LAN 2 VIP HH c1 SP

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO
HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 2:

BÀI 1: CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là:
A. 4.
B. 8.
C. 6.

D. 10.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Chú ý:

Câu 3:

Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tạo bởi một cạnh với trung điểm của cạnh đối
diện của nó.

Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 30 .
B. 8 .
C.16 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

Câu 4:

Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

Hướng dẫn giải


Chọn A.

Xét hình tứ diện ABCD .

 ABC  và  ABD  .
Đáp án A sai: Cạnh AB là cạnh chung của hai mặt
Câu 5:

Số đỉnh của một hình bát diện đều là bao nhiêu?
A. 10 .
B. 8 .

C. 6 .

D. 12 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Hình bát diện đều có 6 đỉnh.

B C D có cạnh bằng a . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD. A����
B C D có một tâm đối xứng.
A. Hình lập phương ABCD. A����

B C D có diện tích toàn phần là 6a 2 .
B. Hình lập phương ABCD. A����
C. Hình lập phương có 8 mặt đối xứng.

a3
ABC bằng 6 .
D. Thể tích của tứ diện A�
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Hình lập phương có 9 mặt đối xứng (Hình vẽ).


�
Câu 3: Cho hình chóp S .MNPQ có đáy MNPQ là hình thoi tâm O , cạnh a , QMN  60�. Biết
SM  SP , SN  SQ . Kết luận nào sau đây sai?

 SNQ  .

A. M và P đối xứng nhau qua

B. MP vuông góc với NQ .

 MNPQ  .
C. SO vuông góc với

D. MQ vuông góc với SP .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
SO  MP �
�� SO   MNPQ 
Do SO  NQ �
.
Giả sử MQ  SP .
Khi đó, theo định lý 3 đường vuông góc suy ra OP  MQ (vô lý).
Vậy D sai.
Chú ý: Có thể dùng phương pháp loại trừ các trường hợp đúng.
Câu 2: Khi chiều cao của một hình chóp đều tăng lên n lần nhưng mỗi cạnh đáy giảm đi n lần thì thể
tích của nó.
A. Không thay đổi.
B. Tăng lên n lần.
C. Tăng lên n  1 lần. D. Giảm đi n lần.
Hướng dẫn giải.
Chọn D.


1
V  .h.S

3
Ta có:
, với h là chiều cao, S là diện tích đáy.

S

x2a
180��
�
4 tan �
�
� a �với x là độ dài cạnh của đa giác đều, a là số đỉnh của đa giác đều.
2

�x �
� �a
1
1 1
1
n
� V1  .nh. � �
 . .h.S  .V
180�� n 3
3
n
�
4 tan �
�
�a �
Ycbt

.

BÀI 2:

THỂ TÍCH HÌNH CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.

Dạng 1: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA  a 3. Tính thể tích khối chóp.
a3
.
A. 12

a3
.
B. 2

a3
.
C. 4

a3
.
D. 6

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1 a2 3
a3

VS . ABC  SA.S ABC 
a 3
3
3 4
4 .
Ta có

Câu 7:

Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh SA vuông góc với đáy và
AB  a, SA  AC  2a . Thể tích của khối chóp S . ABC là
2 3a 3
3 .
A.

2a 3
B. 3 .

C.

3a 3
3 .

D.

3a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2

2
Ta có BC  AC  AB  a 3 .

S ABC

1
1
3a 2
 AB.BC  a.a 3 
2
2
2 .

1
1
a2 3
3a3
VS . ABC  SA.S ABC  2a.

3
3
2
3 .
Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA  a , SB  3a ,
SC  4a . Độ dài đường cao SH của hình chóp bằng:


14a
A. 13 .

12a
C. 13 .

B. 7a .

13a
D. 12 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1
1
1
169
12a
 2 2

� SH 
2
2
2
13 .
SA
SB
SC
144a
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta có: SH

Dạng 2: Thể tích có một mặt vuông góc với đáy.

Câu 5: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC  2a . Mặt bên SBC là
tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp

S . ABC .
3
A. V  a .

B.

V

2a 3
.
3

C.

V

2a 3
.
3

D.

V

a3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi H là trung điểm BC .

Ta có

SH   ABC 

S ABC 

và

SH 

1
BC  a
2
.

1
1
AH .BC  a.2a  a 2
2
2
.

Vậy thể tích khối chóp
VSABC

1
1 2 a3
 SH .SABC  a.a 
3
3
3

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC , BCD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong các mặt
phẳng vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD là
3a 3
.
A. 8

a3
.
B. 8

a3
.
C. 4
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC
Ta chứng minh được:
Khi đó:

AH   BCD 

a3 3

.
D. 8


VABCD

1
1 a 3 a2 3 a3
 AH .S BCD 
.

3
3 2
4
8

Dạng 3: Thể tích có hai mặt bên vuông góc với đáy.
 SAB  ,  SAC  cùng vuông góc với đáy; cạnh bên SB tạo với đáy
Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có
một góc 60�, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA  BC  a. Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SB, SC . Tính thể tích của khối đa diện ABMNC ?
A.

3a 3
.
4

3a 3
.
6

B.

C.

3a 3
.
24

D.

3a 3
.
8

Hướng dẫn giải
Chọn D
�
 SAB    ABC 
�
� SA   ABC 
�
SAC    ABC 

�
Ta có:
;
�  �
SBA
SB,  ABC    60�

� a 3
SA  BA.tan SBA
.

VS . ABC 

1
a3 3
SA.BA.BC 
6
6 .

VS . AMN SM SN 1

.

VS . ABC
SB SC 4
1
a3 3
� VS . AMN  VS . ABC 
4
24 .

Vậy

VABMNC  VS . ABC  VS . AMN

a3 3


8 .

Dạng 4: Thể tích hình tự tìm đường cao.
Câu 7: Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể
a3
.
tích của khối chóp đó bằng 4 Tính cạnh bên SA.
a 3
.
A. 2

B. 2a 3.

C. a 3.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

a 3
.
D. 3


Tam giác ABC đều nên

S ABC

a3
a2 3
V



4 .
4 và

3V
1
VS . ABC  SA.S ABC � SA  S . ABC
3
S ABC

3a 3
 24  a 3
a 3
4
.

Dạng 5: Giá trị lớn nhất của thể tích.
Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có SA  x, BC  y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Khi đó, thể tích khối
chóp S . ABC có giá trị lớn nhất là
2
A. 9 3

4
.
C. 81

9 3
.
B. 2

.

81
.
D. 4

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi K , I lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC .
Do SAB và SAC là các tam giác cân chung cạnh đáy SA
nên

�SA  BK
� SA  ( KBC ) � SA  IK .
�
�SA  CK
Chứng minh tương tự ta cũng có IK  BC .

Tam giác KAI có

IK  AI 2  AK 2 

y2 x2 1
� IK  1 


4  x2  y2
4
4 2

 AB
x

2

2



 BI 2  AK 2

 y2  4



.

.

1 �1
1 1
x xy
�
VS . ABC  2VS .KBC  2. �
.SK  y.
4  x2  y2 . 
4  x2  y 2
� BC.IK �
3 �2

3
2
2
12
�
.

Ta có





4  x 2  y 2  4  x 2  y 2 � 4  2 xy �

1
�
V
12

 xy   xy   4

Ngoài ra khi

x y

2 xy 

1
12

xy
xy
4  x2  y2 �
4  2 xy
12
12
.

�
 xy    xy    4  2 xy  � 2
�
�
3
�
� 9 3.

2
2
2
V
max V 
3 thì
9 3 do đó
9 3.

3


Câu 3:

Xét hình chóp S . ABC thỏa mãn SA  a , SB  2a , SC  3a với a là hằng số dương cho trước.
Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S . ABC ?
3
A. 6a .

3
B. 2a .

3
C. a .

3
D. 3a .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 SBC  .
Gọi H là hình chiếu của A lên
Ta có:

VSABC 

1
1
1
AH .SSBC � .SA. SB.SC  a3
3
3

2
.

SA   SBC 
Dấu "  " xảy ra khi
và SB  SC .

Dạng 6: Dạng khác

 ABC 
Câu 4: Cho hình chóp đều S . ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng 60�. Gọi A�
, B�
, C �tương ứng là các điểm đối xứng của A , B , C qua S . Thể tích của
B C , A�
BC , B�
CA , C �
AB , AB��
C , BA��
C , CA��
B là
khối bát diện có các mặt ABC , A���
2 3a 3
A. 3 .

3a 3
C. 2 .

3

B. 2 3a .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S . ABC :
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a
� CH 

a 3
3 . Góc giữa đường thẳng SA và

mặt phẳng

 ABC 

bằng 60�

�  60�� SH  a
� SCH
1
� VS . ABC  .SH .S ABC
3
2
1 a 3 a3 3
 a.

.
3
4
12

V  2VB. ACA 'C '  2.4VB.ACS  8VS . ABC 

2a 3 3
3 .

4 3a 3
D. 3 .


Cách 2: Bổ sung: Gọi G là trọng tâm
D ABC

Cách 3 (Tham khảo lời giải của Ngọc
Huyền LB).

Ta có thể tích khối chóp S . ABC là:
VS . ABC 

a

3

Thể tích khối bát diện đã cho là

3

V  2VA ' B 'C ' BC  2.4VA '.SBC

12 .Ta có:

1
 8VS . ABC  8. SG.S ABC
3

�  600.
SA;  ABC    SAG
�
Xét SGA vuông tại G :
� 
tan SAG

1
1 a 2 3 2 3a 3
V  8. SG.S ABC  8. .a.

.
3
3
4
3

SG
�  a.
� SG  AG.tan SAG
AG

Diện tích tam giác SBC là:

S SBC 

a 2 39
12 .

 SBC  là:
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
d  A,  SBC   

3a
13 .

Tứ giác BCB ' C ' là hình chữ nhật vì có hai
đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Có
SB 

2a 3
4a 3
a 39
� BB ' 
� B 'C 
3
3
3 .

Diện tích BCB ' C ' là:

S BCB 'C '

a 2 39


3
.

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:
1
2a 3 3
V  2. d  A,  SBC   .S BCB 'C ' 
.
3
3

Dạng 7: Tỉ số thể tích
Câu 8: Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a , M là trung điểm DC . Thể tích V của khối chóp
M . ABC bằng bao nhiêu?
A.

V

2a 3
24 .

B.

V

a3
2 .

C.

V

Hướng dẫn giải
Chọn A.

2a 3
12 .

D.

V

3a 3
24 .


Gọi H là trung điểm BD , G là trọng tâm ABD .

Ta có

AH 

a 3
2
a 3
� AG  AH 
2
3
3 .

Trong ACG có

CG  AC 2  AG 2 

a 6
3 .

1
1
1
2a 3
VCABD  CG.S ABD  CG. AB. AD.sin 60�
3
3
2
12 .
Do đó

VCABM CM 1
1
2a 3

 � VCABM  VCABD 
2
24 .
Mà VCABD CD 2
Câu 9: Cho hình chóp S . ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Khi đó tỉ số thể tích giữa
khối chóp S .MNC và khối chóp S . ABC là
1

.
B. 4

A. 4 .

1
.
D. 2

C. 2 .
Hướng dẫn giải.

Chọn B. .
VS .MNC SM .SN 1 1 1

 . 
V
SA
.
SB
2 2 4.
S
.
ABC
Ta có
3
B C D có thể tích 16 cm . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của
Câu 10: Cho hình hộp đứng ABCD. A����
BC , CD, D�
A�

. Tính thể tích khối tứ diện AMNK .
3

A. 6 cm .

3

B. 4 cm .

8 3
cm
D. 3
..

3

C. 2 cm .
Hướng dẫn giải.

Chọn C.

.


VAMNK
Ta có: VABCD. A ' B 'C ' D '

1
. AA '.S AMN
1 S

1
3
 . AMN 
AA '.S ABCD
3 S ABCD 8 .

3
Suy ra VAMNK  2 cm .

Dạng 8: Thể tích của khối chóp đều
Câu 11: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc  .
Thể tích của hình chóp đó là

3 3
b cos 2  sin 
A. 4
.

3 3 2
b sin  cos 
B. 4
.

3 3
b cos 2  sin 
C. 4
.

3 3
b cos  sin 

D. 4
.

Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Gọi M là trung điểm BC , H là tâm tam giác ABC .
Ta có:

SH   ABC 

.

Xét tam giác SHA vuông tại H , ta có:
�SH  SA sin   b sin 
�
�AH  SA cos   b cos  .
� AM 

Mà:

3
3
AH  b cos 
2
2
.

AM 

AB 3

2 AM
� AB 
 3b cos 
2
3
.

1
1
VSABC  .SH .S ABC  .b sin  .
3
3
3 3

b cos 2  sin 
4
BÀI 3:

3



3b cos 



2

4
.

THỂ TÍCH HÌNH CHÓP CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC

Dạng 9: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
SA   ABCD 
Câu 12: Cho khối chóp S . ABCD có
, đáy ABCD là hình vuông cạnh a , góc giữa SC và
mặt đáy ABCD bằng 45�. Thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
a3 2
A. 3 .

a3
B. 3 .

a3 3
C. 2 .

Hướng dẫn giải.

2a 3
D. 3 .


Chọn A.
Ta có ABCD hình vuông canh a nên AC  a 2 .
0
�
�SA  AC.tan  45   a 2
�
2

�S ABCD  a.a  a

� VS . ABCD

1
a3 2
 SA.S ABCD 
3
3

Chọn đáp án A. .

 ABCD 
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
 ABCD  bằng 60�. Thể tích khối chóp S. ABCD là
và góc giữa SB với mặt phẳng
a3
A. 3 .

a3
B. 3 3 .

C.

3a 3 .

3
D. 3 3a .

Hướng dẫn giải

Chọn A.
S ABCD  a 2
.
SA  AB.tan 60o  a 3 .
1
a3
VS . ABCD  S ABCD .SA 
3
3.
Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB  2a , AD  DC  a , cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA  2a . Gọi M , N là trung điểm của SA và SB . Thể tích khối
chóp S .CDMN là
a3
A. 2 .

a3
B. 3 .

a3
C. 6 .
Hướng dẫn giải

3
D. a .

Chọn B.
a 3 a3 a3
  .
3 6
6 ;

Ta có:
1
1
1 � 2
�3
VS . ABC  SA.  S ABCD  S ADC   2a. � a 2  a 2 � a 3 .
3
3 �2
2 � 3
VS .MNC SM .SN .SC 1
1 2
1

 � VS .MNC  . a 3  a 3 .
VS . ABC
SA.SB.SC
4
4 3
6
VS .CDM  VS . ACD   VM . ACD 

1
1
a3
VS .CDMN  VS .MNC  VS .CDM  a 3  a 3  .
6
6
3
Vậy
Dạng 10: Thể tích có một mặt vuông góc với đáy.

�
Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC  120�, tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .


41
a
6
.

A.

B.

37
a
6
.

C.

39
a
6
.

D.

35
a

6
.

Hướng dẫn giải
Chọn: C.

�
�
Do ABC  120�� BAD  60�suy ra ABD đều

� DA  DB  DC  a nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của SAB .
 ( SAB )
Qua D kẻ d  ( ABCD) , và qua G kẻ d �

Gọi I  d �d �
.
Ta có IA  IB  IC  IS
Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có bán kính
2

�a 3 �
39
R  IA  AD  MG  a  �
�6 �
� 6 a
�
�
.
2

2

2

Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa SC và mặt
phẳng
A.

 ABCD  bằng 600 .
3

VSABCD  9 3a

.

B.

3

VSABCD  18 15a

.C.

VSABCD  18 3a

Hướng dẫn giải.
Chọn D. .
Gọi H là trung điểm AB ta có



SH  ABCD



3

�
0
nên SCH  60 .

. D.

VSABCD 

9 15a3
2 .


HC  BC 2  BH 2 

V 

3 5a
3 15a
SH  HC tan600 
2 suy ra
2 .

1 3 15a 2 9a3 15
.9a 
3 2
2 .

Dạng 11: Thể tích có hai mặt bên vuông góc với đáy.
Dạng 12: Thể tích hình tự tìm đường cao.
3
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , thể tích khối chóp là a . Tính
chiều cao h của hính chóp.
A. h  a .

B. h  2a .

C. h  3a .

D. h  4a .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1
V  S ABCD h
a3  a 2 h
3
3
Thể tích

 h  3a .

Dạng 13: Thể tích của hình chóp đều.
Câu 15: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  4a, AD  3a; các cạnh bên
có độ dài bằng nhau và bằng 5a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng

10a 3
A. 3 .

9a 3 3
2 .
B.

C. 10a

3

3.

3
D. 9a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

SO   ABCD 
Do SA  SB  SC  SD nên
.
BD 

 3a    4a   5a

2

2

SO  SD 2  OD 2 

Vậy

nên

OD 

 5a 

2

5a
2 .
2

�5a � 5a 3
 � �
2 .
�2 �

1 5a 3
V �
�
4a �
3a  10a 3 3

3 2
.

Câu 8: Hình chóp tứ giác đều S . ABCD có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 45�. Thể tích của hình
4 3
a
chóp là 3 . Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu?

A. a .

B. 4a .

C. 2a .
Hướng dẫn giải

D. a 2 .


Chọn C.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD , I là trung điểm CD .
Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao của hình chóp.

� SCD  � ABCD   CD
�
�  450
� (�
SCD);( ABCD )  SIO
�SI  CD  SCD cân 
�
OI  CD  OCD cân 

Ta có : �
.



Do đó tam giác SOI vuông cân tại

Theo đề bài ta có:

VS . ABCD 



O � SO  OI 

BC
2

4 3
1
4
1 BC
4
a � .SO.S ABCD  a3 � .
.BC 2  a3
3
3
3
3 2
3

� BC 3  8a 3 � BC  2a .
SBC 
ABCD 
Câu 16: Cho hình chóp đều S . ABCD có AC  2a , mặt bên 
tạo với đáy 
một góc 45�.
Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD.

A.

V

2 3a 3
.
3

3
B. V  a 2.

C.

V

a3
.
2

D.

V

a3 2
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì S . ABCD là hình chóp đều suy ra ABCD
là hình vuông.
Do AC  2a � AB  BC  CD  DA  a 2
Gọi H là trung điểm của BC
� OH  BC ; SH  BC
SBC 
ABCD 
Góc giữa mặt phẳng 
và đáy 
0
�
là góc SHO  45
Khi đó tam giác SOH vuông cân tại O
� SO  OH
1
2
2
OH  CD  a
� SO  a
2
2
2

Ta có

S

A

B
H

O

D

C

1
2
2
VS . ABCD  .a
.a 2.a 2  a 3
.
�
3 2
3

Dạng 14: Tỉ số thể tích
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC
lấy điểm E sao cho SE  2 EC . Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD .
1
1

1
2
V
V .
V .
V .
3.
6
12
3
A.
B.
C.
D.


Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
1
VSABCD 
2
2.
Ta có
VSEBD SE.SB.SD 2


VSCBD SC.SB.SD 3 .
VSBCD 

VSEBD 

1
3.

Do đó
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60�.

 BMN  chia khối
Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng
chóp S . ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:
7
A. 5 .

1
B. 7 .

7
C. 3 .

6
D. 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Giả sử các điểm như hình vẽ.

E  SD �MN � E là trọng tâm tam giác SCM ,
F = BM �AD � DF // BC � F là trung điểm BM .

�
�  60�� SO  a 6 SF 
SD
,  ABCD    SDO

2 ,
Ta có:

� d  O,  SAD    OH  h 

SO 2  OF 2 

a 7
2

a 6
1
a2 7
; S SAD  SF . AD 
2
4 .
2 7

VMEFD ME MF MD 1

� � 
VMNBC MN MB MC 6
5
5 1
1

5
1
5a 3 6
� VBFDCNE  VMNBC  ��
d  M ,  SBC   � S SBC  �
4h � S SAD 
6
6 3
2
18
2
72


VS . ABCD

1
a3 6
7a 3 6
 SO.S ABCD 
� VSABFEN  VS . ABCD  VBFDCNE 
�
3
6
72

VSABFEN 7
 �
V
5

BFDCNE
Suy ra:

Câu 10: Cho khối chóp tứ giác đều S . ABCD. Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và trung điểm
M của cạnh SC. Mặt phẳng ( ) phân chia khối chóp S . ABCD thành hai khối đa diện với tỉ số
thể tích là k �1. Tìm k .

2
k .
5
A.

3
k .
5
B.

4
k .
5
C.

D. k  1.

Hướng dẫn giải
Chọn B

Gọi N là trung điểm cạnh SD thì MN //CD //AB � N �( )

� ( ) chia cắt S . ABCD thành 2 phần là

S . ABMN và MNABCD

Đặt

Đặt

Và

V  VS . ABCD

1
VS . ADC  VS . ABC  V
2
thì

V1  VS . AMN 

SM SN
1
� �
VS . ADC  V
SC SD
8

V2  VS . AMB 

SM
1
�
VS . ABC  V

SC
4

VS . ABMN 3
3
5

VS . ABMN  V1  V2  V � VMNABCD  V
V
5.
8
8
MNABCD
Như vậy,
. Cuối cùng


BÀI 4:

THỂ TÍCH HÌNH CHÓP CÓ ĐÁY LÀ HÌNH THANG

Dạng 15: Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Dạng 16: Thể tích có một mặt vuông góc với đáy.
Dạng 17: Thể tích có hai mặt bên vuông góc với đáy.
Dạng 18: Thể tích hình tự tìm đường cao.
BÀI 5:

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC.

Dạng 19: Thể tích khối lăng trụ đứng.

ACB  60�.
B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  a , �
Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
A�
 ACC �
 một góc 30�. Tính thể tích V của khối trụ ABC. A���
BC .
Đường thẳng BC �tạo với
3
A. V  a 6 .

B.

V

a3 3
3 .

3
C. V  3a .

3
D. V  a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
B

C

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:
AB
tan 60o 
� AB  a 3
AC
.

a

A

Khi đó hình chiếu vuông góc của cạnh BC �

A�
 ACC �
 là AC �.
trên mặt phẳng
� A  30�
Nên góc BC �
Xét tam giác ABC �vuông tại A ta có:
tan 30�

60�

30�

B�

C�

A�

AB
� AC �
 3a
AC �
.

2
 AC �
 AC 2  2a 2 .
Khi đó: CC �
3
�
V
6
B C  CC .S ABC  a
Vậy ABC . A���
.
���
ABCA
B C có AB  a , đường thẳng AB�tạo với mặt phẳng
Câu 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều

B�
 BCC �
 một góc 30�. Tính thể tích V
A.

V

a3 6
4 .

B.

V

a3 6
12 .

của khối lăng trụ đã cho.
C.

V

3a3
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

V

a3
.

4


Gọi M là trung điểm BC , do tam giác ABC đều nên AM  BC , mà AM  BB�nên

AM   BCC �
B�
B�
 . Suy ra hình chiếu vuông góc của AB�trên  BCC �
 là MB�.
B�
 BCC �
 là góc �
AB�
M  30�.
AB�
M và �
Vậy góc giữa đường thẳng AB�và mặt phẳng
AM 

a 3
� AB�
a 3
2

2
� AA�
 AB�
 A��
B 2  a 2 nên

V

a3 6
4 .

Câu 20: Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh cùng bằng 2a là

3a 3
.
A. 4

3

B. 2 3a .

3a 3
.
C. 2

D. a

3

3.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Mặt đáy của lăng trụ tam giác đều là tam giác đều nên diện tích mặt đáy lăng trụ là

Sd 

(2a) 2 3
 a2 3
4
.

Đường cao của lăng trụ đều cũng là cạnh bên nên độ dài đường cao là h  2a.
Vậy thể tích khối lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh cùng bằng 2a là

V  S d .h  a 2 3.2a  2a 3 3.
B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, mặt bên là BCC �
B�
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���
B C là
hình vuông, khoảng cách giữa AB�và CC �bằng a. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A���
A.

2a 3
.
3

B.

2a 3 .

C.

2a 3
.

2

3
D. a .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
CA  BA �
A�

�� CA   ABB�
�
Vì CA  AA �

CC �
//  ABB�
A�
, AB�
,  ABB�
A�
A�
 � d  CC �
  d  CC �
   d  C ,  ABB�
   CA  a


1 2
2a 3
VABC . A���

S  a 2 �a 
.
BD  h�
2
2
Ta có:

Dạng 20: Thể tích khối lăng trụ xiên
Dạng 21: Hình lập phương
BÀI 6:

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ CÓ ĐÁY LÀ TỨ GIÁC

Dạng 22: Thể tích khối lăng trụ đứng.
Dạng 23: Thể tích khối lăng trụ xiên
Dạng 24: Thể tích khối lăng trụ có đáy là đa giác
Câu 12: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và
mặt đáy là 60�. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

V

27 3
a
8 .

B.

V

3 3
a
4
.

C.

V

3 3
a
2 .

9 3
a
D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120�.

ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
1
a2 3
S ABC  S DEF  a.a.sin120�
2
4
AC  AB 2  BC 2  2. AB.BC.cos B
� 1�
 a 2  a 2  2.a.a. �

 � a 3
� 2�
S ACDF  AC. AF  a 3.a  a 2 3
a2 3
a 2 3 3a 2 3
 a2 3 

4
4
2
�' BH  60�� B ' H  BB '.sin 60� a 3
B
2
2
a 3 3a 3 9 3
V  BH �
.S ABCDEF 
.
 a.
2
2
4
Suy ra:
S ABCDEF  S ABC  S ACDF  S DEF 

Dạng 25: Tìm chiều cao lăng trụ.
B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng
Câu 21: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A����

3a 3 . Tính chiều cao h của hình lăng trụ đã cho.

A. h  a .

B. h  3a .

C. h  9a .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

D.

h

a
3.


2
Ta có S ABCD  a .

h
Suy ra:

VABCD . A����
3a 3
BCD
 2  3a
S ABCD
a
.

Dạng 26: Hình lập phương
Câu 22: Khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a , diện tích của ABCD và ABC ' D ' lần lượt
2
2
bằng 2a và a 5 . Thể tích khối chữ nhật bằng

3
B. a 5 .

3
A. 2a .

3
C. 3a .

D.

5a 3
2 .

Hướng dẫn giải.
A'
C'

B'

Chọn A.

D'

2
Diện tích ABCD bằng 2a nên BC  2a . Diện tích của
2
ABC ' D ' bằng a 5 nên BC '  a 5 .

CC '  BC '2  BC 2  a . Vậy thể tích khối chữ nhật bằng
AB.BC.CC '  2a 3.
Chọn đáp án A.

D

A
B

C

B C D cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ACB��
D là
Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A����
a3
.
A. 6

a3
.
B. 2

a3
.

C. 3

3
D. a .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1

B C D là hợp của khối tứ diện ACB��
D và bốn khối tứ diện
Hình lập phương ABCD. A����
A�
AB��
D , BAB�
C, C �
B�
CD�
, DACD�
; 4 khối tứ diện này đều có thể tích bằng nhau và bằng
a3
a3 a3
3
.
VACB��

a

4
�

 .
D
6 Vậy
6
3
Cách 2

D là khối tứ diện đều có cạnh bằng a 2.
Khối tứ diện ACB��
1
VACB��
��
h S
D 
3
Ta có:
2

�2
3 � 2a
1
h  2a  �
.
a
2
�
�
�3
�  3 ; S  �a 2
2

�
�
2
Với
2





2

3 a2 3
� 
.
2
2


1
1 2a a 2 3 a 3
VACB��
��
h S � �
 .
D 
3
3 3
2
3

Vậy
0
�
Câu 14: Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có BCD  60 , AC  a 7, BD  a 3, AB  AD , đường

chéo BD ' hợp với mặt phẳng
ABCD. A ' B ' C ' D '.
A.

3

39a .

B.

 ADD ' A '
39 3
a.
3

0
góc 30 . Tính thể tích V của khối hộp

3
C. 2 3a .

3
D. 3 3a .

Hướng dẫn giải.

Chọn D.

.
x  CD; y  BC  x  y 
 Đặt
.
 Áp dụng định lý hàm cos và đường trung tuyến tam giác BCD.
3a 2  x 2  y 2  xy và x 2  y 2  5a 2 .

� x  2 a;

ya .

�
�
 Với x  2 y  2a và C  60 � BD  AD � BD '; (ADD'A')  30 � DD '  3a .
2
 S ABCD  xy.sin 60  a 3 .
3
 Vậy V hình hộp = a 3 3 .

B C D có AB  a, tứ giác BDD�
B�có chu vi bằng 6a và diện
Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
2
B C D là
tích bằng 2a . Thể tích khối hôp chữ nhật ABCD. A����


A. a

3

3.

B. a

3

C. 2a

2.

3

3.

1 3
a 3.
D. 3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
�
2  BB�
 BD   6a
 BD  3a
�BB�
�
�

�
�
BB�
�BD  2a 2
BB�
�BD  2a 2
�
�
Giả thiết cho
nên BB�và BD là 2 nghiệm của phương trình
t 2  3at  2a 2  0

Từ đó

BB�
 a, BD  2a  do BD  AB  a 

.

2
2
Tam giác ABD có AD  BD  AB  a 3 .

 a.a 3.a  a 3 3
B C D  AB. AD.BB�
Vậy VABCD. A����

Câu 4:

Vmax

là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm và
2
diện tích toàn phần bằng 18cm .
Tìm

3
A. Vmax  6cm .

3
B. Vmax  5cm .

3
C. Vmax  4cm .

3
D. Vmax  3cm .

Hướng dẫn giải.
Chọn C.

�a 2  b2  c 2  18
�
ab  bc  ac  9
a
,
b
,
c
Đặt

là kích thước của hình hộp thì ta có hệ �
.
Suy ra a  b  c  6. Cần tìm GTLN của V  abc. .
Ta có
Do

b  c  6  a � bc  9  a  b  c   9  a  6  a  .

 b  c

2

.

�4bc �  6  a  �4 �
9  a  6  a �
�
�� 0  a �4. .
2

Tương tự 0  b, c �4 . .
Ta lại có

V  a�
9  a  6  a �
�
�. Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.


BÀI 7:

KHOẢNG CÁCH

BÀI 8:

GÓC

Dạng 27: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Dạng 28: Góc giữa hai mặt phẳng.
o
�
Câu 16: Cho khối chóp S . ABC có mặt đáy ABC là tam giác cân tại A với BC  2a, góc BAC  120 .

a3
.
Biết cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và thể tích khối chóp S . ABC bằng 9 Tính
góc hợp bởi mặt phẳng
0

 SBC 

và mặt phẳng đáy.

0
B. 30 .

A. 45 .

0
C. 60 .

0
D. 90 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
0
�
Gọi H là trung điểm cạnh BC thì BC  AH và BAH  60

VS . ABC 

Kết hợp BC  SA thì

a3
9

�
BC  SH � �
( SBC ), ( ABC )   SHA
0
�
Tam giác AHB có AH  BH .cot BAH  a.cot 60

� S ABC 

1
1
a2
BC. AH  .2a.a.cot 600 

2
2
3

SA 

Từ đó,
Như vậy

120o

2a

3VS . ABC
a3
3 a 3
 3. � 2 
 AH
S ABC
9 a
3
.

�  450.
( SBC ), ( ABC )   SHA
�

BÀI 9:

BÀI TOÁN THỰC TẾ.

Câu 23: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là 4cm , người ta gấp nó thành bốn phần đều nhau rồi dựng
lên thành bốn mặt xung quanh của hình hình lăng trụ tứ giác đều như hình vẽ.
Hỏi thể tích của khối lăng trụ này là bao nhiêu?
3
3
A. 4cm .
B. 16cm .
4 3
cm
C. 3

64 3
cm
D. 3

Hướng dẫn giải
Chọn B.


2
Đáy là hình vuông có cạnh bằng 1 nên diện tích đáy: S  1cm .
3
Thể tích lăng trụ là: V  h.S  4cm
2

Câu 24: Một hộp đựng thực phẩm có dạng hình lập phương và có diện tích toàn phần bằng 150 cm . Thể
tích của khối hộp là:
125
125
dm3 .

cm3 .
3
3
125
cm
.
125
dm
.
3
3
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
2
Diện tích toàn phần hình lập phương là S  6a  150 � a  5 .
3
Suy ra thể tích V  125cm .
Chọn đáp án A.

Câu 17: Ngưởi ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bẳng
500 3
m
3
, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là
500.000 đồng/ m 2 . Chi phí thuê nhân công thấp nhất là:
A. 100 triệu đồng.

B. 75 triệu đồng.
C. 150 triệu đồng.

D. 60 triệu đồng.

Hướng dẫn giải.
Chọn B.
x  m
2x  m 
h  m
Gọi
là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là
và
là chiều
500 3
500
250
m � 2 x 2h 
�h 2.
3
3x .
cao bể. Bể có thể tích bằng 3
250
500
S  2  xh  2 xh   2 x 2  6 x 2  2 x 2 
 2 x2 .
3
x
x
Diện tích cần xây là:

.
500

500
S  x 
 2x2 ,  x  0 � S �
 x   2  4x  0 � x  5
x
x
Xét hàm
.

Lập bảng biến thiên suy ra

Câu 5:

S min  S  5   150.

.

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin  150. .
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000  75000000 đồng. Chọn B.
Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp
(nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là
ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp
3
là 4 dm
A. 1 dm.

B. 1,5 dm.

C. 2 dm.
Hướng dẫn giải

D. 0, 5 dm.