LAN 2 VIP GT c3 SP

Câu 1.
Câu 1.
Câu 1.
Câu 1.

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THẤP
MÀU VẬN DỤNG CAO
BÀI 1:

NGUYÊN HÀM

Dạng 1: SỬ DỤNG LÍ THUYẾT.
Câu 2.

F  2   5, �
f  x  dx  x  C
F  x
f  x  .g  x 
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết
và
x2
g  x  dx   C
�
4
.

A.

F  x 

x2
 4.
4

B.

F  x 

x2
 5.
4

C.

F  x 

x3
 5.
4

D.

F  x 

x3
 3.

4

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

Mà

f  x  g  x  dx  F  x   C
�
.

f  x  dx  x  C � f  x   1; �
g  x  dx 
�

x2
x
 C � g  x 
4
2

x
x2
F  x   �dx 
C
F  2  5
2
4
Vậy

mà
suy ra C  4.
x2
F  x 
 4.
4

Hay
Câu 2.

y  f  x
f�
 x  trên � và đồ thị của hàm số f �
 x  cắt trục hoành
Cho hàm số
có đạo hàm
tại điểm a, b, c, d (hình sau).


Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.

f  a  f  b  f  c  f  d 

.

B.

f  a  f  c  f  d   f  b

.

C.

f  c  f  a  f  d   f  b

.

D.

f  c  f  a  f  b  f  d 

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

 Từ đồ thị của hàm số

f�
 x

, ta có dấu của

f�
 x

và BBT như sau

 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra

+

a

c

b

b

f  a

và

f  c

cùng lớn hơn

và

c

c

b

d

(2)

S 2  S3 � �
f '  x  dx  �
f '  x  dx � f  c   f  b   f  c   f  d 
� f  b  f  d 

 Từ (1), (2) và (3)

(3)

� f  c  f  a  f  b  f  d 
4

Câu 2.

f  d

S1  S2 � �
f '  x  dx  �
f '  x  dx � f  a   f  b   f  c   f  b 

� f  a  f  c

+

f  b

Cho hàm số

f  x

liên tục trên R thỏa

f  x  dx  10
�
0

2

. Tính

f  2 x  dx.
�
0

(1)


2

A.

2

f  2 x  dx  10.
�

B.

0

f  2 x  dx  20.
�
0

2

C.

2

f  2 x  dx  5.
�

D.

0

5

f  2 x  dx  .
�
2
0

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2

Tính

f  2 x  dx ?
�

Đặt t  2 x � dt  2dx .

0

x  0 � t  0.
x  2 � t  4.
2

4

1
f  2 x  dx  �
f  t  dt  5
�
20
0

.

Dạng 2: CÁC NGUYÊN HÀM ĐƠN GIẢN
Câu 2.

Nguyên hàm của hàm số

A.

C.

F  x 
F  x 

y  x 2  3x 

1
x là:

x3 3x 2

 ln x  C
3
2
.
3

B.

2

x 3x

 ln x  C
3
2
.

F  x 

x 3 3x 2

 ln x  C
3
2
.

F  x 

x3 3x 2

 ln x  C
3
2
.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

1�
x3
x2
�2
x

3
x


d
x


3
 ln x  C
�
�
x�
3
2
�
�
.
Câu 3.

Tìm nguyên hàm của hàm số
f  x  dx  x
A. �

e

 

f x  xe
f  x  dx  ex
B. �

C

e 1

C

x e 1
f  x  dx 
C
�
e 1
D.

xe
f  x  dx 
C
�
ln x
C.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Nguyên hàm cơ bản

Câu 4.

Tìm một nguyên hàm của hàm số
một điểm thuộc Oy .

f  x   2sin 5 x  x 

2
2
3
F  x    cos5x+ x x  x  11.
5
3
5
A.

3
5 sao cho đồ thị F  x  cắt f  x  tại

2
2
3
F  x    cos5x+ x x  x  1.
5
3
5
B.


2
2
3
2
2
3
F  x    cos5x+ x x  x  1.
F  x   cos5x+ x x  x  1.

5
3
5
5
3
5
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3�
2
2
3
�
2sin 5 x  x  �
dx   cos5x+ x x  x  C
�
�
5�
5
3
5
Có : �
3
2
2
3
2sin 5 x  x    cos5x+ x x  x  C
5

5
3
5
Lại có phương trình :
có nghiệm x  0
3
2
�   C � C 1
5
5
Câu 5.

Tính
A.
C.

I �
cos  4 x  3 dx

I   sin  4 x  3  C
I  4 sin  4 x  3  C

.

B.

.

D.
Hướng dẫn giải

I

1
sin  4 x  3  C
4
.

I  sin  4 x  3  C

.

Chọn B.
Công thức nguyên hàm
Câu 6.

Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin2 x
1

1

sin 2 xdx  cos 2 x  C
�
2
A.
C.

sin2 xdx   cos 2 x  C
�
2

B.

sin 2 xdx  2cos 2 x  C
�

D.

sin 2 xdx  2cos 2 x  C
�

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Câu 7.

Tìm nguyên hàm của hàm số
f  x  dx  x
A. �

e

 

f x  xe
f  x  dx  ex
B. �

C

e 1

C

x e 1
f  x  dx 
C
�
e 1
D.

xe
f  x  dx 
C
�
ln x
C.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Nguyên hàm cơ bản

Câu 8.

Tìm một nguyên hàm của hàm số
một điểm thuộc Oy .

f  x   2sin 5 x  x 

2
2
3

F  x    cos5x+ x x  x  11.
5
3
5
A.

3
5 sao cho đồ thị F  x  cắt f  x  tại

2
2
3
F  x    cos5x+ x x  x  1.
5
3
5
B.


2
2
3
2
2
3
F  x    cos5x+ x x  x  1.
F  x   cos5x+ x x  x  1.
5
3
5

5
3
5
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3�
2
2
3
�
2sin 5 x  x  �
dx   cos5x+ x x  x  C
�
�
5�
5
3
5
Có : �
3
2
2
3
2sin 5 x  x    cos5x+ x x  x  C
5
5
3
5

Lại có phương trình :
có nghiệm x  0
3
2
�   C � C 1
5
5
Câu 9.

Tính
A.
C.

I �
cos  4 x  3 dx

I   sin  4 x  3  C
I  4 sin  4 x  3  C

.

B.

.

D.
Hướng dẫn giải

I

1
sin  4 x  3  C
4
.

I  sin  4 x  3  C

.

Chọn B.
Công thức nguyên hàm

Câu 10. Tìm một nguyên hàm của hàm số f ( x )  sin 2 x
1

1

sin 2 xdx  cos 2 x  C
�
2
A.
C.

sin2 xdx   cos 2 x  C
�
2
B.

sin 2 xdx  2cos 2 x  C
�

D.

sin 2 xdx  2cos 2 x  C
�

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
1

sin2 xdx   cos 2 x  C
�
2
Câu 3.

Xác định hàm số

y  f  x

, biết

f�
 x   3 x  x3  1

và

f  1  2

4 34 x 4
7

f  x  x   x 
3
4
2
A.

4 43 x 4
7
f  x  x   x 
3
4
2
B.

3 43 x 4
f  x  x   x
4
4
C.

3 34 x 4
7
f  x  x   x 
4
4
2
D.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có





f  x  �
f�
 x  dx  �3 x  x3  1 dx 

f  1  2 � C  0

3 43 x 4
x   xC
4
4


3 43 x 4
x  x
4
4
Trong các công thức sau, công thức nào sai?
f  x 

Câu 4.

1

A.

�
( ax  b)

2

dx 

a
 C.
( ax  b)

B.

1

tan(ax  b)dx   ln cos(ax  b)  C.
�
a
C.

�
sin

2

e
�
D.

dx
1
  cot(ax  b)  C.
(ax  b)
a

ax b

dx 

1 ax b
e  C.
a

Hướng dẫn giải
Chọn A
1

Ta có

�
(ax  b )

2

dx 

1
 C.

a (ax  b )

Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
dx
I � x
1 e .
Câu 5. Tìm nguyên hàm
A.

I  x  ln 1  e x  C

.

I   x  ln 1  e  C

B.

I  x  ln 1  e  C

x

C.

Chọn D.
dx
e x dx
I  � x  �x
1 e
e  1  ex 

I  x  ln 1  e x  C

.

x

.

D.
Hướng dẫn giải

.

.

Đặt t  e � dt  e dx
x

x

e x dx
dt
�1 1 �
x
x
x
I  �x
�
�
�

� ln t  ln t  1  C  ln e  ln e  1  C  x  ln e  1  C
x
t (1  t )
e  1 e 
�t t  1 �
Dạng 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
2

Câu 6.

ln(1  x)
I  � 2 dx
x
1
Tính tích phân
là
3
I  ln 3  3ln 2.
2
A.
3
I  ln 3  3ln 2.
2
C.

1
I  ln 3  ln 2.
3
B.
1

I  ln 3  ln 2.
3
D.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Bấm máy tính ta được I  0.4315231087.
3
ln 3  3ln 2  3.7.
2
Bấm máy tính ta được


3
ln 3  3ln 2  0.4315231087.
2
Bấm máy tính ta được
Dạng 5: NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
1
f  x  2
x  4x  3
Câu 7. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1 x 3
 ln
C
A. 2 x  1
.

1 x 3
1 x 3

ln
C
ln
C
B. 2 x  1
.
C. 2 x  1
.
Hướng dẫn giải

1 x 3
ln
C
D. 2 x  1
.

Chọn C

1
1
1 �1
1 � 1 x 3
F  x   �2
dx  �
dx  �

dx  ln
C
�
�

x  4x  3
2 �x  3 x  1 �
2 x 1
 x  1  x  3
Câu 8.

1
x 3  3 x 2  3x  1
F  1 
f ( x) 
2
x  2 x  1 khi biết
3 là
Nguyên hàm của hàm số
A.

C.

F  x 

x2
2
13
 x
 .
2
x 1 6

F  x 

x2
2
x2
2
 x
. F  x   x 
 C.
2
x  1 D.
2
x 1

B.

F  x 

x2
2
13
 x
 .
2
x 1 6

Hướng dẫn giải
Chọn A

�
x 3  3x 2  3 x  1
2 �

x2
2
dx   x 
 C  F ( x)
�x  1 
2 �
� x 2  2 x  1 dx  �
(
x

1)
2
x

1
�
�
Ta có
.

F  1 

Mà

1
1
1
13
x2
2

13
� 11 C  � C  
F  x   x 
 .
3
2
3
6 nên
2
x 1 6

Dạng 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 7: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 3.

Cho
A.
C.

F  x

là một nguyên hàm của hàm số

F  0   4  6 ln 2
F  0   4  6 ln 2

.

F  0   4  6 ln 2

F  0   4  6ln 2
D.
.
Hướng dẫn giải

.

F  x  �
f  x  dx

�
�
sin 4 x
F � � 0
2
1  cos x thỏa mãn �2 � . Tính F  0  .

B.

Chọn A.
Cách 1.
Ta có

f  x 

.

.

2.cos 2 x.  3  cos 2 x 
sin 4 x
2sin 2 x.cos 2 x
4sin 2 x.cos 2 x
F  x  �
dx  �
dx  �
dx  �
dx
2
1  cos 2 x
1  cos x
3

cos
2
x
3

cos
2
x
1
2
 3  cos 2 x   3 d 3  cos 2 x  2 �1  3 �d 3  cos 2 x
 2 �



�

�
�
3  cos 2 x
� 3  cos 2 x �
'

 2  3  cos 2 x   6 ln 3  cos 2 x  C

.

� �
F � � 0 � 2  3  cos    6 ln 3  cos   C  0 � C  4  6 ln 2
Do �2 �
.

� F  0   2  3  cos 0   6 ln 3  cos 0  4  6 ln 2  4  6 ln 2

.

Cách 2:

2

sin 4 x
dx  F  x 
�
1  cos 2 x
0



2
0

� �
 F � � F  0    F  0 
�2 �
.


2

sin 4 x
� F  0  �
dx �0,15888
1  cos 2 x
0
Câu 9.

Tìm nguyên hàm của hàm số

A.
C.

.

y  f  x   cos3 x

f  x  dx 
�

cos 4 x
C
x
.

f  x  dx 
�

1
3
sin 3x  sin x  C
12
4
.

.

B.

1 �sin 3 x
�
 3sin x � C
3
� .

f  x  dx  �
�
4�

f  x  dx 

�

D.
Hướng dẫn giải

cos 4 x.sin x
C
4
.

Chọn B.
sin 3 x
I �
cos xdx  �
cos x.cos xdx  �
 1  sin x  d sin x  sin x  3  C
Ta có
3sin x  sin 3x
1
3
 sin x 
 C  sin 3 x  sin x  C
12
12
4
.
3

Câu 10. Tìm nguyên hàm

2

F  x

của hàm số

2

f  x   sin x.cos x

� �
F � � 1.
, biết �2 �

1
F  x    cos 2 x  1.
4
A.

1
F  x    cos 2 x  1.
2
B.

1
F  x    cos 2 x  1.
2
C.

D.

F  x    cos x sin x  1.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
F  x  �
sin x cos xdx   �
cos xd  cos x    cos 2 x  C
2
Ta có
.


�
1
�
F � �۴1� 02
2
Do �2 �

c 1

c 1

1
F  x    cos 2 x  1
2
. Vậy
.

� �
� �
F � � 1
F�
 �
F  x
f  x   tan x
4
4 �.
�
�
�
Câu 11. Biết
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính
2

� � 
F�
 �  1
4� 4
�
A.
.

� � 
F�
 �  1

4� 2
�
B.
.

� �
F�
 � 1
4� .
�
C.

� � 
F�
 �  1
4� 2
�
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

tan
�

2

�
xdx  �

 tan 2 x  1  1�
�
�dx  tan x  x  C

.

�
 

�
F � � 1 � tan   C  1 � C  �
4 4
4
Do �4 �
� �
� �� �  
F�
 � tan �
 � �
 �
  1
4
4
4
4 2
�
�
�
�
�

�
Vậy
.

Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số

f  x   cos 3 x

là:

1
3
sin3x  sinx  C.
4
A. 12
1
3
 sin3x  sinx  C.
4
C. 12

1
3
sin3x  sinx  C.
4
B. 12
1
3
sin3x  sin2x  C.
4

D. 12
Hướng dẫn giải
1
1 �sin3x
�
f  x �
dx  �
cos3 x �
dx  �
dx  �
 3sinx � C.
 cos3x  3cosx  �
�
4
4� 3
�
Chọn đáp án A.
Câu này trùng với câu 2

Câu 13. Tìm một nguyên hàm
A.
C.

F  x

của hàm số

F  x 

3

1
x  2 cos x  sin 2 x.
2
4

F  x 

3
1
x  2 cos x  sin 2 x.
2
4

f  x    1  sin x 

B.
D.

Ta có

 � 3
�
F � �
biết �2 � 4

F  x 

3
1
x  2cos x  sin 2 x.

2
4

F  x 

3
1
x  2cos x  sin 2 x.
2
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2


 1  sin x 
�


2

1  cos 2 x �
�
dx  �
1  2sin x 
dx
 1  2sin x  sin 2 x  dx  �
�

�
2
�
�

3
1
x  2 cos x  sin 2 x  c
2
4

 � 3
3
 1
3
�
F � �
�
 2 cos  sin   c 
�c0
22
2 4
4
�2 � 4
.

Vậy

F  x 

3
1
x  2 cos x  sin 2 x
2
4
.
BÀI 2:

TÍCH PHÂN

Dạng 8: BÀI TẬP LÍ THUYẾT
Câu 4. Tìm câu khẳng định sai.

A.

 /2

 /2

0

0

3

�f (sin x)dx  �f (cos x)dx.



3

x2  1
dx  �
x 2  1 dx.

x
�
1  2016
3
3

B.



x
x
dx  �
dx.
�
x �
1  sin x
0
0 cos 2 � 
�
�
�2 4 �
C.

x  2 ln x  1

e4
2
dx  e  .
�
2 ln 2 x
2
e

e2

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Nhập máy tính thì

VT  12, VP  21.


f  0 
f  x
f ' x
2 và
Câu 14. Biết hàm số
có đạo hàm
liên tục trên �,
f 
.
A.

f   

3
2 .

B.

f     2

.

C.

f   

5
2 .



f '  x  dx  2
�
0

D.

. Tính

f     3

.

Hướng dẫn giải.
Chọn C.


Ta có:

f '  x  dx  f  x 
�
0


0

 f     f  0   2

. Suy ra

f     2  f  0   2 

 5

2
2 .

Dạng 9: TÍCH PHÂN SỬ DỤNG CÔNG THỨC
Câu 15. Cho

A.

f  x  g ( x)
,
là hai hàm số liên tục trên �. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

b

b

a

a

f ( x )dx  �
f ( y )dy
�

B.

b

b

b

a

a

a

f ( x)dx  �
g ( x)dx.
 f ( x)  g ( x)  dx  �
�


a

C.

f ( x )dx  0.
�

b

b

a

a

a

f ( x)dx �
g ( x )dx.
 f ( x) g ( x)  dx  �
�

D.

a

b

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Lý thuyết.
Dạng 10: TÍCH PHÂN SỬ DỤNG ĐỔI BIẾN SỐ
a
dx
1 5
I�
 ln , a  5
2
4 3
5 x x 4
Câu 5. Cho
. Khi đó giá trị của số thực a là



A. 2 3.



B. 2 5.

D. 2 2.

C. 3 2.
Hướng dẫn giải

Chọn A
2
2
2
2
Đặt t  x  4 � t  x  4 � tdt  xdx. Đổi cận: x  5 � t  3, x  a � t  a  4 .
a

I

�x
5

1

4

2

a2  4

xdx

dt
 �2

t 4

x2  4
3

a2  4

dt

�(t  2)(t  2)
3

a2  4

a2  4

1 � 1 t2
�1
dt  ln
� 
�
�
t 2 t 2� 4 t 2
3 �

3

1 � a2  4  2 �
 ln �
5�
�
2

�
4 �
a

4

2
�
�.

1 5
1 � a2  4  2 � 1 5
I  ln � ln �
5�
� ln , a  5 �
2
� 4 3
4 3
4 �
a

4

2
�
�
Ta có,



�3





a2  4  2  a 2  4  2 � a  2 3



a2  4  2
a2  4  2



1
3

.

Dạng 11: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Dạng 12: TÍCH PHÂN HÀM HỬU TỶ
Dạng 13: TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
Dạng 14: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 6.

� �
f ' � � 2
f  x   a sin 2 x  b cos 2 x
Cho hàm số

thỏa mãn �2 �
và
bằng:

A. 3.

B. 4.

C. 5.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

f '  x   2a cos 2 x  2b sin 2 x

b

adx  3
�
a

. Tính tổng a  b

D. 8.


�
�
f ' � � 2 � 2a  2 � a  1
�2 �

b

b

a

1

adx  �
dx  3 � b  1  3 � b  4
�

Vậy a  b  1  4  5.

2

Câu 7.

2

I �
esin x .s inx.cos3 xdx

Cho tích phân :

0

2
. Nếu đổi biến số t  sin x thì :

1

I

A.

1

1 t
e  1  t  dt.
2�
0

B.

1
1
�
�
t
I  2�
e
dt

t.et dt �
.
�
�
0
0

�
�
C.


2

I  2�
et  1  t  dt.
0

1
1
�
�
t
I  2�
e
dt

t .et dt �
.
�
�
0
0
�
�
D.
Hướng dẫn giải


2

I�
esin x .s inx.cos3 xdx  �
esin x .s inx.cosx  1  sin 2 x  dx
2

0

2

0

t  sin x � dt  2sin x.cos xdx
Đổi cận : x  0 � t  0

x  �t 1
2
1
1 t
I �
e  1  t  dt.
20
Vậy :
Chọn A.
2



3

Câu 8.

sin x

�
1 x




Biết 3
a bc d .

6

 x3

dx 

A. a  b  c  d  28 .

3
3 2

 c  d 3
a
b

với a, b, c, d là các số nguyên. Tính

B. a  b  c  d  16 . C. a  b  c  d  14 .

D. a  b  c  d  22 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

I


3

sin x

�1  x



3

6

x

3

dx 


3



�



3



1  x 6  x3 sin x
1 x  x
6

6

dx 


3

 1 x
�



3



�
x   �t 
�
�
3
3
�
�x   � t   
3 .
Đặt t   x � dt   dx . Đổi cận � 3

6



 x 3 sin xdx
.




I


3

 1 t

�

6


3

2I 
Suy ra




3









 t 3 sin  t   dt    � 1  t 6  t 3 sin tdt   � 1  x 6  x 3 sin xdx


3

 2 x
�






3



3


3




3


3

sin x  dx � I   �
x 3 sin xdx


3


3

.

x3

(+)

 sin x

3x 2

(–)

 cos x

6x

(+)

 sin x

6

(–)

 cos x

 sin x

0

I   x3 cos x  3x 2 sin x  6 x cos x  6sin x 


3


3



3
3 2

 2  6 3
27
3

Suy ra: a  27, b  3, c  2, d  6 . Vậy a  b  c  d  28 .
 /4

Câu 9.

Tính tích phân

 1
 ln 2.
A. 4 2


ln(sin x  cos x)

dx
cos 2 x

�
0

, ta được kết quả

 3
 ln 2.
B. 4 2

 3
 ln 2.
C. 4 2


 3
 ln 2.
D. 4 2


Hướng dẫn giải
Chọn C
Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án C.
 /4

Tự luận:

ln(sin x  cos x)

dx 
�
cos 2 x
0

 /4
ln  cos x.(1  tan x ) 
�ln(cos x) ln(1  tan x) �
d
x


dx
� 2
�
2
�
�
cos x
cos x
cos 2 x �
0
0 �

 /4

 /4

ln(cos x)
 � 2 dx 

cos x
0

sin x
�
u  ln cos x � du  
dx
�
�
cos x
�
1
�
dv 
dx , v  tan x
2
�
cos
x
Đặt
.

 /4

ln(1  tan x)
dx  I  J
2
x

� cos

0

.


 /4


ln(cos x)
4 
d
x

tan
x
.ln(cos
x
)
�
0
cos 2 x
0

I
J

 /4

ln(1  tan x)
dx.

2
x

� cos
0

Đổi cận:



2
�tan xdx  tan x.ln cos x 04    x  tan x 
0

t  1  tan x � dt 

Đặt

x  0 � t  1, x 

 /4


4
0

1

  ln 2   1
2

4

1
dx.
cos 2 x


�t  2
4

1
�
u  lnt � du  dt
�
2
2
t
�
J �
ln t dt
�
J

ln t dt   t ln t  t  1  2 ln 2  1
�
�
dv  dt , v  t
1
1
. Đặt �

2

 /4

Vậy

ln(sin x  cos x)
 3
dx    ln 2.
2
cos x
4 2

�
0

Dạng 15: TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
BÀI 3:

ỨNG DỤNG

Dạng 16: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Vấn đề 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường
thẳng

x  a, x  b  a  b 

Vấn đề 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x ), y  g ( x), x  a, x  b

 a; b với  a  b  .

Câu 10. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn
Kí hiệu

S2

S1

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y  2 f  x  y  2 g  x  x  a, x  b.
,
,

y  f  x   2 y  g  x   2 x  a, x  b
,
,
.

Chọn khẳng định đúng trong 4 khẳng định sau :
A.

S1  S 2 .

B.

S1  2 S2 .

C.

S1  2S 2  2.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có :

b

b

a

a

S1  �
2 f  x   2 g  x  dx  2 �
f  x   g  x  dx

b

b

a

a

S2  �
f  x  2  �

g  x �
f  x   g  x  dx
�
� 2dx  �

Vậy

S1  2S 2 .

D.

S1  2 S 2  2.


Vấn đề 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x)
x2
y
2 chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2 thành hai phần có diện
Câu 3. Parabol
S1
.
S1
S2
S1  S2
S
2
tích là
và , trong đó
. Tìm tỉ số

3  2
.
A. 21  2

3  2
.
B. 9  2

3  2
.
C. 12
Giải

9  2
.
D. 3  2

Chọn B.
2
Diện tích hình tròn là S   r  8 .
2

S1 
Ta có
Suy ra

2
�8  x 

2

x2
4
dx  2 
2
3

S2  S  S1  6 

4
3

S1 3  2

S
9  2 .
2
Vậy
2
Câu 16. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x  x  3 và
y  2x  1
là:

A.



1
6.

2
B. 3 .

1
D. 6 .

3
2.

C.
Hướng dẫn giải

Chọn D
Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
�x  1
x 2  x  3  2 x  1 � x 2  3x  2  0 � �
x2
�
2


�

Diện tích hình phẳng là:

1

2

�x3 3 x 2

� 7 9
1 1
x  3x  2 dx  �
 2x �
� 
�   2    .
3
2
3
2
6 6
�
�
1
2



3
2
Câu 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y  x  6 x  17 x  3 và
y  x 2  3x  5

A. 3.

37
.
B. 12

13

.
C. 14

75
.
D. 24

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
3
2
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bới y  x  6 x  17 x  3 và y  x  3 x  5


PTHDGD :

x2
�
�
x3  6 x 2  17 x  3  x 2  3x  5 � �
x 1
�
x4
�

2

S
Vậy

x
�

3

1

 7 x  14 x  8  dx 
2

4

x
�

3

2

 7 x 2  14 x  8  dx 

37
12

2
Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y  2 x  1 và y  x –1 bằng diện tích của một
hình vuông có chu vi là

16

.
3
A.

4
.
3
B.

4 3
.
D. 3

C. 4 3.
Hướng dẫn giải

Chọn A
y2 1
 y  1 � y  1 �y  3
Ta có phương trình tung độ giao điểm: 2
.
3

y2 1
y3 3 y y 2
S�
 y  1 dx 


2

6
2
2
1

3


1

16
3

4
. Suy ra cạnh hình vuông là 3 .

16
.
3
Vậy chu vi hình vuông cần tìm là:

Vấn đề 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong (>2 đường cong)
Vấn đề 5. Diện tích S giới hạn bởi các đường:
x  g  y x  h y h y
c, d 
- Đồ thị của
,
,
liên tục trên đoạn 
.

- Hai đường thẳng x  c, x  d
d

S�
g  y   h  y  dy
c

Dạng 17: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
Vấn đề 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền
x  a, x  b khi quay quanh trục Ox.

 D

giới hạn bởi

y  f  x ; y  0

và

Câu 18. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  tan x, y  0, x  0,

x
3 khi quay quanh Ox là:


3 .
3
A.
Chọn C

2
  3.
B. 3

2
 3 .
3
C.
Hướng dẫn giải


 3.
D. 3



3


3

� 1
�
V �
tan x.dx   �
.dx    tan x  x 
� 2  1�
cos x �
0
0�

2

Câu 19. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng
là :


5e3  2 

A. 27
.


3
0

  3 .
3
S   y  x.ln x, y  0, x  1, x  e


5e3  3

B. 9
.

2


5e3  3


C. 27
.

quay quanh trục Ox
2
5e3  3

D. 27
.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng S quanh trục Ox là:
e
�
�x 3 2 e e 2 2
� �x 3 2 e 2 �x3
e e1 2 �
2
V �
ln x  � ln x  �x dx �
 x ln x  dx   � ln x  �x ln xdx �  �
�
�
�
1 13
1 3 �3
1 13
1
�3

� �3
�
�.

V   5e3  2 
27
.
x 1
y
x  1 và hai trục khi
Câu 20. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh Ox là
A.  (3  4 ln 2).


(3  4 ln 2).
B. 2


(3  4 ln 2).
C. 2

D.  (3  4 ln 2).

Hướng dẫn giải
Chọn A
Tacó
0

2

2
2
0
0
� 4
�
4 �
�x  1 �
� 2 �
� 2 ��
V  �
d
x


1

d
x


1


dx   �x  4 ln x  1 
�
�
� �
�
�

�
�
�
�
�
� x  1 �x  1 ��
x 1 �
x 1�
( x  1) �1
�
1 �
1 �
1 �
�
0

   3  4 ln 2 

.

Vấn đề 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
quay quanh trục Ox.
Câu 21. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
Ox là
72
A. 10 (đvtt).

72
B. 5 (đvtt).

 H

y  f  x

và

y  g  x

2
giới hạn bởi y  x và y  x  2 quanh trục

81
C. 10 (đvtt).

Hướng dẫn giải
Chọn B

x  1
�
x2  x  2 � �
x2 .
�
Phương trình hoành độ giao điểm

81
D. 5 (đvtt).


Thể tích cần tìm là

2

x  x  2
��
� 

V 

4

2

1

72
�
dx 
�
5 .

2
2
Câu 12. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường y  x và x  y quay
quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

3
A. 10 .

10
C. 3 .

Giải

B. 10 .

D. 3 .

Chọn A.

�x �0
x  y2 � �
�y  x
Ta có:
x0
�
x2  x � �
x 1
�
Phương trình hoành độ giao điểm:
1

�x5 x 2 � 3
V  �
x dx  �
xdx   �  � 
�
5
2
10
�
�

0
0
0
1

1

4

Thể tích khối tròn xoay thu được:

Vấn đề 8. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:

x  g  y  ;  x  0 và y  a; y  b

quay xung quanh trục Oy

Vấn đề 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi:
xung quanh trục Oy

x  g  y  ;  x  f  y 

quay

 C
Vấn đề 10.
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền (D) giới hạn bởi một đường cong
kín

x

2 biết rằng thiết diện của vật thể
Câu 13. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x  0
�
�
0 �x � �
�
2 �là tam giác
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x �
đều có cạnh là

A.

2 cos x  sin x .

3 .

C. 2 3 .

B. 2 3

 3
D. 2 .

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
Diện tích thiết diện là

S  x 

Suy ra thể tích vật thể cần tìm là:

Sửa lại:



3
2 cos x  sin x
4



2

 3  cos x  sin x 

.



2

V  �3  cos x  sin x  dx  2 3
0

.

BÀI 4:
4

I �
x ln  2 x  1 dx 

0
Câu 14. Biết
tối giản. Tính S  a  b  c.

A. S  60.

a
ln 3  c,
b

CHỐNG CASIO

b
trong đó a, b, c là các số nguyên dương và c là phân số

B. S  70.

C. S  72.
Hướng dẫn giải

D. S  68.

Chọn B.
4

Ta có

I �
x ln  2 x  1 dx

0

2
�
du 
dx
�
�
u  ln  2 x  1
�
2x 1
��
�
x2
dv  xdx
�
�
v
� 2
Đặt
4
x 2 ln  2 x  1
x2
I �
x ln  2 x  1 dx 
�
dx
2
2
x


1
0
0
0
4

4

�x 1
1
 8ln 9  �


�
�2 4 4  2 x  1
0�
4

4

�
�x 2 1
� 63
1
dx

16
ln
3



x

ln
2
x

1
�
�
�  ln 3  3
�
4
4
8
�
�0 4
�

a  63
�
a
63
�
� ln 3  c  ln 3  3 � �
b  4 � S  70
b
4
�

c3
�
.
2

1

1

a

dx   ln
�
x  x  1
2
b

Câu 15. Biết 1
ab .

2

A. a  b  7 .

a
a
,
b
với
là các số nguyên dương và b là phân số tối giản. Tính

B. a  b  5 .

C. a  b  9 .

D. a  b  4 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
2

2

2

2

1
x2  1  x2
1 1� �
1�
�1
dx  �2
dx  �
 2 �
dx  �
ln x  1  ln x  �
�
2
�

x  x  1
x  x  1
x 1 x
x� �
x�
1
1
1�
1
2

� x 1 1 � 1
3
�
ln
 �   ln
x�
2
4
� x
1
Suy ra a  4; b  3 . Vậy a  b  7 .


BÀI 5:

BÀI TOÁN THỰC TẾ
v  15m / s
Câu 16. Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc 0
thì tăng vận tốc với gia tốc

a  t   t 2  4t  m / s 2 

. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây
kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
A. 68, 25m .

B. 70, 25m .

C. 69, 75m .
Hướng dẫn giải

D. 67, 25m .

Chọn C.
1
v t  �
v  t   t 3  2t 2  15
 t 2  4t  dt  13 t 3  2t 2  C
v  0   15 � C  15
3
. Mà
nên
3

�1 3
� �1 4 2 3
� 279
2
S  t  �
dt  � t  t  15t �30 

 69, 75  m 
�3 t  2t  15 �
12
3
4
� �
�
0�
.

Câu 17. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc

v  t   160  10t  m / s 

vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm
A. S  2560m.

Vật dừng lại thì

B. S  1840m.

16

Chọn đáp án D.

.

đến thời điểm vật dừng lại.

C. S  2180m.

Hướng dẫn giải

v  t   0 � 160  10t  0 � t  16  s 

S�
 160  10t  dt  1280
0

t  0  s

.

. Tính quãng đường S mà

D. S  1280m.