8 UNG DUNG MU LOGARIT NHOM 8 DAP AN

1
Hướng dẫn giải: Chọn C
a
r
m
Gọi là số tiền vay, là lãi,
là số tiền hàng tháng trả.
N 1 = a( 1+ r ) − m

Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là:

.

N 2 =  a( 1+ r ) − m +  a( 1− r ) − m r − m

= a( 1+ r ) − m( 1+ r ) + 1
2

Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:
….

Số tiền nợ sau

Sau

n

n

N n = a( 1+ r )

n

( 1+ r )
−m

−1

r

tháng là:
N n = a( 1+ r )

n

n

.

( 1+ r )
−m
r

tháng anh Nam trả hết nợ:

⇔ 1000( 1+ 0,005)

n

( 1+ 0,005)
− 30

n

−1

0,0005

n

−1

=0
.

=0

⇔ t = 36,55
Vậy

37

tháng thì anh Nam trả hết nợ.

2
Hướng dẫn giải: Chọn D
a
r
A
Gọi
là số tiền vay, là số tiền gửi hàng tháng là lãi suất mỗi tháng.

n

Đến cuối tháng thứ
T = A ( 1+ r ) − a( 1+ r )

n

thì số tiền còn nợ là:

n−1

+ ( 1+ r )

n− 2

+ ... + 1 = A ( 1+ r )


T = 0 ⇔ A ( 1+ r )

n

Hết nợ đồng nghĩa

⇔

n

n

a( 1+ r ) − 1

− 
r

n
a( 1+ r ) − 1
 =0
− 
r

n
a− Ar
a
a
1+ r ) = ⇔ n = log1+ r
(
r
r
a− Ar

Áp dụng với
Vậy cần trả

A =1

28

(tỷ),

a= 0,04

(tỷ),

r = 0,0065

ta được

n ≈ 27,37

.

tháng.

3
Hướng dẫn giải: Chọn A
Trang 1/12 - Mã đề thi DE THI


Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 lần:

N = A ( 1+ r )

n

, Với

A = 100.106

và

r = 0,5 00

.

108 ( 1+ 0,5%) > 125.106
n

Theo đề bài ta tìm n bé nhất sao cho:

⇔ ( 1+ 0,5%) >
n

5 ⇔ n > log 5 ≈ 44,74
201
4
4
200

4
Hướng dẫn giải: Chọn C
-

Số

tiền

cả

vốn

lẫn

S = 100(1+ 0,005) = 100.1,005
n

- Để có số tiền

n = log1,005

lãi

có

(triệu đồng)

sau

n

tháng

S
S
⇒ n = log1,005
100
100

là

.

(triệu đồng) thì phải sau thời gian

S
125
= log1,005
≈ 44,74
100
100

45

gởi

⇒ 1,005n =

n

S = 125

- Vậy: sau ít nhất

người

(tháng)

tháng người đó có nhiều hơn

125

triệu đồng.

5
Hướng dẫn giải: Chọn C
Với trận động đất 7 độ Richte ta có biểu thức

7 = M L = log A − log A0 = log

Tương tự ta suy ra được

Từ đó ta tính được tỉ lệ

A
A
⇒
= 107 ⇒ A = A0.107
A0
A0

A ′ = A0.105

.

.

A A0.107
=
= 100
A ′ A0.105

.

6
Hướng dẫn giải: Chọn A
Theo đề bài số lượng bèo ban đầu chiếm
Sau 7 ngày số lượng bèo là

0,04× 31

Sau 14 ngày số lượng bèo là

0,04

diện tích mặt hồ.

diện tích mặt hồ.

0,04× 32

diện tích mặt hồ.

…
Sau

7× n

ngày số lượng bèo là

0,04× 3n

diện tích mặt hồ.
Trang 2/12 - Mã đề thi DE THI


Để bèo phủ kín mặt hồ thì
Vậy sau

7× log3 25

0,04× 3n = 1 ⇔ 3n = 25 ⇔ n = log3 25

.

ngày thì bèo vừa phủ kín mặt hồ

7
Hướng dẫn giải: Chọn C
Từ giả thiết ta suy ra

Q ( t ) = 5000.e

0.195 t

Q ( t ) = 5000.e0.195t

. Để số lượng vi khuẩn là

100.000

1
0.195 t
⇔
e
=
2
⇔
t
=
ln 20 ≈ 15.36 ( h )
= 100.000
0.195

con thì

.

8
Hướng dẫn giải: Chọn C
Ta có

1 S
S = A.e Nr ⇔ N = ln
r A

.

120

Để dân số nước ta ở mức

triệu người thì cần số năm
1 S 100 120000000
N = ln =
.ln
≈ 25
r A 1,7
78685800
(năm).
Vậy thì đến năm

2026

120

dân số nước ta ở mức

triệu người

9
Hướng dẫn giải: Chọn A
t

t

P ( t ) = 100. ( 0, 5 ) 5750 % = 65% ↔ 0,5 5750 = 0, 65

.
t

1

2

log 1 0,55750 = log 1 0, 65 ↔
2

Lấy loga cơ số
của 2 vế, thu được :
t = 3574
Vậy
năm.

2

t
= log 1 0, 65
5750
2

10
Hướng dẫn giải: Chọn C
A = 100; S1 = 300 t1 = 5h
t2
S 2 = 10.100 = 1000
;
. Ta cần tìm thời gian sao cho tại đó
.
1

S1 = 100.e r .5 = 300 ↔ ( e r ) = 3 ↔ e r = 35  
5

.

t2

S2 = 100.e r .t2 = 1000 ↔ ( e r ) = 10 ↔ 3 5 = 10. 
t2

Lấy loga cơ số 10 hai vế, ta thu được:

t2
5
log 3 = 1 ↔ t2 =
= 10, 48
5
log 3

giờ.

Vậy đáp án C (10 giờ 29 phút)
11
Trang 3/12 - Mã đề thi DE THI


Hướng dẫn giải: Chọn A
Do lãi hàng năm được nhập vào vốn, giả sử lúc đầu người ấy gửi số tiền là

A, 
sau năm đầu tiên,

A + 8, 4% A = A. ( 1 + 0, 084 ) = 1, 084. A

số tiền (cả gốc lẫn lãi) là:
.
Sang năm tiếp theo, số tiền cả gốc lẫn lãi người ấy thu được là:
1, 084. A + 0, 084. A = 1, 084. A. ( 1 + 0, 084 ) = 1,0842. A
Tổng quát: sau

n

.

năm, với cách tính lãi kép (gộp tiền lãi vào vốn) / chu kỳ, số tiền thu được từ tiền
n

gửi A ban đầu là:

a 

1 +
÷ .A
 100 

Để người ấy thu được số tiền gửi gấp đôi số ban đầu,

1, 084n = 2 ↔ n.log 2 1, 084 = 1 ↔ n = 8,59

.
Vậy sau 9 năm, người ấy thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.
12

Hướng dẫn giải: Chọn A
t

 1 T
m ( t ) = m0  ÷
2

Sử dụng công thức về chu kỳ bán rã trong SGK Đại Số và Giải Tích 12:
.
m0
t = 0 m( t)
Trong đó,
là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm
),
là khối lượng
chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kỳ bán rã.
Vậy, để quả bom không thể phát nổ, số lượng Uranium-235 phải chứa ít hơn 50kg tinh khiết.
t

Hay

 1  704
m ( t ) = 64.  ÷ ≤ 50
2

.

Vậy, phương trình thỏa mãn điều kiện sau

t

triệu năm thì quả bom không thể phát nổ là:

t

50  1  704
= ÷
64  2 

.

13
Hướng dẫn giải: Chọn D
A1
A2
Gọi
là biên độ rung chấn tối đa ở trận động đất tại San Francisco,
là biên độ rung chấn tối đa ở

trận động đất Nhật Bản. Khi đó:

Vậy

 log A1 − log A0 = 8

log A2 − log A0 = 6

.

A 

A
log A1 − log A2 = 2 ↔ log  1 ÷ = 2 ↔ 1 = 102 = 100
A2
 A2 

.

Vậy, trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản.
14
Hướng dẫn giải: Chọn A
Trang 4/12 - Mã đề thi DE THI


Cách tiếp cận 1: (Công thức dân số theo SGK Đại Số và Giải Tích 12). Dân số được ước tính
theo công thức
lệ tăng dân

S = Ae ni

số

, trong đó
hàng năm.

A

là dân số của năm lấy làm mốc tính,
Do đó năm 2010 là 7 năm

S7 = 80.902.400e7×0,0147 = 89, 670, 648

S

i
là dân số sau n năm, là tỉ
sau năm 2003, ta có

người. Chọn đáp án A.

1, 47%
Cách tiếp cận 2: Sau mỗi năm, dân số tăng
, do đó, tại năm 2003, dân số là
A = 80.902.400
n
người, thì ở năm thứ kể từ năm 2003, dân số Việt Nam được tính theo công thức (lãi

An = A. ( 1 + 0, 0147 ) ↔ An = A. ( 1, 0147 )
n

kép)

n

.

A7 = 80.902.400 × ( 1, 0147 ) = 89.603.511
7

Vậy, dân số tại năm 2010 là

người. Đáp số gần nhất:

A.
Chú ý: dạng toán này nếu xuất hiện trong đề thi, công thức tính dân số sẽ được cho trước, vì việc tính
toán dân số chỉ là ước tính nên sai số là điều chấp nhận được.
15
Hướng dẫn giải: Chọn B
200 = 100. ( 1 + 0,1) ↔ 1, 01n = 2 ↔ n.log 2 1,1 = 1 ↔ n =
n

Có

1
= 7, 2
log 2 1,1

năm

Vậy sau 7 năm 4 tháng thì ông A tích lũy được số tiền 200 triệu từ số tiền 100 triệu ban đầu.
16
Hướng dẫn giải: Chọn C
20 = 15. ( 1 + 0, 0165 ) ↔ 1, 0165n =
n

4
↔ n.log 4 1, 0165 = 1 ↔ n = 17,58
3
3

.

Vậy sau 17,58 quý, tức là 4,4 năm, hay 4 năm 2 quý thì người ấy có ít nhất 20 triệu đồng từ số vốn
ban đầu.
Câu 1. Hướng dẫn giải : Chọn đáp án D.
♦Tự luận:Ta có
75- 20ln( t +1) £ 10 Û ln( t +1) ³ 3,25 Û t ³ 24,79

Khoảng 25 tháng.
Câu 2.

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

♦Tự luận:

P(t ) = 100.(0,5)

t
5750

Ta có:
Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng Carbon 14
còn lại trong gỗ là 65,21%. Nên ta có:
Trang 5/12 - Mã đề thi DE THI


t

100.(0,5) 5750 = 65, 21 ⇔

Câu 3.

t
= log 0,5 0, 6521 ⇔ t ≈ 3547
5750

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

♦Tự luận:

Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con nên ta có phương
trình:

100.e5r = 300 ⇔ e5r = 3 ⇔ 5r = ln3 ⇔ r =

ln3
5

t
Gọi là thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với số lượng ban đầu. Khi
đó ta có:
ln3
t

( )

100.e 5 = 200 ⇔ eln3

t
5

t
5

= 2 ⇔ 3 = 2 ⇔ t = 5log3 2

Câu 4.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
♦Tự luận:
Pu 239
có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có
ln 5 − ln10
5 = 10.e r .24360 ⇒ r =
≈ −0, 000028
24360
. (làm tròn đến hàng phần triệu)
Vậy sự phân hủy của

S = A.e

Pu 239

ln 5− ln10
t
24360

được tính theo công thức
.
239
Pu
Theo đề, khoảng thời gian sao cho 10 gam

phân hủy còn 1 gam là
nghiệm của phương trình
ln 5− ln10
t
− ln10
− ln10
1 = 10.e 24360 ⇒ t =
≈
≈ 82235
ln 5 − ln10 −0, 000028
24360
(năm).
Câu 5.
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A
♦Tự luận:
Pt
t
P
Công thức lãi kép: Số tiền
tích lũy được sau
năm với số tiền ban đầu là
và
lãi suất
Sau

r%/

năm:

5

Pt = P ( 1+ r )

năm

t

.
số

tiền

tích

lũy

được

là

P5 = 100( 1+ r ) ⇔ 100( 1+ r ) = 200 ⇔ ( 1+ r ) = 2 ⇔ 1+ r = 5 2
5

5

5

Sau t năm số tiền tích lũy được là 400 triệu nên ta có phương trình:
100( 1+ r ) = 400 ⇔ ( 1+ r ) = 4 ⇔
t

t

⇔ 25 = 22 ⇔

t

( 2)
5

t

=4

t
= 2 ⇔ t = 10.
5

♦Trắc nghiệm:
Câu 6. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B
Trang 6/12 - Mã đề thi DE THI


♦Tự luận:
A

Cách 1:Công thức: Vay số tiền
a=
để

n

tháng hết nợ

(

A.r . 1 + r

( 1+ r )

n

)

lãi suất

n

=

−1

r%

/ tháng. Hỏi trả số tiền

(

)

100.0,01. 1 + 0,01

( 1 + 0,01)

3

a

là bao nhiêu

3

−1
.

Cách 2:Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông A hoàn nợ 3 lần
Với lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1%
•

Hoàn nợ lần 1:

100.0,01 + 100 = 100.1,01

-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :
- Số tiền dư :

100.1,01 − m

(triệu đồng)

(triệu đồng)

Hoàn nợ lần 2:
- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :
•

( 100.1,01 − m) .0,01 + ( 100.1,01 − m) = ( 100.1,01 − m) .1,01 = 100. ( 1, 01)

(

)

2

− 1,01.m
(triệu đồng)

2

100. 1,01 − 1,01.m − m
- Số tiền dư:

(triệu đồng)

Hoàn nợ lần 3:
- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :
•

(

)

(

) (

)

100. 1,01 2 − 1,01.m − m .1,01 = 100. 1,01 3 − 1,01 2 m − 1,01m



(

) (
3

)

(triệu đồng)

2

100. 1,01 − 1,01 m − 1,01m − m
- Số tiền dư:

(

) (
3

)

(triệu đồng)

⇒ 100. 1,01 − 1,01 m − 1,01m − m = 0 ⇔ m =

(

) (

( 1,01)
⇔m=
=
 1,01 + 1,01 + 1 . 1,01 − 1
)
(
) ( 1,01) − 1
(

3

)

)

( 1,01)

2

3

+ 1,01 + 1

3

100. 1,01 . 1,01 − 1
2

(

100. 1,01

2

3

(triệu đồng)

♦Trắc nghiệm:
Câu 7. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
♦Tự luận

Trang 7/12 - Mã đề thi DE THI


Tn

n
a

là số tiền vốn lẫn lãi sau tháng, là số tiền hàng tháng gửi vào
r ( %)
ngân hàng và
là lãi suất kép. Ta có
Gọi

T1 = a. ( 1 + r )

,

T2 = ( a + T1 ) ( 1 + r ) = ( a + a ( r + 1) ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
T3 = ( a + T2 ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
2

2

3

….

(

T11 = a ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... ( 1 + r )
2

11

) = a.S

11

S11

là tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân
u1 = 1 + r = 1, 01
q = 1 + r = 1, 01
và công bội
S11 =

u1 ( 1 − q11 )
1− q

=

( un )

với số hạng đầu

1, 01( 1 − 1, 0111 )
1 − 1, 01

Vì tháng thứ 12 mẹ nhận được số tiền
4.

T11

1, 01( 1 − 1, 0111 )
1 − 1, 01

gửi từ tháng 1 và số tiền tháng 12 nên mẹ

+ 4 = 50.730.000

được nhận tổng số tiền là:
Câu 8. Hướng dẫn giải : Chọn đáp án A.
♦Tự luận:
Tn
n
a
Gọi
là số tiền vốn lẫn lãi sau tháng, là số tiền hàng tháng gửi vào
r ( %)
ngân hàng và
là lãi suất kép. Ta có
T1 = a. ( 1 + r )

,

T2 = ( a + T1 ) ( 1 + r ) = ( a + a ( r + 1) ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
T3 = ( a + T2 ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
2

2

3

….

(

T6 = a ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... ( 1 + r )

2

6

) = a.S

6

Trang 8/12 - Mã đề thi DE THI


( un )

S6

là tổng sáu số hạng đầu của cấp số nhân
u1 = 1 + r = 1, 08
q = 1 + r = 1, 08
và công bội
S6 =

u1 ( 1 − q 6 )
1− q

=

với số hạng đầu

1, 08 ( 1 − 1, 086 )
1 − 1, 08

T6
2.109
a=
=
= 252435900, 4
S6 1, 08 ( 1 − 1, 086 )
1 − 1, 08

Theo đề ra, ta có

.

Quy tròn đến phần nghìn ta chọn A.
Câu 9.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Dùng công thức lãi kép
Sau 5 năm người đó thu được cả vốn lẫn lãi là:
50( 1+ 7%) = 70,128
5

(triệu đồng)
Sau 5 năm mới rút lãi thì số tiền lãi thu được là:
70,128 − 50 = 20,128

(triệu đồng)

Câu 10.
Hướng dẫn giải: Chọn D
♦Tự luận:

Áp dụng công thức lãi kép:
Suy ra

n≈ 8

n
T 
T = A ( 1+ r ) ⇒ n = log1+ r  ÷
A

, với

A = 88,T = 100,r = 1,68%

.

quý.
100 = 88( 1+ 1,68%)

♦Trắc nghiệm: Nhập máy
Câu 11.
Hướng dẫn giải: Chọn A

X

rồi dùng chức năng SOLVE.

T = A ( 1+ 3a) ⇒ 61 = 53( 1+ 3a) ⇒ a ≈ 0,6%.
n

Áp dụng công thức lãi kép:
Câu 12.
Hướng dẫn giải: Chọn C

8

4.105.( 1+ 0,04) = 4.105.1,045
5

Ta có:
Câu 13.
Hướng dẫn giải: Chọn C
Số tiền thu được sau
Số tiền thu được sau

6

tháng (2 kì hạn) là:

12

2

tháng (2 kì hạn tiếp theo) là:

100.( 1+ 2%) + 100 ( 1+ 2%) ≈ 212


2

100.( 1+ 2%)

2

triệu.
Trang 9/12 - Mã đề thi DE THI


Câu 14.
Hướng dẫn giải: Chọn A
Đầu tháng thứ nhất gửi A đồng thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả vốn
lẫn lãi là:
A ( 1+ m%)

N

A ( 1+ m%)

N −1

(đồng).
Đầu tháng thứ hai gửi A đồng thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả vốn
lẫn lãi là:
(đồng).
Đầu tháng thứ N gửi A đồng thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả vốn lẫn

lãi là:

A ( 1+ m%)

(đồng).
Hàng tháng gửi A đồng thì cuối N tháng nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là:

A ( 1+ m%) + A ( 1+ m%)
N

N −1

+ ... + A ( 1+ m%) =

N +1
A 
1+ m%)
− ( 1+ m%) 
(


m% 

Câu 15.
Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi n là số tháng cần tìm, áp dụng công thức trong câu 6 ta có:
12 = 0,75.

1,0072n+1 − 1,0072
⇒ n ≈ 15,1
0,0072

Vậy thời gian gửi tiết kiệm là 16 tháng.
Câu 16.

Hướng dẫn giải: Chọn A
Năm thứ nhất trả gốc và lãi, số tiền còn lại là:

x1 = ( 1+ 0,12) x0 − 12m= 1,12x0 − 12m, x0 = 20( triêu)

Năm thứ hai, số tiền còn lại là:

x2 = ( 1+ 0,12) x1 − 12m= 1,12x1 − 12m

Năm thứ ba, số tiền còn lại là:

x3 = ( 1+ 0,12) x2 − 12m= 1,12x2 − 12m

⇒ m=

1,123.20

=

1,123.20.0,12

( 1+ 1,12 + 1,12 ) .12 ( 1,12 − 1) .12
2

3

17
Hướng dẫn giải:chọn A

Số các chữ số của

22017

là

 log22017  + 1= 608.



18
Hướng dẫn giải:Chọn B
Trang 10/12 - Mã đề thi DE THI


M + 1= 274207281

Số các chữ số của

M =2

74207281

−1

là

22338618

là

74207281log2 + 1= 22338618

. Do đó số các chữ số của

chữ số.

19
Hướng dẫn giải: Chọn A

100.( 1+ 15%) ≈ 152,1
3

Số tiền nhận được sau khi gửi 3 năm:
Số tiền lãi nhận được:

152,1− 100 = 52,1

triệu.

triệu.

20
Hướng dẫn giải: chọn A
Áp dụng công thức:

Sn = A( 1+ r )

n

trong đó

A = 100000,r = 15%

Sn ≥ 130 000 ⇔ 100000.( 1+ 15%) ≥ 130000 ⇔ n ≥ log1+15%
n

Theo đề bài ta có
.

130000
⇔ n ≥ 17,6218
100000

21
Hướng dẫn giải: Chọn C.

Áp dụng công thức

Tn = a.( 1+ r )

n

Trong 6 tháng đầu tiên ta có:

a = 100;r = 2%; n = 2
T = 100.( 1+ 2%) = 104,04
2

Sau đúng 6 tháng đầu số tiền nhận được là:
Thời điểm này gửi thêm

100

triệu nên ta xem

a = 204,04

.

T = 204,04( 1+ 2%) = 212,283
2

Số tiền nhận được sau 1 năm:
22
Hướng dẫn giải: chọn D

Ta có

s( 0) = s( 2010)

Trang 11/12 - Mã đề thi DE THI


Theo

giả

thuyết

ta

s( 2015) = s( 2010) e5r
s( 2015)
5r
⇒
e
=

15r
s( 2010)
s( 2025) = s( 2010) .e

có:

và

 s( 2015) 
( 1153600) ≈ 1424227.
s( 2025) = s( 2010) . 
 =
2
 s( 2010) 
( 1 038229)
3

3

23
Hướng dẫn giải: chọn B.
Giải

Cuối tháng 1:

T1 = a + ar = a( 1+ r )
T2 = T1 + a + ( T1 + a) .r = a.( 1+ r ) + a.( 1+ r )
2

Cuối tháng 2:
….

Tn = a.( 1+ r ) + a.( 1+ r )
n

Cuối tháng n:

Tn = a.( 1+ r )

( 1+ r )
.

n

n−1

+ ... + a.( 1+ r )

−1

r

a = 5;r = 0,2%, n = 24

Với

T = a( 1+ r )

( 1+ r )
.

n

−1

r

( 1+ 0,7%)
= 5.( 1+ 0,7%) .
0,7%

24

−1

≈ 131,0858
triệu

24
Hướng dẫn giải: Chọn C.

Tn = a.( 1+ r )

( 1+ r )

.
r

n

−1

( 1+ 8%)
⇔ 2000 = a.( 1+ 8%) .
8%

6

−1

⇔ a = 252,4359004.

Trang 12/12 - Mã đề thi DE THI