Về định lý hilbert thứ 17

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN

TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

PHAN VĂN DÂN

V— ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17

LUŠN VĂN TH„C Sß TOÁN
HÅC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017


Đ„I HÅC THÁI NGUYÊN

TRƯÍNG Đ„I HÅC KHOA HÅC

PHAN VĂN DÂN

V— ĐÀNH LÍ HILBERT THÙ 17

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ c§p
Mã sè: 60 46 01 13

LUŠN VĂN TH„C Sß TOÁN
HÅC
NGƯÍI HƯÎNG DˆN KHOA HÅC
TS. Nguy¹n Văn Hoàng

THÁI NGUYÊN - NĂM 2017

i

Mửc lửc
Lới cÊm n

1

Lới m Ưu

2

1 KIN THC CHUN B
1.1 M rởng trớng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bêc siờu viằt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ôi số, ỗng cĐu Ôi số . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5
6

2 NH L HILBERT TH 17
2.1 Mởt số vớ dử liờn quan án Bi toỏn thự 17 cừa Hilbert
2.2 nh lý Artin - Cassels - Pfister . . . . . . . . . . . .
2.3 Lý thuyát cừa Artin v Bi toỏn thự 17 cừa Hilbert . .
2.3.1 Trớng thỹc hỡnh thực . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 nh lý Sylvester vã trớng úng thỹc . . . . .
2.3.3 Bi toỏn thự 17 cừa Hilbert . . . . . . . . . .

7
7
15
20
20
24
29

Kát luên

34

Ti liằu tham khÊo

35


1

Lới cÊm n
Luên vn ny ủc thỹc hiằn tÔi Trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc
Thỏi Nguyờn v hon thnh dợi sỹ hợng dăn cừa TS. Nguyạn Vn Hong.
Tỏc giÊ xin ủc by tọ lũng biát n chõn thnh v sõu sc tợi ngới hợng
dăn khoa hồc cừa mỡnh, ngới ó t vĐn ã nghiờn cựu, dnh nhiãu thới
gian hợng dăn v tên tỡnh giÊi ỏp nhỳng thc mc cừa tỏc giÊ trong suốt
quỏ trỡnh lm luên vn.
Tỏc giÊ cng ó hồc têp ủc rĐt nhiãu kián thực chuyờn ngnh bờ ớch
cho cụng tỏc v nghiờn cựu cừa bÊn thõn. Tỏc giÊ xin by tọ lũng cÊm n
sõu sc tợi cỏc thƯy giỏo, cụ giỏo ó tham gia giÊng dÔy lợp Cao hồc Toỏn

K9b2 (khúa 20152017); Nh trớng v cỏc phũng chực nng cừa Trớng;
Khoa Toỏn Tin, trớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc Thỏi Nguyờn ó quan
tõm v giỳp ù tỏc giÊ trong suốt thới gian hồc têp tÔi trớng.
Tỏc giÊ cng xin gỷi lới cÊm n sõu sc tợi Trung tõm Nghiờn cựu v Phỏt
trin giỏo dửc HÊi Phũng ó giỳp ù, tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi giỳp tụi cú
th hon thnh luên vn ny.
Tỏc giÊ cng xin gỷi lới cÊm n tợi têp th lợp Cao hồc Toỏn K9b2 (khúa
20152017) ó luụn ởng viờn v giỳp ù tỏc giÊ rĐt nhiãu trong quỏ trỡnh
hồc têp, nghiờn cựu.
Cuối cựng, tụi xin gỷi lới cÊm n chõn thnh tợi gia ỡnh, bÔn bố, lónh
Ôo n v cụng tỏc v ỗng nghiằp ó ởng viờn, giỳp ù v tÔo iãu kiằn
tốt nhĐt cho tụi khi hồc têp v nghiờn cựu.
Thỏi Nguyờn, thỏng 9 nm 2017
Tỏc giÊ
Phan Vn Dõn


2

M Ưu
Mởt nh lớ nời tiáng cừa Lagrange núi rơng vợi mội số nguyờn dng a
ãu biu diạn ủc thnh tờng cừa bốn số chớnh phng. Vỡ vêy, ngới ta
quan tõm án cõu họi liằu rơng cú th m rởng vĐn ã cho a thực. Xột a
thực hằ số thỹc n bián f R[x1 . . . , xn ]. Sỹ tng tỹ cừa giÊ thiát a 0
trong bi toỏn ối vợi cỏc số nguyờn, ủc thay thá bi giÊ thiát f (x1 , . . . ,
xn ) 0 vợi mồi giỏ tr cừa x1 , . . . , xn R. Mởt a thực f nh thá ủc
gồi l a thực nỷa xỏc nh dng, ta viát tt l psd.
Nm 1885, Minkowski ó trỡnh bƯy tÔi buời bÊo vằ luên ỏn vã cỏc dÔng
bêc hai ó khng nh giÊ thuyát rơng "tỗn tÔi mởt a thực thuƯn nhĐt,
thỹc, psd, cú bêc > 2 v số bián > 2 m nú khụng l tờng bỡnh phng cừa

cỏc a thực thỹc thuƯn nhĐt".
TÔi buời bÊo vằ luên ỏn ny, ngới nhên xột l Hilbert ó phÊn biằn lÔi
kát luên cừa Minkowski, nhng khi ú ụng khụng a ra ủc mởt dăn chựng
cử th no. Tuy nhiờn Hilbert ó tuyờn bố rơng ụng ó b thuyát phửc bi
sỹ khỏm phỏ cừa Minknowski cho trớng hủp vợi n = 3, ú l trớng hủp
ỏng chỳ ý.
Nm 1888, Hilbert ó chựng minh giÊ thuyát cừa Minknowski bơng cỏch
ch ra sỹ tỗn tÔi cừa mởt a thực f sao cho f l psd, thỹc, nhng f khụng
th viát thnh tờng cừa bỡnh phng cừa cỏc a thực. Ngoi ra ụng cng ó
nghiờn cựu sõu hn v xem xột vĐn ã biu diạn a thực psd f R[x1 , . . . ,
xn ] thnh tờng cỏc bỡnh phng cừa cỏc hm hỳu t trong R(x1 , . . . , xn ), v
phỏt biu nh lớ thự 17 cừa mỡnh, ú l: Náu f R[x1 , . . . , xn ] l psd,
thỡ f l tờng cừa bỡnh phng cừa cỏc hm hỳu t trong R(x1 , . . . , xn ).
Chỳ ý rơng náu ta xột trờn C, ú ta khụng cú quan hằ thự tỹ, khi ú
ta thĐy rơng mội a thực trong C[x1 , . . . , xn ] ãu l mởt tờng cừa cỏc bỡnh


3

phng cừa cỏc hm hỳu t. Bi toỏn thự 17 cừa Hilbert ó ủc giÊi quyát
vo nm 1926 bi Artin, ụng ó chựng minh nú l mởt nh lớ. Chựng minh
ú cng mang án sỹ bt Ưu cho mởt số chừ ã mợi cừa hỡnh hồc Ôi số
thỹc.
í tng chựng minh cừa Artin ủc mụ tÊ s bở nh sau. Mc dự trớng
R (hoc tờng quỏt hn, bĐt kỡ "trớng úng thỹc") cú duy nhĐt mởt cỏch
sp thự tỹ, nhng trớng hm R(x1 , . . . , xn ) cú nhiãu cỏch sp thự tỹ khỏc
nhau. Náu f khụng l tờng cừa cỏc bỡnh phng trong R(x1 , . . . , xn ), thỡ s
cú mởt cỏch sp thự tỹ trờn R(x1 , . . . , xn ) m trong ú f l phƯn tỷ õm. Khi
ú, cú mởt "phộp c biằt húa" f (a1 , . . . , an ) cng l phƯn tỷ õm, ú l
chỡa khúa cừa chựng minh.

Mửc ớch cừa luên vn ny l trỡnh by chi tiát chựng minh cừa Artin
cho nh lý thự 17 cừa Hilbert. Trợc khi trỡnh by chựng minh ú, luên
vn dnh mởt thới lủng ỏng k trỡnh by mởt số vớ dử in hỡnh cú
liờn quan án bi toỏn, ú l vớ dử vã nhỳng a thực l psd cú biu diạn
ủc thnh tờng cỏc bỡnh phng cừa cỏc a thực, hoc nhỳng a thực l
psd nhng khụng biu diạn ủc thnh tờng cỏc bỡnh phng cừa nhỳng a
thực.
Luên vn gỗm hai chng. Chng 1 trỡnh by mởt số kián thực vã lý
thuyát trớng. Chng 2 l nởi dung chớnh cừa luên vn. Mửc 2.1 trỡnh by
nhỳng vớ dử liờn quan án Bi toỏn 17 cừa Hilbert. Mửc 2.2 têp trung trỡnh
by chi tiát chựng minh cừa Artin vã lới giÊi cho Bi toỏn 17 cừa Hilbert.
Mửc 2.2 ủc chia lm 3 mửc nhọ. Mửc 2.2.1 trỡnh by vã c s lý thuyát
vã trớng thỹc hỡnh thực. Mửc 2.2.2 trỡnh by vã nh lý Sylvester vã số
nghiằm phõn biằt cừa a thực trong trớng úng thỹc. Mửc 2.2.3 trỡnh by
lới giÊi cho Bi toỏn 17 cừa Hilbert, ú l chựng minh cừa Artin.


4

Chng 1
KIN
B

THC

CHUN

Trong chng ny chỳng ta a ra mởt số kián thực chuân b vã m rởng
trớng, bêc siờu viằt, Ôi số, ỗng cĐu Ôi số, m rởng hỳu hÔn, m rởng Ôi
số, bao úng Ôi số. Nhỳng kián thực ny ủc dựng chựng minh cho cỏc

kát quÊ chng sau.

1.1

M rởng trớng

nh ngha 1.1.1. (i) Cho F l mởt trớng v K l mởt trớng chựa F .
Khi ú quan hằ F K gồi l mởt m rởng trớng, kớ hiằu l K/F .
(ii) GiÊ sỷ K/F l mởt m rởng trớng. Khi ú K l mởt F -khụng gian vộc
t. Ta kớ hiằu [K : F ] = dimF K v gồi l bêc cừa m rởng K/F .
Bờ ã 1.1.2. Cho F l mởt trớng, f (x) F [x] l a thực bĐt khÊ quy
v t K = F [x]/(f (x)). Khi ú K l mởt trớng chựa F nh mởt trớng
con, K chựa mởt nghiằm cừa f (x), v ta cú [K : F ] = deg(f (x)).
nh ngha 1.1.3. Cho E/F l mởt m rởng trớng v 1 , . . . , n
E. Trớng con bộ nhĐt cừa E chựa F v chựa 1 , . . . , n , ủc kớ
hiằu l F (1 , . . . , n ) v ủc gồi l m rởng cừa F bơng cỏch ghộp thờm
cỏc phƯn tỷ 1 , . . . , n .
Mội phƯn tỷ tựy ý cừa F (1 , . . . , n ) cú dÔng thng cừa hai phƯn tỷ


5

cõa F [α1 , . . . , αn ], tùc
là
ω=

f (α1 , ..., αn )
g(α1 , ..., αn )

6

trong ú f (1 , ..., n ), g(1 , ..., n ) F [1 , ..., n ] v g(1 , ..., n ) =
0.
nh ngha 1.1.4. (i) Mởt m rởng trớng E/F ủc gồi l m rởng hỳu
hÔn náu [E : F ] l mởt số hỳu hÔn (tực l [E : F ] < ).
(ii) Mởt m rởng trớng E/F l m rởng Ôi số náu mồi phƯn tỷ cừa E ãu
l phƯn tỷ Ôi số trờn F .
nh ngha 1.1.5. (i) Mởt trớng E ủc gồi l trớng úng Ôi số náu
mồi a thực bêc dng vợi hằ tỷ trong E ãu cú nghiằm trong E.
(ii) Mởt bao úng Ôi số cừa mởt trớng F l mởt m rởng Ôi số cừa F m
nú l trớng úng Ôi số, kớ hiằu bao úng Ôi số cừa F l F .
nh ngha 1.1.6. (i) Cho F l trớng. Mởt a thực f (x) F [x] gồi
l a thực tỏch ủc náu mồi nhõn tỷ bĐt khÊ quy cừa f trong F [x] khụng
cú nghiằm bởi.
(ii) Cho m rởng trớng E/F . Mởt phƯn tỷ E gồi l phƯn tỷ tỏch
ủc trờn F náu nú siờu viằt trờn F hoc a thực tối tiu cừa nú l a thực
tỏch ủc trờn F .
nh lý 1.1.7 (nh lý phƯn tỷ nguyờn thừy). Cho m rởng trớng E/F vợi
F l trớng vụ hÔn v E = F (1 , . . . , n ). GiÊ sỷ 1 , . . . , n l cỏc phƯn
tỷ Ôi số trờn F , trong ú i l phƯn tỷ tỏch ủc trờn F vợi mồi i = 2, . . .
, n. Khi ú tỗn tÔi phƯn tỷ E sao cho E = F ().

1.2

Bêc siờu viằt

nh ngha 1.2.1. Cho m rởng trớng E/F v S l têp con cừa E.
Têp S ủc gồi l ởc lêp Ôi số trờn F náu vợi mồi a thực khỏc khụng
p(x1 , . . . , xn ) F [x1 , . . . , xn ], v s1 , . . . , sn S (tĐt cÊ phõn biằt), ta ãu

cú p(s1 , . . . , sn ) = 0.


7

Mằnh ã 1.2.2. Cho m rởng trớng E/F v S E l têp ởc lêp Ôi
số trờn F . Khi ú S l tối Ôi náu v ch náu E/F (S) l m rởng Ôi số.
nh ngha 1.2.3. (i) Cho m rởng trớng E/F . Mởt têp con S E sao
cho S l têp ởc lêp Ôi số tối Ôi trờn F ủc gồi l mởt c s siờu viằt cừa
E/F .
(ii) Bêc siờu viằt cừa mởt m rởng trớng E/F l lỹc lủng cừa mởt c s
siờu viằt cừa nú, kớ hiằu tr.deg(E/F ).

1.3

Ôi số, ỗng cĐu Ôi số

nh ngha 1.3.1. (i) Cho F l trớng. Mởt F Ôi số A l mởt vnh giao
hoỏn A cú n v sao cho cú mởt ỗng cĐu vnh tứ F án A.
(ii) Cho cỏc F Ôi số A v B. Mởt F ỗng cĐu cừa cỏc F Ôi số A
v B l mởt ỏnh xÔ f : A B sao cho f l ỏnh xÔ F tuyán tớnh v
f (xy) = f (x)f (y) vợi mồi x, y A.


8

Chng 2
NH L HILBERT TH 17
2.1

Mởt số vớ dử liờn quan án Bi toỏn thự 17 cừa
Hilbert

nh ngha 2.1.1. Mởt a thực f (x1 , . . . , xn ) R[x1 , x2 , . . . , xn ]
ủc gồi l nỷa xỏc nh dng (núi tt l psd) náu f (x1 , . . . , xn ) 0 vợi
mồi x1 , . . . , xn R.
Khụng khú chựng minh mởt a thực p(x) R[x] m l psd thỡ nú cú
th biu diạn ủc thnh tờng bỡnh phng cừa hai a thực vợi hằ số thỹc.
Mằnh ã 2.1.2. Náu p(x) R[x] l a thực psd, thỡ p(x) l tờng cỏc
bỡnh phng cừa cỏc a thực trong R[x].
Chựng minh. Ta biát rơng nghiằm cừa mởt a thực vợi hằ số thỹc ch cú th
l nghiằm thỹc hoc cp nghiằm phực liờn hủp. Do ú ta viát p(x) ủc dợi
dÔng
s
t
Y
Y
p(x) = a
(x zj )(x zj )
(x k )mk ,


9

j=1

k=1

trong đó αk ∈ R. Vì p(x) > 0 vîi måi x ∈ R, nên a > 0 và mk là ch®n
vîi måi k. Suy ra các nghi»m thüc cũng đưñc tách ra thành các c°p. Do đó

l
l
√ Y
√ Y
p(x) = ( a
(x − zj ))( a
(x − zj )),
j=1

j=1


trong ú zj cú th l số thỹc. Bơng cỏch tỏch phƯn thỹc v phƯn Êo riờng
nhau ra ta cú th t
l
Y
a
(x zj ) = q(x) + ir(x),
j=1

trong ú q(x) v r(x) l hai a thực cú hằ số thỹc. Khi ú ta cú
l
Y
a
(x zj ) = q(x) ir(x).
j=1

Kát hủp lÔi, ta cú
p(x) = (q(x) + ir(x))(q(x) ir(x)) = q(x)2 + r(x)2 ,
ú l sỹ biu diạn cừa p(x) thnh tờng bỡnh phng hai a thực hằ số

thỹc.
Chỳ ý 2.1.3. ối vợi cỏc a thực cú nhiãu bián, phỏt biu tng tỹ nh
mằnh ã trờn khụng phÊi luụn ỳng, tực l, cú nhỳng a thực hằ số thỹc l
psd nhng ngới ta khụng th biu diạn a thực ú thnh tờng bỡnh phng
cừa cỏc a thực vợi hằ số thỹc. Nm 1888, lƯn Ưu tiờn Hilbert ó chựng
minh iãu ú, nhng ụng cha a ra ủc mởt vớ dử rừ rng vã mởt a thực
nh vêy. Sau ú, mởt số vớ dử cử th vã a thực kiu ú ủc a ra bi T.
Motzkin nm 1967, R. M. Robinson nm 1973. Tiáp theo ta xột nhỳng vớ dử
ú.
Vớ dử 2.1.4 (T. Motzkin). a thực F (x, y) = x2 y 2 (x2 + y 2 3) + 1 l psd
nhng nú khụng th biu diạn thnh tờng bỡnh phng cừa cỏc a thực cú hằ
số thỹc.
Chựng minh. Trợc hát, ta chựng minh F (x, y) > 0. Náu x = 0 hoc y = 0
thỡ F (x, y) = 1. Ta xột xy = 0. Khi ú, x2 , y 2 v x2 y 2 l dng, tớch cừa
chỳng bơng 1. p dửng bĐt ng thực Cauchy ta cú


x2 x2 .y 2 .x−2 y −2 = 3
+
y2
+
x−2
y −2
>
p
3
3

Do đó x2 y 2 (x2 + y 2
− 3) + 1 > 0.

Bõy giớ, ta chựng minh F (x, y) khụng biu diạn ủc thnh tờng bỡnh
phng cừa cỏc a thực trong R[x]. Ta s chựng minh bơng phÊn chựng. GiÊ
P
sỷ F (x, y) =
fj (x, y)2 , vợi fj R[x]. Khi ú
X
F (x, 0) =
fj (x, 0)2 = 1
(2.1) Do ú fj (x, 0) = cj l hơng số v do ú fj (x, y) = cj + ygj (x, y) vợi
mồi j
(thêt vêy giÊ sỷ trỏi lÔi, khi ú cú mởt số a thực fi (x, 0) cừa bián x khụng
phÊi hơng số v cú bêc cao nhĐt n + 1 sao cho fi (x, 0) = ci + x(. . . + uin xn
)
vợi uin = 0. Dăn án
n


1=
uj

X

2

fj (x, 0) =

X

X
(. . . + n xn )2 + 2xcj (. . . +
jc + x
uj
2

2

xn ).

P
Tứ ú suy ra
in = 0, kộo theo uin = 0 vợi mồi i. ú l iãu mõu thuăn).
2
u
Lêp luên tng tỹ ta cú fj (x, y) = c0 j + xgj0 (x, y) vợi mồi j. Mt khỏc
fj (0, 0) = cj = cj0 nờn cj = c0j . Do ú fj (x, y) = cj + xyhj (x, y) vợi mồi j.
Khi ú
2 2

tực l

F (x, y) = x y

X

x2 y 2 (x2 + y 2 3) x2 y 2

2

hj + 2xy
cj 2

X

X

hj 2 = 2xy
1.

cj hj +

X

X

cj hj +

X

cj 2

TĐt cÊ cỏc n thực vá phÊi cú bêc nhọ hn hoc bơng 3, v tĐt cÊ cỏc
n thực vá trỏi cú bêc lợn hn hoc bơng 4 (vỡ deg(hj ) = deg(fj ) 2
1
6
deg F 2 = 1). Do ú
2
X
2 2 2

2
2 2
x y (x + y 3) x y
hj 2 =
0.
Tứ ú ta cú x2 + y 2 3 =
khi
x = y = 0.

P

hj 2 , iãu ny vụ lý do x2 + y 2 3 < 0

Trợc khi xột vớ dử tiáp theo ta cƯn chựng minh mởt bờ ã sau õy.
Bờ ã 2.1.5. Trong mt phng, cho Aij l giao im cừa cỏc ớng thng
pi v qj trong ú 1 6 i, j 6 3 v cỏc im Aij ụi mởt phõn biằt. GiÊ sỷ ó
biát tĐt cÊ cỏc im Aij trứ im A33 ãu nơm trờn mởt ớng bêc ba.
Khi ú im A33 cng nơm trờn ớng bêc ba ny.


Chựng minh. GiÊ sỷ pi (x, y) = 0 v qj (x, y) = 0 l phng trỡnh cừa
thng pi v qj . Do ú, phng trỡnh bêc ba p1 p2 p3 = 0 xỏc nh cho ba
thng p1 , p2 v p3 ; v phng trỡnh q1 q2 q3 = 0 xỏc nh cho ba ớng
q1 , q2 v q3 . Khi ú ớng bêc ba p1 p2 p3 + q1 q2 q3 = 0 i qua tĐt
im Aij .

ớng
ớng
thng
cÊ cỏc

Tứ ú ta thĐy rơng ta cú th biu diạn theo cỏch ny phng trỡnh cừa
mởt ớng bêc ba bĐt kỡ i qua tỏm im trong chớn im Aij . Ta s chựng
minh iãu ny:
Chồn ớng thng p1 v q1 l cỏc trửc tồa ở, cử th ta giÊ sỷ trửc Oy l
ớng q1 v trửc Ox l ớng p1 . Khi ú p1 (x, y) = y v q1 (x, y) = x. Xột
mởt ớng bêc ba ó cho ủc xỏc nh bi phng trỡnh P (x, y) = 0. Khi
ú cỏc hm số P (0, y) v yp2 (0, y)p3 (0, y) triằt tiờu tÔi ba im A11 , A21 v
A31 trờn trửc y (Hỡnh 2.1).

Hỡnh 2.1: Giao im cừa 6 ớng thng

Hn nỳa, cỏc hm số ú l a thực cú bêc nhọ hn hoc bơng 3. Do ú,
P (0, y) = yp2 (0, y)p3 (0, y). Tng tỹ, P (x, 0) = xq2 (x, 0)q3 (x, 0). Xột a
thực
Q(x, y) = P (x, y) yp2 (x, y)p3 (x, y) xq2 (x, y)q3 (x, y).
Hin nhiờn, ta cú
Q(0, y) = P (0, y) yp2 (0, y)p3 (0, y) = 0.


M ta viát Q(x, y) dÔng Q(x, y) = a0 (y) + a1 (y)x + a2 (y)x2 + a3 (y)x3 . Do
ú a thực Q(0, y) = a0 (y) + a1 (y)x + a2 (y)x2 + a3 (y)x3 triằt tiờu tÔi x = 0
khi v ch khi a0 (y) cng bơng khụng, tực l a thực Q(x, y) chia hát cho x.
Lêp luên tng tỹ ta cú Q(x, y) chia hát cho y, tực l, Q(x, y) = xyQ1 (x, y).
Bêc cừa Q(x, y) khụng quỏ 3, vỡ vêy, Q1 (x, y) l hm số tuyán tớnh hoc l
mởt hơng số. Ta nhc lÔi rơng cỏc a thực P, p2 p3 v q2 q3 triằt tiờu tÔi cỏc
im A22 , A23 v A32 ; do ú, a thực Q(x, y) cng triằt tiờu tÔi cỏc im Đy.
Vỡ tÔi tĐt cÊ cỏc im ú ãu cú xy = 0, nờn hm số tuyán tớnh Q1 (x, y) phÊi
triằt tiờu tÔi cỏc im A22 , A23 v A32 . M rừ rng l cỏc im A22 , A23 v
A32 khụng nơm trờn cựng mởt ớng; trong khi ú ối vợi hm số tuyán tớnh

khỏc khụng f (x, y) cú phng trỡnh f (x, y) = 0 s xỏc nh l mởt ớng
thng. Do ú, ta phÊi cú Q1 (x, y) = 0, tực l,
P = p1 p2 p3 + q1 q2 q3 .
Trớng hủp c biằt, ta suy ra rơng im A33 nơm trờn ớng cong
P (x, y) = 0 (vỡ tÔi im A33 a thực p1 p2 p3 + q1 q2 q3 b triằt tiờu). Nh
vêy ta ó chựng minh ủc bĐt kỡ mởt ớng bêc ba i qua cỏc im Aij
ãu ủc xỏc nh bi phng trỡnh p1 p2 p3 + q1 q2 q3 = 0. Bờ ã 2.1.5 ủc
chựng minh.
Vớ dử 2.1.6. (R. M. Robinson, 1973) a thực
S(x, y) = x2 (x2 1)2 + y 2 (y 2 1)2 (x2 1)(y 2 1)(x2 + y 2
1)
l psd nhng nú khụng th biu diạn ủc thnh tờng bỡnh phng cừa cỏc
a thực cú hằ số thỹc.
Chựng minh. Trợc hát, ta chựng minh S(x, y) > 0. iãu ny ỳng vợi mồi
im nơm trong phƯn khụng ủc che phừ cừa mt phng Hỡnh ?? (vỡ vợi
mồi im miãn ú thọa món hoc l x2 + y 2 1 6 0 v (x2 1)(y 2 1) >
0, hoc l x2 + y 2 1 > 0 v (x2 1)(y 2 1) 0).
Nhng S(x, y) cú th biu diạn ủc dợi dÔng khỏc nh sau
S(x, y) = (x2 + y 2 1)(x2 y 2 )2 + (x2 1)(y 2
1).


Hỡnh 2.2: Mụ tÊ cỏc miãn xột khỏc nhau

Biu thực trờn cho thĐy S(x, y) 0 vợi mồi im nơm trong miãn búng mớ
(vỡ cỏc im ú thọa món x2 + y 2 1 0 v (x2 1)(y 2 1) 0). Do
ú S(x, y) 0.
Bõy giớ, ta s chựng minh S(x, y) khụng biu diạn ủc thnh tờng bỡnh
phng cừa cỏc a thực cú hằ số thỹc bơng phÊn chựng. GiÊ sỷ S(x, y) =
P

fj (x, y)2 . Hm số S(x, y) triằt tiờu tÔi 8 im ó miờu tÊ Hỡnh
2.3.

Hỡnh 2.3: Cỏc im xột khỏc nhau

Tứ ú suy ra tÔi cỏc im ny, cỏc hm số fj ãu triằt tiờu. Nhng bêc


fj 21 deg S = 3. Theo Bờ ã 2.1.5 ta suy ra ủc rơng náu mởt ớng cong
bêc 3 m i qua 8 im ny, thỡ nú tĐt yáu phÊi i qua gốc tồa ở. Theo ú,
ta thu ủc fj (0, 0) = 0 vợi mồi j v do ú S(x, y) = 0. Nhng rừ rng ta
thĐy S(x, y) = 1. iãu ny l mõu thuăn, vêy S(x, y) khụng biu diạn ủc
dợi dÔng tờng bỡnh phng cừa cỏc a thực.
Ta cƯn mởt bờ ã sau õy khi nghiờn cựu mởt vớ dử tiáp theo cừa Robinson.
Bờ ã 2.1.7. Cho f (x, y, z) l hm a thực bêc khụng quỏ 2 trờn R. GiÊ sỷ
f triằt tiờu tÔi 7 im nh lêp phng nh Hỡnh 2.4 (ngoÔi trứ im
(1,1,1)). Khi ú f (x, y, z) cng triằt tiờu tÔi im (1, 1, 1).
Chựng minh. Vỡ f (0, 0, 0) = 0 nờn hằ số tỹ do cừa f bơng 0. Vỡ f (1, 0, 0) =
0 nờn hằ số cừa x l a v hằ số cừa x2 l a (vợi a R). Vỡ f (0, 1, 0) = 0
nờn hằ số cừa y l b v hằ số cừa y 2 l b. Tng tỹ ta cú hằ số cừa z l c
v hằ số cừa z 2 l c. LÔi vỡ f (1, 1, 0) = 0 nờn hằ số cừa xy l 0, tng tỹ ta
cng cú hằ số cừa yz v cừa xz l 0. Vêy f (x, y, z) cú dÔng
f (x, y, z) = ax ax2 + by by 2 + cz cz 2
= a(x x2 ) + b(y y 2 ) + c(z z 2 ).
Tứ ú rừ rng l f (1, 1, 1) =
0.
Vớ dử 2.1.8. (R. M. Robinson, 1973) a thực
Q(x, y, z) = x2 (x 1)2 + y 2 (y 1)2 + z 2 (z 1)2 + 2xyz(x + y + z
2)
l psd nhng nú khụng biu diạn ủc thnh tờng bỡnh phng cừa cỏc a

thực cú hằ số thỹc.
Chựng minh. Chựng minh bơng phÊn chựng. GiÊ sỷ Q(x, y, z) biu diạn ủc
thnh tờng bỡnh phng cỏc a thực hằ số thỹc, chng hÔn dÔng
X
Q(x, y, z) =
fj (x, y,
2

z) .
Do ú bêc cừa mội a thực fj nhọ hn hoc bơng 2. Do hm số Q(x, y, z)
b triằt tiờu tÔi tĐt cÊ cỏc im (x, y, z) vợi tồa ở x, y, z = 0 hoc 1, ngoÔi
trứ im (1, 1, 1) (tực l tÔi 7 im Hỡnh 2.4, ch trứ im (1, 1, 1)) nờn
cỏc hm số fj (x, y, z) cng triằt tiờu tÔi 7 im ú. Tứ ú ỏp dửng Bờ ã


2.1.7, ta suy ra rơng fj (1, 1, 1) = 0 vợi mồi j (vỡ bêc cừa cỏc a thực fj
nhọ hn hoc bơng 2). iãu ny dăn án Q(1, 1, 1) = 0. Tuy nhiờn tứ
dÔng ban Ưu cừa Q(x, y, z) ta thĐy Q(1, 1, 1) = 2. Vêy ta cú mõu thuăn.
Chựng tọ Q(x, y, z) khụng l tờng bỡnh phng cừa cỏc a thực.

Hỡnh 2.4: Cỏc im xột khỏc nhau trờn nh lêp phng

Bõy giớ ta s chựng minh Q(x, y, z) > 0. chựng minh, ta biu diạn Q
dợi cỏc dÔng khỏc nhau
Q = x2 (x 1)2 + (y(y 1) z(z 1))2 + Qx
= y 2 (y 1)2 + (z(z 1) x(x 1))2 +
Qy
= z 2 (z 1)2 + (x(x 1) y(y 1))2 + Qz
,

trong đó
Qx = 2xyz(x + y + z − 2) + 2yz(y − 1)(z − 1)
= 2yz(xx + xy + xz − 2x + yz − y − z + 1)
= 2yz(xx + xy + xz + yz − x − x − y − z + 1)
= 2yz(x + y − 1)(x + z − 1)
Qy = 2xz(y + x − 1)(y + z −
1), Qz = 2yx(z + x − 1)(z + y
− 1).
Vì vai trò cõa ba hàm trên như nhau, nên c£ ba hàm Qx , Qy , Qz có cùng tính
ch§t không âm ho°c âm. Ta th§y r¬ng tích cõa ba hàm đó là bình phương


cừa hm số sau õy

2 2xyz(x + y 1)(x + z 1)(y + z 1).
Vỡ thá cÊ ba hm ú khụng th cựng õm. Vêy chựng tọ rơng cÊ ba hm ú
l khụng õm.

2.2

nh lý Artin - Cassels - Pfister

é mửc trợc ta ó a ra nhiãu vớ dử vã a thực khụng õm m khụng l
tờng bỡnh phng cừa cỏc a thực khỏc. é mửc ny, ta s trỡnh vã mởt vi
trớng hủp a thực khụng õm cú th biu diạn thnh tờng bỡnh phng cừa
cỏc hm số hỳu t. ối vợi cỏc a thực mởt bián, sỹ khỏc nhau giỳa cỏch
biu diạn thnh tờng bỡnh phng cừa cỏc a thực v tờng bỡnh phng cừa
cỏc hm số hỳu t l khụng cƯn thiát, nh nh lý sau.
nh lý 2.2.1. Cho K l trớng cú c số khỏc 2 v f (x) K [x]. GiÊ

sỷ f (x) = 1 r1 (x)2 + . . . + n rn (x)2 , trong ú i K v ri (x) l hm số
hỳu t trờn K, tực l ri (x) K (x). Khi ú f (x) = 1 p1 (x)2 + . . . +
n pn (x)2 , trong ú pi (x) l a thực trờn K.
Nm 1927, Artin ó chựng minh ủc rơng f (x) = 1 p1 (x)2 + . . . +
m pm (x)2 , trong ú m l số khụng nhĐt thiát phÊi bơng n. Nm 1964, Cassels
ch ra rơng ta cú th giÊ sỷ rơng m = n. Thờm nỳa, nm 1965, Pfister ó
chựng minh ủc ta cú th giÊ thiát rơng i = i .
nh lý 2.2.1 cú th ủc ỏp dửng vợi a thực bĐt kỡ f (x1 , . . . , xn )
trờn trớng L. Thêt vêy, chng hÔn, ta lĐy x = x1 v t K = L(x2 , . . . ,
xn ) l trớng cừa cỏc hm số hỳu t cừa cỏc bián số x2 , . . . , xn trờn L. Khi
ú, ta thĐy rơng trong sỹ biu diạn cừa f thnh tờng cỏc bỡnh phng cừa
cỏc hm số hỳu t, ta cú th loÔi bọ bĐt kỡ bián no mău số cừa cỏc hm
số hỳu t ú. Nhng ta khụng th xúa bọ tĐt cÊ cỏc bián ny ỗng thới.
Chựng minh . Vợi n = 1, mằnh ã trờn l ỳng (vỡ náu f (x) = r(x)2 =
2

u(x)


vîi gcd(u, v) = 1, thì f v2 = βu2 ; suy ra v|βu2 , mà gcd(v, u2 ) = 1,
nên v|β. Chùng tä v|1). Bây gií ta gi£ sû vîi n > 1 và αi = 0 vîi måi i.
S³ khá thuªn ti»n đº gi£i quy¸t bài toán khi đưa ra chùng minh ð d¤ng liên
v(x)2


quan án cỏc dÔng bêc bêc hai trờn trớng K (x). Cho v = (v1 , . . . , vn ) l
cỏc vecto vợi tồa ở trong K (x). Ta t
n
X

(u, v) =

i ui vi .
i=1

Ta phÊi chựng minh náu f K [x] v f = (u, u) trong ú ui K
(x), thỡ f = (w, w) vợi wi K [x]. DÔng bêc hai (u, u) cú th l ng
hợng (ngha l, tỗn tÔi u = 0 (u, u) = 0) hoc khụng ng hợng
(tực l, (u, u) = 0 vợi mồi u = 0).
Trớng hủp 1: DÔng (u, v) l ng hợng. Trong trớng hủp ny, ta khụng
cƯn iãu kiằn f = (u, u) vợi cỏc ui K (x)n . Núi cỏch khỏc, vợi a
thực f (x) bĐt kỡ, luụn tỗn tÔi vecto u K [x]n sao cho f = (u, u).
Trong ng thực (u, u) = 0, ta cú th giÊ sỷ u l a thực (thêt vêy,