Max min

§. 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT  NHỎ NHẤT
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa
GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp
(   ).
a)Nếu tồn tại một điểm x0  sao cho f(x)  f( x0 ) x
f( x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên
M=

thì số M =
, kí hiệu là :

maxf(x)
D

b)Nếu tồn tại một điểm x0 

sao cho f(x) ≥ f( x0 ) x

= f( x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên
là : m =

thì số m
, kí hiệu

minf(x)
D

 Muốn chứng tỏ rằng số M( hoặc m) là giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị
nhỏ nhất ) của hàm số f trên tập hợp
cần chỉ rõ :


f(x)
M
(
hoặc
f(x)
≥
m
)
với
mọi
a)
x .
sao
cho

x
b) tồn tại ít nhất một điểm 0
f( x0 ) = M ( hoặc f( x0 )
=m)
 Quy ước : Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f mà không nói
trê
thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f trên tập xác
định của nó
Phương pháp
 Cách 1 : Hàm số liên tục trên [a; b]
– Giải phương trình f’(x) = 0 được các nghiệm x1;
x2;..;xn[a;b]
– Tính f(x1); f(x2);..; f(xn); f(a); f(b).
– So sánh các giá trị trên tìm được

minf(x) ; maxf(x)
D

D

 Cách 2 : D  [a; b] hoặc hàm số không liên tục /
[a; b]
Lập bảng biến thiên
 Cách 3 : Biện luận phương trình
– Tìm điều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm x[a;
b].
– Tập hợp các giá trị này là miền giá trị của f(x) trên
[a;b].
 Ngoài ra có thể sử dụng các phép biến đổi, hằng đẳng
thức,…
bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,…

Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc
nghịch biến trên cả đoạn. Do đó f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại
các đầu mút của đoạn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục / [a; b]


|1| y = x3 – 3x2 trên [1; 3].
 Hàm số xác định nên liên tục trên [1; 3].
x  0 �[ 1; 3 ]
�
 y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) ; ta có y’= 0  �

.
x2
�
y = y(3) = 0 , m = min y = y(2) = -4 .
 y(2) = – 4; y(1) = – 2; y(3) = 0.Vậy: M = max
[ 1; 3 ]
[ 1; 3 ]

2 f(x)  4 - x2

trên [–2; 2] .

 Hàm số xác định nên liên tục trên  - 2 ;2 .
 f'(x) 

x
4 - x2

. Ta có f’(x) = 0  x = 0  [–2; 2];

2
2
 f(0) = 2; f(–2) = 0; f(2) = 0. Do đó: min 4 - x  0 khi x = ± 2; max 4 - x  2 khi x =0
[ 2;2]

[ 2;2]

(có thể lập bảng biến thiên của hàm số f trên
đoạn  - 2 ;2 .
Từ bảng biến thiên , ta được kết quả)

Cách 2:  x   - 2 ;2 , ta có : 0  x  2  0  x2  4  4  x2  4  0
 0  4 - x2  4  0  4 - x2  2  0  f(x)  2 .
Ta lại có f(x) = 0 với x =  2 và f(x) = 2 với x = 0 .
2
4 - x2  0 khi x = ± 2; max 4 - x  2 khi x = 0.
Do đó : min
[ 2;2]
[ 2;2]

3 y  x  4  x 2 .  Điều kiện 4  x 2 �0 � 2 �x �2 .
 Hàm số xác định nên liên tục trên D = [–2; 2]
 1
 y�

x
4x

2

 0 � 1
. y�

�x �0
 0 � 4  x2  x � �
4  x2  x2
4  x2
�
x

�x 2

y  y( 2) = 2 2; min y  y(  2) =  2
 y( 2)  2 2, y ( 2)  2, y (2)  2 .Vậy max
[ 1; 3 ]
[ 2;2]
2x  1
trên [0; 2]  D =  \ {–1}  Hàm số xác định nên liên tục trên [0; 2] .
x 1
5

 0, x �[0 ; 2] . Ta có y(0) = – 1 ; y(2) = 1.
 y�
( x  1)2
Vậy: max y  y(2) = 1 ; min y  y(0) =  1 .
4 y=

[0;2]

5 y = x  sin2x trên [ 
 y’ = 1 – 2cos2x

[ 0; 2 ]

 
 
; ] .  Hàm số xác định nên liên tục trên [  ; ] .
2 2
2 2

y�
 0 � 1  2cos 2 x  0 � cos2 x 

1


 
� x  � +k  chọn x = �  [  ; ]
2
6
6
2 2




3


3




) 
, y( )  
, y(  )   , y( )  .
6
6
2
6
6

2
2
2
2
2




y  y( )  , m = min y  y(  )   .
Vậy: M = max
 
 
2
2
2
2
[ ; ]
[ ; ]
 y( 

2 2

2 2

4
6 (TN04) y = 2sinx  sin3 x trên [0; ].
3
 Hàm số xác định nên liên tục trên [0; ].
4

3
 Đặt t = sinx với x  [0; ]  t  [0; 1]. Ta có y = 2t  t = g(t) .

3

1
1
y�
 2  4t , y �
 0 � 2  4t  0 � t  � t 
( vì t �0)
2
2
2

g(

1
2

)=

2

2

2 2
2
, g(0) = 0 , g(1) =

3
3

2 2
1
1

khi t =
� sin x 
�x
3
4
2
2
2
m = min y  ming = g(0) = 0 khi t = 0 � sin x  0 � x  0 �x  

KQ: M = max y  max g = g(
[0; ]

1

[0;1]

[0; ]

)=

[0;1]

7 y = x  4 x  4 x  1 trên [–1; 1]  Hàm số xác định nên liên tục trên [–1;1]
4

3

2

x 0
�
y�
 4 x 3  12 x 2  8 x , y �
 0 � 4 x[ x 2  3 x  2]  0 � �
x
� 1
�
x  2 �[1;1]
�
y(0) = 1, y(1) = 2 , y(  1)  10. KQ: M = max y  y() = 10 , m = min y  y(0) = 1
[ 1;1]

Ví dụ 2: Tìm GTLN_GTNN các hàm số có D ≠ [a; b].
1 y  x 2  2x  3
 BBT
D=
 2x  2 , y �
0
 y�
� 2x  2  0 � x  1
ng co�
GTLN . Min y = y(1) = 2

Vậy: Kho�
�

2 y  4x  3x .
D=
 y�
 12x 2  12x 3 = 12x2 (1 x)
3

4

 Bảng biến thiên

y�
 0 � 12x2 (1 x)  0 � x  0,x  1
y = y(1) = 1 ; Kho�
ng co�
GTNN
Vậy: M =max
�

[ 1;1]


3 y  x
Ta co�
:x+

4
4

v��
i x > 0 . Ca�
ch 1: A�
p du�
ng b�t Co�
si cho hai so�
d��ng x va� .
x
x
4
4
�2۳
xΥ.
x
x

Da�
u "=" xa�
y ra � x =

4

y

4 , x (0;+ ) .

4
� x 2  4 � x  2. Va�
y : M = max y  4
(0;+�)

x

Ca�
ch 2 : D  (0;�). y�
 1

4
x

2

, y�
 0 � 1

4
x

2

 0 � x2  4 � x  2

Bảng biến thiên

Va�
y : Kho�
ng co�
GTLN ; m =min y = y(2) = 4
(0;�)

4 y  x 3 x .

y�
 3 x 

TX� : D = (  �; 3]
x

2 3 x
Bảng biến thiên



6  3x
2 3 x

, y�
 0 � 6  3x  0 � x  2

Va�
y : M =max y = y(2) = 2 . Kho�
ng co�
GTNN
�

x 1
tre�
n n��
a khoa�
ng (2;3] .
x2
3

TX� : D = (2;3]; y�

 0, v��
i x �(2;3]
(x  2)2
5 y

Va�
y : Kho�
ng co�
GTLN ;

m =min y = y(3) = 4
(2;3]

x  x  1
tre�
n n��
a khoa�
ng (  1;+�)
 Bảng biến thiên
x 1
TX�: D = (  1;+�)
6 y

y�


2

x 2  2x
 0 �  x 2  2x  0 �
; y�
(x  1)2

�
x0 .
�
x  2
�

KQ: M =max y = y(0) = 1. Kho�
ng co�
GTNN
(1;�)

Bài tập tự luyện
1. Tìm GTLN : a/ y = x2 + 5x +6.
2. Tìm GTNN : a/ y = (x+2)2 / x (x > 0).
3. Tìm GTLN; GTNN :

b/ y = 2x33x4.
b/ y = x2 + 2/x (x > 0).


a/ y = x3 + 3x29x+3 trên [–4; 4]. b/ y = |x2+3x+2| trên [–10; 10].
c/ y = 3  2x trên [–1;1].
d/ y = x+sin2x trên [0; ] .
4. Chu vi hình chử nhật p = 36. Dựng hình chử nhật có diện tích lớn nhất.
5. Trong các hình chử nhật có diện tích 24, tìm hình có chu vi nhỏ nhất.

6.Tìm GTLN; GTNN : a/ y = x4  3x3  2x2 + 9x trên [2; 2].
b/ y = 3x+ 10-x 2 .
c/ y = (x+2) 4-x 2 .d/ y = (3x) x 2  1 / [0;2].