GTIII 1in

Giáo viên Hồ Văn Hoàng
NGUYÊN HÀM Học sinh: .........................................
Lớp: ................................................

PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12

Chủ đề GT III.1

Lý thuyết (Điền vào chổ trống) :
1. Định nghĩa: Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K ⇔ .............. = ............... với ∀x ∈ K
Kí hiệu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
2. Các tính chất:

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

∫ k. f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx, ∀k ≠ 0 ( k : Hằng số).

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

3. Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
4. Bảng nguyên hàm:
Bảng chuẩn
Bảng mở rộng
Hàm số f(x)
0
1

Họ nguyên hàm F(x)+C

Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số)

x α (α ≠ −1)

(ax + b )α (α ≠ −1)

1
x

1
ax + b

ex

eax + b

ux

uax + b

sinx

sin(ax+b)

cosx

cos(ax+b)

1
= 1 + tan2x
cos2 x

1
cos (ax + b )

1
=1 + cot2x
sin2 x

1
sin2 (ax + b )

2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = ...............................
 I = ∫ f [u ( x)].u '( x)dx = .........................

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
Hay

∫ udv = ..... − ∫ ....... ( với du = u’(x)dx,

Bài1. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1

1. f(x) = x2 – 3x +
ĐS. F(x) =
x
x 3 3x 2
−
+ ln x + C
3
2
2x 3 3
2x 4 + 3
− +C
2. f(x) =
ĐS.
F(x)
=
3
x
x2
x −1
1
3. f(x) =
ĐS. F(x) = lnx +
+C
x
x2

dv = v’(x)dx)

( x 2 − 1)2
ĐS. F(x) =

x2
x3
1
− 2x + + C
3
x
5. f(x) = x + 3 x + 4 x ĐS. F(x)=
4. f(x) =

3

4

5

2x 2 3 x 3 4 x 4
+
+
+C
3
4
5

1


PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12
6. f(x) =

1

x

−

2
3

x

Giáo viên Hồ Văn Hoàng

Chủ đề GT III.1
14. f(x) =

ĐS. F(x) =

cos 2 x
sin2 x.cos2 x

ĐS. F(x) = - cotx –

tanx + C
15. f(x) = sin3x
ĐS. F(x) =
( x − 1)2
1
7. f(x) =
ĐS. F(x) =
− cos3 x + C
x

3
x − 4 x + ln x + C
16. f(x)=2sin3xcos2x ĐS. F(x)=
x −1
1
3 5 3 2
8. f(x) = 3
ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C − cos5 x − cos x + C
5
5
2
x
17.
f(x) = ex(ex – 1)
ĐS. F(x) =
x
9. f(x) = 2 sin2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
1
2
e2 x − e x + C
2
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
e−x
x
) ĐS. F(x) = 2ex + tanx +
18.

f(x)
=
e
(2
+
2
1
1
cos
x
x + sin2 x + C
2
4
C
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x 19. f(x) = 2ax + 3x
ĐS. F(x) =
+C
2a x 3 x
+
+C
1
13. f(x) =
ĐS. F(x) = tanx - cotx ln a ln3
2
2
sin x.cos x
1 3 x +1
+C
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) = e

+C
3
2 x − 33 x2 + C

Bài 2. Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

HD: f(x) =

+x+3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3

ĐS. 2 x −

∫ f ' ( x ) dx = x

2

x3
+1
3

3. f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0

8 x x x 2 40
−
−
3
2
3

1
x2 1
3
4. f’(x) = x - 2 + 2 và f(1) = 2 ĐS.
+ + 2x −
x
2 x
2
2
x
1 5
+ + .
2 x 2

5. f’(x) = ax +

(x+

2
Bài 3. Chứng minh: F(x) = ln x + x + k (k ≠ 0)

là một nguyên hàm của f(x) =

1

0

2

x2 + 1

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f ( −1) = 2 ĐS
x2

2

1

b) h(x) =

x 2 + 16

(

c) g(x) =

x +1
2

1

).

x + 1 x + x2 + 1
2

Bài 4. Tính đạo hàm u(x) = x + x + 1 . Suy ra
nguyên hàm các hàm số sau :a) f(x) =
Bài 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

dx
1
= ... = − 6 + C .
1. ∫
7
x ln x
ln x
1
5 sin x
cos xdx = ... = e 5 sin x + C.
2. ∫ e
5
3. ∫ (e2x + 5)3e2xdx = ... = (e2x + 5)4 / 8 + C.
e x dx
= ... = ln(e x + 1) + C.
4. ∫ x
e +1
3
dx
1
= ... =
2x + 1 + C .
5. ∫
3
2x + 1
2x + 1
dx = ... = ln |x 2 + x − 3 | +C.
6. ∫ 2
x + x −3

)

ĐS.

x2 + 1

trên các

x +k
khoảng mà chúng cùng xác định. Áp dụng: tính
3
dx

∫

+ x + C ⇒ f(1) = 1 + 1 + C = 5 ⇒ C = 3 ⇒ f(x) = x2

2

bằng phương pháp đổi biến:
xdx

7. ∫

1− x

2

= ... = − 1 − x 2 + C .

8. ∫ x 2 3 1 + x 3 dx = ... =
9.

dx

∫ (1 − x )

10. ∫

x

= ... = ln

4
13
1 + x 3 + C.
4

1+ x
1− x

+ C (t =

(x > -1)
x)

xdx
1
=... = −
+C .

2 2
(1 + x )
2(1 + x 2 )

2
1
dx = ... = − .e − x + C .
2
3
1
2cos x − 1 + C.
12. ∫ sin x 2cos x − 1dx = ... = −
3

11.

2

∫ xe

− x2


PHIẾU HỌC TẬP LỚP 12
13. ∫
14.

Giáo viên Hồ Văn Hoàng

Chủ đề GT III.1

tan x

e dx
= ... =e tan x + C.
2
cos x

dx
1 ex − 1
=
...
=
ln
+ C.
∫ ex − e− x
2 ex + 1

15. ∫

cos x + sin x
sin x − cos x

dx = ... = 2 sin x − cos x + C.

(t = e ) .
x

Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
1. ∫ (1-2x)exdx = ... = (3 -2x).ex + C.

2. ∫ x.e-xdx = ... = – (x+ 1).e-x + C.
3. ∫ xln( 1 – x)dx =
x2
1
1
ln(1 − x ) − ln(1 − x ) − (1 + x )2 + C .
2
2
4
x2 x
1
− sin2 x − cos 2 x + C
4. ∫ x sin2 xdx = ... =
4 4
8
5.

∫ ln( x +

1 + x 2 )dx = ... = x ln( x + 1 + x 2 ) − 1 + x 2 + C

6. ∫ excosx dx =.. = ½ ex(sinx + cosx) + C
7.∫ sin(lnx)dx = ... = ½ x[sin(lnx) – cos(lnx)] + C (t =
lnx)
2 3 2
4
8
2
8. ∫ x ln xdx = ... = x 2  ln x − ln x + ÷ + C
3 

3
9
2
1+ x
x − 1 1+ x
9. ∫ x ln
dx = ... = x +
ln
+C .
1− x
2
1− x
10.∫ x2cos3x dx =...=
6 x cos3 x − 2 sin3x + 9 x 2 sin3 x
−
+C
27

3