LAN 2 VIP HH c2

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU
Chủ đề: MẶT NÓN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO

1
1
Câu 2:

MẶT NÓN

Dạng cơ bản.

a
Một hình tứ diện đều có cạnh bằng , có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm
trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là
1
1
1
π 3a 2
π 2a 3
π 3a 2
π 3a 2
3

3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

π a2 3
a 3
r = BH =
⇒ S xq = π rl =
l = SA = a
3
3
Ta có:
,
Câu 3:

Một hình nón có chiều cao bằng
quanh của hình nón.
A.

S xq = 2π a 2 .

B.

a 3

và bán kính đường tròn đáy bằng

S xq = 3π a 2

.

C.

S xq = π a 2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

.

a

. Tính diện tích

D.

S xq = 2a 2

.

S xq

xung


Đường sinh
Câu 4:

:

l = h2 + r 2 = 2a

. Diện tích xung quanh là

S xq = π rl = 2π a 2

3cm
60°
Cho hình nón có chiều cao bằng
, góc giữa trục của đường tròn đáy và đường sinh bằng
.
Thể tích của khối nón là
9π cm3
3π cm3
18π cm3
27π cm3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Hình nón có chiều cao
Bán kính đáy

h = 3cm

.

r = h.tan 600 = 3. 3cm

.

(

Thể tích khối nón là:
Câu 5:

)

2
1
1
V = π r 2 h = π . 3 3 .3 = 27π cm3
3

3

.

2cm
Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao của hình trụ và bằng
. Diện tích xung
quanh của hình nón là
8π
cm 2
4π cm 2
2π cm 2
8π cm 2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải:


h

r

l
Chọn D.

Ta có

r = l = h = 2 cm

.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Câu 6:

S xq = 2π rl = 8π cm 2

Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
nón là
π cm2
2π cm 2
A.
.
B.
.

2cm

.

, góc ở đỉnh bằng

C.

3π cm 2

.

60°

. Diện tích xung quanh của hình

D.

6π cm 2

.

Hướng dẫn giải:

60°

l

h

r
Chọn B.
60

Do góc ở đỉnh bằng
Ta có
l=

r =1

o

suy ra thiết diện đi qua trục hình nón là tam giác đều.

.

r
= 2r = 2
sin 300

.

Diện tích xung quanh của hình nón là
Câu 7:

S xq = π rl = 2π cm 2

.

Một hình nón có đường sinh bằng đường kính mặt đáy của hình nón. Diện tích đáy của hình nón
9π
h
bằng
. Tính đường cao của hình nón.

A.

h = 3 3.

Chọn A.

B.

h = 3.

h=

C.
Hướng dẫn giải

3
.
2

h=

D.

3
.
3


 Ta có

l = 2R

và

S = 9π ⇔ π R 2 = 9π ⇔ R = 3

⇒ h = AO = 62 − 32 = 3 3
Câu 8:

Tính thể tích của một khối nón có góc ở đỉnh là

A.

π a3
.
3

B.

π a3
.
2

Chọn A.
Hình nón có góc ở đỉnh

Dạng 1.
Câu 2:

C.

90°,

π a3
.
4

90°,

bán kính hình tròn đáy là

a?

a3
.
3

D.
Hướng dẫn giải

bán kính hình tròn đáy là
1 2
πa3
Vπ=a h. . =
.
3
3

a

nên

r = a, h = a.

Khi đó thể tích của hình nón
Thiết diện qua trục.
S . ABCD
a.
60°.
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
S . ABCD
Khi đó thể tích hình nón nội tiếp hình chóp
là
3
3
πa 3
πa 3
π a3
π a3 3
.
.
.
24
12
24
3
A.
B.
.
C.
D.

Hướng dẫn giải
Đáp án B


Gọi

O, H

lần lượt là trung điểm các đoạn
BC

BC ⊥ OH

và

AC

và

thì
BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ SH

·
·
⇒ (·
( SBC ), ( ABC ) ) = SHO
⇒ SHO
= 60o.

OH =

Ta có

1
a
a 3
·
AB = ⇒ SO = OH .tan SHO
=
2
2
2

Hình nón nội tiếp

S . ABCD

r = OH =
bán kính

a
2

có :

h = SO =
và đường cao

a 3
2

Thể tích hình nón đó là
2

1
1  a  a 3 a 3π 3
Vn = π r 2 h = π  ÷ .
=
3
3 2
2
24
Câu 3:

Một hình nón có đường sinh bằng
tiếp hình nón bằng:

A.

3
l
4

.

B.

2
l
6

l

.

.

và bằng đường kính đáy của hình nón. Bán kính hình cầu nội
3
l
6

C.
Hướng dẫn giải

.

Chọn C

l
Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh .

D.

1
l
3

.

Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều nói
R=

trên:

Câu 4:

3
l
6

a,
ABCD. A′B ′C ′D ′
Hình lập phương
có cạnh bằng
một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của hình
ABCD
A′B′C ′D′.
vuông
và có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Diện tích xung quanh của
hình nón đó là:

A.

a 2π 6
.
2

B.

a 2π 3
.
2

a 2π 3
.
3

C.
Hướng dẫn giải

D.

a 2π 2
.
2

Chọn B

a 2 3a 2
a 2 a 6 a 2π 3
a 2 2
a 6
2
2
2
=
.
S xq = π rl , r = 2 , l = a + r = a + 2 = 2 ⇒ l = 2 . S xq = π 2

2
2
Câu 5:

Cho tam giác

ABC

có

AB = 3

AC = 4

,

,

BC = 5

. Cho tam giác

ABC

quay quanh cạnh

AB

và

S1
S2
ta được 2 hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh tương ứng là
và . Chọn Khẳng định
nào sau đây đúng?
S1 3
S1 3
S1 4
S1 4
=
=
=
=
S2 4
S2 5
S2 3
S2 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
AC

Chọn C
Nhận xét : tam giác

Khi quay quanh
Khi quay quanh
S
AC 4
⇒ 1 =
=
S2 AB 3
Câu 2:

AB

AC

ABC

vuông tại

A

.

ta được hình nón có bán kính là
ta được hình nón có bán kính là

AC
AB

, đường sinh là

BC ⇒ S 2 = π AB.BC

.
.

.

Cho hình nón có đỉnh là điểm

S

, đáy là hình tròn tâm

A

tròn đáy của hình nón, lấy điểm
cố định và điểm
SAM
để diện tích tam giác
đạt giá trị lớn nhất?
3
2
1
A. .
B. .
C. .

M

O

và góc ở đỉnh bằng

120°

. Trên đường

di động. Có bao nhiêu vị trí của điểm

Hướng dẫn giải
Chọn A.

, đường sinh là

BC ⇒ S1 = π AC.BC

D. vô số.

M


r

Gọi là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh

Suy ra

r
SO = OA.cot ·ASO =
3

Ta có:

Diện tích tam giác

S=

S max

. Gọi H là trung điểm của

r2
SH = SO + OH =
+ x2
3
2

AM

và đặt

x = OH

.

.

2

∆SAM

,

AM = 2 AH = 2 OA2 − OH 2 = 2 r 2 − x 2

đạt được khi

.

bằng

1
r2
2
SH . AM =
+ x2 . r 2 − x2 ≤ r 2
2
3
3
2
= r2
3

·ASA′ = 120° ⇒ ·ASO = 60°

.

r2
r2
r
+ x2 = r 2 − x2 ⇔ x2 = ⇔ x =

3
3
3

. Tức là

OH = SO

.

Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu.
Câu 3:

S . ABC
60°
a
Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Tính diện
S xq
ABC
S
tích
xung quanh của hình nón có đỉnh và đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác
.
2
2
2
2
πa 3

π a 10
πa 7
πa 7
S xq =
S xq =
S xq =
S xq =
3
8
4
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn D.


Hình nón có đỉnh

S

và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

r = AG =
Bán kính đường tròn đáy

2

có:

2
a 3
AN =
3
3

l = SA = SG 2 + AG 2 =
Đường sinh

ABC

( GN tan 60° )

2

+ AG 2

2

a 3
 a 3
7
= 

3÷
+ 
=
a
÷
÷
÷
12
 6
  3 

S xq = π rl =
Diện tích xung quanh:

2
Câu 9:

π a2 7
6

Thiết diện qua trục.
Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều và khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy

đến đường sinh bằng
3π a 2 .
A.
Chọn A

a 3
2

. Tính diện tích toàn phần của hình nón .
5π a 2 .
2π a 2 .
B.
C.
Hướng dẫn giải

D.

4π a 2 .


sin 600 =

Có :

OH
OH
⇔ OB =
=a=r
OB
sin 60 0

SA = AB = 2a = l
Từ đó :
Stp = S xq + S day = π .r.l + π r 2
= π .a.2a + π a 2 = 3π a 2

3

Khối nón sinh bởi tam giác quay quanh trục.
ABC
BC
A
I
Câu 10: Trong không gian, cho tam giác
là tam giác vuông cân tại , gọi là trung điểm của
,
ABC
BC = 2
AI
. Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
quanh trục
.
A.

S xq = 2π

.

B.

S xq = 2π

.

C.

S xq = 2 2π

.

D.

S xq = 4π

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hình nón nhận được khi quay
IB
AB
và đường sinh
.
∆ABC

vuông cân tại

A

nên:

∆ABC

quanh trục

AI = BI = 1cm

và

AI

có bán kính

AB = AI . 2 = 2

S xq = π .r.l = π .1. 2 = 2π
Câu 11: Cho tam giác

quanh

AB,

ABC

vuông tại

AC
A AB = 3a AC = 4a
M
,
,
. Gọi
là trung điểm của
. Khi quay

các đường gấp khúc

S1 S2
là , . Tính tỉ số

S1
S2

.

AMB ACB
,
sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần lượt


A.

S1
13
=
S2
10

.

B.

S1 1
=
S2 4

.

C.

S1
2
=
S2
5

.

D.

S1 1
=
S2 2

.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

2

AC
 AC 
S1 = π rl
. AB 2 + 
1 1 = π.
÷ = 2π 13

2
 2 
S 2 = π r2l2 = π . AC. AB 2 + AC 2 = 20π

Do đó

S1
13
=
S2
10

;

.

.

AB = 3a BC = a
B
vuông tại có
,
. Khi quay hình tam giác đó quanh đường thẳng
360°
AB
một góc
ta được một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay đó là:
π a3
π a3
π a3

3π a 3
2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 12: Tam giác

ABC

Hướng dẫn giải:
Chọn A.


Theo đề bài ta thu được hình nón có
R = BC = a

h = AB = 3a

,

.

1

1
V = π R 2 h = π a 2 .3a = π a 3
3
3
Câu 4:

C
AB = 2 R
Cho nửa đường tròn đường kính
và điểm
thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt
·
α
α = CAB
C
H
AB
và gọi
là hình chiếu vuông góc của lên
. Tìm
sao cho thể tích vật thể tròn
ACH
AB
xoay tạo thành khi quay tam giác
quanh trục
đạt giá trị lớn nhất.
1
arctan
2
α = 60°

α = 45°
α = 30°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Đáp án: C.
AC = AB. cos α = 2 R.cos α
CH = AC.sin α = 2 R.cos α .sin α ;
AH = AC.cos α = 2 R.cos 2 α

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
1
8
V = AH .π CH 2 = R 3 .cos 4 α .sin 2 α
3
3
.
2
t = cos α ( 0 < t < 1)
Đặt
8
⇒ V = R 3t 2 ( 1 − t )
3

ACH

quanh trục

AB

là

3

8
8  t + t + 2 − 2t 
= R 3 .t.t ( 2 − 2t ) ≤ R 3 
÷
6
6 
3


Vậy

V

t=

lớn nhất khi

2
3

α = arctan
khi

1
2

.

 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm

4
Câu 5:

f ( t ) = t2 ( 1− t )

Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt nón.
2
Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng 3
chiều cao hình nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số
chiều cao mực nước và chiều cao hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A. 0,33 .


B. 0,11 .
C. 0, 21 .
D. 0, 08
Hướng dẫn giải
Chọn B.
.

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là h và R .
Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và
2h
2R
.
bán kính đường tròn đáy lần lượt là 3 và 3
8V
19
⇒
V.
Do đó thể tích lượng nước trong bình là 27
Phần không chứa nước chiếm 27
Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là
hình nón và ta gọi h ' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón
không chứa nước đó.
R' h'
19
=
V
Ta có R h và phần thể tích hình nón không chứa nước là 27
3

h'
19 h
h ' 3 19
 h '  19
.π R '2 = . .π R 2 ⇔  ÷ =
⇒ =
.
3

27 3
h
3
 h  27
Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly là
h ' 3 − 3 19
1− =
.
h
3
⇒

2 MẶT TRỤ
5

Dạng cơ bản

Câu 2:

Cho khối trụ có bán kính đường tròn đáy
A.

6pa3 3

.

B.

9a3 3

.

a 3

và chiều cao
6pa2 3

C.
Hướng dẫn giải

2a 3
.

. Thể tích của khối trụ đó là :
D.

4pa3 2

.

Chọn A.
Thể tích khối trụ:

V = π R 2 h = 6π a 3 3

.

Câu 13: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng

4

, diện tích đáy hình trụ bằng diện tích mặt cầu có bán

1

kính bằng . Tính thể tích khối trụ đó.
4.
6.
A.
B.

C.

10.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

8.


1

Ta có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính bằng

π R 2 = 4π .12 ⇔ R = 2
Mặt

khác

.

hình

trụ

có
diện
tích
1
1
2π R.l = 4 ⇒ 4π l = 4 ⇒ l = h = ⇒ V = π R 2 = 4
π
π

xung

quanh

bằng

4

,

suy

.

ABCD. A′B′C ′D′

a
S
có cạnh bằng . Gọi là diện tích xung quanh của hình trụ
ABCD
A′B′C ′D′
S
có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
và
. Diện tích là

Câu 14: Cho hình lập phương

A.

π a2

.

B.

π 2a 2

.

C.

π 3a 2

.

D.

2π a 2
2

.

Hướng dẫn giải
Chọn B
R=

Bán kính hình trụ
Câu 15: Cho hình chữ nhật

a 2
2

ABCD

S xq = 2π Rl = 2π

nên

có cạnh

CD

a 2
a = π a2 2
2

AB = 4 AD = 2

. Cho hình chữ nhật quay quanh
V = 32π
V = 16π
A.
.
B.
.

,

MN

. Gọi

M N
,

là trung điểm các cạnh

, ta được hình trụ tròn xoay có thể tích bằng
V = 8π
V = 4π
C.
.

D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Hình trụ có đường cao

h = MN = AD = 2

Thể tích khối tròn xoay đã cho:

R=
, bán kính đáy

V = π R 2 h = 8π

.

1
AB = 2
2

.

AB

và

ra

Câu 16: Trong không gian cho hình chữ nhật

ABCD

có

AB = 1, AD = 2

. Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm

BC
MN
AD
của
và
. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục
ta được một hình trụ. Tính diện tích
toàn phần của hình trụ đó?
10π
4π
2π
6π
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn B.

A

A’

R=

Ta có:

1
AD = 1
2

. Diện tích toàn phần của hình trụ là:

O

O’

B

Stp = 2S đ + S xq = 2π R 2 + 2π R. AB

= 2π R ( R + AB ) = 4π
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A′B′C′D′

có

AB = AD = 2a AA′ = 3a 2
,
. Tính diện tích toàn phần

Stp

của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
S = 7π a 2 .
S = 16π a 2 .
S = 12π a 2 .
S = 20π a 2 .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B.
Ta có:

Stp = 2π rl + 2π r 2 = 16π a 2

với

l = 3 2a r = a 2
,
.

Câu 18: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là

5cm

15
23cm
23 cm
lăn là
(hình bên). Sau khi lăn trọn
vòng thì trục lăn tạo nên sân
phẳng một diện diện tích là
1725π cm 2 .
3450π cm2 .
5 cm
A.
B.
6900π cm2 .
862,5π cm 2 .
C.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Diện tích xung quanh của mặt trụ là

S xq = 2π Rl = π .5.23 = 115π cm 2

.

, chiều dài


Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là:
Câu 6:

S = 115π .15 = 1725π cm 2

.
AD = 2

CD = 3
AB = 1
có đáy nhỏ
, đáy lớn
, cạnh bên
quay quanh
V
AB
đường thẳng
. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.
4
7
5
V= π

V= π
V= π
V = 3π
3
3
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Cho hình thang cân

ABCD

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Theo hình vẽ:

AH = HD = 1

.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính
cao

CD = 3

r = AH = 1

, chiều

trừ đi thể tích hai khối nón bằng

nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).

Vậy
Câu 7:

1
2 7

V = π . AH 2 .CD − 2. π . AH 2 .HD = π  3 − ÷ = π
3
3 3


( O)

Cho hình trụ có các đường tròn đáy là
điểm

và

A, B

lần lượt thuộc các đường tròn đáy
ABOO′
tứ diện
là
a3
a3
2
3
A. .
B. .

( O′ )

( O)

.

, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
và

C.

( O′ )

a3
6

sao cho

AB = 3a

.

D.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tam giác

AA′B

Suy ra tam giác

Suy ra

BO′

vuông tại
O′A′B

A′

suy ra

vuông tại

vuông góc với

A′B = AB 2 − AA '2 = a 2.

O′

( AOO′)

. Suy ra

.

BO′

vuông góc với

O′A

1
1 1
a3
VABOO′ = BO′.S AOO′ = .a. .a 2 =
3
3 2
6

a3

a

. Các

. Thể tích của khối

.


Câu 8:

Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là
là hình tròn
2a 3 .
A.

( O′ )

là

a3 ,

( O ) , ( O′ ) .

Biết thể tích khối nón có đỉnh là

tính thể tích khối trụ đã cho?
4a 3 .
6a 3 .
B.
C.

D.

O

và đáy

3a 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
3a 3
Vnon = π R 2 h = a 3 ⇒ R 2 h =
3
π

Vtru = π R 2 h = π
;

3a 3
= 3a 3
π

6

Thiết diện qua trục.
Câu 19: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a , mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện
2
tích bằng 8a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
2
2
2
A. 4π a .

B. 8π a .
C. 16π a .

D. 2π a .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2
Diện tích thiết diện ABCD là AB.BC = 8a ⇒

Vậy

S xq = 2π r.BC = 8π a 2

BC =

.

Câu 20: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh

A.

π cm

3

.

8a 2
= 4a
AB
.

B.

2π cm

a = 2cm

3

.

C.

3π cm

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

có thể tích là
3

.

D.

4π cm3

.


Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông
a = 2cm
như hình vẽ. Hình vuông cạnh
nên

ABCD

AB = 2r = 2 ⇒ r = 1cm;
AD = h = 2cm ⇒ V = π r 2 h = 2π cm3

7
Câu 6:

.

Các bài toán ứng dụng thực tế liên quan mặt trụ.
Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là
64π ( m3 )
r
. Tìm bán kính đáy của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
r = 3 16 ( m )
r = 3 32 ( m )
r = 3( m)
r = 4 ( m)
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi hình trụ có chiều cao
V = π r 2h ⇒ h =

Ta có:

h

l
r
, độ dài đường sinh , bán kính đáy .

64π 64
64
= 2 ⇒l = 2
2
πr
r
r

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Stp = 2 Sday + S xq = 2π r 2 + 2π rl = 2π r 2 +

Ta có:
f ( r ) = 2π r 2 +

Xét hàm số
f ′ ( r ) = 4π r −

Ta có

f ( r)
Câu 7:

3

0
−
+∞

]

f

với

r >0

.

.

128π 4π ( r 3 − 32 )

=
; f ′ ( r ) = 0 ⇔ r = 3 32
r2
r2

Lập bảng biến thiên ta có
r
f ′( r )

128
r

128π
r

(

32
0
3

32 )

f ( r)

đạt GTNN khi

r = 3 32

.

.

+∞
+
Z

+∞

Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy
V
h
với thể tích cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao và bán
V
R
kính của hình trụ theo để tốn ít vật liệu nhất.


R = 2h = 2 3
A.

V
2π

R = 2h = 2
.

B.

V

2π

h = 2R = 2
.

C.

V
2π

h = 2R = 2 3
.

D.

V
2π

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:

Stp = 2π R 2 + 2π Rh

V =πR h

h=

2

Do

nên

.

V
π R2

. Suy ra

V
V V
V V
Stp = 2π R 2 + 2π R × 2 = 2π R 2 + + ≥ 3. 3 2π R 2 × × = 3. 3 2π V 2
πR
R R
R R
2π R 2 =
Đẳng thức xảy ra khi
Câu 8:

V
V
⇔R= 3
R
2π

h = 23
. Khi đó

V
2π

.

.
0,5cm

6cm
, chiều dài
. Người ta
6cm × 5cm × 6cm
làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước
.
460
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp
viên phấn?
15
16
18
17
A.
.
B. .
C. .
D. .

Hướng dẫn giải

Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng

Chọn C.
Có 3 cách xếp phấn theo hình vẽ dưới đây:
 Nếu xếp theo

H1
hình
: vì
đường kính viên
phấn là
2.0,5 = 1cm

6.5 = 30
nên mỗi hộp xếp được tối đa số viên phấn là:
.
n + 1, n ∈ Z+
6
5
H2
 Nếu xếp theo hình
: hàng viên xen kẽ hàng viên. Gọi số hàng xếp được là
.
3
⇒ CM =
ΔABC
2
1

Ta có
đều cạnh bằng
.


2.0,5 + n.
Ta phải có
viên phấn là:

3
8
≤5⇒ n≤
2
3 ⇒

3.6 + 2.5 = 28

 Nếu xếp theo hình

2.0,5 + m.
Ta phải có
số viên phấn là:

H3

xếp tối đa được

5

hàng

⇒

mỗi hộp xếp được tối đa số

.

m + 1, m ∈ Z+
5
4
:hàng viên xen kẽ hàng viên. Gọi số hàng xếp được là
.

3
10
≤6⇒m≤
2
3⇒

3.5 + 3.4 = 27

xếp tối đa được 6 hàng

⇒

nên mỗi hộp xếp được tối đa

.

H1

Vậy, xếp theo hình
thì xếp được nhiều phấn nhất, nên cần ít hộp nhất.
460 : 30 ≈ 15,3 ⇒
16
460
Ta có
cần ít nhất
hộp để xếp hết
viên phấn.

3 MẶT CẦU
8
Câu 3:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào SAI ?
A. Hình tứ diện bất kì có mặt cầu ngoại tiếp .
B. Hình lăng trụ đều bất kì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp đều bất kì có mặt cầu ngoại tiếp
D. Hình hộp bất kì có mặt cầu ngoại tiếp
Hướng dẫn giải

Câu 9:

Chọn D.
Vì hình hộp có 6 mặt là hình bình hành mà không có đường tròn ngoại tiếp hình bình hành nên
hình hộp không có mặt cầu ngoại tiếp .
Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó là:
3π
3

π 2
2 3
.
.
.
.
2 3
π 2
3
3π
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
V, V′
Gọi
lần lượt là thể tích khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương.
1
Không mất tính tổng quát gọi độ dài cạnh của khối lập phương bằng , khi đó bán kính khối cầu

ngoại tiếp khối lập phương là

12 + 12 + 12
3
R=
=
2
2

3

Suy ra

4  3 π 3
V 2 3
V = 1; V ′ = π 
=
⇒
=
÷
÷
3  2 
2
V ′ 3π

.

.


Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật

ABCD. A′B′C ′D′

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A.

a 3
.
2

có

AB = a, AD = 2a

và

AA′ = 3a.

Tính bán kính

R

của

ACB′D′.

a 14
.
2

B.

C.

a 6
.

2

D.

a 3
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.
A′C
I
I
Gọi là trung điểm của
. Suy ra là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD. A′B′C ′D′
ACB′D′
I
, do đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.

Bán kính mặt cầu

9

R = IA′

=

1

1
a 14
A′C =
AB 2 + AD 2 + AA′2 =
2
2
2

.

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.

1 Các điểm nhìn đoạn thẳng dưới một góc vuông.
1
Câu 21: Cho hình lập phương có cạnh bằng . Diện tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là

π

A. .

B.

2π

.

C.

3π

Hướng dẫn giải
D′

A′

C′

B′ O
D
A

Gọi

R

Ta có:

Chọn C.

là bán kính của mặt cầu.
R=

=

C

B

1
1

A 'C 2 =
A ' A2 + AC 2
2
2

1
3
A ' A2 + AB 2 + BC 2 =
2
2

là
Diện tích mặt cầu

.

S = 4π R 2 = 3π

.

.

D.

6π

.


Câu 11: Khối chóp tứ giác

hợp với đáy góc
8 2 3
πa .
3
A.

S . ABCD

450

có đáy

ABCD

a SA
SC
,
là đường cao và cạnh

là hình vuông cạnh

. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
1 3
πa .
3
4π a .
3
B.
C.

S . ABCD

là

D.

4 3
πa .
3

Hướng dẫn giải

Chọn D
·
·
·
SAC
= SBC
= SDC
= 90°
SC
I
Ta có
, gọi là trung điểm của
. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp

SC , R =

S . ABCD

Suy ra

có đường kính là cạnh
4
4
V = π R3 = π a3.
3
3

SC
=
2

2

(

2a
2

)

2

=a
.

AB = 2a AD = 4a SA
là hình chữ nhật ,
,
,
vuông góc với
BC
SA = 3a
M
mặt phẳng đáy ,
.Gọi
là trung điểm của cạnh
.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
S . AMD
chóp
.
5a
7a
.
.
2a.
3a.
2
2
A.
B.
C.
D.
Hướng
dẫn
giải

Câu 12: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

Chọn B.
AMD
M
Ta có :Tam giác
vuông cân tại
.
 DM ⊥ AM
⇔ DM ⊥ SM

 DM ⊥ SA
Có :
.


DA ⊥ SA
Lại có :
.
SD
I
Gọi là trung điểm của
.

IS = IA = ID = IM
S . AMD
Ta chứng minh được :
. Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.

SD
9a 2 + 16a 2 5a
R=
=
=
2
2
2

Từ đó
2 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
SA ⊥ ( ABC ) SA = 2a
S . ABC
ABC
A BC = 2a 2
Câu 13: Cho hình chóp
có
,
, tam giác
cân tại ,
,
cos ·ACB =

1

3

S . ABC
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
2
97π a
97π a 2
97π a 2
S=
S=
S=
3
4
2
A.
.
B.
.
C.
.

S=
D.

97π a 2
5

.

S

N

I
A

M
O

B

Chọn A.

Gọi
Do

H

là trung điểm của

∆ABC

cân tại

Cos ·ACB =

BC

A ⇒ AH ⊥ BC

BC
=a 2
2

.

1
⇒ AC = 3HC ⇒ AC = 3a 2
3

⇒ AH = AC 2 − HC 2 = 18a 2 − 2a 2 = 4a

Gọi

M

là trung điểm

AC

, trong mp

H
Hướng dẫn

giải

⇒ HC =

C

.
.

( ABC )

.


vẽ đường trung trực của

AC

là tâm đường tròn ngoại tiếp
cos ·ACH =

Ta có

∆AMO

Trong

cắt

AH

∆ABC

tại

O⇒O

.

1
1
2 2
2 2
·
·
·
⇒ sin CAH
= ⇒ cos CAH
=
⇒ cos BAH
=
3
3
3
3

vuông tại

2
3a
AM
2 = 9a
⇒ AO =
=

·
4
2 2
cos BAH
3
M

.

.

( SAH )
SA
SA
O
là trung điểm
. Trong mp
vẽ trung trực
cắt đường thẳng qua
và vuông
( ABC ) I
S . ABC
I
góc mp
tại . Chứng minh được là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
Gọi

N

Ta có

ANIO

là hình chữ nhật.

81a 2
97a 2
97
2
AI = AO + AN =
+a =
=
a
16
16
4
2

⇒

đường chéo

2

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC

s=

Cách tính OA dài.có thể dựa vào diện tích ABC

.

S = 4π R 2 = 4π
là

97a 2 97 2
= πa
16
4

(đvdt).

abc
4R

a SA
SA = a 2
có đáy là hình vuông cạnh bằng ,
vuông góc với đáy,
.
V
S . ABCD
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.

Câu 14: Cho hình chóp

V=

A.

S . ABCD

32 3
πa
3

.

B.

4
V = π a3
3

.

C.

V = 4π a

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Bán kính khối cầu

S . ABCD

là:

SC
SA2 + AC 2
R=
=
=a
2
2

V=

3

.

D.

4 2 3
πa
3

.


Thể tích khối cầu

4
4

V = π R3 = π a3
3
3

.

SC = 2a
SC
, cạnh bên
và
vuông góc
S . ABC
R
với mặt phẳng đáy. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
2a
a 13
R=
R=
3
R = 3a
R = 2a
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Hướng dẫn giải

Câu 15: Cho hình chóp

S . ABC

có đáy là tam giác

ABC

đều cạnh

3a

Đáp án: D.
G
ABC
SC
M
Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và
là trung điểm
.

Dựng
Ta có:

IG //SC

và

IM //CG

. Khi đó

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABC

.

R = IC = CM 2 + CG 2

= a 2 + 3a 2 = 2a
Câu 22: Cho hình chóp

.
S . ABC

có đáy là tam giác

ABC

vuông tại

A

, có

SA

vuông góc với mặt phẳng

( ABC )

A, B, C , S
SA = a AB = b AC = c
R
và
,
,
. Mặt cầu đi qua các đỉnh
có bán kính bằng
1 2
R=
a + b2 + c2
R = 2 a 2 + b2 + c2
2
A.
.
B.
.
R = a +b +c
2

C.

2

R=

2

.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

2( a + b + c)
3

.


Gọi

D

BC

là trung điểm

và

E

là trung điểm

SA

.

A, B, C , S
I
là tâm mặt cầu cầu đi qua các đỉnh
. Khi đó là giao điểm của đường thẳng đi
SA
SA
D
qua , song song với
và mặt phẳng trung trực của
.
Gọi

I

Do đó

IDEA

là hình chữ nhật.

R = IA = AE 2 + AD 2 =
Vậy

Câu 16: Cho hình chóp

1 2 1
1 2
SA + BC 2 =
a + b2 + c 2
4
4
2

.

1 SA

S . ABC

vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên
60°
SBC
S . ABC
và đáy bằng
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
bằng bao nhiêu?
S

M

có đáy là tam giác đều cạnh bằng ,

I

A

C
G

B

H
A.

43π
48

.

B.

43π
36

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi
G

H M
,

lần lượt là trung điểm

là trọng tâm

∆ABC

.

BC SA
,
;

.

C.

43π
4

.

D.

43π
12

.