Lý Thuyết Điều Khiển Hiện Đại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA CÔNG NGHỆ
BỘ MÔN TỰ ĐỘNG HÓA

BÀI TẬP
LÝ THUYẾT
ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI
(CN580)

Cán Bộ Hướng Dẫn

Sinh Viên Thực Hiện

Nguyễn Hoàng Dũng

Lê Minh Luân
Võ Văn Phi
Trần Minh Tân
Nguyễn Đức Huy

Năm 2017

B1408224
B1408231
B1408239
B1408214


BÀI 1:

LYAPUNOV THEORY

Homework assignment 3: Consider a mass and spring system. Form a state
equation and find a Lyapunov candidate for this system.

We have,
x = x1
= 1 = x2
= 2 = (F – bx2 – kx1)
=> F = m + b + kx
<=> m 2 + b 1 + kx1 – F = 0
Applying the law of conservation of momentum:
V(x) = mx22 + kx12 (1)
Make the derivation 2 sides of (1):
= mx2 2 + kx1 1
= mx2 (F – bx2 – kx1) + kx1x2
= Fx2 – bx22 – kx1x2 + kx1x2
= Fx2 – bx22 < 0 if F < 0 (compressive force)

BÀI 2:

ADAPTIVE CONTROL
Homework assignment 1: Consider a system shown in the figure below


Hệ thống được mô tả như sau:

x p (t )  a p x p (t )  k pu(t )
Ta có mô hình

xˆ p (t )  am xˆ p (t )  (aˆ p (t )  am ) x p (t )  k p (t )u(t )
e  xˆ p (t )  x p (t )  e  xˆ p (t )  x p (t )

Sai số mô hình
e  a xˆ (t )  (aˆ (t )  a  a ) x (t )  (kˆ (t )  k )u(t )
m

p

p

m

p

p

p

p

 am ( xˆ p (t )  x p (t ))  (aˆ p (t )  a p ) x p (t )  (kˆ p (t )  k p )u(t )
 ame(t )   (t ) x p (t )  (t )u(t )

   2  2 là tham số sai số ( (t )  aˆ p (t )  a p , (t )  kˆp (t )  k p )





1 2
e (t )   2 (t )  2 (t )
2


 V (e,  , )  e(t )e(t )   (t )(t )  (t ) (t )

V (e,  , ) 





 e(t ) ame(t )   (t ) x p (t )  (t )u(t )   (t )(t )  (t ) (t )
 a e2 (t )   (t )e(t ) x (t )  (t )e(t )u(t )   (t )(t )  (t ) (t )
m

p

Để V (e,  , ) là một hàm xác định âm

(t )  aˆ p (t )  e(t ) x p (t )


(t )  e(t ) x p (t )

 V (e,  , )  ame2 (t )  0


ˆ


 (t )  e(t )u (t )
 (t )  k p (t )  e(t )u (t )

Kết quả mô phỏng



BÀI 3:

ADAPTIVE CONTROL
Homework assignment 2: Consider a system shown in the figure below

Find adaptive laws of
Ta Có:

p(t)

and

p(t)


x p (s)
u (s)



kp
s  ap

 s.x p (s)  a p .x p (s)  k p .u (s)

 x p (t )  a p .x p (t )  k p .u(t)
Ta Có:
^

x p (t )  u(t).k p ^ (t )  x p ^ (t ).a p ^ (t )
Mà :

e(t )  x p ^ (t )  x p (t )




 e (t )  x p ^ (t )  x p (t )
 k p ^ (t ).u (t)  a p ^ (t ).x p ^ (t )  a p .x p (t )  k p .u(t) 
 a p ^ (t ).x p ^ (t )  a p .x p (t )  k p ^ (t ).u (t)  k p .u(t)

 a p ^ (t ).x p ^ (t )  a p .x p (t )  k p ^ (t ).u (t)  k p .u(t)
+  a p  a p ^ (t ) .x p ^ (t )   a p  a p ^ (t ) .x p ^ (t )
=a p .  x p ^ (t )  x p (t )    k p ^ (t )  k p  .u(t)
  a p  a p ^ (t ) .x p ^ (t )
=a p .e(t )   k p ^ (t )  k p  .u(t)   a p ^ (t )  a p  .x p ^ (t )
=a p .e(t )   (t ).u(t)  v(t).x p ^ (t )

Với:

(t )  k p ^ (t )  k p

^
 v(t)  a p (t )  a p

Chọn hàm Lyapunov:

V

1 2
e (t )   2 (t )  v 2 (t )  ,V  0, t  R & V (0)  0.
2


 V  e(t ).e (t )  (t ). (t )  v(t ).v (t )
=e(t)  a p .e(t )   (t ).u(t)  v(t).x p ^ (t ) 
  (t ). (t )  v (t ).v (t )
=a p .e 2 (t )   (t ).u(t).e(t )  v(t).x p ^ (t ).e(t )
  (t ). (t )  v(t ).v (t )
Hệ thống ổn định nếu V  0 ,Do đó luật thích nghi được định nghĩa:

 (t )  e(t ).u (t )  k ^ (t )
p


v (t )  e(t ).x p ^ (t )  a p ^ (t )

Kết quả mô trên Matlab


 Nhận xét: trong khoảng thời gian đầu từ 0 đến 7s quá trình cập nhật luật
điều khiển chưa kịp nên vẫn còn sai số, sau 7s hệ thống thiết kế dần bám
theo đối tượng.

BÀI 4:

MODEL REFERENCE BASED ADAPTIVE CONTROL (MRAC)
Homework assignment: Consider the first-order system:

dy
 ay  bu
dt
dym
 am y  bmuc
dt
ym’ = -amy+bmuc
u(t) = t0uc + s0y
e = y - ym
Với a=1 ,b=0.5 ,am = bm= 2, γ =1
Bài làm :
Ta có : u(t) = t0uc + s0y
y’ = -ay(t) + b[t0u(t)-s0y(t)]
= - (a+bs0)y(t) + bt0uc(t)
= - amym(t) + bmuc(t)
am  a

 S0  b

t  bm
 0 b

Với hàm điều khiển ta có thể viết :
y

bt0
uc
p  a  bs0

Với e= y-ym, “sensitivity derivatives” là :
bt0
e

u
 t0 p  a  bs0 c
b 2 t0
bt0
e

u 
y
2 c
 s0 ( p  a  bs0 )
p  a  bs0
Mà : a+bs0 = am
p + a + bs0 =p + am
Do đó :
dt0
1
1
  ' b(
uc )e   (
uc )e
dt

p  am
p  am
ds0
a
1
  ' b(
y)e   ( m y)e
dt
p  am
p  am
 'b
Với  
am

Code mô phỏng trên Matlab:


Kết quả mô phỏng trên Matlab:


BÀI 5:

SLIDING MODE CONTROLLER
Homework assignment: Given a system as follows

bu(t )  mx  cx  kx

b  1 .5
m2
c  0 .2

k  0.15
..

.

 1.5u(t )  2 x 0.2 x 0.15 x
x1  x
.

x1  x2
..
1
x1  [-0,2x 2  0,15 x1  1,5u  t ]
2

.
 x1  x2
.

 x 20.1x2 0.075 x1  0.75u (t )
Phương trình trạng thái :
 . 
1   x1   0 
 x1    0

u (t )

 .   0.075 0.1  x2   0.75 
 x2 

Định nghĩa hàm trượt :
.
1
S  e e



Lấy đạo hàm của hàm trược theo thời gian.
.

..

S  e

1



.

e0

Trong đó :

e  x  xd
.

.

.

..

..

..

e  x  xd

e  x  xd
Định nghĩa hàm Lyapunov :


V( s) 

1 2
S
2

.

.

 V ( s)  S. S
.

.

Để V ( s)  0 thì S  ksign( s) nên :
..

e

1


..

.

x  ksign( s )
..

 x  xd 

1



.

.

( x  xd )  ksign( s )
..

 0.1x2  0.075 x1  0.75u (t )  xd 
 u (t )  0.1x1



.

( x2  xd )  ksign( s)

.
2
4
4
x2  xd  ( x2  xd )  ksign( s )
15
3
3

Code trên matlab

Khối SMC

1

..


Khối Plant

Mô phỏng trên Matlab


BÀI 6:

GENERAL LINEAR MODEL AND LEAST SQUARE
ESTIMATOR
Homework assignment:
Given y = x1 + 2x2 – 3x3 + 2.5x4 + e
Assuming that e is a random noise, find (t) and its parameters by
referencing the given Matlab code.
X(t) = [x1
x2
x3
x4]
(t) = [1
2
3
4]T = [1
2
-3
2.5]T
e is model error
We know that
(t) = X(t) (t)
We also have
(t) = [X(t)XT(t)]-1XT(t)y(t)
We can find out (t), (t) is found as well.
BÀI 7:

RECURSIVE LEAST SQUARE METHOD
Derive the discrete-time recursive least squares algorithm with
exponential forgetting by minimizing the following criterion.

Take the derivative of J





t
dJ
t 1
     T i  yi    T i   0
d
i 1
t
dJ

 t 1    T i yi    T i    0
d
i 1



t 1

   i . yi    i . i    0
t

T

T

T

i 1

t

t

   i . yi      i . T i 
T

i 1

i 1

 t

     i  yi   i . T i 
i 1
 i 1

t

T

Definition:

1 t
Rt     i  T i 
t i 1

1


t

1
f t  
T

  i yi 
T

i 1

 i   arg min   i, k yk    T k  
i

^

2

(1)

k 1

With  i, k  is weighting fuction
_ 1

 i   R
^

i  f i 

(2)

i

_

Rt     i, k  k  T k 

(3)

k 1

i

f t     i, k  k  y k 

(4)

k 1

Suppose that the weighting sequence has the following property

 i, k    i  (i  1, k ),1  k  i  1,  i, i   1

(5)

From (3) and (5) we have

_

i 1

R    i  i  1, k  k  T k    i, i  k  T k 
k 1
_

  i  Ri  1   k  T k 

(6)

(4) and (5) we have
i 1

f i     i  i  1, k  k  yk    i, i  i  yi 
k

  i  f i  1   i yi 

(7)

Replace (7) into (2) we have:
_ 1

 i   R
^

i  i  f i  1   i yi 

(8)

From (2) we have
_ 1 ^

_

f i   R  i   f i  1  Ri  1 i  1
^

(9)

Replace (8) into (9) we have
_ 1
_
_
^


 i   R i  i  Ri  1 i  1   i  yi  (10)


_

_

From (6)  i  Ri  1  Ri    i 
Replace (11) into (10) we have
_ 1

 _




T

i 

(11)



 i   R (t ) Ri    i  T i . i  1   i  yi 
^



^




_ 1

^

 (i  1)  R

i  i  yi    T  i  1 (12)

^





_ 1

Put Pi   R i 
From (11) we have
_

_

Ri    i  Ri  1   T t 

(13)

Using matrix lemma of (13), we have

 A  BCD 1  A1  A1 BDA1 B  C 1 1 DA1
_

A   i  Ri  1
B   i 

Where

D T   i 
C 1

1

_ 1

 _ _ 1
R i  1 R i  1 i   T R i  1
R i  1


R i  


i

i   1 .


 i 
 i 
 i 
 i 


Pi  1 i  T Pi  1
Pi  1
2 i 


 i 

 i    T i Pi  1 i 
 i 
_ 1

_ 1

_ 1


Pi  1 i  T i Pi  1
 Pi  1 

 i    T i Pi  1 i  

 Pi  
 i 

(14)

We have

Pi  1 i  T i Pi  1 i 
 Pi  1 i  

_ 1
 i    T i Pi  1 i  

R i  i  
 i 


Pi  1 i 
 Lt 
 i    T i Pi  1 i 

From (12), (14), and (15), the least square algorithm can be
summarized as follows.
 i    i  1  Li  yi    T i  i  1
^

^


Pi  1 i 
Li  
 i    T i Pi  1 i 

^



(15)



Pi  1 i  T i Pi  1
 Pi  1 

 i    T i Pi  1 i  


 Pi  
 i 
Where  t  is forgetting factor.