chuyen de bdt

khai thác bài toán từ một bất đẳng thức đơn giản
Xuất phát từ hằng đẳng thức:
2
2 2
2 2
2 2
3 3
( ) 0
2 0
( )( ) ( )
( )
a b
a ab b
a b ab ab
a b a b ab ab a b
a b ab a b

+
+
+ + +
+ +
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 1: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3
( ) (*)a b ab a b+ +
Từ bài toán (*), tôi tiếp tục những hớng khai thác khác và đã thu đợc một vài
kết quả sau:
*Hớng thứ nhất:
3 3
3 2 2
3

2 2
(*)
)
( )
(
a
a ab b
a
ab b
b
ab a b b
b a
a

+
+
+


Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3
2 2 2 2
;
b c
bc c ca a
c a
b c
+ +

Từ đó ta có bài toán:

Bài toán 2: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
*Hớng thứ hai:
Từ (*)
3 3
a b
a b
ab
+
+
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3
;
b c c a
b c c a
bc ca
+ +
+ +
Do đó ta có bài toán:
Bài toán 3: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca

+ + +
+ + + +
*Hớng thứ ba:
Từ (*)
3 3
3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 ( )
4 4 3 ( )
4( ) ( )
a b ab a b
a b a b ab a b
a b a b
+ +
+ + + +
+ +
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3 3 3
4( ) ( ) ; 4( ) ( )b c b c c a c a+ + + +
1
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 4: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + +
*Hớng thứ t:
Mặt khác từ (*)
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3
3 2 2 2 2

3 2 2
3
2 2
3 2 ( )
3 2 ( )
3 ( )
3 ( )( ) ( )
3 ( )(2 )
3
2
a b a ab a b
a a b ab a b
a a b a ab a b
a a b a ab b a a ab b
a a ab b a b
a
a b
a ab b
+ + +
+ +
+ + +
+ + + + +
+ +

+ +
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3
2 2 2 2
3 3
2 ; 2

b c
b c c a
b bc c c ca a

+ + + +
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 5: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ +
+ + + + + +
*Hớng thứ năm:
Từ (*)
3 3 3
3 3 3
2 2 3 3
2 2 3 3
3 3
3 3
2 3 3
3 3
2
20 19 ( )
20 ( ) 19
(20 ) 19

(20 5 4 ) 19
[5 (4 ) (4 )] 19
(4 )( 5 ) 19
(4 )( 5 ) 19
19
4
5
a b b ab a b
b ab a b b a
b b ab a b a
b b ab ab a b a
b b b a a b a b a
b b a a b b a
b a ab b b a
b a
b a
ab b
+ + +
+

+
+
+
+


+
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3
2 2

19 19
4 ; 4
5 5
c b a c
c b a c
cb c ac a


+ +
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 6: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
2 2 2
19 19 19
3( )
5 5 5
b a c b a c
a b c
ab b cb c ac a

+ + + +
+ + +
2
*Hớng thứ sáu:
Cũng từ (*) ta có:
3 3
( )a b abc ab a b abc+ + + +
3 3
( )a b abc ab a b c + + + +
3 3

1 1
( )a b abc ab a b c

+ + + +
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 3 3
1 1 1 1
;
( ) ( )b c abc bc a b c c a abc ca a b c

+ + + + + + + +
Ta đề xuất đợc bài toán:
Bài toán 7: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
*Hớng thứ bẩy:
Nếu ta bổ sung điều kiện abc = 1 thì:
Ta có bài toán:
Bài toán 8: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ +
+ + + + + +
*Hớng thứ tám:
Mặt khác từ (*)

2 2 3 3 2 2 2 2
5 2 3 3 2 5 4 3 2 2 3 4
5 5 4 4
5 5 4 4
5 5 3 3
5 5 3 3
( )( ) ( )( )
( 1)
1
1
a b a b a b a b ab
a a b a b b a b a b a b ab
a b a b ab
a b ab a b ab ab
a b ab ab a b
ab
a b ab a b
+ + + +
+ + + + + +
+ +
+ + + +
+ + + +

+ + + +
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
5 5 3 3 5 5 3 3
1 1
;
1 1
bc ca

b c bc b c c a ca c a

+ + + + + + + +
Ta có bài toán:
Bài toán 9: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ +
+ + + + + +
*Hớng thứ chín:
Mặt khác từ (*)
3 3 2 2
4 4
a b a b ab+ +

Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
3 3 2 2 3 3 2 2
;
4 4 4 4
b c b c bc c a c a ca+ + + +

3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 4
a b c a b ab b c bc c a ca+ + + + + + +

3 3 3 2 2 2
( ) ( ) ( )

2 4
a b c a b c b c a c a b+ + + + + + +

Mặt

: áp dụng bất đẳng thức:
2a b ab+
cho hai số không âm, ta có:
4 2 4 2
3
( ) ( )
2 .
4 4
a a b c a a b c
a
b c b c
+ +
+ =
+ +
Tơng tự với a, b, c > 0 thì:
4 2 4 2 4 2 4 2
3 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 . ; 2 .
4 4 4 4
b b c a b b c a c c a b c c a b
b c
c a c a a b a b
+ + + +
+ = + =

+ + + +
Ta có bài toán:
Bài toán 10: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
4 4 4 3 3 3
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
*Hớng thứ mời:
Mặt khác: Với a, b, c > 0 tơng tự (*) ta có:
3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2
( ); ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b c bc b c c a ca c a
a b c ab a b bc b c ca c a
a b c a b ab b c bc c a ca
a b c a b c b c a c a b
+ + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
áp dụng bất đẳng thức:
2a b ab+
cho hai số không âm, ta có:

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 ; 2
( ) 2 ; ( ) 2 ; ( ) 2
( ) ( ) ( ) 2 2 2
( ) ( ) ( )
2
b c bc c a ca
a b c a bc b c a b ca c a b c ab
a b c b c a c a b a bc b ca c ab
a b c b c a c a b
a bc b ca c ab
+ +
+ + +
+ + + + + + +
+ + + + +
+ +
Ta có bài toán:
Bài toán 11: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + + +
*Hớng thứ mời một:
3 3
3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
;
a a b b

b c b c c a c a


ữ ữ
+ + + +

3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
8 2
1
4
a b c a b c
b c c a c a b c c a a b
a b c a b c
b c c a c a b c c a a b



+ + + +

ữ
ữ ữ ữ
+ + + + + +

+ + + +
ữ
ữ ữ ữ
+ + + + + +


4
Ta có bài toán:
Bài toán 12: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
4
a b c a b c
b c c a c a b c c a a b


+ + + +
ữ
ữ ữ ữ
+ + + + + +


*Hớng thứ mời hai:
Mặt khác: Với a, b, c > 0. Ta có:
( )

( )
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
2
1
2
a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b c a b c a b c
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
b c c a a b
a
+ + +

+ + +

= + + + + +
ữ ữ ữ
+ + +

+ + + + + +
= + +
+ + +

= + + + +
ữ
+ + +


= + + + + + + +
ữ
+ + +

=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
2
b b c a b c a b c c a
b c a b c a a b c a b c

+ + + + + +
+ + + + + +
ữ

+ + + + + +

áp dụng bất đẳng thức:
2
a b
b a
+
cho hai số không âm, ta có:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
2; 2; 2
6
3
2
a b b c a b c a b c c a
b c a b c a a b c a b c
a b b c a b c a b c c a
b c a b c a a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ + + + + +
+ + +
+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + +
ữ
+ + + + + +

+ +
+ + +
3 3 3
3
8
a b c
b c c a c a

+ +
ữ ữ ữ
+ + +

Ta có bài toán:
Bài toán 13: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3
3
8
a b c
b c c a c a

+ +
ữ ữ ữ
+ + +

* Đề nghị các bạn áp dụng bất đẳng thức (*) để tiếp tục chứng minh các bài
toán sau:

Bài toán 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
2( )
a b c b c a
a b c
b c a a b c
+ + + + + + +
Bài toán 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
5