M � ; �và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc
� 5 5�
vuông.
Giải: Điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông � c = OM � c2 = OM2
2

2
3
4
x2 y2
�
�
�
�
2
� c = �  0� �  0� 5
Gọi PTCT của (E) có dạng: 2  2  1
a b
�5
� �5
�
3


9 16
�3 4 �
Ta có: M � ; ��(E), nên: 5  5  1 mà a2 = b2 + c2 = b2 + 5
� 5 5�
a2 b2
9
16
9 2 16 2
9 2 16 2
2
2
4

2
Suy ra: 5  5  1 � b  (b  5)  b (b  5) � b  b  16  b  5b
5
5
5
5
b2  5 b2
b2  4
�
4
� b – 16 = 0 � �2
suy ra: a2 = b2 + 5 = 4 + 5 = 9
b  4(loa�
i)
�
x2 y2
 1
Vậy: PTCT của (E) là:
9 4
C. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của (E),
biết:
x2 y2
x2 y2

1
a) (E):
 1
b) (E):
100 36

144 4
c) (E): x2 + 5y2 = 5
d) 16x2 + 25y2 – 400 = 0
Bài 2: Lập PTCT của (E), biết:
a) Độ dài 2 trục lớn và nhỏ lần lượt là 20 và 8
b) Độ dài trục lớn bằng 14 và tiêu cự bằng 10
c) Có 1 tiêu điểm F1(-3; 0) và đi qua điểm M(-2; 2 )
c
1
d) Đi qua điểm A (2;12) và tỉ số bằng
a
2
c
3
e) Tiêu cự bằng 6 và tỉ số bằng
a
5
f) Độ dài trục lớn bằng 4 5 và đi qua M( 15;1)
Bài 3: Lập PTCT của (E), biết:
� 12 �
3; �
a) Đi qua 2 điểm E(0; 3) và F �
� 5�
b) Đi qua 2 điểm M  4; 3 và N  2 2;3
� 1 �
c) Đi qua 2 điểm A(2; 1) và B � 5;
�
2�
�
� 3 �


;2�
d) Đi qua 2 điểm E(3; 0) và F �
� 2 �
x2 y2
  1. Tìm điểm M�(E) sao cho MF1 = 2MF2
Bài 4: Cho (E):
9 5
Bài 5: Cho (E): 7x2 + 16y2 = 112. Tìm điểm M�(E) sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc vuông
12 �
�5
Bài 6: Viết PTCT của (E) đi qua điểm M � ;
�và điểm M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1
13 �
� 13
góc vuông.

4