11 hinh hoc giai tich trong khong gian

Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Chuyên đề 11:

TRONG
KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
z

I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian
•
•
•
•
•

x'Ox : trục hoành
x'
y'Oy : trục tung
r
z'Oz : trục cao
k
y
y'

O
: gốc toạ độ
r
rr r
r O j
i, j , k : véc tơ đơn vò
i
rr r
x
(hay i; j;k : véc tơ đơn vò )
z'
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông
góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
uuuu
r
1. Đònh nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách
duy nhất theo r r r
uuuu
r
r r r
z
i, j , k bởi hệ thức có dạng : OM = xi + yj +yk vớ
i x,y,z ∈ ¡ .
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm
M
M.
y
O

Ký hiệu:
M(x;y;z)
(
x:
hoành
độ
của
điểm
M;
y:
tung độ của điểm M, z: cao độ
x
của điểm M )
M (x; y; z)
•

đ/ n

⇔

uuuu
r
r r r
OM = xi + yj + zk

Ý nghóa hình học:
z

M2

R
z

M3
O

M
y

p

x = OP

Q

x
x

y

M1

102

; y= OQ ; z = OR


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

r
r
2. Đònh nghóa 2: Cho a∈ kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy
nhất theo
r
r
r
r
rr r
i a1,a2,a3 ∈ ¡ .
i, j , k bởi hệ thức có dạng : a = a1i + a2 j +a3k vớ
Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc
r
tơ a .
r
a = (a1; a2; a3)
Ký hiệu:
r
a=(a1;a2;a3)

đ/ n

⇔

r
r
r
r
a = a1i + a2 j + a3k

II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
☞Đònh lý 1: Nếu A(xA; yA; zA ) vàB(xB; yB; zB ) thì
uuu
r
AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )

☞Đònh lý 2:

r
r
Nếu a = (a1; a2; a3) vàb = (b1; b2; b3) thì
a1 = b1
r r

* a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r r
* a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3)
r r
* a − b = (a1 − b1; a2 − b2; a3 − b3)
r
(k∈ ¡ )
* k.a = (ka1; ka2; ka3)
103


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng
hoặc nằm trên hai đường thẳng song song .
• Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
r
r
r r
i b≠ 0
☞ Đònh lý 3 :
Cho hai véc tơ a vàb vớ
r
r
a cù
ng phương b

r
r
⇔ ∃!k ∈ ¡ sao cho a = k.b

r r
Nếu a ≠ 0 thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
r
r
k > 0 khi a cùng hướng b
r
r
k < 0 khi a ngược hướng b

r
a
k= r
b
uuu
r
uuur
A, B,C thẳ
ng hà
ng ⇔ AB cù
ng phương AC

☞

Đònh lý 4 :

☞

r
r
Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3) vàb = (b1; b2; b3) ta có :
r
r
a cù
ng phương b

a1 = kb1

⇔ a2 = kb2 ⇔ a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3
a = kb

3
 3

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
rr r r
r r
a.b = a . b .cos(a, b)
r2 r 2
a =a
r r
rr
a ⊥ b ⇔ a.b = 0

☞ Đònh lý 6:

r
r
Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a2) vàb = (b1; b2; b3) ta có :
rr
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

r
Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3) ta có :

104


Chun đề LTĐH

☞ Đònh lý 8:

☞

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

r
a = a12 + a22 + a32
Nếu A(xA; yA; zA ) vàB(xB; yB; zB ) thì

AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
r
r
a
=
(
a
;
a
;
a
)
và
b
= (b1; b2; b3) ta có :
Đònh lý 9: Cho hai véc tơ
1 2 3
r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

☞

r
r
a
=
(
a
;
a
;
a
)
và
b
= (b1; b2; b3) ta có :
Đònh lý 10: Cho hai véc tơ
1 2 3
rr
r r
a1b1 + a2b2 + a3b3
a.b
cos(a, b) = r r =
a. b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Đònh nghóa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ 1 )
nếu như :
uuur

uuur
MA = k.MB
•

•
A

☞

•

M

B
uuur
uuur
Đònh lý 11 : Nếu A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB ; zB ) và MA = k.MB ( k ≠ 1 ) thì
xA − k.xB

 xM = 1− k

yA − k.yB

 yM =
1− k

z

A − k.zB
 zM = 1− k


xA + xB

 xM =
2

y +y

Đặc biệt :
M là trung điểm của AB ⇔  yM = A B
2

zA + zB

 zM = 2

Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ), C(xC ; yC ; zC )

105


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

xA + xB + xC

 xG =
3


y +y +y

G là trọng tâm tam giác ABC ⇔  yG = A B C
3

zA + zB + zC

 zG =
3

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
r
r
1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ a = (a1; a2; a3) vàb = (b1; b2; b3) là một
véc tơ được
r r
ký hiệu :  a; b có tọa độ là :
1 2 3
r r a a a a a a 
 a; b =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 
 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

r

a = (a1; a2; a3)
r
b = (b1; b2; b3)
2. Tính chất:
•

r r
r
r r
r
 a; b ⊥ a và a; b ⊥ b
 
 

•

r suur
1 uuu
S∆ABC = .  AB; AC 
2

•

uuu
r uuur
SY ABCD =  AB; AD 

•

VABCD.ABC

' ' ' '
D

A
B

A'
B

uuu
r uuur uuur'

=  AB; AD  .AA

r uuur uuur
1 uuu
= .  AB; AC  .AD
6

•

r
r
r r
r
a cù
ng phương b ⇔ a;b = 0

D'

C

A

VABCD

•

C
D

•

•

Cách nhớ:

C'
B'

D

D

C

A
B
C

A
B

r r r
r r r
a, b, c đồ
ng phẳ
ng ⇔  a, b .c = 0
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB,AC,AD đồng phẳng ⇔  AB,AC .AD = 0
106


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7: Cho tứ diện ABCD với A(2; −1;6),B(−3; −1; −4),C(5; −1;0),D(1;2;1) . Chứng minh tam giác ABC vng.
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
107


Chun đề LTĐH
I. Các đònh nghóa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

r
r

r
đn  a ≠ 0
a là VTCP của đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r
c trù
ng vớ
i (∆)
a cógiásong song hoặ

a

a
(∆ )
Chú ý:

• Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với
nhau.
• Một đường thẳng ( ∆ ) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm
thuộc nó và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng: 

a
b
a
b

α đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi r
Cho mặt phẳng α xác
a
là VTCP của đường
r
thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
uruu
r
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α
Chú ý :
• Một mặt phẳng α hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc
nó và một cặp VTCP của nó.

3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng
:
n

α

r
r

r
đn  n ≠ 0
n là VTPT của mặt phẳng α ⇔  r
ng gó
c vớ
i mpα
 n cógiávuô
Chú y ù:
• Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó
và một cặp VTPT của nó.

4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của
nó:
108


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

r
 a = (a1; a2; a3)
Đònh lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là :  r
thì mp α có một
b
=

(
b
;
b
;
b
)

1 2 3
VTPT là :
r
r r a a a a a a 
n =  a; b =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 

a


 
n = [a , b ]

b

α
Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1),
B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
và có một
r

VTPT n = ( A; B;C ) là:


n = ( A; B; C )

M ( x;y;z) •
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

α


n = ( A; B; C )

z

Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :

α

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 ≠ 0

y

M0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng
x .

Chú ý :
r
(Oyz )
• Nếu (α ): Ax + By + Cz + D = 0 thì (α ) có một VTPT là n = ( A; B;C )
z
• M0(x0; y0; z0) ∈ (α ): Ax + By + Cz + D = 0 ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
y
• (Oxy):z = 0
O
• (Oyz):x = 0
(Oxz )
• (Oxz):y = 0
x
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
 A(a;0;0)(Oxy )

• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại  B(0; b;0) (a,b,c ≠ 0)
C(0;0; c)

C

c
109

O
a
A

b
B


Chun đề LTĐH
là:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
x y z
+ + =1
a b c

Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A( 1;2;3) , B ( 2; −3;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vng
góc
với đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng ( P ) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và ( R) :3x + 2y − z − 1= 0 . Viết
phương

trình mặt phẳng ( R) đi qua A( 1;1;1) đồng thời vng góc với cả ( P ) và ( Q) .
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
(a1, a2,..., an)
Hai bộ n số : 
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t ≠ 0 sao cho
(b1, b2,..., bn)
 a1 = tb1

 a = tb
2
 2
.
.

 an = tbn
Ký hiệu:

a1 : a2 :...: an = b1 : b2 :...: bn

hoặc

a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh bởi phương trình :
uu
r
(α ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 cóVTPT n1 = ( A1; B1;C1)
uu
r
(β ): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 cóVTPT n2 = ( A2; B2;C2)

n1


n2


n2

n1

n1
α
n2
β
α

α

β
β

110


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
A
B
B C
C
A

(α ) cắ
t (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay: 1 ≠ 1 hoặ
c 1 ≠ 1 hoặ
c 1 ≠ 1)
A 2 B2
B2 C2
C2 A2
⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A 2 B2 C2 D2

(α ) ≡ (β ) ⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A 2 B2 C2 D2

(α ) // (β )

Đặc biệt:

α ⊥ β ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua
điểm M0(x0; y0; z0)
r
và nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP là :
z


a

 x = x0 + ta1

(∆):  y = y0 + ta2
 z = z + ta
0
3


(∆)
M0

M ( x, y , z ) y

(t ∈ ¡ )

O

x

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) đi qua
điểm M0(x0; y0; z0)
r
và nhận a = (a1; a2; a3) làm VTCP là :
(∆):

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

Ví du 1ï:

Ví du 2ï:

Ví du 3:

111


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

x = 1+ 2t

Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng (d): y = −1− t . Lập phương trình mặt phẳng

z = 3+ t

(P) qua điểm
M và vuông góc với đường thẳng (d).
Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d):

x z z
=
= . Lập phương trình mặt
1 −1 1

phẳng (P) chứa điểm
M và đường thẳng (d)
II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

(∆)

M


a

α


n


a

(∆)

n


n

M

M

α

α


a (∆)

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho :
r
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
đường thẳng (∆):
có VTCP a = (a1; a2; a3) và qua
a1
a2
a3
M0(x0; y0; z0)

r
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0
có VTPT n = ( A; B;C )
Khi đó :
(∆) cắ
t (α ) ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ 0
(∆) // (α )
(∆) ⊂ (α )

Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔ 
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0


a
Đặc biệt:

(∆) ⊥ (α ) ⇔

a1 : a2 : a3 = A : B : C


n

α

 pt(∆)

Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( ∆ ) và ( α ) ta giải hệ phương trình : 
 pt(α )
tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y − 3z + 14 = 0 .
Tìm tọa độ hình
112


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
x−1 y+ 2 z − 2
=
=
Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d):
và mặt phẳng
−1
5
−4
(P): x − 3y − 4m2z + m = 0. Tìm m
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).
2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :
M

'
0

∆1


a

M0

b

∆2


u

u'

∆1
∆2

M0
'
∆1 M 0 M 0


u'


u

∆2

∆1


u

'
0

M
M 0'
M0
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
r
x − x0 y − y0 z − z0
(∆1) :
=
=
cóVTCP u = (a; b; c) vàqua M 0(x0; y0; z0)
a
b
c
ur
x − x0 y − y0 z − z0
(∆ 2):
=
= ' cóVTCP u' = (a'; b'; c' ) vàqua M '0(x0' ; y0' ; z0' )
'
'
a

b
c


u'
∆2

r
r ur' uuuuuuu


• (∆1) và(∆ 2 ) đồ
ng phẳ
ng ⇔ u,u .M0M0' = 0


u
r
r
r ' uuuuuuu
u
 .M M ' = 0
,
u

 0 0
• (∆1) cắ
t (∆ 2 )
⇔  
a : b : c ≠ a' : b' : c'

• (∆1) // (∆ 2)

⇔ a : b : c = a' : b' : c' ≠ (x0' − x0):(y0' − y0):(z0' − z0)

• (∆1) ≡ (∆ 2)

⇔ a : b : c = a' : b' : c' = (x0' − x0):(y0' − y0):(z0' − z0 )
r
r ur uuuuuuu
⇔ u,u'  .M0M0' ≠ 0



• (∆1) và(∆ 2 ) ché
o nhau

 pt(∆1)
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (∆1) và(∆ 2) ta giải hệ phương trình : 
 pt(∆ 2)
tìm x,y,z
Suy ra: M(x,y,z)
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh bởiphương trình :
n1 = ( A1 ; B1 ; C1 )
(α ): A1x + B1y + C1z + D1 = 0


(β ): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
n2 = ( A2 ; B2 ; C 2 )

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có công thức:
cos ϕ =

A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A + B +C . A + B +C
2
1

2
1

2
1

2
2

2
2

α
2
2

0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0
β

113

Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + 2 = 0& (Q) : −x + z + 3 = 0 . Xác đònh góc giữa
hai mặt phẳng
(P) và (Q).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (∆):
a
b
c
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0
(∆)
ϕ
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có công thức: 
a = (a; b; c )

n = ( A; B; C )
Aa + Bb + Cc
sin ϕ =
A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2
α

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x − x0 y − y0 z − z0

(∆1) :
=
=
a
b
c
x − x0 y − y0 z − z0
(∆ 2):
=
= '
a'
b'
c

0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0


a1 = (a; b; c)
ϕ
(
∆
)
&
(
∆
)
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng 1
2 ta có công thức:
cos ϕ =

∆1

aa ' + bb' + cc '
a 2 + b 2 + c 2 . a '2 + b'2 + c '2

∆2


a 2 = ( a ' ; b' ; c ' )

IV. Khoảng cách:
0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm
M0(x0; y0; z0)
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) được tính bởi công
thức:

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d(M0; ∆) =
α

H

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2

Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ;
C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)

Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.

114


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ∆ ) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có
VTCP
r
u = (a; b; c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) được tính bởi công
thức:
uuuuuur r
 M0M1; u


d(M1, ∆ ) =
r
u

M1

u

(∆)

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) H

x y − 1 z+ 3
=
=
và điểm A(1;2;1)
3
4
1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Ví dụ: Cho đường thẳng : (d):

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :
r
(∆1) cóVTCP u = (a; b; c) vàqua M 0(x0; y0; z0)
ur
(∆ 2) cóVTCP u' = (a'; b'; c') vàqua M '0(x0' ; y0' ; z0' )
Khi đó khoảng cách giữa (∆1) và(∆2) được tính bởi công thức

∆1
u
M0

M 0'


u'

r
r ur uuuuuuu

u, u' .M0M0'


d(∆1, ∆ 2) =
r ur
 u; u'



∆2

Ví dụ: Cho hai đường thẳng :
 x = 9 + 6t
x + 5 y + 5 z− 1

(d1):
=
=
và(d2) :  y = −2t
3
2
−2
z = 2− t

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).

115


Chuyên đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2013)

Bài 2: (B-2013)

Bài 3: (B-2013)

Bài 4: (D-2013)

Bài 5: (D-2013)

Bài 6: (A-2012)

Bài 7: (B-2012)

Bài 8: (D-2012)

Bài 9:

116


Chuyên đề LTĐH
Bài 10:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Bài 11:

Bài 12:

Bài 13:

Bài 14:

Bài 15:

Bài 16:

Bài 17:

Bài 18:

Bài 19:

117


Chuyên đề LTĐH
Bài 20:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Bài 21:

Bài 22:

118


Chun đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Đònh lý :
Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c),
bán kính R là :

z

(S):(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

(S )
I

R

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu

M ( x; y; z )

y

O

Khi I ≡ O thì (C ): x2 + y2 + z2 = R2

Đặc biệt:

x

(1)

2. Phương trình tổng quát:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :
x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
với a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d .
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác đònh tâm và
bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S) có phương
trình :
(α ): Ax + By + Cz + D = 0
(S):(x − a)2 + (y − b)2 + (z− c)2 = R2
Gọi d(I; α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α
Ta có :
1. (α ) cắ
t mặ
t cầ
u (S)
⇔ d(I;α )

2. (α ) tiế
p xú
c mặ
t cầ
u (S)

⇔ d(I;α ) =R

3. (α ) khô
ng cắ
t mặ
t cầ
u (S)

⇔ d(I;α ) >R

(S )
(S )
I

(S )

I

R

R
R

Chú αý:

H

α

(C )

I

M

M H

119

α

M

r

H


Chun đề LTĐH
Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
α
Khi
cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:

•

 Ax + By + Cz + D = 0

2
2
2
2
( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R
Tâm là hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng α

•

Bán kính r = R2 − d2(I ,α )

•

Phương trình là:

Ví dụ: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 4x + 2y + 2z − 3 = 0 . Viết phương trình tiếp diện
của mặt cầu tại
điểm M(0;1;-2).

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: (A-2013)

Bài 2: (A-2012)

Bài 3: (B-2012)

Bài 4: (D-2012)

Bài 5:

Bài 6:

Bài 7:

Bài 8:

120


Chuyên đề LTĐH

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Bài 9:

Bài 10:

-----------------------------Hết----------------------------

121