LAN 1 VIP HHGT KG

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO

BÀI 1:

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Oxyz .

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức
Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
trung điểm I của đoạn thẳng AB .
A.

I  2; 2;1

.

B.

I  1;0; 4 

.

A  3; 2;3

C. 
Hướng dẫn giải

I 2; 0;8 

và

.

B  1; 2;5

D.

. Tìm tọa độ

I  2; 2; 1

.

Chọn B.

Câu 2:

Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với A(3; 2;3) và B (1; 2;5) được tính bởi
x A  xB
�
1

�xI 
2
�
�
y  yB
 0 � I  1; 0; 4 
�yI  A
2
�
� z A  zB
zI 
4
�
�
2
 P  : 2 x  y  z  3  0 . Điểm nào trong các phương án dưới đây thuộc mặt
Cho mặt phẳng
phẳng
A.

 P .

M  2;1;0 

.

B.

N  2; 1;0 

.
C.
Hướng dẫn giải

P  1; 1;6 

.

D.

Q  1; 1; 2 

.

Chọn A.

Câu 3:

 P  điểm nào thay vào bằng 0 ta chọn. Ta thấy điểm
Thay tọa độ điểm vào vế trái mặt phẳng
M thỏa mãn.
M  a; b; c 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Điểm M thuộc Oz khi và chỉ khi a  b  0.
 Oxy  bằng c .
B. Khoảng cách từ M đến
 a;0;0  .
C. Tọa độ hình chiếu của M lên Ox là
uuuu

r
 a; b; c  .
OM
D. Tọa độ
là
Hướng dẫn giải
Chọn B.
d  M ,  Oxy   | c |
Ta có:
, nên mệnh đề B sai.

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng
Câu 3:

A  2; 0; 0  B  0; 3; 1 C  3; 6; 4 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho
;
;
. Gọi M là
điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC  2 MB . Độ dài đoạn AM là
A. 2 7 .

B.

29 .

C. 3 3 .
Hướng dẫn giải

D.

30 .


Chọn B.

Câu 4:

Câu 4:

uuuu
r 2 uuur
MC
 BC
M  x; y ; z 
3
Gọi
. Do M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC  2 MB nên
2
�
�3  x  3  3
�x  1
�
2
�
�
��
6 y  �
3
� �y  4

3
�
�
�z  2
2
�
3
�4  z  3 �
� M  1; 4; 2  � AM  29
�
.
�x  1
�
d : �y  2  3t  t ��
�z  5  t
�
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
. Vectơ nào dưới
đây là vectơ chỉ phương của d ?
r
r
r
r
u  0;3; 1
u  1;3; 1
u  1; 3; 1
u  1; 2;5 
A. 1 
.
B. 2 

.
C. 3 
.
D. 4 
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
�x  1
�
d : �y  2  3t (t ��)
r
�z  5  t
�
Đường thẳng
nhận véc tơ u  (0;3; 1) làm VTCP.
B C D có A  0;0;0  , B  3;0;0  ,
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A����

D  0;3;0 
A.

và
 2;1; 1 .

D�
 0;3; 3

B C là
. Tọa độ trọng tâm của tam giác A��
 1;1; 2  .

 2;1; 2  .
B.
C.
Hướng dẫn giải

D.

 1; 2; 1 .

Chọn C.
A�
 a1; a2 ; a3  , B�
 b1; b2 ; b3  , C  c1; c2 ; c3 
Gọi
Do tính chất hình hộp ta có:
A��
a1  0
D�
uuur uuuur
�
AA�
 DD�
��
a2  0
B�
�
�
a3  3 �CA�
 0;0;  3
�

Câu 2:

b1  3  0
b1  3
�
�
uuur uuuur
�
�
BB�
 DD�
��
b2  0 � �
b2  0 � B�
 3;0;  3
�
�
b  3
b3  3
�
A �3
D
c1  3
c1  3
�
�
uuuu
r uuu
r

�
B
C �
DC  AB � �
c2  3  0 �
c2  3 � C  3;3;0 
�
�
�
c3  0
c3  0
�
�
B C là: G  2;1;  2  .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác A��
A  2;3;1
B  5; 6; 2 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và
. Đường thẳng
AB cắt mặt phẳng

AM 1

A. BM 2 .

 Oxz 

AM
tại điểm M . Tính tỉ số BM .

AM
AM 1
2

B. BM
.
C. BM 3 .
Hướng dẫn giải

AM
3
D. BM
.


Chọn A
M � Oxz  � M  x ; 0 ; z 
uuur
AB   7 ; 3 ; 1 � AB  59
uuuu
r
AM   x  2 ;  3 ; z  1
và
�x  2  7 k
�x  9
�
�
��
3  3k � �
1  k

uuuu
r
uuu
r
�
�
A, B, M thẳng hàng � AM  k . AB  k ��
�z  1  k
�z  0 � M  9 ; 0 ; 0 
uuuu
r
BM   14 ;  6 ;  2  � BM  236  2 59
uuuu
r
AM   7; 3; 1 � AM  59

�

AM 1

BM 2 .
BÀI 2:

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Vấn đề II.1. Viết phương trình mặt phẳng
r
tuyến n .
Vấn đề II.2. Viết phương trình mặt phẳng
mặt phẳng

Câu 5:

(P )

chứa điểm

M ( x0;y0;z0 )

và có vectơ pháp

(P )

chứa điểm

M ( x0;y0;z0 )

và song song với

(Q ) .

A  1;3; 2 
Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt

 P  : 2 x  y  3z  4  0 là
phẳng
A. 2 x  y  3z  7  0 .

B. 2 x  y  3z  7  0 .

D. 2 x  y  3z  7  0 .

C. 2 x  y  3z  7  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Mặt phẳng

 Q
 Q

 P  : 2 x  y  3z  4  0 có dạng:
song song với mặt phẳng
 Q  : 2 x  y  3z  D  0,  D �4 

2.1  3  3.  2   D  0 � D  7 �4
ta có:
(thỏa mãn)
 Q  : 2 x  y  3z  7  0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Mặt phẳng

Câu 3:

đi qua điểm

A  1;3; 2 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A  2;  1; 1

lên các trục Ox, Oy, Oz . Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng

 MNP  có phương trình là
A. x  2 y  2 z  2  0 .
C. x  2 y  4  0 .

B. x  2 y  2 z  6  0 .
D. x  2 z  4  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B
M 2; 0; 0  , N  0;  1; 0  , P  0; 0; 1
Ta có: 
x y z
�  MNP  :    1 � x  2 y  2 z  2  0
2 1 1


Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng
x  2 y  2z  6  0 .

Vấn đề II.3. Viết phương trình mặt phẳng
đường thẳng d.
Câu 6:

Câu 7:

chứa điểm
:

M ( x0;y0;z0 )

và vuông góc với

x y z
 
1 1 2 vuông góc với mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng
nào trong các mặt phẳng sau?
 P  : x  y  z  0. B.    : x  y  z  0. C.    : x  y  2 z  0. D.  Q  : x  y  2 z  0.
A.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
r
r
n P 
   P  � u
cùng phương
với
.
uur
r
  n     1;1; 2 
 : u   1,1, 2 

Ta có VTCP của
, VTPT của
:

.
r
r
n
Suy ra u cùng phương với  P  .
A 1; 2; 1 B  1; 0; 2 
C 0; 2;1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 
,
và 
. Viết
phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC

A. x  2 y  z  4  0 .

B. x  2 y  z  4  0 .

C. x  2 y  z  6  0 .

Câu 8:

(P )

 MNP  có phương trình là:

D. x  2 y  z  4  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
uuur

BC   1; 2; 1
Ta có
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, đồng thời mặt phẳng đi qua
A  1; 2; 1
 x  1  2  y  2    z  1  0 � x  2 y  z  4  0
nên mặt phẳng cần tìm là: 
.
 P  đi qua điểm A  1; 2; 0 
Trong không gian với hệ trục Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
và vuông góc với đường thẳng
A. x  2 y – 5  0 .

d:

x 1 y z  1
 
2
1
1 .

B. 2 x  y – z  4  0 .
D. –2 x – y  z  4  0 .

C. –2 x – y  z – 4  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
d:

x 1 y z 1

 
2
1
1 nên

 P  vuông góc với đường thẳng
Cách 1: Vì phương trình mặt phẳng
r
P
n  2; 1; 1

véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
( P) : 2( x  1)  ( y  2)  ( z  0)  0 � 2x  y  z  4  0
Phương trình mặt phẳng
Quan sát nhanh các phương án ta loại trừ được phương án A vì không đúng véctơ pháp
Cách 2:
A  1; 2; 0  .
tuyến, ba phương án còn lại chỉ có mặt phẳng ở đáp án D là đi qua điểm
M ( x0;y0;z0 )
(P )

Vấn đề II.4. Viết phương trình mặt phẳng
hai mặt phẳng

Câu 5:

( Q ) ,( R ) .

chứa điểm

và vuông góc với

 P  qua điểm A  1;  3; 2  và vuông góc với
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng
hai mặt phẳng
A. y  3  0 .

   : x  3  0 ,    : z  2  0 có phương trình là
B. y  2  0 .

C. 2 y  3  0 .

D. 2 x  3  0 .


Hướng dẫn giải
Chọn A.

 P

có véctơ pháp tuyến là

uuur
uuur uuur
�
n P   �
n
�   , n   �  0;  1; 0 

A  1;  3 2  �  P  : y  3  0

(P )

chứa ba điểm A, B,C không thẳng hàng..
A 1;0; 0  B  0; 2; 0  C  0; 0;3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm 
;
;
. Phương
ABC 
trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng 
?

Vấn đề II.5. Viết phương trình mặt phẳng
Câu 9:

và qua

x y z

 1
A. 3 2 1
.

x y z
x y z
  1

 1

B. 2 1 3
.
C. 1 2 3
.
Hướng dẫn giải

x y z
 
1
D. 3 1 2
.

Chọn C.
x y z

 1
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A , B , C là: 1 2 3

Câu 6:

A  2;0;0  , B  0; 1;0 
C  0;0;3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
và
. Viết
phương trình mặt phẳng
A. 3 x  6 y  2 z  6  0 .

 ABC  .
B. 3x  6 y  2 z  6  0 .

D. 3x  2 y  2 z  6  0 .

C. 3 x  6 y  2 z  6  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có phương trình mặt phẳng

 ABC  :

x y z
   1 � 3x  6 y  2 z  6  0
2 1 3
.

Vấn đề II.6. Viết phương trình mặt phẳng
phẳng

Câu 4:

(Q ) .

(P )

chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt

   là mặt phẳng chứa đường thẳng  có phương
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi
x  2 y 1 z



1
2 và vuông góc với mặt phẳng    : x  y  2 z  1  0 . Giao tuyến của
trình 1



   đi qua điểm nào trong các điểm sau
và
A  2;1;1
C  1; 2;1
D  2;1;0 
B  0;1; 0 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
r
u
 1;1; 2 
Ta có véctơ chỉ phương của đường thẳng  là
r
  : x  y  2 z  1  0 n  1;1; 2 


Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
.
x  2 y 1 z




1
2 và vuông góc với
Vì
là mặt phẳng chứa đường thẳng  có phương trình 1
   : x  y  2 z  1  0 nên    có một véctơ pháp tuyến là
mặt phẳng
uur
r r
r
�  4; 4; 0   4  1; 1;0   4.a
n  �
u
,
n
� �
uu
r
r r
�
u

a

, n �  2; 2; 2   2  1;1;1
d     �  
Gọi
, suy ra d có véctơ chỉ phương là d � �
.
x  2 y 1 z


1
2 và mặt phẳng
Giao điểm của đường thẳng  có phương trình 1
   : x  y  2 z  1  0 là I  3; 2; 2  .


�x  3  t
�
d : �y  2  t
�z  2  t
�
Suy ra phương trình đường thẳng
.
A  2;1;1
Vậy
thuộc đường thẳng d .
(P )

chứa hai điểm A, B và song song với

Vấn đề II.7. Viết phương trình mặt phẳng
đường thẳng d .

Câu 7:

A  1;  1; 5  B  0; 0;1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
,
. Mặt phẳng chứa A, B và
song song với Oy có phương trình là:
A. 2 x  z  3  0 .

B. x  4 z  2  0 .
C. 4 x  z  1  0 .
Hướng dẫn giải

D. 4 x  z  1  0 .

Chọn C.
uuu
r
r
AB   1;1; 4 
j   0;1; 0 
Oy
Ta có
. Trục
có véctơ chỉ phương
.
r
uuur r
n�
AB, j �

�
�  4;0; 1 .
Suy ra mặt phẳng cần lập có véctơ pháp tuyến
4  x  1   z  5   0 � 4 x  z  1  0
Vậy mặt phẳng cần lập có phương trình
.
P
Vấn đề II.8. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa điểm M , vuông góc với mặt phẳng

(Q )

và song song với đường thẳng d .

Vấn đề II.9. Viết phương trình mặt phẳng
qua A.

(P )

chứa điểm A và đường thẳng d không

Vấn đề II.10. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b , viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b .

(P )

(Q ) , viết phương trình
P
Q
mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ( ) .
P

Q
Vấn đề II.12. Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) và cách
Vấn đề II.11. Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng

điểm M một khoảng bằng h > 0.

Vấn đề II.13. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và cách điểm A một
khoảng lớn nhất.
Vấn đề II.14. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều với hai đường thẳng
cho trước
( P ) song song và cách đều
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng
P

x- 2 y z
x y- 1 z- 2
= =
d2 : =
=
- 1
1 1 và
2
- 1
- 1
hai đường thẳng
( P) : 2 x - 2 z +1 = 0 .
( P ) : 2 y - 2 z +1 = 0 .
A.
B.
( P ) : 2 x - 2 y +1 = 0 .

( P) : 2 y - 2 z - 1 = 0 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có:
r
u1   1;1;1
A  2; 0;0 
d1
đi qua điểm
và có VTCP
.
r
u   2; 1; 1
B 0;1; 2 
d2
đi qua điểm 
và có VTCP 2
d1 :


r

r r

n  [u1 , u2 ]   0;1; 1
P
P
d

d
Vì   song song với hai đường thẳng 1 và 2 nên VTPT của   là
P
Khi đó   có dạng y  z  D  0
� loại đáp án A và C.

Lại có
Do đó

 P

cách đều

d1

và

d2

nên

 P  : 2 y  2z  1  0

 P

� 1 �
M�
0; ;1�
� 2 �của AB
đi qua trung điểm

Vấn đề II.15. Viết phương trình mặt phẳng chắn các trục Ox , Oy , Oz và thỏa điều kiện
cho trước.
Câu 2:


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng   chắn các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A, B, C sao cho H  3;  4; 2  là trực tâm của tam giác ABC . Phương trình mặt phẳng    là
A. 2 x  3 y  4 z  26  0 .
B. x  3 y  2 z  17  0 .

C. 4 x  2 y  3 z  2  0 .
D. 3x  4 y  2 z  29  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi CK , AM là hai đường cao của tam giác ABC .
Suy ra H  AM �CK .
AB   OKC  � AB  OH �
�
�� OH   ABC 
BC   AOM  � BC  OH �
Ta có:
uuur
ABC 

OH
H
Mặt phẳng
đi qua điểm
và nhận

làm một VTPT
ABC 
Nên mặt phẳng 
có phương trình: 3 x  4 y  2 z  29  0 .
Câu 3:

B C D có A trùng với
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
(0;0; n) với m, n  0 và m  n  4 . Gọi M là
gốc tọa độ O , các đỉnh B (m;0; 0) , D(0; m;0) , A�
M đạt giá trị lớn nhất bằng
trung điểm của cạnh CC �
. Khi đó thể tích tứ diện BDA�
245
9
64
75
A. 108 .
B. 4 .
C. 27 .
D. 32 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
n�
�
C (m; m; 0), C �
(m; m;; n), M �
m; m; �
�
2�

Tọa độ điểm
uuur
uuur
uuuu
r �
n�
BA�
  m;0; n  , BD    m; m;0  , BM  �
0; m; �
�
2�
uuur uuur
2
�
BA�
, BD �
�
�  mn;  mn;  m 
r m2n
1 uuur uuur uuuu
�
�
VBDA�M  �
BA
,
BD
.
BM

�

�
6
4
3

�m  m  2n � 512
m.m.(2n) �
�
�
� 3
� 27
Ta có
64
64
�
VBDA�M
maxVBDA�M
27
27
BÀI 3:
Vấn đề III.1.

m 2n

256
27

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ

phương cho trước.


Câu 6:

A  2; 1;0  , B  1; 2; 2 
C  3;0; 4 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
và
.
Viết phương trình đường trung tuyến đỉnh A của tam giác ABC .
x  2 y 1 z
x  2 y 1 z




1
3 .
2
3.
A. 1
B. 1
x  2 y 1 z
x  2 y 1 z




2

3 .
2
3.
C. 1
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
uuuu
r
M  1;1; 3
AM
  1; 2; 3  1.  1; 2;3
Gọi
là trung điểm của cạnh BC , ta có
là VTCP của
x  2 y 1 z
AM :


1
2
3
đường thẳng nên

Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm ( 0 0 0 ) và vuông góc với
hai đường thẳng a,b cho trước.
Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
M x ;y ; z

Vấn đề III.2.

Vấn đề III.3.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng x  y  3z  1  0
và 3 x  7 z  2  0 . Một vectơ chỉ phương của  là
r
r
r
r
u   7;16;3  .
u   7;0; 3 .
u   4;1; 3  .
u   0; 16;3 .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vectơ chỉ phương của  chính là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đã
cho.
Vấn đề III.4. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
(P )
D

trên mặt phẳng
.
Vấn đề III.5.
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , cắt hai đường thẳng a và b .
Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  3;3; 2  và hai đường thẳng
d1 :

x 1 y  2 z
x 1 y 1 z  2
d2 :




1
3
1;
1
2
4 . Đường thẳng d qua M cắt d1 , d 2 lần lượt A

và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB .
A. AB  1 .

B. AB  3 .

C. AB  6 .
Hướng dẫn giải

D. AB  5 .

Chọn .B
A �d1 � A  1  a; 2  3a; a  , B �d 2 � B  1  b;1  2b; 2  4b 
Ta
uuurcó
uuur

MA   a  2;3a  1; a  2  , MB   b  4; 2b  2; 4b  4 
Ta có A, B, M thẳng hàng nên:
��
a0
�
a  2  k  b  4 
5ab  10a  5b  0
�
�
�
uuur
uuur
�
� 10
�
MA  k MB  k �� � �
3a  1  k  2b  2  � �
5ab  7 a  4b  0 � ��
a
� 9
�
�
�
a  2  k  4b  4 
a  2  k  4b  4 
�
�
�
a  2  k  4b  4 
�

uuur
a  0 � b  0 � A  1; 2;0  , B  1;1; 2  � AB  3

Với
Với

a

10
19 16 10 �
�
� b  20 � A � ; ; �
, B  21; 41;32 
9
�9 3 9 �


Vấn đề III.6.
Vấn đề III.7.

Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng D , cắt cả hai
đường thẳng a và b.
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A , vuông góc với đường thẳng
a và cắt đường thẳng b cho trước.

Vấn đề III.8.

Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm A , song song với mặt phẳng
P
và cắt đường thẳng b tại B .

Vấn đề III.9.

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
thẳng a,b.

Vấn đề III.10.

 

(P )

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng
góc với một đường thẳng a cho trước.

cắt hai đường

 P  , cắt và vuông

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng
   : x  y  z  3  0 đồng thời đi qua điểm M  1; 2;0  và cắt đường thẳng
x  2 y  2 z 3
d:


2
1
1 . Một vectơ chỉ phương của  là
r
r

r
r
u   1;1;  2 
u   1;0;  1
u   1;  1;  2 
u   1;  2;1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:
A  2  2t; 2  t ; 3  t  �d
Gọi
là giao điểmr của  và d .
uuur
MA   1  2t; t; 3  t 
   là n     1;1;1 .
,
VTPT
của
uuur r
uuur r
 �   � MA  n   � MA . n    0 � 1  2t  t  3  t  0 � t  1
Ta có:

.
uuur
uu
r
� MA  1;  1; 2   1 1; 1;  2 
u   1; 1;  2 
. Vậy d
.
Cách 2:
B  d �  
Gọi
.
B �d � B  2  2t; 2  t; 3  t 
.
B �   � 2  2t  2  t  3  t  3  0 � t  1 � B  0;1; 2 
.
uuuu
r
uu
r
BM  1;1;  2  � ud  1;1;  2 
.
Vấn đề III.11.
Viết phương trình đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo
nhau a và b .
Câu 1:

Vấn đề III.12.
Vấn đề III.13.
Vấn đề III.14.

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) và cắt cả
hai đường a,b .
Viết phương trình đường thẳng d qua M , cắt và vuông góc với đường
thẳng a cho trước.
Viết phương trình đường thẳng d chứa điểm A , vuông góc với đường
thẳng b và cách điểm M một khoảng h > 0.
P

Vấn đề III.15.
BÀI 4:

Vấn đề IV.1.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
Viết phương trình ngoại tiếp tứ diện ABCD .


Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  1;3; 1 , B  2;1;1 , C  4;1;7  . Tính
bán kính R của mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B, C .
R

A.

83
2 .

B.

77
115
R
2 .
2 .
C.
Hướng dẫn giải

R

D.

R

9
2.

Chọn A.
2
2
2
Phương trình mặt cầu có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0 điều kiện
a2  b2  c2  d  0 .

Theo bài ra ta có hệ

� 3
a
�

2
2a  6b  2c  d  11
�
�
5
�
�
4a  2b  2c  d  6
b
�
�
�� 2
�
8a  2b  14c  d  66
�
� 7
c
�
�
d

0
�
� 2
�
d 0
�

R  a 2  b2  c2  d 

83
2

P
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) . Tìm tọa
độ tiếp điểm.

Vấn đề IV.2.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có
tâm

I  1; 2; 1

và tiếp xúc với mặt phẳng

 P  : x  2 y  2z  8  0 ?

2
2
2
x  1   y  2    z  1  3

A.
.

C.

2
2

2
x  1   y  2    z  1  3

B.

 x  1 2   y  2  2   z  1 2  9

 x  1   y  2    z  1  9
D.
Hướng dẫn giải
2

2

2

Chọn C.
Gọi mặt cầu cần tìm là ( S ) .
Ta có ( S ) là mặt cầu có tâm I (1; 2; 1) và bán kính R .
Vì ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x  2 y  2 z  8  0 nên ta có
R  d ( I ; ( P )) 

1  2.2  2.( 1)  8
12  (2)2  (2)2

3

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
Câu 12: Viết phương trình mặt cầu có tâm
A.

.

 x  1

I  1; 2; 3

2

  y  2    z  1  9
2

2

và tiếp xúc với mặt phẳng

 x  1 2   y  2  2   z  3 2  3 .

B.

2
2
2
x  1   y  2    z  3  9

C.
.

.

 P  : 2x  y  2z  1  0 .

 x  1 2   y  2  2   z  3 2  4 .

2
2
2
x  1   y  2    z  3  2

D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Khoảng cách từ từ I
Phương trình mặt cầu

 P  là
đến
 x  1

2

d  I, P  

2.  1  2  2.3  1
22   1   2 
2

  y  2    z  3  9
2

2

.

2

3

.


Câu 9:

A 1;1;3 , B  1;3; 2  , C  1; 2;3 
Trong không gian Oxyz , cho các điểm 
. Tính bán kính r của
ABC 
mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng 
.

A. r  3 .
B. r  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur
uuur
AB   2; 2; 1 , AC   2;1;0 

Ta có
.

C. r  6 .

D. r  2 .

uuur uuur

AB, AC �
ABC  �
�  1; 2; 2  .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
: �
Phương trình mặt phẳng
 ABC 

Câu 4:

x  1  2  y  1  2  z  3  0 � x  2 y  2 z  9  0

.
9
r  d O , ABC     3
3
Bán kính mặt cầu cần tìm:
.
 S  đi qua điểm A  2; 2;5 và tiếp
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
xúc với các mặt phẳng

A. 3 .

:

   : x  1 ,    : y  1 ,    : z  1 . Bán kính mặt cầu  S 
C. 3 2 .
Hướng dẫn giải

B. 1 .

bằng

D. Không tồn tại.

Chọn A.
I  a; b; c 
Gọi
là tâm mặt cầu.
�a  1  b  1 (*)
�
�
�a  1  c  1 (**)
�
2
2
2
2
a  1   a  2    b  2    c  5  (***)

�

Ta có:
.
b


c
�
�
bc2 0
Từ (*) (**) � �
Xét b  c :

ac
�
�
ac  2
- Từ (**) � �
2
a  c thay vào (***) �  c  1   c  2    c  2    c  5 � 2c  16c  32  0 � c  4
2

2

2

2

- Với
� a  c  b  4 � R  a  1  3
Câu 5:

Tương tự các trường hợp khác cũng vô nghiệm
A  0;0;1 B  m;0;0  C  0; n;0  D  1;1;1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét các điểm
,
,
,
với m  0; n  0 và m  n  1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp
xúc với mặt phẳng
A. R  1 .

 ABC 
B.

và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?
R

2
2 .

R

C.
Hướng dẫn giải

3
2.

Chọn A.
Gọi I (1;1;0) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy )

Ta có:
x y
  z 1
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là: m n

D.

R

3
2 .


Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC ) là nx  my  mnz  mn  0
1  mn
d ( I , ( ABC )) 
1
m2  n 2  m2n 2
Mặt khác
(vì m  n  1 ) và ID  1  d ( I , ( ABC ))
Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với

( ABC ) và đi qua D
Khi đó R  1
Vấn đề IV.3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d . Tìm
Vấn đề IV.4.

Vấn đề IV.5.
Vấn đề IV.6.

tọa độ tiếp điểm.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I , cắt đường thẳng d tại A, B sao cho
AB = 2b > 0 . Tìm tọa độ hai điểm A, B.

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( ) theo theo một đường
tròn có bán kính r . Tìm tọa độ tâm của đường tròn này.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với
P

mặt phẳng

( P ) tại H .

 S  có tâm I thuộc đường thẳng
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
x y3 z


1
1
2 . Biết rằng mặt cầu  S  có bán kính bằng 2 2 và cắt mặt phẳng  Oxz  theo
một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tọa độ của điểm I .
:

A.
C.

I  5; 2;10  , I  0; 3;0 
I  1; 2; 2  , I  5; 2;10 

.
.

B.

I  1; 2; 2  , I  0; 3;0 

.
I  1; 2; 2  , I  1; 2; 2 

D.
Hướng dẫn giải

.

Chọn C.

 Oxz  : y  0 .
Mặt phẳng
I
x y 3 z
I � : 
 � I  t ; 3  t ; 2t 
1 R 1
2

 Oxz  .
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng
H
r

R, r lần lượt
là bán kính mặt cầu và bán kính đường
tròn giao tuyến. Theo bài ta có

IH  d  I ,  Oxz    R 2  r 2  8  4  2

t 1
3  t
�
2� �
t 5 .
1
�
t  1 � I  1; 2; 2 
t  5 � I  5; 2;10 
Với
, với
.
�

Vấn đề IV.7.
Vấn đề IV.8.
Vấn đề IV.9.

( P ) tại điểm M .
Viết phương trình mặt cầu có bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng
Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và qua hai điểm A, B .
( P ) và tiếp xúc với mặt phẳng
Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng
(Q ) tại M .

BÀI 5:

Dạng 1.
Câu 8:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng

 P  :3x  y  z  4  0,  Q  :3x  y  z  5  0 và  R  :2 x  3 y  3z  1  0 . Xét các mệnh đề (1):
 P  P Q  và (2):  P    R  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.(1) đúng, (2) sai.
C. (1) đúng, (2) đúng.

B. (1) sai, (2) đúng.
D. (1) đúng, (2) sai.
Hướng dẫn giải

Chọn
uurC uur
n  nQ
M  0; 0; 4  � P 
Q
P PQ
Do P
nhưng không thuộc   nên     vậy (1) đúng.

uu
rvà
uu
r
P  R
Mặt khác nP .nR  0 nên     nên (2) đúng.Vậy (1) và (2) đúng.
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4 x  4 y  2 z  7  0 và 2 x  2 y  z  1  0
chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là
9 3
64
V
2
27
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Theo bài ra hai mặt phẳng 4 x  4 y  2 z  7  0 và 2 x  2 y  z  1  0 chứa hai mặt của hình lập
phương. Mà hai mặt phẳng ( P) : 4 x  4 y  2 z  7  0 và (Q) : 2 x  2 y  z  1  0 song song với
V

27
8

V

81 3
8

V

nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương.
Ta có M (0;0; 1) �(Q) nên

d ((Q), ( P ))  d ( M , ( P)) 

2  7
4  (4)  2
2

2

2



3
2

3

�3 � 27
V  � �
�2 � 8 .
Vậy thể tích khối lập phương là:
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng
x 1 y  2 z 1



2
1
1 song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  m  0 .
A. m �0 .
B. m  0 .
C. m ��.
D. Không có giá trị nào của m .
Chọn A.
�x  1  2t
�
 : �y  2  t
�z  1  t
�
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng
, thay vào phương trình mặt
 P  : x  y  z  m  0 � 1  2t  2  t  1  t  m  0 � 0.t  m .
phẳng
 P  , phương trình này phải vô nghiệm hay m �0 .
Để  song
r song với mặt phẳng
r
u  2; 1;1
n
 1;1; 1 là vectơ pháp tuyến của  P  ,
Cách 2:
là vectơ chỉ phương của  ,
M  1; 2; 1 �
.
r r
�

un
�
 //  P  � �
�M � P  � m �0 .
:


Câu 9:

 P  : 2 x  y  0 . Trong bốn mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P ?
sau mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng
 P  : x  2 y  z 1  0 .
 P  : 2x  y  z 1  0 .
A. 1
B. 3
 P  : x  y  z 1  0 .
 P  : 2 x  y  0 .
C. 2
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai véctơ pháp tuyến vuông góc.
Dạng 2.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Dạng 3.

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d:

x 1 y z  5


1
3
1 và mặt phẳng

 P  : 3x  3 y  2 z  6  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. d cắt và không vuông góc với
 P .
C. d song song với

 P .

 P .

B. d vuông góc với
 P .
D. d nằm trong
Hướng dẫn giải

Chọn A

r
M  1 ; 0 ; 5 
u   1;  3;  1
 P  có vtpt
d
Ta có đường thẳng
đi qua
có vtcp
và mặt phẳng
r
n   3;  3; 2 
M � P  �
loại đáp án D.
r r
n , u không cùng phương � loại đáp án B.
r r
r r
n . u  10 � n , u không vuông góc � loại đáp án C.

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 2 x  5 y  3z  7  0 và đường thẳng
x  2 y z 1


2
1
3 . Kết luận nào dưới đây là ĐÚNG ?
A. d / /( P)
B. d cắt ( P)
C. d  ( P)
d:

Hướng dẫn giải
Chọn D
r
( P) có một VTPT n  (2; 5; 3) .
r
d có một VTCP n  (2; 1;3) và đi qua A(2;0; 1)
rr
n
Ta có .u  0 nên d / /( P) hoặc ( P) chứa d .
Mặt khác A(2; 0; 1) �( P) ( P) chứa d .

D. ( P) chứa d .

2 x  2 y  1 3z  6
d:


 m, n �0 
Oxy
3n
4
2m
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và
 
mặt phẳng P : 3x  4 y  2 z  5  0 . Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  thì
m  n bằng
A.1 .

B. 1 .
C. 3 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
r
(
P
)
n
VTPT của mặt phẳng
là   3; 4; 2 


r �3n
2m �
u  � ; 4;
�
3 �
�2
VTCP của đường thẳng d là
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P 

�

m  3
�
n
m
1  � �

� m  n  1
n2
2
3
�

�x  2  3t
�
 : �y  4  2t
�z  3  t
�
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng
cắt các mặt phẳng Oxy ,
Oxz lần lượt tại các điểm M , N . Độ dài MN bằng
B. 14 .

A. 3 .

C. 3 2 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn B.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
�x  2  3t
�x  11
�y  4  2t
�y  2
�

�
��
� M (11; 2;0)
�
�z  3  t
�z  0
�
�
t 3
�z  0
�
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình
�x  2  3t
�x  8
�y  4  2t
�y  0
�
�
��
� N (8;0; 1)
�
�z  3  t
�z  1
�
�
t2
�y  0
�
Độ dài

MN  (8  11)2  22  (1)2  14

Câu 15: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng

 P  : x  4 y  9 z  9  0 . Giao điểm
A.

I  2; 4; 1

.

B.

I  1; 2;0 

d : x 1 

I của d và  P  là

.

I  1; 0; 0 
C.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D.

�x  1  t
y2 z4

�
d : x 1 

� d : �y  2  2t
2
3
�z  4  3t
�
Ta có:
.
 P  là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ giao điểm của d và
t  1
�x  1  t
�
�y  2  2t
�x  0
�
�
��
�
�z  4  3t
�y  0
�
�
�x  4 y  9 z  9  0
�z  1 .
Suy ra:

d � P   I  0;0;1

.

y2 z4

2
3 và mặt phẳng

D.

I  0; 0;1

.


A  3;  1; 2  B  4;  1;  1 C  2; 0; 2 
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
và
đường thẳng

d :

x y  2 z 3


1
3
1 . Gọi M là giao điểm của đường thẳng  d  và mặt phẳng

 ABC  . Độ dài đoạn thẳng OM bằng
A. 2 2 .

B. 3 .
uuur
uuur
AB   1; 0;  3 , AC   1;1; 0 

C. 6 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Ta có:
.
qua A  3;  1; 2 
�
uuu
r uuur
�  P  : 3x  3 y  z  8  0
 P : �
�r
�  3; 3; 1
n�
AB
,
AC
�
�

� �
.

M � d  � M  t ;  2  3t ; 3  t 

.
M � P  � 3t  3  2  3t   3  t  8  0 � t  1

M  1;1; 2 
Suy ra
. Vậy OM  6 .
Chọn đáp án C.
BÀI 6:

.

GÓC

1. Góc giữa hai mặt phẳng
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

   : x  y  2 z  1  0 và đường thẳng
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x y z 1
 
1 2
1 . Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng    bằng
A. 30�.
B. 60�.
C. 150�.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur
uur
n     1;  1; 2  u   1; 2;  1
Ta có
,
.
1 2  2 1
sin     ,   
 �     ,    30�
2
6 6
Suy ra

:

D. 120�.

3. Góc giữa hai đường thẳng
BÀI 7:

KHOẢNG CÁCH

BÀI 8:

Câu 6:

CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M  1;1; 2  , mặt phẳng  P  qua M cắt

các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C .( A , B , C có tọa độ dương ).Gọi VOABC là
thể tích tứ diện OABC . Khi  P  thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của VOABC .
A.

min VOABC 

9
2.

B. min VOABC  18 .
C. min VOABC  9 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Giả sử A(a; 0; 0), B  0; b; 0  , C  0;0; c   a, b, c  0 

D.

min VOABC 

32
3 .


Mặt phẳng

( P) :

x y z
  1

a b c

1 1 2
2
 � 1 3 3
abc
Do M �( P) nên a b c
1
VOABC  abc �9
6
. Vậy min VOABC  9 .
Câu 7:

abc 54

2�
�2
M � ;  2;  �
5�
�5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3; 0), B(0;  2;0),

và đường thẳng
dài CM bằng

�x  t
�
d : �y  0 .
�z  2  t
�

A. 2 3.

Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất thì độ

B. 4.

2 6
.
D. 5

C. 2.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC  CB nhỏ nhất.
Vì

C �d � C  t ;0; 2  t  � AC 







2t  2 2



2



2





 9, BC 

2t  2



2

4

2

� AC  CB 
2t  2 2  9 
2t  2  4.
r
r
r r r r
u  2t  2 2;3 , v   2t  2; 2
u  v �u  v

Đặt
áp dụng bất đẳng thức



�



2t  2 2





2

9 





2t  2



2



4 �



2 2 2



2

 25.
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2

2t  2 2 3
7
�7 3 �
�2 7 �
� 2 3�
 � t  � C � ; 0; �� CM  �  � 2  �
  �  2.
5
 2t  2 2
�5 5 �
�5 5 �
� 5 5�
 

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 2 x  y  1  0 và điểm I (4; 1; 2) .

Mặt phẳng  Q  vuông góc với hai mặt phẳng ( P) và  Oxy  , đồng thời  Q  cách điểm I một
khoảng bàng 5 . Mặt phẳng  Q  có phương trình là
A. x  2 y  1  0 hoặc 2 x  y  4  0 .
B. x  2 y  7  0 hoặc x  2 y  3  0 .
C. y  2 z  10  0 hoặc y  2 z  0 .

D. 2 x  y  2  0 hoặc 2 x  y  12  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

uur
nP   2; 1; 0 
(
P
)
VTPT của mặt phẳng
là r
VTPT của mặt phẳng (Oxy ) là k   0; 0;1
uur uur r
n
�
n , k � (1; 2;0)
VTPT của mặt phẳng (Q ) là Q �P �

Phương trình mặt phẳng  Q  : x  2 y  D  0
Theo bài ra ta có:
D25

D3
�
�
42 D
d  I ;(Q )   5 �
 5��
��
D  2  5 �
D  7
5
�


Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

 S

là mặt cầu đi qua A,

A  3;  1; 2  B  1; 1;  2  M  1; 1;1
,
,
. Gọi

B và có tâm thuộc trục Oz ,  P  là một mặt phẳng thay đổi và đi

 S  đến mặt phẳng  P  là
qua M . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ tâm của mặt cầu

2
.
B. 2

A. 1.

D. 3.

C. 2.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
I �Oz � I  0; 0; t 
A, B � S  � IA2  IB 2 � 9  1   2  t   1  1   2  t  � 8t  8 � t  1 � I  0; 0;1
2

Ta có:

d  I ,  P    IH �IM

Dấu “  ” xảy ra

 P  qua M  1; 1;1 và vuông góc với IM
Suy ra
d I ,  P    IM  2
Vậy 

2

H

M