Tài liệu Lý thuyết điều khiển hiện đại_ Chapter4 docx

Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 411


Chương 4

ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG



4.1 Giới thiệu
4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững
Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn
ñịnh, không phụ thuộc vào sự thay ñổi của ñối tượng cũng như của nhiễu tác
ñộng lên hệ thống. Mục ñích của ñiều khiển bền vững là thiết kế các bộ ñiều
khiển K duy trì ổn ñịnh bền vững không chỉ với mô hình danh ñịnh của ñối
tượng (P
0
) mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số
∆
so với mô hình
chuẩn (
∆
P
).

P
0
:Mô hình chuẩn (mô hình danh
ñịnh)
∆

P
:Mô hình thực tế với sai lệch

∆
so với mô hình chuẩn

Hình 4.1 : Mô hình ñiều khiển bền vững

Cho tập mô hình có sai số
∆
P
và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử
P
0

∈
∆
P
là mô hình danh ñịnh dùng ñể thiết kế bộ ñiều khiển K.Hệ thống
hồi tiếp vòng kín ñược gọi là có tính :
- Ổn ñịnh danh ñịnh: nếu K ổn ñịnh nội với mô hình danh ñịnh P
0

- Ổn ñịnh bền vững: nếu K ổn ñịnh nội với mọi mô hình thuộc
∆
P

- Chất lượng danh ñịnh: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mô
hình danh ñịnh P
0

Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 412
- Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mọi
mô hình thuộc
∆
P

Mục tiêu bài toán ổn ñịnh bền vững là tìm bộ ñiều khiển không chỉ ổn ñịnh
mô hình danh ñịnh P
0
mà còn ổn ñịnh một tập các mô hình có sai số
∆
P

4.1.2 Chuẩn của tín hiệu
4.1.2.1 Khái niệm chuẩn
Trong ñiều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan ñến
tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu
hoặc một vài tín hiệu ñiển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm
rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác
nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu ñể chọn lọc
ra ñược những tín hiệu phù hợp cho công việc.
Các khái niệm như tín hiệu x
1
(t) tốt hơn tín hiệu x
2
(t) chỉ thực sự có nghĩa
nếu như chúng cùng ñược chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào ñó. Cũng
như vậy nếu ta khẳng ñịnh rằng x

1
(t) lớn hơn x
2
(t) thì phải chỉ rõ phép so
sánh lớn hơn ñó ñược hiểu theo nghĩa nào, x
1
(t) có giá trị cực ñại lớn hơn ,
có năng lượng lớn hơn hay x
1
(t) chứa nhiều thông tin hơn x
2
(t)…..Nói một
cách khác ,trước khi so sánh x
1
(t) với x
2
(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một
tín hiệu một giá trị ñánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh ñược lựa chọn .
ðịnh nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)||
∈
R
+
chuyển
x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ ñược gọi là chuẩn
của x(t) nếu nó thỏa mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (4.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)||
∀
x(t), y(t) (4.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)||

∀
x(t) và
Ra ∈∀
. (4.3)
4.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong ñiều khiển cho một tín hiệu x(t):
- Chuẩn bậc 1:
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(||
1
(4.4)
- Chuẩn bậc 2:
∫
∞
∞−
= dttxtx
2
2
|)(|||)(|| . (4.5)
Chương 4
:
ð
i
ề
u khi
ể
n b
ề

n v
ữ
ng
Trang 413
Bình ph
ươ
ng chu
ẩ
n b
ậ
c hai chính là giá tr
ị

ñ
o n
ă
ng l
ượ
ng c
ủ
a tín hi
ệ
u x(t).
-Chu
ẩ
n b
ậ
c p:
p
p

p
dttxtx
∫
∞
∞−
= |)(|||)(|| v
ớ
i p ∈ N (4.6)
- Chu
ẩ
n vô cùng: |)(|sup||)(||
txtx
t
=
∞
(4.7)
ñ
ây là biên
ñộ
hay
ñỉ
nh c
ủ
a tín hi
ệ
u
Khái ni
ệ
m chu
ẩ

n trong
ñị
nh ngh
ĩ
a trên không b
ị
gi
ớ
i h
ạ
n là ch
ỉ
cho m
ộ
t tín
hi
ệ
u x(t) mà còn
ñượ
c áp d
ụ
ng
ñượ
c cho c
ả
vector tín hi
ệ
u g
ồ
m nhi

ề
u ph
ầ
n
t
ử
và m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử
l
ạ
i là m
ộ
t tín hi
ệ
u.
Xét m
ộ
t vector tín hi
ệ
u:
x(t) =











)(
)(
1
tx
tx
n
M

- Chu
ẩ
n 1 c
ủ
a vector
x:


∑
=
=
n
i
i
xx
1
1

(4.8)
- Chu
ẩ
n 2 c
ủ
a vector
x
:

∑
=
=
n
i
i
xx
1
2
2
(4.9)

- Chu
ẩ
n vô cùng c
ủ
a vector
x
:

ni

i
xx
,...,2,1
max
=
∞
= (4.10)
4.1.2.3 Quan h
ệ
c
ủ
a chu
ẩ
n v
ớ
i
ả
nh Fourier và
ả
nh Laplace:
ðể
ph
ụ
c v
ụ
m
ụ
c
ñ
ích s

ử
d
ụ
ng khái ni
ệ
m chu
ẩ
n vào
ñ
i
ề
u khi
ể
n ,ta c
ầ
n quan
tâm t
ớ
i m
ố
i liên quan gi
ữ
a chu
ẩ
n tín hi
ệ
u x(t) là ||x(t)|| v
ớ
i
ả

nh Fourier
X(j
ω
) c
ũ
ng nh
ư

ả
nh Laplace X(s) c
ủ
a nó.


Ch
ươ
ng 4 :
ð
i
ề
u khi
ể
n b
ề
n v
ữ
ng
Trang 414
ðịnh lí 4.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier
X(j

ω
) của nó có quan hệ :

ωω
π
djXdttxtx
222
|)(|
2
1
|)(|||)(||
2
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
== (4.11)
Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử
rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của ña thức tử số không lớn hơn bậc
ña thức mẫu số ,tức là:

n
n
m
m
sasaa
sbsbb
sA
sB

sX
+++
+++
==
.....
.....
)(
)(
)(
10
10
với m < n (4.12)
ðịnh lí 4.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (4.12) .ðể chuẩn
bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||
1
= K <
∞
thì ñiều kiện cần và ñủ là tất
cả các ñiểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) .
4.1.3 ðại số ma trận
4.1.3.1 Một số ma trận thường gặp:
- Một ma trận A=(a
ij
) có số hàng bằng số cột ñược gọi là ma trận vuông.
ðường chéo nối các phần tử a
ii
trong ma trận vuông ñược gọi là ñường chéo
chính .ðường chéo còn lại ñược gọi là ñường chéo phụ.
A =













nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MMMM
L
L
21
22221
11211
(4.13)
- Một ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không

nằm trên ñường chéo chính ñều bằng 0, ñược gọi là ma trận ñường chéo. Ma
trận ñường chéo ñược ký hiệu bởi:
A =












nn
a
a
a
L
MMMM
L
L
00
00
00
22
11
= diag(a
ij

) (4.14)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 415
- Ma trận ñường chéo I = diag(1) =












100
010
001
L
MMMM
L
L
gọi là ma trận ñơn vị.
- Ma trận vuông A=(a
ij
) có a
ij
= 0 khi i > j (hoặc i < j) ñược gọi là ma trận
tam giác

+ Ma trận tam giác dưới
A=












nnnn
aaa
aa
a
L
MMMM
L
L
21
2221
11
0
00
(4.15)
+ Ma trận tam giác trên
A=













nn
n
n
a
aa
aaa
L
MMMM
L
L
00
0
222
11211
(4.16)
4.1.3.2 Các phép tính về ma trận:
- Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(a
ij

) và B=(b
ij
) cùng có m hàng và n
cột .Tổng hay hiệu A ± B = C =(c
ij
) của chúng ñược ñịnh nghĩa là một ma
trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử
c
ij
= a
ij
+ b
ij
i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.
- Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(a
ij
) có m hàng và n cột và một số
vô hướng thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b
ij
) ñược hiểu là ma trận
cũng có m hàng và n cột với các phần tử

B
ij
= x.a
ij
i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(a
ij
) với m hàng và n cột

là ma trận A
T
= (a
ji
) có n hàng và m cột ñược tạo từ ma trận A qua việc hoán
chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng.
- Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(a
ik
) có m hàng và p cột và ma trận
B=(b
kj
) có p hàng và n cột ,tức là :
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 416
+ A=(a
ik
) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(b
kj
) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(c
ij
) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các
phần tử
C
ij
=
∑
=
p

k
kjik
ba
1

Một ma trận vuông A
nn
R
×
∈ ñược gọi là ma trận trực giao nếu A
T
A=AA
T
=I
4.1.3.3 Hạng của ma trận:
Cho n vector v
i
i=1,2,…,n Chúng sẽ ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu ñẳng
thức a
1
v
1
+a
2
v
2
+…….+a
n
v
n

=0 trong ñó a
i
là những số thực (hoặc phức) sẽ
ñúng khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …..=a
n
= 0
Xét một ma trận A=(a
ij
) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector
hàng có nhiều nhất p ≤ m vector ñộc lập tuyến tính và trong số n vector cột
có nhiều nhất q ≤ n vector ñộc lập tuyến tính thì hạng ma trận ñươc hiểu là:
Rank(A) = min{p,q}
Một ma trận vuông A kiểu (n
×
n) sẽ ñược gọi là không suy biến nếu
Rank(A)=n .Ngược lại nếu Rank(A) <n thì A ñược nói là ma trận suy biến
Hạng ma trận có các tính chất sau:
- Rank(A) = min{p,q} (4.17)
- Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (4.18)
- Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (4.19)
- Nếu B không suy biến thì rank(AB) = rank(B) (4.20)
4.1.3.4 Ma trận nghịch ñảo:
Cho ma trận A=(a
ij
),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong ñó a
ij

là những số thực
(hoặc phức),nói cách khác A ∈ R
m
×
n
(hoặc A ∈ C
m
×
n
).Nếu tồn tại một ma
trận B thỏa mãn :
AB = BA =
I
(ma trận ñơn vị) (4.21)
Thì ma trận B ñược gọi là
ma tr
ậ
n ngh
ị
ch
ñả
o
của A và ký hiệu là B = A
-1
.
Ch
ươ
ng 4
: ðiều khiển bền vững
Trang 417

Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA
-1
và A
-1
A cho ra kết quả có cùng kiểu
nên ma trận A phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do
det(
I
) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A
-1
) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A
-1
) ≠ 0. (4.22)
Vậy A phải là ma trận không suy biến.
Ma trận nghịch ñảo A
-1
của A có tính chất sau:
- Ma trận nghịch ñảo A
-1
của A là duy nhất (4.23)
- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với
phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (4.24)
- Nghịch ñảo ma trận kiểu (2
×
2):







−
−
=






=
−
ac
bd
A
dc
ba
A
)det(
1
1
(4.25)
- (AB)
-1
= B
-1
A
-1

(4.26)
- (A
-1
)
T
= (A
T
)
-1
(4.27)
- Nếu A = diag(a
i
) và không suy biến thì A
-1
= diag






i
a
1
(4.28)
- A
-1
=
)det(
A

A
adj
(4.29)
trong ñó A
adj
là ma trận có các phần tử a 
ij
= (-1)
i+j
det(A
ij
) với A
ij
là ma trận
thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi hàng thứ j và như cột thứ i.
- Cho ma trận A ∈ R
n
×
n
không suy biến . Nếu U ∈ R
n
×
m
và V ∈ R
n
×
m
là
hai ma trận làm cho (I+V
T

A
-1
U) cũng không suy biến thì
(A+UV
T
)
-1
= A
-1
– A
-1
U(I+V
T
A
-1
U)
-1
V
T
A
-1
(4.30)
- Cho ma trận vuông A =






43

21
AA
AA
không suy biến,trong ñó A
1
,A
2
,A
3
,A
4

cũng là các ma trận.
Nếu A
1
không suy biến và B = A
4
– A
3
A
1
-1
A
2
cũng không suy biến thì








−
−+
=






=
−
−
−
−
−−
−−
−
−
−
1
1
13
1
1
2
1
1
1

13
1
2
1
1
1
1
1
43
21
1
BAAB
BAAAABAAA
AA
AA
A
(4.31)
Ch
ươ
ng 4
: ðiều khiển bền vững
Trang 418
Nếu A
4
không suy biến và C = A
1
– A
2
A
4

-1
A
3
cũng không suy biến thì






+−
−
=






=
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
1

32
1
3
1
4
1
4
1
3
1
4
1
42
11
1
43
21
1
AACAAAACAA
AACC
AA
AA
A
(4.32)
4.1.3.5 Vết của ma trận:
Cho ma trận vuông A=(a
ij
) ,i,j=1,2,……,n kiểu (nxn).Vết của A ñược hiểu
là tổng giá trị các phần tử trên ñường chéo chính của A và ñược ký hiệu
bằng trace(A):

trace=
∑
=
m
i
ii
a
1
(4.33)
Vết của ma trận có các tính chất:
a. trace(AB) = trace(BA) (4.34)
b. trace(S
-1
AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (4.35)
4.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng:
Số thực
λ
ñược gọi là giá trị riêng và vector x ñược gọi là vector riêng bên
phải ứng với giá trị riêng
λ
của A thỏa mãn:
Ax =
λ
x
∀
x (4.36)
⇔ (A -
λ
I)x = 0
∀

x (4.37)
Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau:
a. Hai ma trận tương ñương A và S
-1
AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách
khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến ñổi tương ñương:
det(A-
λ
I)=det(S
-1
AS-
λ
I) (4.38)
b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là:
det(A-
λ
I)=det(A
T
-
λ
I) (4.39)
c. Nếu A không suy biến thì AB và BA có cùng các giá trị riêng ,tức là:
det(AB-
λ
I)=det(BA-
λ
I) (4.40)
d. Nếu A là ma trận ñối xứng (A
T
=A) thì các vector riêng ứng với những giá

trị riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau
Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) ñể tìm ma trận riêng và vector riêng.
Ch
ươ
ng 4
: ðiều khiển bền vững
Trang 419
4.1.3.7 Tính toán ma trận:
Cho ma trận X = (x
ij
) ∈ C
m
×
n
là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C
là một vô hướng thực hoặc phức của X .ðạo hàm của F(X) ñối với X ñược
ñịnh nghĩa









∂
∂
=
∂

∂
)()( XF
x
XF
X
ij
(4.41)
Cho A và B là nh
ữ
ng ma tr
ậ
n ph
ứ
c v
ớ
i không gian t
ươ
ng thích .M
ộ
t s
ố
công
th
ứ
c
ñạ
o hàm :

( )
( )

( )
1
(4.42)
( ) (4.43)
2 ( ) (4.44)
( ) (4.45)
( ) (4.46)
−
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= =
∂
∂
= +
∂
∂
=
∂
T T
k k T
T T
T T
T
Trace AXB A B
X

Trace X k X
X
Trace XBX XB B B
X
X AX AX A X
X
Trace AX B BA
X

4.1.3.8 Chu
ẩ
n c
ủ
a ma tr
ậ
n:
Ng
ườ
i ta c
ầ
n
ñế
n chu
ẩ
n c
ủ
a ma tr
ậ
n là nh
ằ

m ph
ụ
c v
ụ
vi
ệ
c kh
ả
o sát tính gi
ả
i
tích c
ủ
a nó.Có nhi
ề
u chu
ẩ
n khác nhau cho m
ộ
t ma tr
ậ
n A=(a
ij
)
,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Nh
ữ
ng chu
ẩ
n thông th

ườ
ng
ñượ
c s
ử
d
ụ
ng:
- Chu
ẩ
n 1 c
ủ
a ma tr
ậ
n A

∑
=
≤≤
=
m
i
ij
nj
aA
1
1
1
max
(4.47)

- Chu
ẩ
n 2 c
ủ
a ma tr
ậ
n
A


)(max
*
1
2
AAA
i
ni
λ
≤≤
=
(4.48)
- Chu
ẩ
n vô cùng c
ủ
a ma tr
ậ
n
A

Ch
ươ
ng 4
:
ð
i
ề
u khi
ể
n b
ề
n v
ữ
ng
Trang 420

∑
=
≤≤
∞
=
n
j
ij
mi
aA
1
1
max
(4.49)

- Chu
ẩ
n Euclide c
ủ
a ma tr
ậ
n
A
(chu
ẩ
n Frobenius)

)(
2
AAtraceaA
T
i j
ij
F
==
∑∑
(4.50)
v
ớ
i
*
A
là ma tr
ậ
n chuy

ể
n v
ị
và l
ấ
y liên hi
ệ
p.
)(
*
AA
i
λ
là tr
ị
riêng c
ủ
a ma
tr
ậ
n
AA
*
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c không âm.

4.1.4 Trị suy biến của ma trận – ñộ lợi chính(Principal gain)
Trị suy biến của ma trận A(m x l) ñược ký hiệu là )(A
i
σ
ñược ñịnh nghĩa
như sau:

kiAAA
ii
,...2,1)()(
*
==
λσ
(4.51)
với
},min{ lmk = .
Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và ñặt
ω
js =
)0( ∞<≤
ω
, thì trị suy biến của )(
ω
jA là một hàm của
ω
và ñược gọi là
ñộ lợi chính của A(s). Ở ñây chúng ta giả sử rằng
i
σ
ñược sắp xếp theo thứ

tự sao cho
1+
≥
ii
σσ
. Như vậy,
1
σ
là trị suy biến lớn nhất và
k
σ
là trị suy
biến nhỏ nhất. Ký hiệu
σ
là trị suy biến lớn nhất và
σ
là trị suy biến nhỏ
nhất.
Ta có:

)(max)(max)(
*
AAAA
ii
λσσ
==


2
A= (4.52)

với
2
2
2
sup
x
Ax
A = .
ðộ lợi của hệ ña biến nằm giữa ñộ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất.
Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)
Ví dụ: Cho ma trận A:
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 421
>> A =










7
8
4
2
6
9

;
>> S =svd(A)
S =
[14.9359
5.1883]
S: vector của các giá trị suy biến của ma trận A






=
12998
98121
* AA
06005250
2
=+−
λλ

082.98125
2,1
±+=
λ

9359.14082.223max)( ==A
σ

1883.5918.26)( ==A

σ

Ý nghĩa vật lý của
σσ
, : với mọi giá trị tần số ω giá trị suy biến nhỏ nhất
phải thỏa ñiều kiện của tiêu chuẩn tối ưu LQ:
1)]([ ≥+
ωσ
jKGI











Re
0
1
Biểu ñồ phân bố cực cho tiêu chuẩn tối ưu LQ
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
Im
0=

ω
∞=
ω
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 422

Re
0
1
PM
Xác ñịnh ñộ dữ trữ pha của hệ ña biến
Re
Im
0
1
1 1
60
ðộ dữ trữ pha ñảm bảo của LQR
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
[ ]
)(1
ωσ
jKG+
Im
∞=
ω
0=
ω
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 423

4.1.5 Ổn ñịnh nội
Ổn ñịnh nội là yêu cầu cơ bản ñối với một hệ thống hồi tiếp thực. Ý nghĩa
của ổn ñịnh nội là khi ñầu vào hệ thống bằng không thì tất cả các trạng thái
hệ thống ñều phải về không từ mọi giá trị ban ñầu. Mọi hệ thống tự ñộng
ñều phải bảo ñảm ổn ñịnh nội mới hoạt ñộng ñược.

Hình 4.2 : Sơ ñồ hệ thống dùng ñể phân tích ổn ñịnh nội

ðịnh nghĩa :
Hệ hồi tiếp hình 4.2 ñược gọi là ổn ñịnh nội nếu tất cả các hàm truyền ñạt từ
w
1
, w
2
ñến e
1
, e
2
ñều ổn ñịnh.
ðiều kiện ổn ñịnh nội chặt hơn ñiều kiện ổn ñịnh dựa trên hàm truyền vào-
ra thông thường, vì nó tránh việc khử các cực và zero không ổn ñịnh giữa
các khâu liên tiếp nhau. Khi thành lập hàm truyền vào-ra, có thể xảy ra hiện
tượng khử cực và zero không ổn ñịnh của các khâu liên tiếp nhau. Như vậy,
ñiều kiện ổn ñịnh nội bảo ñảm các tín hiệu bên trong hệ thống ñều hữu hạn
khi tín hiệu vào là hữu hạn.
Ví dụ, ta khảo sát ñiều kiện ổn ñịnh nội của hệ thống hình 4.2:
2
1
1
1

2
212122
2
1
1
1
1
121211
)()(
)()(
wGKIGwGKIe
GKeGwwGewe
KwKGIwKGIe
KGeKwwKewe
−−
−−
−+−=⇒
++=+=
−+−=⇒
++=+=


G
K
w
1

e
1

e
2


w
2

+
+
+
+
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 424
Suy ra:
1 1
1 1
1 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
e w
e w
− −
− −
 
− −
   
=
 
   

− −
   
 
I KG I KG K
I GK G I GK

ðiều kiện ổn ñịnh nội của hệ là các hàm truyền
1
( )
−
−I KG ,
1
( )
−
−I KG K ,
1
( )
−
−I GK G ,
1
( )
−
−I GK ñều ổn ñịnh.
4.1.6 ðịnh lý ñộ lợi nhỏ (Small Gain Theorem)
Cho hệ thống ñược biểu diễn như hình 4.3:

Gọi λ
i
là trị riêng của G

Hình 4.3 : Hệ thống hồi tiếp vòng kín
ðịnh lý ñộ lợi nhỏ ñược phát biểu như sau:
Giả thiết rằng G(s) ổn ñịnh, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω). Hệ thống
vòng kín ổn ñịnh nếu
( )
1max))(( <=
i
jG
λωρ
, hoặc ( ) 1,G j
ω ω
∞
< ∀
ðối với hệ SISO thì

1)())(( <=
ωωρ
jGjG (4.53)
ðịnh lý ñộ lợi nhỏ chỉ là ñiều kiện ñủ ñể xét ổn ñịnh của hệ thống. ðiểm
mạnh của ñịnh lí này là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ
thống.Vì vậy nó không chỉ ứng dụng ñược cho hệ thống tuyến tính bất biến
theo thời gian mà còn ứng dụng ñược cho hệ thống phi tuyến, thay ñổi theo
thời gian.
4.1.7 Ổn ñịnh bền vững
4.1.7.1 ðịnh lý ổn ñịnh bền vững
ðây là mô hình cơ bản dùng ñể phân tích tính ổn ñịnh bền vững của một hệ
thống. Nếu hệ danh ñịnh ổn ñịnh thì M ổn ñịnh và ∆ là sai số có thể làm
cho hệ thống mất ổn ñịnh. ðịnh lý sau thiết lập ñiều kiện của M ñể cho hệ
thống vẫn ổn ñịnh dưới ảnh hưởng của ∆
G

r y
-
u
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 425
K
v

-
G

+
∆
A
δ
w
M

Hình 4.4 : Sơ ñồ cấu trúc phân tích ổn ñịnh bền vững
ðịnh lý ổn ñịnh bền vững:
Giả sử M và ∆ ổn ñịnh, hệ thống vòng kín hình 4.4 sẽ ổn ñịnh khi và chỉ khi
biểu ñồ cực của ñường cong Nyquist det(I-M∆) không bao ñiểm gốc. Khi ñó
hệ thống vòng kín sẽ ổn ñịnh bền vững với mọi ∆ )1)(( ≤∆
σ
nếu và chỉ nếu
khi một trong các ñiều kiện sau thỏa mãn:
a.
)1(,0))(( ≤∆∀∀≠∆−
σωω
jMIDet (4.54)

b.
)1(,1))(( ≤∆∀∀<∆
σωωρ
jM (4.55)
c.
ωωσ
∀<=
∞
1))(( jMM (4.56)
4.1.7.2 ðiều kiện ổn ñịnh bền vững ñối với sai số cộng:
Với
ωωσδ
∀≤∆∆=∆ 1))((),()()( jsss
AA
, (4.57)








Hình 4.5 : Sai số cộng
Ta có:
( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
A
v s K s s w s G s v s
δ
= − + (4.58)

v
M

∆

w
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 426
hay

1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )
A
v s I K s G s K s s w s
δ
−
= − + (4.59)
vậy

)]()([
)()(
)(
sGsKI
ssK
sM
A
+
−=
δ
(4.60)

Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 4.5 ổn ñịnh bền vững khi và chỉ khi:

)(
ωσ
j =||M(s)||
∞
=

1
)]()([
)()(
<
+
∞
sGsKI
ssK
A
δ
(4.61)

4.1.7.3
ðiều kiện ổn ñịnh bền vững ñối với sai số nhân ở ñầu ra

Hình 4.6 : Sai số nhân ở ñầu ra

V
ới
ωωσδ
∀≤∆∆=∆ 1))((),()()( jsss

OO
, (4.62)
Ta có:
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]
O
v s G s K s s w s v s
δ
= − + (4.63)
hay

1
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
O
v s I G s K s G s K s s w s
δ
−
= − + (4.64)
K
v

-
G

+
∆
0
δ

w
M

Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 427
vậy

)()(
)()()(
sKsGI
ssKsG
M
O
+
−=
δ
(4.65)
Kết luận: Hệ thống vòng kín hình 4.6 ổn ñịnh bền vững khi và chỉ khi:

1
)()(
)()()(
<
+
∞
sKsGI
ssKsG
O
δ
(4.66)

4.2 Phương pháp LQG (Linear Quadratic Gaussian)
4.2.1 ðặt vấn ñề

Cho hệ thống

Rt
tDxtz
tvtCxty
twtButAxtx
∈
=
+=
++=
)()(
)()()(
)()()()(
γ
&
(4.67)
Ngõ ra y là ngõ ra h
ồ
i ti
ế
p và
ñ
o
ñượ
c. Ngõ ra z là
ñ
i
ề
u khi
ể

n
ñượ
c. Tín
hi
ệ
u nhi
ễ
u w là nhi
ễ
u h
ệ
th
ố
ng và v là nhi
ễ
u
ñ
o .
Tín hi
ệ
u v và w là nh
ữ
ng quá trình nhi
ễ
u tr
ắ
ng .Tr
ạ
ng thái ban
ñầ

u c
ủ
a x(0)
ñượ
c gi
ả
s
ử
là m
ộ
t vector ng
ẫ
u nhiên .
Bi
ế
n tr
ạ
ng thái x(t)
∈
R
n
, ngõ ra
ñ
o
ñượ
c y(t)
∈
R
p
và ngõ ra

ñ
i
ề
u khi
ể
n
ñượ
c
z(t)
∈
R
m
là nh
ữ
ng quá trình ng
ẫ
u nhiên. Bi
ể
u th
ứ
c sai s
ố
toàn ph
ươ
ng:
0)()()()(
≥+
ttRututQztz
TT
(4.68)

là m
ộ
t quá trình ng
ẫ
u nhiên.
V
ấ
n
ñề
c
ủ
a
ñ
i
ề
u khi
ể
n h
ệ
th
ố
ng là giá tr
ị
mong
ñợ
i c
ủ
a tích phân

dttRututQztzE

T
TT
])()()()([
0
∫
+
(4.69)
là nhỏ.
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 428
ðây là vấn ñề ñiều khiển tuyến tính nhiễu loạn. Khoảng thời gian [0 T] là
xác ñịnh nhưng thật sự chúng ta xem xét trường hợp T
∞→
. Tại bất kỳ thời
gian t toàn bộ tín hiệu ño ñược ở quá khứ ñược giả sử có giá trị cho hồi
tiếp. Hình (4.7) làm rõ trường hợp này :

Hình 4.7 : Hồi tiếp LQG
4.2.2 Bộ quan sát
Xem xét hệ thống quan sát :

n
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t
x t R
= +
=

∈
&
(4.70)
ðây là hệ thống (4.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu ño v.
Trạng thái x của hệ thống (4.70) không thể sử dụng ñược trực tiếp bởi vì chỉ
ngõ ra y là ño ñược. Xây dựng lại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc
kết nối một bộ quan sát :

RttxCtyLtButxAtx ∈−++= )](
ˆ
)([)()(
ˆ
)(
ˆ
&
(4.71)
Tín hiệu
)(
ˆ
tx là một ước lượng của trạng thái x(t). Nó thỏa mãn phương
trình vi phân trạng thái của hệ thống (4.70) với thành phần thêm vào
L
)](
ˆ
)([ txCty − . L là ma trận ñộ lợi quan sát cần ñược lựa chọn phù hợp. Sai
số quan sát y(t)
)(
ˆ
txC−
là sự khác nhau giữa ngõ ra ño ñược thực tế y(t) và

SYSTEM
CONTROLLER
w
v
u
+
+
y
z
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 429
ngõ ra )(
ˆ
)(
ˆ
txCty = .Thành phần thêm vào L )](
ˆ
)([ txCty − cung cấp một sự
ñiều chỉnh chủ ñộng ngay khi sai số của sự quan sát là khác 0.

Hình 4.8 : Cấu trúc của một bộ quan sát
Hình (4.8) cho thấy cấu trúc của bộ quan sát .ðịnh nghĩa :

)(
ˆ
)()(
~
txtxtx −= (4.72)
là sai số ước lượng trạng thái. Phương trình vi phân của
x

~
nhận ñược sau
khi trừ (4.70) cho (4.71) :

( ) ( ) ( )x t A LC x t t R
= − ∈
&
% %
(4.73)
Nếu hệ thống (4.70) ñược tìm thấy thì tồn tại ma trận ñộ lợi L mà sai số hệ
thống (4.73) là ổn ñịnh. Nếu sai số hệ thống là ổn ñịnh thì
∞→→ tkhitx 0)(
~
cho bất kỳ sai số
x
~
(0). Vì vậy
)()(
ˆ
txtx
t
 →
∞→
(4.74)
Trạng thái ước lượng hội tụ về trạng thái thực.
Trong Matlab dùng hai lệnh acker và place ñể tính ma trận L của khâu
quan sát trạng thái :
L= acker(A
T
,C

T
,p)
L= place(A
T
,C
T
,p)
A
T
: Chuyển vị của ma trận A
C
T
: Chuyển vị của ma trận C
p : Khai báo các ñiểm cực mong muốn
SYSTEM
SYSTEM
MODEL
L
y
ˆ

y

z

x
ˆ

u

+
-
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 430
4.2.3 Bộ lọc Kalman
4.2.3.1 ðặt vấn ñề:
Bộ lọc Kalman là một bộ quan sát ñược sử dụng cho các ứng dụng yêu cầu
xây dựng lại hệ phương trình trạng thái khi tính ñến ảnh hưởng của nhiễu ño
ñược.
Phương trình trạng thái của ñối tượng :

x
&
=Ax+Bu+
γ
w (4.75)
y=Cx+v (4.76)
với trạng thái x(t)
∈
R
n
,ngõ vào ñiều khiển u(t)
∈
R
m
, và ngõ ra ño lường
y(t)
∈
R
p

.Tín hiệu w(t) là nhiễu quá trình chưa biết trước tác ñộng làm nhiễu
hệ thống.Tín hiệu v(t) là một nhiễu ño không xác ñịnh ñược , làm suy giảm
việc ño lường chẳng hạn như nhiễu cảm biến.Giá trị ban ñầu x(0), nhiễu
w(t) hoặc v(t) không biết ñược chính xác.Giả sử x(0), w(t) và v(t) ñều trực
giao qua lại với nhau.















Hình 4.9 : Bộ quan sát trạng thái của Kalman
y
ˆ

B
∫

L
γ

C
C
A
B
A
∫

y
y
~

x
ˆ

-
x
x
&
x
&
ˆ

w(t)
v(t)
u

Hệ thống
Bộ lọc Kalman
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 431

Gọi
)(
ˆ
tx
là ước lượng của x .
Phương trình trạng thái của khâu lọc Kalman :

ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
x Ax Bu L y y
y Cx
= + + −
=
&
(4.77)
Mục tiêu của thiết kế bộ lọc Kalman : Tìm ñộ lợi ước lượng L ñể có sự ước
lượng tối ưu trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t)
Sai số ước lượng:
)(
ˆ
)()(
~
txtxtx
−= (4.78)
ðộ lợi L sẽ ñược chọn sao cho giá trị trung bình của sai số ước lượng toàn
phương là bé nhất .
4.2.3.2 Cơ sở toán học:
Lý thuyết xác suất:
Từ phương trình (4.75) ñược thêm vào bởi nhiễu quá trình, trạng thái x(t)

bây giờ cũng là một quá trình ngẫu nhiên như là y(t). ðể khảo sát những
ñặc tính thông thường của quá trình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái
niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984). Mặc dù w(t) và v(t) là những ñại
lượng ngẫu nhiên không biết ñược, nhưng cần biết một vài ñặc ñiểm ñể hỗ
trợ việc thiết kế các bộ ñiều khiển. Chẳng hạn như có thể biết ñược giá trị
trung bình hoặc tổng năng lượng của chúng.
Cho vector ngẫu nhiên z
∈
R
n
,f
z
(
ξ
) là hàm mật ñộ xác suất (PDF) của z.
ðại lượng PDF ñặc trưng cho xác suất mà z lấy giá trị bên trong vùng vi
phân d
ξ
ñặt giữa
ξ
.
Giá trị mong muốn của hàm g(z) của vector ngẫu nhiên ñược xác ñịnh như
sau :
E
{ }
)(zg
=
∫
∞
∞−

)(
ξ
g ƒ(
ξ
)d
ξ
(4.79)
Giá trị trung bình hay mong muốn của z ñược xác ñịnh như sau:
E{z}=
∫
∞
∞−
ξ
ƒ
z
(
ξ
)d
ξ
(4.80)
ñược ký hiệu bằng z . Chú ý rằng z
∈
R
n
.
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 432
Hiệp phương sai của z ñược cho bởi
P
z

=E
{ }
T
zzzz ))(( −− (4.81)
Chú ý rằng P
z
là ma trận hằng n×n
Phần quan trọng của vector ngẫu nhiên ñược ñặc trưng bởi Gaussian hoặc
nomal PDF
ƒ
z
(
ξ
)=
||)2(
1
z
n
P∏
e
2/)(2/)(
1
−
−
−
−−− zPz
T
ξξ
(4.82)
Trong trường hợp vô hướng

1n =
, (4.82) trở thành:
z
Pz
z
z
e
P
f
2/)(
2
2
1
)(
−−
Π
=
ξ
ξ
(4.83)
ñược minh họa ở hình 4.10 .Vì vậy những vector ngẫu nhiên lấy giá trị gần
với
z có xác suất lớn nhất và xác suất sẽ giảm khi lấy giá trị xa z .Nhiều
biến ngẫu nhiên là Gaussian.
Nếu vector ngẫu nhiên là một hàm của thời gian ñược gọi là một quá trình
ngẫu nhiên ñược tượng trưng là z(t). Khi ñó PDF có thể thay ñổi theo thời
gian và chúng ta viết là ƒ
z
(
ξ

,t). ðiều ñó có thể tưởng tượng rằng PDF ở
hình 4.10 thay ñổi theo thời gian. Trong tình huống này, giá trị mong ñợi và
ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thế chúng có thể biểu
diễn z (t) và P
z
(t).

Hình 4.10 : Gaussian PDF
Z
f
z
(
ξ
)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 433
Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng có PDF bất biến theo thời gian
ðó là những quá trình tĩnh, thậm chí chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên vẫn
có trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số.
ðặc trưng cho liên hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên z(t) và x(t), có thể sử
dụng PDF kết hợp ƒ
zx
( )
21
,,, tt
ξς
, tượng trưng cho xác xuất mà (z(t
1
), x(t
2

))
ở trong vùng vi phân d
ς
× d
ξ
ở giữa (
ξς
, ). Giả sử rằng các quá trình z(t)
và x(t) là liên kết tĩnh , PDF kết hợp không là hàm của cả hai thời gian t
1
và
t
2
nhưng nó chỉ dựa vào sai biệt (t
1
-
2
t
).
Trong nhiều trường hợp tĩnh, giá trị mong muốn của hàm hai biến g(z,x)
ñược xác ñịnh bởi:
E
{
))(),((
21
txtzg
}
=
∫
+∞

∞−
g(
ξς
, )ƒ
zx
(
ξς
, ,t
1
- t
2
)d
ς
d
ξ
(4.84)
Ma trận tương quan chéo ñược xác ñịnh bởi
R
zx
(
τ
)=E
{ }
)()( txtz
T
τ
+ (4.85)
Do ñó, ma trận tương quan chéo của hai quá trình không tĩnh mà ñược xác
ñịnh bởi
R

zx
(t,
τ
)=E
{ }
)()(
τ
T
xtz (4.86)
Xem như z(t
1
) và z(t
2
) như là hai quá trình ngẫu nhiên của quá trình tĩnh,
hàm tự tương quan z(t) ñược xác ñịnh như sau:
R
z
(
τ
)=E
{ }
)()( tztz
T
τ
+ (4.87)
Hàm tự tương quan ñem ñến cho ta vài thông tin quan trọng về quá trình
ngẫu nhiên z(t). Thí dụ như :
trace
[ ]
)0(

z
R
=trace
{ }
[ ]
)()( tztzE
T
=E
{ }
)(tz (4.88)
tương ñương với tổng năng lượng của quá trình z(t).
Nếu
0)( =
τ
zx
R (4.89)
Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 434
z(t) và x(t) ñược gọi là trực giao với nhau.
Nếu
R
z
(
τ
)=P )(
τδ
(4.90)
trong ñó P là ma trận hằng và
δ
(t) là xung Dirac, thì z(t) là trực giao với

z(t +
τ
) với các giá trị
τ
≠ 0. ðiều này có nghĩa là giá trị của quá trình z(t)
tại thời ñiểm t không có sự liên hệ với giá trị tại các thời ñiểm
≠
τ
t. Vì vậy
z(t) ñược gọi là nhiễu trắng .Ví dụ như nhiễu nhiệt ở mạch ñiện nguyên
nhân vì sự chuyển ñộng nhiệt ở các electron ở ñiện trở .
Chú ý rằng Pδ(0) là hiệp phương sai của z(t). P ñược gọi là ma trận mật ñộ
phổ.Thỉnh thoảng nó cũng ñược xem như là ma trận hiệp phương sai
4.2.2.3 Thiết kế bộ lọc Kalman:
Giả sử x(0) có thể ñược thay thế bằng các ñại lượng biết trước
x
0
(giá trị
trung bình của x(0)) và hiệp phương sai P
0
, có thể biểu diễn như sau :

x
(0)
≈
(x
0
,P
0
) (4.91)

Như vậy không thể giả sử w(t) và v(t) có trị trung bình bằng 0 ñược. Giả sử
rằng nhiễu quá trình và nhiễu ño là nhiễu trắng, do vậy:
R
w
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Wtwtw
T
=+ (4.92)
R
v
(
τ
)=E
{ }
)()()(
τδτ
Vtvtv
T
=+ (4.93)
Ma trận mật ñộ phổ W và V sẽ ñược giả sử ñã biết trước.Theo tính chất của
hàm tự tương quan, W và V là bán xác ñịnh dương. Giả sử thêm rằng V là
không suy biến.Tóm lại, có thể giả sử rằng :
w(t)
≈
(0,W), W ≥ 0 (4.94)

v(t)
≈
(0,V), V>0 (4.95)
Việc giả sử w(t) và v(t) là nhiễu trắng trong một vài ứng dụng có thể là xấu.
Thí dụ như nhiễu ở tần số thấp. Tuy nhiên, giả sử rằng w(t) không là nhiễu
trắng, có thể xác ñịnh ñược một hệ thống:

Chương 4 : ðiều khiển bền vững
Trang 435
.
0
x
&
=A
w
x
w
+B
w
n (4.96)
w=C
ww
x +D n
w
(4.97)
có nhiễu trắng ngõ vào là n(t) và ngõ ra là w(t). Chúng ñược gọi là các bộ
lọc nắn nhiễu . Những ñặc tính ñộng này có thể kết hợp với phương trình
của ñối tượng (4.75), (4.76) ñể có ñược ñặc tính ñộng ñược hiệu chỉnh là:
n
B

D
u
B
x
x
A
CA
x
x
w
w
w
w
w
w






+






+













=






γγ
00
&
&
(4.98)
y=
[ ]
v
x
x
C
w

+






0 (4.99)
Hệ thống ñiều chỉnh này có nhiễu quá trình n(t) là nhiễu trắng. Một thủ tục
tương tự có thể làm theo các bước như thế nếu v(t) không phải là nhiễu
trắng. Do ñó, có thể mô tả một hệ thống với nhiễu không phải nhiễu trắng
dưới dạng một hệ thống ñiều chỉnh với nhiễu quá trình và nhiễu ño lường là
nhiễu trắng.
Xác ñịnh hệ thống (4.96), (4.97) miêu tả nhiễu không phải là nhiễu trắng
w(t) (hoặc v(t)) dựa trên phân tích mật ñộ phổ của nhiễu w(t). Chi tiết xem
Lewis (1986 )
Bây giờ thiết kế bộ ước lượng cho hệ thống (4.75), (4.76) dưới những giả sử
ñã ñược liệt kê. Cho bộ quan sát có dạng như sau:

)
ˆ
(
ˆˆ
yyLBuxAx −++=
&
(4.100)
hoặc
LyBuxLCAx ++−=
ˆ
)(

ˆ
&
(4.101)
Hàm thời gian
x
ˆ
(t) là ước lượng trạng thái và
y
ˆ
= E
{ }
=+
vCx C
x
ˆ
(4.102)
là ước lượng của ngõ ra y(t).
ðộ lợi của bộ ước lượng L phải ñược chọn ñể cung cấp ước lượng tối ưu
trong sự hiện diện của nhiễu w(t) và v(t). ðể chọn L, chúng ta sẽ phải xác
ñịnh sai số ước lượng:

x
~
(t)=x(t)-
x
ˆ
(t) (4.103)