04 ty so the tich

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Phương php: Sử dụng cơng thức thể tích
�Thể tích khối lăng trụ: V  B.h
�Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ cc cạnh a, b, c : V  abc
�Thể tích khối lập phương cạnh a : V  a3
Để tính thể tích của khối lăng trụ A1 A2... An . A1' A2' ... An' ta cần đi tính
chiều cao của lăng trụ v diện tích đy. Cc tính chất của lăng trụ:
a) Hình lăng trụ
�Cc cạnh bn của hình lăng trụ song song v bằng nhau
�Cc mặt bn của hình lăng trụ l cc hình bình hnh
�Hai đy của hình lăng trụ l hai đa gic bằng nhau v nằm trong hai mặt
phẳng song song với nhau.
�Lăng trụ cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc hai đy được gọi l lăng trụ đứng.
* Cc cạnh bn của lăng trụ đứng chính l đường cao của nĩ
* Cc mặt bn của lăng trụ đứng l cc hình chữ nhật
�Lăng trụ đứng cĩ đy l đa gic đều được gọi l lăng trụ đều
Cc mặt bn của lăng trụ đều l cc hình chữ nhật bằng nhau.
b) Hình Hộp : L hình lăng trụ cĩ đy l hình bình hnh
�Hình hộp đứng cĩ cc cạnh bn vuơng gĩc với đy
�Hình hộp đứng cĩ đy l hình chữ nhật được gọi l hình hộp chữ nhật.
�Hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước bằng nhau được gọi l hình lập
phương.
�Đường cho của hình hộp chữ nhật cĩ ba kích thước a, b, c l
d

a2  b2  c2

�Đường cho của hình lập phương cạnh a l d  a 3 .
Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC .A ' B ' C ' cĩ AB  a , gĩc
giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) v ( ABC ) bằng 600 . Gọi G l trọng tm tam gic
A ' BC . Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v tính bn kính mặt cầu ngoại tiếp

tứ diện GABC theo a.
Lời giải.

53


Gọi H l trung điểm của BC, theo
giả thuyết ta cĩ : �
A ' HA  600
Ta cĩ : AH  a 3 , A ' H  2AH  a 3
2

3a
v AA ' 
.
2

Vậy thể tích khối lăng trụ
V 

a2 3 3a 3a3 3
(đvtt).
.

4
2
8

Gọi I l tm của tam gic ABC , suy ra GI / / AA ' � GI  ( ABC )
Gọi J l tm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy ra J l giao điểm của GI

với đường trung trực đoạn GA ; M l trung điểm GA , nn cĩ:
GM .GA GA 2 7a
.


GI
2GI
12
Ví dụ 2..3 Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng,
AB  BC  a , cạnh bn AA '  a 2 . Gọi M l trung điểm của cạnh BC .
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v khoảng cch giữa hai
đường thẳng AM , B ' C
Lời giải.
GM .GA  GJ .GI � R  GI 

Từ giả thiết suy ra tam gic ABC vuơng cn tại B.
Thể tích khối lăng trụ l:
VABC .A ' B ' C '  AA '.S ABC 

2 3
a (đvtt).
2

Gọi E l trung điểm của BB ' .
Khi đĩ mặt phẳng ( AME ) / / B ' C nn

d  AM , B ' C   d  B ' C, ( AME )  d  C , ( AME ) .

Nhận thấy d  C, ( AME )  d  B, ( AME )  h
Do tứ diện BAME cĩ BA, BM , BE đơi một

vuơng gĩc nn:

1
h2



1
BA 2



1
BM 2



1
BE 2



7
a2

�h

a 7
7

Vậy khoảng cch giữa hai đường thẳng AM v B ' C l a 7 .
7

54


Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ BB '  a , gĩc giữa
đường thẳng BB ' v mặt phẳng ( ABC ) bằng 600; tam gic ABC vuơng tại
�
C v BAC
 600 . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm B ' ln mặt phẳng ( ABC )

trng với trọng tm của tam gic ABC . Tính thể tích khối tứ diện A '.ABC
theo a.
Lời giải.
Gọi D l trung điểm AC ,
G l trong tm ABC
�' BG  600
� B ' G  ( ABC ) � B

�' BG  a 3 ;
� B ' G  BB '.sin B
2
a
3a
BG  � BD 
.
2
4

Trong ABC , ta cĩ: BC  AB 3 , AC  AB � CD  AB
2

BC 2  CD2  BD2 �

2

2

2

4

2

3AB
AB
9a


4
16
16

3a 13
3a 13
9a2 3
, AC 
; SABC 

13
26
104
Thể tích khối tứ diện A '.ABC :
� AB 

1
9a3
.
VA ' ABC  VB ' ABC  B ' G.SABC 
3
208
Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ độ di cạnh bn bằng 2a, đy ABC

l tam gic vuơng tại A , AB  a, AC  a 3 v hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh
A ' trn mặt phẳng  ABC  l trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích

khối chĩp A '.ABC v tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA ', B ' C '
Lời giải.

Gọi H l trung điểm BC � A ' H  ( ABC ) v

55


AH 

1
1 2
BC 

a  3a2  a
2
2

A ' H 2  A ' A 2  AH 2  3a2
� A 'H  a 3
VA '. ABC 

1
a3
A ' H .SABC 
3
3

(đvtt).
Trong tam gic vuơng A ' B ' H
cĩ:
A ' B '2  A ' H 2  2a nn tam gic B ' BH cn tại B ' .
�'BH . Vậy
Đặt  l gĩc giữa hai đường thẳng AA' v B'C' thì:   B
HB ' 

cos  

a
1
 .
2.2a 4

Ví dụ 5.3 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cĩ đy ABCD l hình chữ nhật.

AB  a , AD  a 3 . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A1 trn mặt phẳng

( ABCD) trng với giao điểm AC v BD . Gĩc giữa hai mặt phẳng
 ADD1 A1  v (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ đ cho v

khoảng cch từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a .
ĐH Khối B – 2011

Đề thi

Lời giải.
Gọi O  AC �BD, I l trung
điểm cạnh AD .
Ta cĩ AD  ( AOI )
�
��
A1I O   ( ADD1 A1), ( ABCD)  600

Vì OI 

a
, suy ra A1I  2OI  a
2

� A1O  OI .tan 600 

a 3
2

a 3 3a3


A
O
.
S

a
.
a
3.

1
ABCD
1B1C1D1
2
2
Gọi B2 l điểm chiếu của B1 xuống mặt phẳng  ABCD 

Do đĩ VABCD.A

B1C / / A1D � B1C / /( A1BD) � d  B1, ( A1BD)  d  C, ( A1BD)  CH

56


Trong đĩ CH l đường cao của tam gic vuơng BCD
Ta cĩ: CH 

CD.CB
CD2  CB 2



a 3
.
2

Vậy d  B1, ( A1BD)  a 3 .
2
CC BI TỐN LUYỆN TẬP
Bi 1

1. Cho lăng trụ đều ABC.A ' B ' C ' . Biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với mặt
phẳng ( A ' B ' C ') một gĩc 600 v khoảng cch từ A đến mặt phẳng
3a
. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A ' B 'C ' .
2
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A với
AB  a, AC  a 3 . Tính thể tích của khối lăng trụ biết mặt phẳng
( A ' BC ) bằng

( A ' BC ) tạo với đy một gĩc 300 .
3. Cho lăng trụ đều ABC.A ' B ' C ' cĩ cạnh đy bằng a . Gọi M l trung điểm
cạnh CC ' , biết AM  B ' M . Hy tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' v
cơ sin của gĩc hợp bởi hai mặt phẳng ( AMB ') với ( ABC) .
4. Cho lăng trụ đứng tam gic đều ABC.A ' B ' C ' , cĩ cạnh đy bằng a , đường
cho BC ' của mặt bn  BCC ' B ' tạo với mặt phẳng  ABB ' A ' một gĩc 300

. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a .
5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại B ,

AB  a, AA '  2a, A ' C  3a . Gọi M l trung điểm của đoạn thẳng A ' C ' ,
I l giao điểm của AM v A ' C . Tính theo a thể tích khối tứ diện I ABC v
khoảng cch từ điểm A đến mặt phẳng  I BC  .
Bi 2

B C cĩ độ di cạnh bn bằng 2a, đy ABC l
1. Cho khối lăng trụ ABC.A���
tam gic vuơng tại A, AB  a, AC  a 3 v hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh
A ' trn mặt phẳng ( ABC ) l trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích
.ABC v tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng AA ' v B ' C '
khối chĩp A�
.
2. Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l tam gic đều cạnh a, cạnh bn bằng
a 3 v hình chiếu của A ' ln mp( ABC ) trng với trung điểm của BC .Tính
thể tích của khối lăng trụ đĩ.
3. Cho lăng trụ tam gic ABC.A ' B ' C ' cĩ đy l ABC l tam gic cn tại A ,
�
AB  AC  a, BAC
 1200 , hình chiếu của A ' ln mặt phẳng ( ABC) trng
57


với trọng tm tam gic ABC . Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bn
AA '  2a .
B C cĩ độ di tất cả cc cạnh bằng a v hình
4. Cho hình lăng trụ ABC.A ���
A ) l tm của hình bình hnh ABB��
chiếu của đỉnh C trn mặt phẳng ( ABB��
A .
Tính thể tích của khối lăng trụ.

B C cĩ chiều cao bằng h
5. Cho khối lăng trụ tam gic đều ABC.A ���
,BC�vuơng gĩc với nhau. Tính thể tích khối
v hai đường thẳng AB �
lăng trụ v diện tích xung quanh của nĩ.
Bi 3
B C cĩ đy l tam gic đều cạnh
1. Cho hình lăng trụ tam gic ABC.A ���
a,A �
A  A�
B  A�
C  b. Tìm b để gĩc giữa mặt bn (ABB ��
A ) v mặt đy bằng
0
60 v tính thể tích của khối lăng trụ khi đĩ.
)
2. Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A ���
B C cĩ cạnh đy a. Mặt phẳng (ABC�
B ) một gĩc . Tính thể tích v diện tích xung quanh của
hợp với mặt phẳng (BCC��
khối lăng trụ.
B C , cĩ đy ABC l tam gic cn tại
3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
�  . Gọi M l trung điểm của A �
A. Tính thể tích của khối
A,AB  AC  a,BAC
lăng trụ biết tam gic C�
MB vuơng.
4. Cho lăng trụ tam gic ABC.A ���
B C cĩ đy l tam gic vuơng tại

�
AB),(A �
BC),(A �
CA ) nghing đều
A,BC  a,ABC  . Cc mặt phẳng (A �
trn đy một gĩc . Hình chiếu của điểm A �ln mặt phẳng (ABC)
thuộc miền trong tam gic ABC. Chứng minh thể tích của khối lăng
2.a3.sin2 2.tan 
V
.
trụ ABC.A ���
B C được tính theo cơng thức

�  �
32cos cos �  �
2
�4 2 �
B C cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A.
5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
C C) bằng a, khoảng cch
Khoảng cch từ đường thẳng AA �đến mặt phẳng (BB ��
AB) bằng b, mặt phẳng (C�
AB) tạo với đy gĩc . Tính
từ C đến mặt phẳng (C�
thể tích của khối lăng trụ.
Bi 4

1. Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh
2a . Mặt phẳng (B ' AC ) tạo với đy một gĩc 300 , khoảng cch từ B đến mặt
a

. Tính thể tích khối tứ diện ACB ' D ' .
2
2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , AB  a, AD  a 3 . Tính
phẳng (D ' AC) bằng

thể tích khối hộp biết khoảng cch từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) bằng
Bi 5
58

a
.
2


�
B C D cĩ cc cạnh bằng a, BAD
1. Cho hình hộp ABCD.A����
 600,
� � 900, DAA
� � 1200. Tính thể tích khối hộp.
BAA
2. Cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' cĩ tất cả cc mặt đều l hình thoi cạnh a ,
� '  BAD
�
� '  600 . Tính thể tích khối hộp
cc gĩc BAA
 DAA
ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a.
B C D cĩ tất cả cc cạnh đều bằng
3. Cho hình hình hộp ABCD.A ����

� �
�  DAA
� �
a,BAA
 BAD
 ,(0    900 ). Tính thể tích của khối hộp theo a v .
Bi 6
B C cĩ đy l tam gic vuơng tại
1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
B,AB  a,BC  2a,AA �
 3a. Mặt phẳng ( ) qua A v vuơng gĩc với CA �lần
lượt cắt cc đoạn thẳng CC�v BB �tại M,N. Tính diện tích tam gic AMN.
2. Cho hình lăng trụ tứ gic đều ABCD.A ’B’C’D’ cĩ cạnh bn l h . Từ một đỉnh vẽ
hai đường cho của hai mặt bn kề nhau. Gĩc giửa hai đường cho đĩ cĩ số đo l
�
�
�
0    �. Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đ cho.
2�
�
Bi 7
1. Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A ���
B C cĩ cạnh đy bằng a. Gọi M l trung
) biết
điểm của cạnh AA �
. Tính khoảng cch từ C đến mặt phẳng (BMC�
BM  AC�
.
2. Cho hình lăng trụ đều ABC.A ’B’C’ , cạnh đy a . Mặt phẳng  ABC’ hợp với
�

�
mặt phẳng  BCC’B’ một gĩc cĩ số đo l  �0   � �. Gọi I,J lần lượt l hình
2�
�
chiếu vuơng gĩc của A ln BC v BC’ .
a) Chứng minh �
AIJ   .
b) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ v diện tích xung quanh của hình
lăng trụ đĩ.
�  1200. Gọi
B C cĩ AB  a,AC  2a v BAC
3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
� �
M l trung điểm cạnh CC�thì BMA
 900. Tính khoảng cch từ A đến mặt
).
phẳng (BMA �
� �
4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
B C cĩ BC  a,BA
C  900. Cc đường thẳng

BA �
,CA �tạo với mặt phẳng đy cc gĩc tương ứng , (   ). Tính thể tích của
).
lăng trụ v khoảng cch từ B �đến (BCA �
Bi 8
 c. Gọi M
B C D cĩ AB  a,BC  b, AA �
1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ����

l điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3. Tính khoảng cch từ điểm M đến mặt
C).
phẳng (AB �
59


2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ’B’C’ , đy ABC l tam gic cn tại A . Gĩc giữa hai
đường thẳng AA ’ v BC’ l 300 v khoảng cch giữa chng l a . Gĩc giữa hai mặt
phẳng chứa hai mặt bn qua AA ’ l 600 . Tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A ’B’C’ .
B C D cạnh a. Gọi K l trung điểm của DD�
.
3. Cho khối lập phương ABCD.A ����

Tính khoảng cch giữa CK v A �
D.
CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC
Bi 9
B C cĩ đy l tam gic vuơng tại
1. Cho khối lăng trụ đứng tam gic ABC.A ���
�
C C) một gĩc .
A,AC  a,ACB  . Đường thẳng BC�tạo với mặt phẳng (AA ��
Tính thể tích khối lăng trụ đĩ.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ���
B C cĩ đy l tam gic vuơng thỏa mn
AB  AC  a. Gĩc giữa hai đường thẳng AC�v A �
B bằng . Tính thể tích khối
lăng trụ theo a v .
3. Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A ,

AB  a,BC  2a .Mặt bn ABB’A ’ l hình thoi , mặt bn BCC’B’ nằm trong mặt
phẳng vuơng gĩc với đy , hai mặt ny hợp với nhau một gĩc bằng  .
a)Tính khoảng cch từ A đến mặt phẳng  BCC’B’ . Xc định gĩc  .
b)Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ .
4. Cho hình hộp ABCD.A ’B’C’D’ cĩ đy ABCD l hình thoi cạnh a , gĩc A  600 .
Chn đường vuơng gĩc hạ từ B’ xuống mặt phẳng  ABCD  trng với giao điểm của
hai đường cho của đy ABCD . Cho BB’  a .
a)Tính gĩc giữa cạnh bn v đy.
b) Tính thể tích v diện tích xung quanh của hình hộp .
Bi 10
1. Cho hình lăng trụ AB. A ' B ' C ' cĩ đy ABC l tam gic đều cạnh a ,

� �  . Tính thể tích của khối lăng trụ.
A�
A  A�
B  A�
C , BAA
B C cạnh đy bằng a, đường cho BC�
2. Cho khối lăng trụ tam gic đều ABC.A ���
A ) một gĩc . Tính thể tích, diện tích xung quanh v diện
hợp với mặt bn (ABB ��
tích tồn phần của khối lăng trụ. Xc định gĩc  để hình lăng trụ đĩ tồn tại.
Bi 11
1. Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a . Gọi M l trung điểm
CN 1
 . Mặt phẳng ( A ' MN ) chia khối
của BC , N thuộc cạnh CD thỏa
CD 3
lập phương thnh hai khối, gọi (H ) l khối chứa điểm A . Tính thể tích của
khối (H ) theo a .

60


B C D cĩ đy l hình thoi cạnh
2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ����

�   (0   �900 ). Tính thể tích của khối lăng trụ biết rằng hai đường
a,BAD
thẳng AB �v BD�vuơng gĩc.
3. Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' , đy l hình thoi. Biết diện tích hai
� ' D  900 . Tính thể tích khối
mặt cho ACC ' A ' v BDD 'B ' l s1, s2 , gĩc BA

hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' theo s1 v s2 .
Bi 12

B C D cĩ cc mặt bn hợp v mặt  A ' BD  với đy
1. Cho hình hộp ABCD.A ����

gĩc 600 , biết gĩc �
BAD  600, AB  2a, BD  a 7 . Tính VABCD. A ����
BC D .
2. Cho hình lăng trụ tam gic đều ABC.A ’B’C’ . Mặt phẳng  A ’BC  cch A một
a 3
15
v hợp với BC’ một gĩc  biết sin  
. Tính thể tích
10
4

của khối lăng trụ đ cho.
3. Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic đều cạnh a . Hình chiếu vuơng
gĩc vủa A ’ ln mặt phẳng  ABC  trng với tm O của đường trịn ngoại tiếp tam gic

khoảng cch bằng

ABC . Cho �
BAA '  450 .
a)Tính thể tích của khối lăng trụ đ cho.
b)Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ .
Bi 13
1. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' , cĩ đy ABC l tam gic vuơng tại A .
Khoảng cch từ AA ' đến BCC ' B ' bằng a , khoảng cch từ C đến ABC '





bằng b, gĩc giữa hai mặt phẳng  ABC ' v

 ABC 





băng  .
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' theo a,b v  .
b) Khi a  b khơng đổi, hy xc định  để thể tích khối lăng trụ
ABC.A ' B ' C ' nhỏ nhất.

2. Cho hình lăng trụ ABC.A ’B’C’ cĩ đy l tam gic đều nội tiếp trong đường trịn

 O

tm O . Hình chiếu vuơng gĩc của C’ ln mặt phẳng  ABC  l O . Khoảng cch
giữa AB v CC’ l d . Gĩc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bn ACC’A ’ v BCC’B’

l 2 0  2  .
2
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’
0
b) Gọi  0   �90 l gĩc giữa hai mặt phẳng  ABB’A ’ v  ABC  . Tính  biết





    900 .
Bi 14
61


1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' , gĩc giữa đường cho AC ' v
mặt đy  ABCD  bằng 300 v AC '  a , �
AC ' B   . Tính thể tích khối hộp
chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' theo a v  . Giả sử a khơng đổi, tìm  để thể
tích khối hộp lớn nhất.

B C D , đy ABCD cĩ BD  a khơng đổi v
2. Cho hình lăng trụ ABCD.A ����

0 �
�
�
�
C C) l hình thoi,
BAD  DCB  90 ,ABD  ,CBD
 . Mặt phẳng (AA ��
��
vuơng gĩc với đy v A
BCD v
AC  600. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ����

,

tìm
để thể tích đĩ lớn nhất.
B C D , cĩ đường cho AC�
3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ����
 d hợp với đy
(ABCD) một gĩc , hợp với mặt bn (BCC��
B ) gĩc . Tìm hệ thức lin hệ giữa
,  để tứ gic A ��
D CB l hình vuơng v tìm gi trị lớn nhất của thể tích khối hộp
chữ nhật khi đĩ.
4. Cho hình lăng trụ đều ABC.A ’B’C’ . Tam gic ABC’ cĩ diện tích Q 3 v hợp với
�
�
mặt phẳng đy một gĩc cĩ số đo bằng  �0    �.
2�
�

a) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A ’B’C’ theo Q v  .
b) Cho Q khơng đổi v  thay đổi. Tính  để thể tích V lớn nhất.
5. Gọi  , ,  ,1 ,1 , 1 l cc gĩc của đường cho hình hộp chữ nhật với ba cạnh cng
pht xuất từ một đỉnh v ba mặt cng pht xuất từ một đỉnh. Chứng minh :
cos2   cos2   cos2   1; sin2 1  sin2 1  sin2  1  1 .

62