Chuyen de BDT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (716.31 KB, 44 trang )
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
BT NG THC
Cù Đức Hoà
(GV. THPT Vĩnh Chân- Hạ Hoà - Phú Thọ)
Bt ng thc, giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mt hm s
hoc mt biu thc l mt trong nhng chuyờn khú ca chng
trỡnh toỏn THPT bi phm vi nghiờn cu v vn ny rt rng. gii
c bi toỏn v loi ny, ũi hi ngi hc khụng nhng phi nm
vng lý thuyt, m cũn phi bit cỏch s dng cỏc phộp bin i, bt
ng thc ph, linh hot v sỏng to. Trong phm vi bi vit, chỳng
tụi mun chia s cựng cỏc em hc sinh thõn yờu, chia s cựng cỏc
bc thy cụ giỏo ỏng kớnh cỏc kinh nghim tớch gúp c trong quỏ
trỡnh ging dy, bi dng hc sinh gii v luyn thi vo i hc.
Đ1. MT S KIN THC C BN V BT NG THC
I. BT NG THC:
1. Khỏi nim bt ng thc:
Cỏc mnh dng A>B, A
i s.
Ta cú:
* A >B A-B >0; A * A B A-B 0; A B A B 0
2. Cỏc tớnh cht c bn ca bt ng thc:
/>
1
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
A>B
a) Tính chất 1:
A >C
B>C
b) Tính chất 2: A>B A C>B C
A.C>B.C, nếu C>0
c) Tính chất 3: A>B
A.C
d) Tính chất 4:
A + C > B+ D
C>D
A>B>0
e) Tính chất 5:
A.C > B.D
C>D>0
f) Tính chất 6:
A>B>0, n N* A n > Bn
A>B>0, n N, n 2 n A > n B
g) Tính chất 7:
A>B, n N* A 2n+1 > B2n+1
A>B, n N* 2n+1 A > 2n+1 B
II. BT NG THC CAUCHY:
1.Bõt ng thc Cauchy cho hai s khụng õm :
Vớ i hai số không â
m a và b, ta có:
2
a+b
a+b
ab hay a+b 2 ab, ab
ữữ
2
2 ữ
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi a=b.
Cỏc h qu ca bt ng thc Cauchy hai s l :
* Hệquả1: 2(a2 +b2 ) (a+b)2 4ab, vớ i a, b R.
1 1
4
* Hệquả 2: +
, vớ i a, b>0.
a b a+ b
a b
* Hệquả 3: + 2, vớ i a, b>0.
b a
2. Bt ng thc Cauchy cho n s khụng õm :
Vớ i n số không â
m a1, a2, ..., an (n 2), ta có :
a1 + a2 + ... + an n
a1a2...an
n
Đẳ
ng thức xảy ra a1 = a2 = ... = an
III. BT NG THC BU-NHIA-CPSKI
1. Bt ng thc Bu-nhia-cpski cho hai cp s:
/>
2
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Vớ i hai cặ
p số thực (a1, a2 ), (b1, b2 ) bất kì
, ta đều có:
(a1b1+a2b2 )2 (a12 + a22 )(b12 + b22 )
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi
b1 b2
= .
a1 a2
* Quy ớ c: Nếu a1 = 0 (hoặ
c a2 =0) thìb1 = 0 (hoặ
c b2 = 0)
2. Bt ng thc Bu-nhia-cpski cho hai b n s:
Vớ i hai bộ số thực (a1, a2, ..., an ), (b1, b2, ..., bn ) bất kì
, ta có :
(a1b1+a2b2 +...+anbn )2 (a12 + a22 + ... + a2n )(b12 + b22 + ... + b2n )
Đẳ
ng thức xảy ra
b1 b2
b
=
= ... = n .
a1 a2
an
* Quy ớ c: Nếu một ai nào đó bằng 0 thìbi = 0 (i=1,n).
IV. BT NG THC CHA GI TR TUYT I:
Vớ i mọi số thực a và b, ta có:
1) a+b a + b . Đ ẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi ab 0.
2) a-b a + b. Đ ẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi ab 0.
V. BT NG THC HìNH HC:
1) Bất đẳ
ng thức cơbản: b-c < a < b + c, c-a < b < c + a và a-b < c < a+ b,
p-a>0, p-b>0 và p-c>0.
2) Các bất đẳ
ng thức khác: 2S ab; 2S bc và 2S ca.
à 900.
b2 + c2 a2 nếu A
VI. CễNG THC TNH DI NG TRUNG TUYN V PHN
GIC:
b2 + c2 a2
c2 + a2 b2
a2 + b2 c2
; m2b =
; m2c =
2
4
2
4
2
4
2 bc
2 ca
2 ab
la =
p(p a); l b =
p(p b); l c =
p(p c)
b+ c
c+ a
a+ b
ma2 =
/>
3
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Đ2. MT S PHNG PHAP CHNG MINH BT NG THC
Dng 1: S dng cỏc phộp bin i, ỏnh giỏ thớch hp
Để chứng minh A B, ta sẽ chứng minh A-B 0 (nghĩa là ta sử
dụng định nghĩa, tính chất cơ bản,... để biến đổi bất đẳng
thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đúng hay một tính chất
đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng biến đổi dẫn
đến bất đẳng thức cần chứng minh).
Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
(1)
2
b) (ab + bc + ca) 3abc(a + b + c)
(2)
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.
/>
4
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
a) (1) 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca
(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 0 luôn luôn đúng.
b) (2) a2b2 + b2c2 + c2a2 a2bc ab2c abc2 0
2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 2a2bc 2ab2c 2abc2 0
(ab-bc)2 + (bc ca)2 + (ca ab)2 0 luôn luôn đúng.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
(1)
với mọi a, b, c, d, e.
(ĐH Y dợc TP. HCM-1999)
Lời giải.
a2
a2
a2
a2
2
2
2
(1) ab + b + ac + c + ad + d + ae+ e2 0
4
4
4
4
2
2
2
2
a a a a
bữ + cữ + dữ + eữ 0 hiển nhiên đúng.
2 2 2 2
1 1 1
Vídụ 3: Cho ba số thực a, b, c thỏa mã n abc=1 và a+b+c> + +
a b c
a) Chứng minh rằng: (a-1)(b-1)(c-1)>0.
(1)
b) Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có đúng một số lớ n hơn 1.
(ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
a) Ta có: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0
1 1 1
ab+bc+ca
Vìa+b+c> + + a+b+c>
a b c
abc
a+ b + c > ab + bc + ca (vìabc=1)
Vậy (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra hoặ
c cả ba số a, b, c đều lớ n hơn 1
hoặ
c trong ba số a, b, c có đúng một số lớ n hơn 1
Nếu a>1, b>1, c>1 abc>1, mâ
u thuẫn vớ i giả thiết.
Vậy trong ba số a, b, c có đúng một số lớ n hơn 1.
a
b
c
Vídụ 4: Chứng minh:
+
+
< 2.3 4
3 3
3 3
3 3
3
3
3
b +c
c +a
a +b
(2)
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)
Lời giải.
Ta có: b3 + c3
Thật vâ
y:
1
(b + c)3
4
(1)
(1) 4(b3+c3) b3 + c3 + 3b2c + 3bc2
b3 + c3 b2c bc2 0 b2(b c) c2(b c) 0
/>
5
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
(b-c)(b2-c2 ) 0 (b-c)2(b + c) 0
(2) đúng (1) đúng.
1
T ơng tự: c3 + a3 (c + a)3
4
1
a3+b3 (a+b)3
4
Do đó:
b
c
a
3 4
+
+
ữ
b+c c + a a + b
b +c
c +a
a +b
a
b
c
2a
2b
2c
mà
+
+
=
+
+
b+c c + a a+ b 2(b + c) 2(c + a) 2(a + b)
2a
2b
2c
<
+
+
=2
b + c + a c + a+ b a+ b + c
(Do a+b>c; b+c>a; c+a>b)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm.
a
3
3
3
+
b
3
3
3
+
c
3
3
3
(2)
(3)
(4)
Bi tp t luyn:
x y
x2 y2
Bài 1: Cho x, y 0. Chứng minh: 2 + 2 + 4 3 + ữ
y x
y x
( thi vo lp 10 chuyờn ca trng Trn i Ngha TP. HCM nm 2004 )
Bài 2: Chứng minh rằng nếu 0
1 1
y + ữ+ (x + z) + ữ(x + z).
x z y
x z
( 148 - B tuyn sinh)
Bài 3: Cho a, b, c là các số d ơng. Chứng minh:
a2 + b2 + c2
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
+
+
3
ữ
a+ b
b+ c
c+ a
a+ b + c
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 11/1995)
Bài 4: Cho x, y, z là các số d ơng. Chứng minh:
x2 + xy + y2 + y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 3(x + y + z)
(Hc vin Quan h Quc t nm 1997)
Bi 5: Cho ba s a, b, c tha món iu kin a2 + b2 + c2 = 1. Chng
minh rng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) 0.
( 2 - B tuyn sinh)
Dng 2: S dng bt ng thc Cauchy
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
Vídụ1: Chứng minh:
a2 b2 c2 a b c
+ + + + , abc 0
b2 c2 a2 c a b
(H Y dc Tp. HCM-1999)
Li gii.
/>
6
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
á p dụng BĐ T Cauchy cho 2 số d ơng, ta có:
(1)
a2 b2
a2 b2
a 2a
+
2
. 2 =2
2
2
2
b c
b c
c c
T ơng tự:
b2 c2 2b
+
c2 a2 a
c2 a2
2c
+ 2+
2
a b
b
(2)
(3)
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3) ta cú pcm.
x
x
x
12 15 20
Vídụ 2: Chứng minh rằng vớ i mọi x R, ta có: ữ + ữ + ữ 3x + 4x + 5x.
5 4 3
Khi nào đẳ
ng thức xảy ra ?
( thi tuyn sinh H, C-Nm 2005)
Li gii.
p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng, ta cú:
x
x
x
12 15
12
5 ữ + 4 ữ 2 5 ữ
x
x
15
. ữ = 2.3x
4
(1)
x
Tng t ta cú: ữ + ữ 2.5x
4 3
15
20
x
(2)
x
20 12
x
3 ữ + 5 ữ + 2.4
(3)
Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), chia hai v ca bt ng thc nhn
c cho 2, ta cú iu phi chng minh. ng thc xy ra khi v ch
khi x = 0.
Vídụ 3: Cho x, y, z >0. Chứng minh rằng:
2 y
2 x
2 z
1 1 1
+ 3 2 + 3 2 2 + 2 + 2.
3
2
x +y y +z z +x
x y z
(H Nụng Nghip I Khi A - 2001)
Li gii.
Dễdàng chứng minh đợ c BĐ T sau: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
1 1 1 1 1 1
á p dụng (1), ta đợ c: 2 + 2 + 2
+ +
x y z xy yz zx
(1)
(2)
á p dụng BĐ T Cauchy cho các mẫu số, ta đợ c:
2 y
2 y
2 x
2 z
2 x
2 z
+ 3 2+ 3 2
+
+
=
3
2
3
2
3
2
x +y y +z z +x
2 x y 2 y z 2 z3x2
1 1 1 1 1 1
= + +
+ +
(đpcm).
xy yz zx x2 y2 z2
/>
7
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Vídụ 4: Chứng minh rằng vớ i a, b là hai số không â
m bất kì
, ta luôn có:
3a3 + 17b3 18ab2
(H Kinh t Quc dõn - Nm 1997)
Li gii.
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy cho ba số không â
m, ta có:
3a3 + 17b3 = 3a3 + 9b3 + 8b3 33 3a3.9b3.8b3 = 18ab2 (đpcm)
Vídụ 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c
+
+
3.
b+c-a c + a b a + b c
(H Y Hi Phũng Nm 2000)
Li gii.
p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng:
(b+c-a)(c+a-b)
b + c a+ c + a b
=c
2
(1)
(2)
(3)
T ơng tự ta có: (c+a-b)(a+b-c) a
(a+b-c)(b+c-a) b
Nhõn cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3), ta c:
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc
abc
1
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy cho ba số d ơng, ta có:
a
b
c
abc
+
+
33
3.
b+c-a c + a b a + b c
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
Vídụ 6: Cho a, b, c >0. Chứng minh:
1 1 1 3 b+c c+a a+b
(a3+b3+c3) 3 + 3 + 3 ữ
+
+
b
c ữ
a b c 2 a
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 6/2003)
Li gii.
Vớ i a, b, c >0, ta có:
a3 + b3 ab(a+ b); b3 + c3 bc(b + c); c3 + a3 ca(c + a)
2(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy cho ba số d ơng, ta có:
1 1 1
1 1 1
3
+ 3 + 3 33 3 . 3 . 3 =
3
a b c
a b c
abc
(1)
(2)
Nhõn cỏc v tng ng ca (1) v (2), ta cú pcm.
ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c.
1
Vídụ 7: Cho a>b>0. Chứng minh: a+
2 2.
b(a-b)2
Li gii.
/>
8
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy cho bốn số d ơng, ta có:
1
a b a b
1
a b a b
1
a+
= b+
+
+
44 b.
.
.
= 2 2.
2
2
b(a-b)
2
2
b(a-b)
2
2 b(a-b)2
Vídụ 8: Cho a, b, c, d >0. Chứng minh:
a2 b2 c2 d2 1 1 1 1
+ + + + + + .
b5 c5 d5 a5 a3 b3 c3 d3
(H Thy li Nm 1997)
Li gii.
p dng bt ng thc Cauchy cho nm s dng, ta cú:
a2 a2 a2 1 1
1
5
3a2 5 2
5
+
+
+
+
5
=
b5 b5 b5 a3 a3
b15 b3
b5 b3 a3
3b2 5 2
T ơng tự, ta có: 5 3 - 3
c
c b
3c2 5 2
d5 d3 c3
3d2 5 2
a5 a3 d3
(1)
(2)
(3)
(4)
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2), (3) v (4) ta cú pcm.
Vídụ 9: Cho các số thực x, y, z d ơng. Chứng minh:
16xyz(x+y+z) 33 (x+y)4(y + z)4(z + x)4
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 1/1996)
Li gii.
Gi A = (x + y)(y + z)(z + x)
Ta cú: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2
1
á p dụng BĐ T Cauchy cho tám số d ơng gồm ba số vớ i mỗi số bằng xy(x + y + z), ba số vớ i mỗi số
3
1
bằng zy(x + y + z), xz2, zx2.
3
(xyz)6(x + y + z)6
đpcm.
36
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z.
Vídụ10: Cho a, b, c >0, n N, n 2. Chứng minh:
Ta có: (x+y)(y+z)(z+x) 88
n
a
b
c
n n
+n
+n
>
n 1.
b+c
c+ a
a+ b n 1
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 8/1996)
Li gii.
/>
9
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
á p dụng BĐ T Cauchy cho n số d ơng gồm một số bằng
Cù Đức Hoà
(a+b)(n-1)
c
và (n-1) số vớ i mỗi số bằng 1, ta có:
1+
141+
2...+
431+
(n-1) số
(a+b)(n-1)
(a+b)(n-1)
nn
c
c
n
(a+ b)(n 1)
(a+ b + c)(n 1)
nc
c
c
n n
c
n 1.
a+b n 1
a+ b+ c
b
n n
b
T ơng tự, ta có: n
n 1.
c+a n 1
a+ b+ c
a
n n
a
n
n 1.
c+b n 1
a+ b + c
Hay n
(1)
(2)
(3)
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3), ta cú pcm.
(n-1)(a+b)=c
3
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi (n-1)(b+c)=a n = N
2
(n-1)(c+a)=b
không xảy ra.
Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
Vídụ1: Cho x, y, z là ba số d ơng và xyz=1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3
+
+
1+ y 1+ z 1+ x 2
(Đề dự bị Khối D-Năm 2005)
Lời giải.
á p dụng BĐ T Cauchy cho hai số d ơng, ta có:
x2 1+ y
x2 1+ y
+
2
.
=x
1+y
4
1+y 4
y2 1+ z
y2 1+ z
+
2
.
=y
1+z
4
1+z 4
z2 1+ x
z2 1+ x
+
2
.
=z
1+x
4
1+x 4
Cộng các vết ơng ứng của ba BĐ T, ta đợ c:
x2 1+ y y2 1+ z z2 1+ x
+
+
+
ữ+
ữ+
ữ (x + y + z)
4 1+z
4 1+x
4
1+y
x2
y2
z2
3 x+ y+ z
+
+
+ (x + y + z)
1+y 1+z 1+x
4
4
/>
10
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
3(x + y + z) 3
4
4
3
3 3
3 3
.33 x.y.z = .3 = (Do x.y.z=1)
4
4 4
4 2
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=1.
Vídụ 2: Cho các số d ơng x, y, z thỏa mã n xyz=1. Chứng minh rằng:
1+x3 + y3
1+ y3 + z3
1+z3 + x3
+
+
3 3.
xy
yz
zx
Khi nào đ
ẳ
ng thức xảy ra?
(ĐH, CĐ Khối D-Năm 2005)
Lời giải.
áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dơng, ta có:
1+x3 + y3 33 1.x3.y3 = 3xy
1+x3 + y3
3
xy
xy
(1)
Tơng tự, ta có:
1+y3 + z3
3
yz
yz
(2)
1+z3+x3
3
zx
zx
(3)
Mặt khác, ta có:
3
3
3
3
3
3
+
+
33
.
.
xy
yz
zx
xy yz zx
3
xy
+
3
yz
+
3
zx
3 3
(4)
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=1.
Vídụ 3: Cho x, y, z là basố thỏa mã n x+y+z =0. Chứng minh rằng:
3+4x + 3+ 4y + 3+ 4z 6.
(Đề dự bị Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy, ta có:
3+4x = 1+ 1+ 1+ 4x 44 4x
3+4x 2
4
4x = 28 4x
T ơng tự, ta có: 3+4y 28 4y
3+4z 28 4z
/>
11
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Cộng các vết ơng ứng của ba bất đẳ
ng thức trên, ta đợ c:
(
3+4x + 3+4y + 3+4z 2
8
)
4x + 8 4y + 8 4z 2.33 8 4x.4y.4z 624 4x+ y+ z = 6
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=0.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dơng và x + y + z = 1 thì
18xyz
xy+yz+zx>
.
2+xyz
(H Tõy Nguyờn Khi A, B-Nm 2000)
Li gii.
á p dụng BĐ T Cauchy, ta có:
2=x+y+z+x+y+z 63 xyz
(1)
(2)
xy+yz+zx 33 x2y2z2
Nhõn cỏc v tng ng ca (1) v (2), ta c:
2(xy + yz + zx) 18xyz
Mt khỏc, ta cú:
xyz(xy + yz + zx) > 0
Cng cỏc v tng ng ca (3) v (4), ta c:
(3)
(4)
(xy+yz+zx)(2+xyz)>18xyz
18xyz
xy + yz + zx >
(vì2+xyz>0).
2 + xyz
Vídụ 5: Cho x, y, z là các số d ơng thỏa mã n
1 1 1
+ + = 4. Chứng minh rằng:
x y z
1
1
1
+
+
1.
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
Cách 1: Vớ i a, b>0 ta có: 4ab (a+b)2
1
a+ b
1
1 1 1
+ ữ
a+ b 4ab
a+ b 4 a b
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi a=b.
á p dụng kết quả trên ta có:
1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+ ữ
ữ + + ữ = +
2x+y+z 4 2x y + z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
(1)
Tơng tự:
1
1 1
1
+
ữ
x+2y+z 4 2y x + z
1
1 1
1
+
ữ
x+y+2z 4 2z x + y
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+ = + + ữ
4 2y 4 x z ữ
8 y 2z 2x
(2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ ữ
+ + ữ = +
4 2z 4 x y 8 z 2x 2y
(3)
/>
12
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
1
1
1
1 1 1 1
+
+
+ + ữ = 1.
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 x y z
3
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z= .
4
1 1
4
Cách 2: á p dụng BĐ T +
vớ i a, b>0, ta đợ c:
a b a+ b
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
8=2 + + ữ = + ữ+ + ữ+ + ữ 4
+
+
ữ
x y z x y y z z x
x+ y y+ z z+ x
T ơng tự, ta có:
Vậy
1
1
1 1
1 1
1 1
1
2
+
+
+
+
+
ữ=
ữ+
ữ+
ữ
x+y y + z z + x x + y x + z x + y y + z y + z z + x
1
1
1
4
+
+
ữ.
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Từ (1) và (2) ta suy ra:
(1)
(2)
1
1
1
8 8
+
+
ữ đpcm.
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z
Cách 3: Vớ i a, b là hai số bất kìvà x, y là hai số d ơng ta có:
a2 b2 (a + b)2
+
x y
x+ y
(*)
a2y(x+y)+b2x(x+y) (a+b)2xy
a2y2 +b2x2 2abxy
(ay-bx)2 0.
BĐ T sau cù ng hiển nhiên đúng. Đ ẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi
a b
= .
x y
Sử dụng BĐ T (*) hai lần ta có:
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1 1 1 1
+ ữ ữ ữ + ữ + ữ
1
2 2
2
2
4 4 4 4
=
+ =
+
2x+y+z 2x + y + z x + y x + z
x+ y
x+ z
2
2
2
2
1 1 1 1
4ữ 4ữ 4ữ 4ữ
1 2 1 1
+ + + = + + ữ.
x
y
x
z
16 x y z
T ơng tự ta có:
1
1 1 2 1
+ + ữ
x+2y+z 16 x y z
1
1 1 1 2
+ + ữ
x+y+2z 16 x y z
/>
13
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Cộng từng vếba bất đẳ
ng thức trên và chú ý tớ i giả thiết dẫn đến:
1
1
1
1 1 1 1
+
+
+ + ữ = 1.
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 x y z
3
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z= .
4
Cách 4: áp dụng BĐ T Cauchy cho bốn số d ơng (hoặ
c BĐ T Bu-nhia-cốpxki):
1 1 1 1
1
(x+y+z) + + + ữ 4.4 x2yz.44 2 = 16.
x yz
x x y z
1
1 2 1 1
Suy ra
+ + ữ
2x+y+z 16 x y z
T ơng tự:
1
1 1 2 1
+ + ữ
x+2y+z 16 x y z
1
1 1 1 2
+ + ữ.
x+y+2z 16 x y z
Cộng từng vếba BĐ T trên ta đợ c:
1
1
1
1 1 1 1
+
+
+ + ữ = 1.
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
Vídụ 6: Cho x, y, z 0 và x+y+z 3. Chứng minh rằng:
x
y
z
3
1
1
1
+
+
+
+
.
2
2
2
1+x 1+ y 1+ z 2 1+ x 1+ y 1+ z
(ĐH Hàng hải Tp. HCM - Năm 1999)
Li gii.
Ta có:
x
1 2x 1 x2 (x 1)2
x
1
=
=
0
2
2
2
2
1+x 2 2(1+ x ) 2(x + 1)
1+x
2
T ơng tự ta có:
y
1
2
1+y 2
z
1
2
1+ z 2
Cộng các vết ơng ứng của ba bất đẳ
ng thức trên, ta đợ c:
x
y
z
3
+
+
(1)
2
2
2
1+x 1+ y 1+ z 2
(Đ ẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=1)
/>
14
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
Mặ
t khác, áp dụngB Đ T Cauchy cho ba số d ơng, ta đợ c:
1
1
1
1
1
3
+
+
3.
3.
(Do x+y+z 3)
3 (1+ x)(1+ y)(1+ z)
1+ x + 1+ y + 1+ z 2
1+x 1+ y 1+ z
3
3 1
1
1
+
+
(2)
2 1+x 1+ y 1+ z
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x=y=z=1.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Vớ i a, b, c là ba số d ơng bất kì
. Chứng minh rằng:
(1+a3)(1+b3)(1+c3) (1+ab2 )(1+bc2 )(1+ca2 )
(ĐHDL Hải Phòng Khối A - Năm 2000)
Bài 2: Chứng minh rằng: vớ i số thực d ơng bất kì
, ta luôn có 3 a + 3 a2 1+ a
(ĐHDL Phơng Đông Khối A - Năm 2000)
Bài 3: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1 1
+
+
2 + + ữ.
p-a p b p c
a b c
(Học viện Ngân hàng Khối A - Năm 2001)
Bài 4: Vớ i a, b, c là ba số thực d ơng bất kìthỏa mã n điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng:
8a + 8b + 8c 2a + 2b + 2c.
(ĐHQG Hà Nội Khối A - Năm 2000)
Bài 5: Chứng minh rằng vớ i mọi x, y >0 ta có:
2
9
y
(1+x) 1+ ữ 1+
ữ 256.
yữ
x
Đẳ
ng thức xảy ra khi nào?
(Đề Dự bị Khối A-Năm 2005)
3
Bài 6: Cho a, b, c là ba số d ơng thỏa mã n: a+b+c= . Chứng minh rằng:
4
3
a+3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a 3
Khi nào đẳ
ng thức xảy ra?
(Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005)
1
Bài 7: Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thìx y y x .
4
Đẳ
ng thức xảy ra khi nào?
(Đề Dự bị 2 Khối B-Năm 2005)
Bài 8: Cho các số thực x, y, z thỏa mã n điều kiện: 3-x + 3 y + 3 z = 1. Chứng minh rằng:
9x
9y
9z
3x + 3y + 3z
+
+
.
3x + 3y+ z 3y + 3z+ x 3z + 3x+ y
4
(Đề Dự bị 2 Khối A-Năm 2006)
Dng 3: S dng bt ng thc Bu - nhia - cpski:
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
/>
15
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
Vídụ1: Cho x [0; 1]. Chứng minh:
x+ 1-x+4 x+4 1-x 2+ 2 2.
Tì
m x đểdấu đẳ
ng thức xảy ra?
(H An ninh Nm 1999)
Li gii.
á p dụng BĐ T Bu-nhia-Cốpski cho hai bộ số (1; 1) và ( x; 1-x), ta đợ c:
x + 1 x 2. x + (1 x) = 2
(1)
4
4
Tiếp tục áp dụng BĐ T Bu-nhia-Cốpski cho hai bộ số (1; 1) và ( x; 1-x), ta đợ c:
4
x + 4 1 x 2. ( x + 1 x ) 2.4 2 = 2 2
(2)
Cộng các vế tơng ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
x [0;1]
1
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi x = 1 x x = .
2
4
4
x
=
1
x
Vídụ 2: Cho a, b, c>0. Chứng minh:
a
b
c
+
+
1
a+ (a+b)(a+c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b)
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/2004)
Lời giải.
á p dụng BĐ T Bu-nhia-cốpski cho hai bộ số ( a; b) và ( c; a), ta có:
( ac+ ab)2 (a + b)(c + a) ac + ab (a + b)(c + a)
a+ ac + ab a+ (a+ b)(c + a)
a
a+ (a+ b)(c + a)
a
a + ac + ab
a
=
(1)
a+ b+ c
Tơng tự, ta có:
b
b+ (b+c)(b+a)
c
c+ (c+a)(c+b)
b
(2)
a+ b+ c
c
(3)
a+ b+ c
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2) và (3), ta đợc:
a
a+ (a+b)(a+c)
+
b
b + (b + c)(b + a)
+
c
c + (c + a)(c + b)
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vídụ 3: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kì
, ta có:
p-a + p b + p c 3p
trong đó a, b, c là các độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của tam giác.
Lời giải.
/>
16
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
á p dụng BĐ T Bu-nhia-cốpski cho hai bộ ba số (1, 1, 1) và ( p-a, p-b, p-c), ta đợ c:
p-a + p b + p c 12 + 12 + 12 . ( p a)2 + ( p b)2 + ( p c)2 =
= 3 p a+ p b+ p c = 3 p
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi
p-a
p b
=
=
1
1
p c
a= b= c
1
Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
Vídụ1: Vớ i a, b, c là ba số d ơng thỏa mã n đẳ
ng thức ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng:
b2 + 2a2
c2 + 2b2
a2 + 2c2
+
+
3.
ab
bc
ca
(ĐHQG Hà Nội Khối D - Năm 2000)
Lời giải.
Nhâ
n hai vếcủa BĐ T vớ i abc>0, ta đợ c:
c b2 + 2a2 + a c2 + 2b2 + b a2 + 2c2 3abc
(1)
M = b2c2 + 2a2c2 + a2c2 + 2a2b2 + a2b2 + 2b2c2 3abc
Theo BĐT Bu-nhia-cốpski, ta có:
b2c2 + 2a2c2 = (bc)2 + (ac)2 + (ac)2
1
3
(bc + ca + ca) =
3
(bc + 2ca)
3
(2)
Tơng tự, ta có:
3
(ac + 2ab)
3
3
a2b2 + 2b2c2
(ab + 2bc)
3
(3)
a2c2 + 2a2b2
(4)
Cộng từng vế của (2), (3) và (4) đi tới:
3
.3(ab + bc + ca) = 3abc (1) đúng: đpcm.
3
Vídụ 2: Cho x, y, z là ba số d ơng và x+y+x 1. Chứng minh rằng:
M
x2 +
1
1
1
+ y2 + 2 + z2 + 2 82.
2
x
y
z
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2003)
Lời giải.
Gọi S= x2 +
1
1
1
+ y2 + 2 + z2 + 2
2
x
y
z
1
á p dụng BĐ T Bu-nhia-cốpski cho hai bộ số (1; 9) và x; ữ, ta có:
x
/>
17
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
9
1
1
x+ 1+81 x2 + 2 = 82 x2 + 2
x
x
x
(1)
Tơng tự, ta có:
9
1
y+ 82 y2 + 2
y
y
(2)
9
1
z+ 82 z2 + 2
z
z
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta có:
1 1 1
S. 82 x + y + z + 9 + + ữ
x y z
1 1 1
hay S. 82 81(x + y + z) + 9 + + ữ 80(x + y + z)
x y z
1 1 1
2.9.3. (x + y + z) + + ữ 80 162 80 = 82.
x y z
đpcm.
Chú ý: Bài toán này ta có thể giải bằng phơng pháp tọa độ, sẽ
trình bày ở phần sau.
Bất đẳng thức trong tam giác:
Vídụ: Cho ABC. Chứng minh rằng:
1
1
1
(l a + l c ) + (l c + l a ) + (l a + l b ) 3 3.
a
b
c
(Học viện Kỹ thuật Quân sự - Năm 1997)
Lời giải.
A
2 b + c l = 2cos A 1 + 1 l = 2cos A
Ta có: la =
a
a
b+ c
bc
2 b c ữ
2
B
1 1
T ơng tự, ta có: + ữl b = 2cos
2
c a
2bc.cos
C
1 1
a + b ữl c = 2cos 2
Cộng từng vếcủa ba đẳ
ng thức trên, ta đợ c:
1
1
1
A
B
C
(l b + l c ) + (l c + la ) + ( la + l b ) = 2 cos + cos + cos ữ
a
b
c
2
2
2
A
B
C
á p dụng BĐ T Bu-nhia-cốpxki cho hai bộ số (1; 1; 1) và cos ;cos ;cos ữ, ta có:
2
2
2
cos
(1)
A
B
C
A
B
C
+ cos + cos 3 cos2 + cos2 + cos2 ữ
2
2
2
2
2
2
/>
18
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
9 3
+ (cosA + cosB + cosC)
2 2
9 3 3 3 3
+ .
2 2 2
2
3
vìcosA+cosB+cosC 2 ữ
1
1
1
Từ (1) và (2) ta suy ra: (l b + l c ) + (l c + la ) + ( l a + l b ) 3 3
a
b
c
Đẳ
ng thức xảy ra khi và chỉkhi ABC đều.
(2)
Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy
hoặc dùng phơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng minh: a-1 + b 1 + c 1 c(ab + 1), vớ i mọi số thực d ơng a, b, c 1.
Bài 2: Cho x, y, z>0. Chứng minh:
xyz(x+y+z+ x2 + y2 + z2 )
3+ 3
.
2
2
2
2
2
2
2
(x + y + z )[(x + y + z) (x + y + z )]
18
Bài 3: Cho a, b, c >0 và thỏa mã n abc=1. Chứng minh:
1
1
1
3
+ 3
+ 3
3
a (b + c) b (c + a) c (a+ b) 2
Bài 4: Cho x>0, y>0 và x2 + y2 x + y. Chứng minh:
x+3y 2+ 5.
Dng 3: Phng phỏp dựng du ca tam thc bc hai:
Cơsở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳ
ng thức ở giả thiết vềdạng chứa:
f(x)=ax2 + bx + c (a 0)
Đ ểxét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ớ i dạng:
Cơsở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳ
ng thức ở giả thiết vềdạng chứa:
f(x)=ax2 + bx + c (a 0)
Đ ểxét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ớ i dạng:
2
2
b b2 4ac
b
f(x)=a x + ữ
=
a
x
+
2
2a
4a2
2a ữ
4a
Dấu của biệt thức
<0
=0
Dấu của f(x)
af(x)>0, x R
af(x)>0, x -
b
b
; f(- )=0
2a
2a
/>
19
Chuyên Đề BĐT
Cù Đức Hoà
Tổ : Toán - Lý
af(x)<0, x (x1; x2 )
>0
Phơng trình f(x) = 0 có hai
af(x)>0, x (-; x1) (x2; +)
nghiệm x1 < x2
Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc
hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm của biệt thức , tỏ ra tiện lợi
khi chứng minh một bất đẳng thức mà nó đã đợc nhận dạng.
ở đây nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:
0
* f(x)=ax2 + bx + c 0, x R
a>0
2
* f(x)=x + a a; x; a
0
* f(x)=ax2 + bx + c 0, x R
a<0
2
* f(x)=b-x b; x; b
Vídụ1: Chứng minh rằng vớ i 5 số a, b, c, d, e bất kì
, bao giờ ta cũng có:
a2 + b2 + c2 + d2 a(b + c + d + e).
(Đề 15/II - Bộ đề
(1)
tuyển sinh)
Lời giải.
(1) a2 (b + c + d + e)a+ b2 + c2 + d2 + e2 0
Vếtrái là tam thức bậc hai theo a có biệt thức:
(2)
=(b+c+d+e)2 4(b2 + c2 + d2 + e2 ) 0, b, c, d, e
Do BĐ T Bu-nhia-cốpski, ta có:
(1.b+1.c+1.d+1.e)2 (12 + 12 + 12 + 12 )(b2 + c2 + d2 + e2 )
Vậy (2) đúng vớ i a, b, c, d, e, suy ra (1) đúng.
Vídụ 2: Chứng minh rằng:
5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy 8xz 8yz > 0
vớ i mọi số x, y, z không đồng thời bằng 0.
Lời giải.
Xem vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là một tam thức
bậc hai của x, còn y, z là những tham số, ta đợc một bất phơng
trình bậc hai mà x là ẩn số:
f(x, y, z) = 5x2 + 2(3y - 4z)x + 5y2 + 5z2 - 8yz > 0
(1
)
'x = (3y 4z)2 5(5y2 + 5z2 8yz)=-16y2 + 16zy 9z2.
Xem 'x là một tam thức bậc hai của y, còn z là tham số,
'y = 64z2 9.16z2 = 80z2.
1. Nếu z 0 thì 'y < 0: Do đó 'x < 0 vớ i mọi y. Từ đó suy ra rằng PT (1) nghiệm đúng vớ i mọi x.
2. Nếu z=0 thì'x = 16y2.
a) Nếu y 0 thì 'x < 0. Do dó PT (1) nghiệm đúng vớ i mọi x.
/>
20
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
b) Nếu y=0 thìvìx2 + y2 + z2 > 0 nên x 0.
f(x, y, z)=5x2 > 0
Vậy bất đẳ
ng thức (1) đúng vớ i mọi x, y, z không đồng thời bằng 0.
Vídụ 3: Cho ABC. Chứng minh:
Lời giải.
x2
A
x(cosB + cosC) 2sin2 , x R.
2
2
x2
A
Xét tam thức: f(x)= x(cosB + cosC) + 2sin2 . Ta có:
2
2
2
A
B+ C
B C
A
x = (cosB + cosC) sin
= 2cos
cos
4sin2
ữ
2
2
2
2
2
2
2
A
B C
=4sin cos2
1ữ 0
2
2
Do đó: f(x) 0, x R (đpcm).
Vídụ 4: Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa mã n các điều kiện:
2
a2 + b2 + c2 = 2
ab + bc + ca = 1
4
4 4
4 4
4
thì- a , - b , - c .
3
3 3
3 3
3
Lời giải.
Xem hai đẳng thức đã cho là một hệ hai phơng trình mà b, c
là hai ẩn số, a là tham số. Hệ phơng trình này có nghiệm. Từ đó
ta tìm đợc tập hợp các giá trị của tham số a.
Từ giả thiết, ta suy ra:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
=2+2=4
a+b+c=2
a+b+c=-2
Hệđã cho t ơng đơng vớ i hai hệ:
a+b+c=2
a+b+c=-2
(I)
;
(II)
ab+bc+ca=1
ab+bc+ca=1
Xét hệ(I). Từ PT thứ nhất của hệta suy ra b+c=2-a. Thay vào PT thứ hai, ta đợ c:
bc+a(2-a)=1 bc=(a-1)2
Hệ(I) t ơng đơng vớ i hệ:
b+c=2-a
2
bc=(a-1)
b,c là các nghiệm của PT:
x2 (2 a)x + (a 1)2 = 0
/>
21
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
PT này có hai nghiệm nên 0
=(2-a)2 4(a 1)2 0
3a2 + 4a 0
4
0 a
(1)
3
Lập luận t ơng tự đối vớ i hệ(II), ta đợ c:
4
- a 0
(2)
3
Phối hợ p các kết quả (1) và (2), ta đợ c:
4
4
- a
3
3
Vìa, b, c có thểđổi chỗ cho nhau trong hai đẳ
ng thức đã cho nên ta cũng có:
4
4
4
4
- b và - c .
3
3
3
3
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Chứng minh: (x+y)2 2x 5 5y2 + 4y 5 6, x,y R.
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các đ
ộ dài ba cạnh của một tam giác thìta luôn có:
1
a2b2 + b2c2 + c2a2 > (a4 + b4 + c4 )
2
Bài 3: Chứng minh rằng vớ i mọi x R, ta đều có:
4sin3x+5 4cos2x+5sinx
Dạng 4: Phơng pháp đạo hàm
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b]
và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm c (a; b) sao
cho:
f(b)-f(a)=f ' (c)(b a) hay f ' (c) =
f(b) f(a)
b a
2. Tính đơn điệu của hàm số:
a) Khái niệmtính đồng biến và nghịch biến của hàmsố :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K (K là khoảng (a; b) hoặ
c đoạn [a; b])
* f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:
x1, x2 K : x1 < x2 f(x1) < f(x2 ).
* f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
x1, x2 K : x1 < x2 f(x1) > f(x2 ).
* Tính đồng biến hay nghịch biến đợ c gọi chung là tính đơn điệu.
/>
22
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
b) Đ iều kiện cần của tính đơn điệu:
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
* Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) thìf / (x) 0, x (a; b)
* Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thìf / (x) 0, x (a; b).
c) Đ iều kiện đủ của tính đơn điệu (dấu hiệu đơn điệu):
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
x (a; b): f / (x) 0
* /
c f / (x) = 0 tại hữu hạn điểm x
f (x) 0 hoặ
f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
x (a; b): f / (x) 0
* /
c f / (x) = 0 tại hữu hạn điểm x
f (x) 0 hoặ
f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
Chú ý: Trong dấu hiệu đơn điệu, nếu thêm giả thiết f(x) liên
tục trên đoạn [a; b] thì kết luận mạnh hơn: f(x) đồng biến (hay
nghịch biến) trên đoạn [a; b].
3. Cực trị của hàm số:
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a;b).
a) Đ ịnh lý 1:
f / (x) > 0 trên (x0 ; x0)
* /
x0 là điểm cực đại của f(x).
f (x) < 0 trên (x0; x0+ )
f / (x) < 0 trên (x0 ; x0)
* /
x0 là điểm cực tiểu của f(x).
f (x) > 0 trên (x0; x0 + )
b) Đ ịnh lý 2:
f / (x) = 0
* //
x0 là điểm cực tiểu của f(x).
f (x) > 0
f / (x) = 0
* //
x0 là điểm cực đại của f(x).
f (x) < 0
II. Ví dụ minh họa:
x
Vídụ1: Cho n là số tự nhiên, n 1. Chứng minh rằng: ex > 1+ , vớ i mọi x>0.
n
Lời giải.
(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
/>
23
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
x
trên nửa khoảng [ 0; + ) . Vớ i mọi x>0, n 1, ta có:
n
1
1
f / (x) = ex >0 (vìex > e0 = 1> vớ i x>0, n 1)
n
n
Mặ
t khác dễthấy hàm số liên tục trên [ 0; + ) . Do đó f(x) đồng biến trên nửa khoảng [ 0; + ) .
Xét hàm số f(x)=ex 1
Vậy vớ i mọi x>0, n 1:
x
f(x)=ex 1 >f(0)=0
n
x
Đ iều đó chứng tỏ ex > 1+ , x>0, n 1.
n
Chú ý: 1) Với bài toán này, ta cũng có thể xét hàm số g(x)=ex
x
n
trên nửa khoảng [ 0; + ) , với chú ý rằng g(0) = 1.
2) Nếu không sử dụng tính liên tục của hàm số, ta chỉ có thể kết
luận hàm số đồng biến trên khoảng (0; +) . Khi đó cha thể có bất
đẳng thức f(x) > f(0) với x > 0.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 ta đều có:
nn+1 > (n+1)n.
(H An ninh Khi A - Nm 2000)
Lời giải.
nn+1 > (n+1)n
(n+1)lnn>nln(n+1)
n+1
n
>
ln(n+1) lnn
(1)
(2)
x
Xét hàm số f(x)=
vớ i x 3.
lnx
1
lnx x.
x = lnx 1 > 0 (Do x 3)
Ta có: f / (x) =
2
ln x
ln2 x
Vậy f(x) đồng biến nên f(n+1)>f(n) (2): đpcm.
3x
+1
2sinx
tgx
Vídụ 3: Vớ i 0
(ĐH Y dợc Tp. HCM - Năm 1993)
Lời giải.
/>
24
Chuyên Đề BĐT
Tổ : Toán - Lý
Cù Đức Hoà
á p dụng bất đẳ
ng thức Cauchy, ta có:
1+
22sinx + 2tgx 2 22sinx.2tgx = 2
Vậy ta chỉcần chứng minh:
2sinx+ tgx
2
2sinx + tgx 3
> x + 1 2sinx + tgx 3x > 0, x 0; ữ
2
2
2
Xét hàm số f(x)=2sinx + tgx 3x
1
1
Ta có: f / (x) = 2cosx +
3 = cosx + cosx +
3
2
cos x
cos2 x
1
33 cosx.cosx. 2 3 = 0 (BĐ T Cauchy)
cos x
Vậy f(x) đồng biến trên khoảng 0; ữ.
2
Suy ra f(x)>f(0)=0 hay 2sinx+tgx-3x>0, x 0; ữ.
2
1+
Vídụ 4: Cho ba số d ơng a, b, c thỏa a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
a
b
c
3 3
+ 2 2+ 2 2
.
2
b +c c +a a +b
3
2
(ĐH Đà Nẵng - Năm 2001)
Lời giải.
Bất đẳ
ng thức cần chứng minh t ơng đơng vớ i:
a
b
c
3 3 3 3 2 2 2
+
+
=
(a + b + c )
2
2
2
1-a 1 b 1 c
3
3
2
Ta chứng minh nếu 0
3
Ta có: f / (x) = 1 3x2;
f / (x) = 0 x =
.
3
x
3
3
0
1
f(x
)
f(x)
+
0
2
3 3
0
0
/>
25
