Tài liệu Bài tập tỷ số thể tích doc

Một số bi toán về tỷ số thể tích
Bi 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD l hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh
SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M l một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x
(0x2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện l hình gì? Tính diện tích thiết
diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng
nhau.

Hd:
1. Thiết diện l hình thang vuông
MNCB, vuông tại B v M.
1
()
2
MNCB
SMNCB=+MB

* BM
2
=BA
2
+AM
2
BM=
22
ax+

* SMN đồng dạng SAD,

.(2)

2
SM AD a x b
MN
SA a

==
.

Vậy
22 22
12
.(4)
22 4
MNCB
ab bx b
S bax axax
aa


=++=


+

S
A
MN
D
C
B

2. Xét hm số
22
() (4 )
4
b
f xaxa
a
=+x
(0x2a)
22
22
24
'( )
4
bxaxa
fx
a
ax

+
=

+


f'(x)=0
1
(1 )
2
1

(1 )
2
xa
xa

=+



=



Ta có: f(0)=ab.
f(2a)=
5
1,118
2
ab
; f(
ab
1
(1 )
2
a +
)=
2
11 1
.(3 ) 1 (1 ) 1,134
4

22
ab

ab++
f(
1
(1 )
2
a
)=
2
11 1
.(3 ) 1 (1 ) 0,96
4
22
ab ab++



[]
2
0;2
11 1
() . .(3 )1 (1 )
4
22
a
Max f x ab=++
khi
1

(1 )
2
xa=+

Kết luận: Vậy với
1
(1 )
2
xa=+
thì diện tích của thiết diện lớn nhất.
2. Gọi V l thể tích khối chóp S.ABCD
2
.
12
..
33
SABCD
ABCD
ab
VSA V
S
= ==

Gọi V1 l thể tích khối S.MNCB
V1=V
(SMBC)
+V
(SMNC)
Ta có
.. 2

.. 2
SMBC
SABC
V
SM SB SC SM a x
VSASBSCSAa

===

V
SABC
=
2
11
.( ) .2
36
2
V
SAdt ABC a b==

2
22 (2)
..
222 3 6
SMBC
axV axab axab
aa

== =V

* Ta có:
2
2
2
.. (2 )
.
.. 4
SMNC
SACD
V
SM SN SC SM SN MN a x
VSASCSDSASDAD a


====


V
SACD
=
2
23
Vab
=

V
SMNC
=
22 2

2
(2 ) (2 ) .
.
4312
ax ab axb
a

=

V
1
= V
SMNCB
=
2
(2 ) (2 )
612
a x ab a x b
+

Ycbt V
1
=
2
23
Vab
=

22
(2 ) (2 )

612
a x ab a x b a b
+=
3
x
2
-6ax+4a
2
=0

(3 5) 2 ( )
(3 5) ( / )
x a a loai
xa tm

=+ >

=



Kết luận: Vậy x=
(3 5)xa=
thì (MBC) chia khối chóp thnh 2 phần tơng đơng.

Bi 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
B
1

C
1
. Các mặt phẳng (ABC
1
) v
(A
1
B
1
C) chia lăng trụ thnh 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V
1
=
V
; V
1
.CMNC
1
=
V

11
.CMNBA
1
V
3
=
V
; V

.CMNBA
4
=
11
MNABB A
V

Gọi V l thể tích của lăng trụ.
111
.1C ABC
VV=+
2
V

Mặt khác:
111
11
.111
..
1
.. 4
CABC
VCMCNCC
VCACBCC
==


12
11
.;.

43 12 3 12 4
VV VV
VV

V== ==
111111
32
3
4123
4
5
12
C ABC CMNC CA B C CMNC
VVVVVV
V
V
V
VVVVV
== =
=
= =

AB
C
M
N
B'
C'
A'
Vậy V

1
: V
2
: V
3
: V
4
= 1:3:3:5
Bi 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy l hình vuông cạnh a, tâm O. Đờng cao của
hình chóp l SA=a. M l một điểm di động trên SB, đặt BM=x
2
(0<x<a). () l mặt
phẳng qua OM v vuông góc với (ABCD).
1. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (). Tính diện tích thiết diện
theo a v x.
2. Xác định x để thiết diện trên l hình thang vuông. Trong trờng hợp đó tính tỷ số
thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.
Hd:
1. Ta có
SA(ABCD)
()
(ABCD)
SA // ()
()(SAB)=MN // SA
()(SAC)=OK // SA
()(SABCD)=NH qua O
()(SCD)=KH
S
A
D

C
B
M
N
K
O
H
Vậy thiết diện cần tìm l tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD)
S
td
=S
ht MKON
+ S
KOH
=
11
()...
22
MNKOON OKOH++

MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
2
22 22 2
(2 )
2
a
IN IH x a a x ax+= +=+

Std=

2
2
1
().
22
a
ax x ax++

2. Để thiết diện l hình thang vuông MK// MO// BC N l trung điểm AB
x=a/2.
V=
3
1
..( )
33
a
SAdt ABCD =

V1=V
SOECH
+V
KOE.MNB
3
3
.
11
..( )
332
24
=

SOECH
aa
VOKdtOECH

==



2
3
.
1
.( ) .
22 2 16
KOE MNB
aa a
VONdtMNB

==


=

33 3
12
51
24 16 48 48
aa a a
VVV=+= ==
3

1
1
V

S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
Vậy
2
1
11
5
V
V
=

E

Bi 4: Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD l hình thang có các cạnh đáy AB,
CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tơng ứng M, N.
Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã
cho thnh hai phần tơng đơng (có thể tích bằng nhau).

Hd:
Đặt
(0 1)
SM
xx
SA
=<<

S
A
DC
B
N
M
Gọi thể tích của hình chóp S.ABCD l V

2
.
.
.
.
..
(1)
..
..
(2)
..
SMNC
SABC
SMCD

SACD
V
SM SN SC
x
VSASBSC
V
SM SC SD
x
VSASCSD
= =
= =

Ta có CD=4AB
S
ADC
=4.S
ABC
S
ADC
=
3
4
ABCD
S


.. .
33
.;
44

SADC SABCD SABC
V
4
VV== =
VV

Ta có
2
3
.; .
44
SMNC SNCD
VV
Vx

Vx==
V
1
=V
SMNC
+V
SNCD
=
2
(3
4
V
)x x+

2

2
1
317
(/ )
31
2
320
42
317
()
2
x tm
Vx x
xx
V
x loai

+
=

+

==+=


=



KL: Vậy

317
2
x
+
=

Bi 5: Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (
C
) đờng kính AB=2R.S l điểm nằm
trên đờng thẳng vuông góc với mp(P) tại A. Đặt SA=h. Mặt phẳng (Q) qua A v vuông
góc với SB tại K, C l điểm trên (
C
), SC cắt mp(Q) tại H.
Đặt

0
2
BAC



=<


<

1. Tính thể tích của tứ diện SAHK theo R, h v .
2. Chứng minh rằng thể tích đó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị
0
của sao cho

0
>
4

. Tính
0
.
Hd:
1. * Ta chứng minh đợc AH SC.
*
4
222
..
..
.
SAHK
SACB
2
SH SH SH SC SK SB SA
VSCSBSCSBSBSC
== =
V

* V
ABC
=
2
2
11 .

(). .cos.sin.
36
Rh
dt ABC SA AB SA
sin2
3


==

*
25
22222
.sin2
3( 4 )( 4 cos )
SAHK
Rh
V
hRhR


=
++

2. Đặt P=
2222
sin 2
(22coshRR
)

++

MaxP=
22
1
4.hRh+
2

Dấu bằng xảy ra
S

2
22 2 2
2
2
22
cos2
sin 2
2
1 cos ( 2 2 cos2 )
sin 2
2sin2
2
cos2 0
2
RP
hRR
R
R

hR






=

++
=
= <
+

2 tù >
4



B
C
H
K
KL: Vậy
0
=
4