LAN 2 VIP HHGT KG

Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:
Câu 1:

TA NHẬN BIẾT MỨC ĐỘ THÔNG QUA MÀU QUY ƯỚC.
MÀU NHẬN BIẾT
MÀU THÔNG HIỂU
MÀU VẬN DỤNG THÂP
MÀU VẬN DỤNG CAO

BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Oxyz
.

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức

A ( 2;0;0 ) B ( 0; 2; 0 ) C ( 0;0; 2 )
Oxy
M
Câu 2: Cho
,
,
. Tập hợp các điểm
trên mặt phẳng
sao cho
uuur uuur uuuu
r2
MA.MB + MC = 3
là

A. Tập rỗng.
B. Một mặt cầu.
C. Một điểm.
D. Một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
M ∈ ( Oxy )
M ( x; y;0 )
Điểm uuur
nên
uuur .
uuuu
r
MA = ( 2 − x; − y; 0 ) MB = ( − x; 2 − y;0 ) MC = ( − x; − y; 2 )
Ta có:
;
;
uuur uuur uuuu
r2
MA.MB + MC = x 2 − 2 x + y 2 − 2 y + x 2 + y 2 + 4

Do đó

uuur uuur uuuu
r2
1
MA.MB + MC = 3 ⇔ 2 x 2 + 2 y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 ⇔ x 2 + y 2 − x − y + = 0
2

A ( 3;5;0 )

( P ) : 2x + 3 y − z − 7 = 0

.

M
và mặt phẳng
. Tìm tọa độ điểm
là điểm đối
( P)
A
xứng với điểm
qua
.
M ( −1; −1; 2 )
M ( 0; −1; −2 )
M ( 2; −1;1)
M ( 7;1; −2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A ( 3;5; 0 )
( P) .

∆
Gọi là đường thẳng qua
và vuông góc với mặt phẳng
 x = 3 + 2t

∆ :  y = 5 + 3t
 z = −t

Phương trình tham số
.
( P)
H
∆
H
Gọi
là giao điểm của
và
, suy ra tọa độ
là nghiệm hệ:
 x = 3 + 2t
x = 1
 y = 5 + 3t
y = 2


⇔
2
3
+
2

t
+
3
5
+
3
t
+
t
−
7
=
0
⇔
(
) (
)


 z = −t
z = 1
2 x + 3 y − z − 7 = 0
t = −1
.

Câu 3: Cho điểm


Ta có

H

là trung điểm của

MA

M ( −1; −1; 2 )
nên

Oxyz

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ

.

d:

x +1 y −1 z
=
=
2
−1 2

, cho đường thẳng
và hai điểm
A(1;5;0) B (3;3;6)
M ∈d
MAB
,
. Điểm

sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất có tọa độ là
M ( 0;1;2 ) .
M ( 2;1;0 ) .
M ( 1;0;2 ) .
M ( −3;2; −2 ) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Tự luận
uuu
r
uuur
AB = ( 2; −2;6 ) ; AM = ( 2t − 2; −t − 4;2t )
M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t;1 − t;2t )
Ta có điểm
. Suy ra
.
uuu
r uuur
 AB, AM  = ( 2t + 24;8t − 12; 2t − 12 )


Nên
1
1
2

⇒ S ∆ABM =
72t 2 − 144t + 864 =
72 ( t − 1) + 11 ≥ 3 22 ⇒ t = 1 ⇒ M 1;0;2
(
)


2
2
,
.
Cách 2: Trắc nghiệm
Thế 4 điểm ở 4 đáp án vào đường thẳng đã cho, ta loại đáp án A, B.
1 uuur uuur
S∆MAB =  AB, AM 

2
Còn đáp án C, D. Ta tính diện tích tam giác theo công thức
, ở phương
án nàocho diện tích nhỏ nhất ta chọn được phương án C.
Oxyz ,
A ( 1; −1;1) , B ( 2;1; −2 ) , C ( 0;0;1)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
. Gọi
H ( x; y; z )
x+ y+z
ABC
là trực tâm tam giác
thì giá trị

là kết quả nào dưới đây?
1.
−1.
0.
−2.
B.
C.
D.
A.
Hướng dẫn giải
Chọn A.uuur
uuur
AH = ( x − 1; y + 1; z − 1) BH = ( x − 2; y − 1; z + 2 )
Tọaucó
;
.
uur
uuur
uuu
r
BC = ( −2; −1;3) AC = ( −1;1;0 ) AB = ( 1; 2; −3 )
Và
;
;
.
uuur uuur
 AH .BC = 0
 −2 x − y + 3z = 2
 uuur uuur


⇔ − x + y = −1
 BH . AC = 0
r uuur uuur
 uuu


x + y + z = 1
AB
, AC  . AH = 0


ABC

H
Để
là trực tâm tam giác
khi và chỉ khi
x + y + z =1
Vậy từ phương trình cuối của hệ ta có
.
A ( 1; 2; −1)
Oxyz ,
ABCD. A′B′C ′D′
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hình hộp
có
,
C ( 3; −4;1) B′ ( 2; −1;3 )
D′ ( 0;3;5 ) .
D ( x; y; z )

x + 2 y − 3z
,
và
Giả sử tọa độ
thì giá trị của
là kết
quả nào dưới đây?


1.

B.

A.

0.

2.

C.
Hướng dẫn giải

D.

3.

Chọn B.
I
I'
Gọi và

lần lượt là tâm của cáchình bình
hành

ABCD

Khi đó

và

A' B 'C ' D '

I ( 2; −1;0 )

.

I ' ( 1;1; 4 )
và

. uuur uuuuu
r
I 'I = D'D
Theo tính chất của hình hộp suy ra

x = y = z =1

suy ra

x + 2 y − 3z = 0

. Khi đó

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ

A ( 1;3;5 ) , B ( 2;0;1) , C ( 0;9;0 ) .

Oxyz ,

cho ba điểm

Tìm trọng

G
ABC .
tâm
của tam giác
G ( 3;12;6 ) .
G ( 1;5; 2 ) .
G ( 1; 0;5 ) .
G ( 1; 4; 2 ) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
x A + xB + xC 1 + 2 + 0

=
=1
 xG =

3
3

y A + yB + yC 3 + 0 + 9

=
=4
 yG =
3
3

z A + z B + zC 5 + 1 + 0

=
=2
 zG =
⇒ G ( 1; 4; 2 )
3
3

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có
uuuu
r
M ( 3;1;0 )
MN = ( −1; −1;0 ) .
Oxyz ,
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và
Tìm tọa độ

N.
của điểm
N ( 4; 2; 0 ) .
N ( −4; −2; 0 ) .
N ( −2; 0; 0 ) .
N ( 2; 0; 0 ) .
B.
C.
D.
A.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
uuuu
r
N ( x; y ; z )
MN ( x − 3; y − 1; z )
Gọi
là điểm cần tìm. Ta có:
.
 x − 3 = −1  x = 2


 y − 1 = −1 ⇔  y = 0 ⇒ N ( 2;0; 0 )
z = 0
z = 0


Khi đó theo giả thiết ta có:
.
M ( 3; −2;3) , I ( 1; 0; 4 ) .

Oxyz ,
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai điểm
Tìm tọa độ điểm
N
MN
.
I
sao cho là trung điểm của đoạn
7

N  2; −1; ÷.
N ( 5; −4; 2 ) .
N ( −1; 2; 5 ) .
N ( 0; 1; 2 ) .
2

B.
C.
D.
A.


Hướng dẫn giải
Chọn D.
N ( x; y; z )
MN
I
Giả sử
. Do là trung điểm của

nên
xM + xN

 xI =
2
 xN = 2 xI − xM
 x N = −1

yM + y N



⇔  yN = 2 yI − yM ⇔  yN = 2 ⇒ M (−1; 2;5)
 yI =
2

 z = 2z − z
z = 5
I
M
 N
 N
zM + z N

z
=
 I
2


Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ

A ( 0; −2; −1)

Oxyz

, cho các điểm
M
AB
MA = 2 MB
điểm
thuộc đoạn
sao cho
là
2
4
1
3
1




M  ; − ; 1÷
M  ;− ; ÷
M ( 2; 0; 5 )
2 2 2
3 3 
A.
.

B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có:

B ( 1; −1; 2 )
và

. Tọa độ

M ( −1; −3; −4 )
D.

2

 xM = 3
 xM − x A = 2( xB − xM )
3xM = 2 xB + x A

4


⇔  yM − y A = 2( yB − yM ) ⇔ 3 yM = 2 yB + y A ⇔  yM = −
3
 z − z = 2( z − z )
3z = 2 z + z


uuuu
r
uuur
 M
A
B
M
 M
B
A
 zM = 1
AM = 2 MB

.

.

A ( 1; −1;1) B ( 3;1; 2 ) D ( −1; 0;3 )
C
Câu 4: Trong không gian
cho ba điểm
,
,
. Xét điểm
sao cho
ο
ABCD
C
45

AB CD
tứ giác
là hình thang có hai đáy
,
và có góc tại
bằng
. Chọn khẳng định
đúng trong bốn khẳng định sau:
7

C  0;1; ÷
2

C
A. Không có điểm
như thế.
B.
.
C ( 5; 6;6 )
C ( 3; 4;5 )
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
B
A
Oxyz

D

uuur
AB = ( 2; 2;1)
Ta có

.

H

C


(α)
Phương trình mặt phẳng
⇔ 2 x + 2 y + z − 10 = 0
.

vuông góc với

• Phương trình đường thẳng
 x = −1 + 2t

d :  y = 2t
z = 3 + t

H ( x; y; z )

d

AB

B 2 ( x − 3) + 2 ( y − 1) + ( z − 2 ) = 0
tại :
D ( −1; 0;3)

đi qua điểm

và song song với

AB

là

.

DC
B
chân đường cao hạ từ đỉnh
xuống vuông góc với
. Suy ra tọa độ
2 x + 2 y + z − 10 = 0
x = 1
 x = −1 + 2t


⇔  y = 2 ⇒ H ( 1; 2; 4 )

 y = 2t


z = 4
 z = 3 + t
H ( x; y; z )
là nghiệm của hệ phương trình:
.
HBC
H ⇒ HB = HC
• Khi đó tam giác
vuông cân tại
.
C ( 3; 4;5 )
C
• Lần lượt thay tọa độ ở đáp án, ta được điểm
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Gọi

HB = HC ⇔

( 3 − 1)

2

+ ( 1 − 2) + ( 2 − 4) =
2

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ

2

( 3 − 1)

Oxyz

, cho hình hộp

2

+ ( 4 − 2) + ( 5 − 4) ⇔ 3 = 3
2

2

ABCD. A′B′C ′D′

B ( 2;1; 2 ) C ′ ( 4;5; −5 ) , D ( 1; −1;1)
A′
,
. Tọa độ của đỉnh
là:
( 5; −5; −6 )
( 3;5; −6 )
( −5; −5; 6 )
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải:

Chọn
uuur Buuu
r
DC = AB ⇒ ( xC − 1; yC + 1; zC − 1) = ( 1;1;1) ⇒ C ( 2; 0; 2 )

.
A ( 1; 0;1)
. Biết

,

( −5;5; −6 )
D.

.

uuur uuuu
r
AA′ = CC ′ ⇒ ( x A ' − 1; y A ' ; z A ' − 1) = ( 2;5; −7 ) ⇒ A′ ( 3;5; −6 )

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

( α ) : 2 x + 3 y + z − 17 = 0

mặt phẳng
( 0; 0;9 ) .
A.
Chọn B.

M ∈ Oz ⇒ M ( 0, 0, c )

( 0; 0;3) .
B.

, tìm trên trục

Oz

điểm

M

A ( 2;3; 4 )

cách đều điểm

( 0;0; −3) .

C.
Hướng dẫn giải

( 0;0; −9 ) .
D.

và


Theo ycbt , có

MA = d  M , ( α ) 

⇔ 4 + 9 + ( c − 4) =
2

c − 17
14

⇔ 14 ( c 2 − 8c + 29 ) = ( c − 17 )

2

⇔c =3

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
Tìm tọa độ điểm
M ( −2;1; 0 ) .
A.

M

A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4; −3)

Oxyz

, cho ba điểm
uuur uuur uuuu
r
MA
+

MB
+
MC
Oxy
(
)

nằm trên mp
sao cho
M ( −2; −1; 0 ) .
M ( 2;1; 0 ) .
B.
C.
Hướng dẫn giải

C ( 4; 2;5 )

và

.

có giá trị nhỏ nhất
M ( 2; −1;0 ) .
D.

Chọn C.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuu
r uuuu

r uuur uuuu
r uuur
MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC
Có :
uuuu
r uuu
r uuur uuur
3MG + GA + GB + GC
=

uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0

Tìm G sao cho :
uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC
Từ đó :
uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC

G

hay
uuuu
r
3MG = 3.MG

là trọng tâm

∆ABC

G ( 2;1;3)

. Khi đó :

=

MG

( Oxy )

M

nhỏ nhất khi và chỉ khi
nhỏ nhất . Mà
nằm trên mp
vậy M là
M ( 2;1;0 ) .
( Oxy )
hình chiếu của G lên
hay
A ( 1; 0;3) , B ( 2;3; −4 ) , C ( −3;1; 2 )
Oxyz
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Xét

ABCD
D
D
điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tìm tọa độ điểm .
( 4; 2; −9 )
( −4; 2;9 )
( −4; −2;9 )
( 4; −2;9 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn
C
uuur uuur
AD = BC ⇒ ( xD − 1; y D ; z D − 3 ) = ( −5; −2; 6 ) ⇒ D ( −4; −2;9 )

Dạng 2: Tìm tọa độ vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước.

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ

( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0.

Oxyz ,

( P) ?

cho mặt phẳng

đâyrlà vectơ pháp tuyến của r
r
n = ( 2; −1; −1) .
n = ( −2; 1; −1) .
n = ( 2; 1; −1) .
B.
C.
A.
Hướng dẫn giải:

Vectơ nào dưới
r
n = ( −1; 1; −1) .
D.


Chọn B.
( P ) : 2x − y + z −1 = 0

r
n = ( 2; −1;1)

( P)

. Vec tơ pháp tuyến của
là
.
( P ) : −3x + 2z − 1 = 0
Oxyz
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
. Véc tơ pháp tuyến
r
( P)
n
của
là
r mặt phẳng
r
r
r
n = ( −3;2;−1) .
n = ( 3; 2;−1) .
n = ( −3;0;2 ) .
n = ( 3;0;2 ) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
r
r
r

a = ( 2; −1; 0 )
Oxyz,
a
b
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
cho
, biết cùng chiều với và có
rr
a.b = 10.
Chọn phương án đúng.
r
r
r
b = ( −6;3;0 ) .
b = ( −4; 2; 0 ) .
b = ( 6; −3;0 ) .
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

r
b = ( 4; −2;0 ) .

D.

r
b = x ( 2; −1; 0 ) = ( 2 x; − x;0 ) , x > 0

Ta có
.
rr
r
a.b = 10 ⇔ 4 x + x = 10 ⇔ x = ±2, ( x > 0 ) ⇒ x = 2 ⇒ b = ( 4; −2;0 )
Mà

r
r .
r
a
=
1;
2;
−
1
b
=
0;
4;3
c
= ( −2;1; 4 ) .
(
)
(
)
oxyz
Câu 8: Trongr không
gian với hệ toạ độ
cho các véctơ

,
,
r r r
r
Gọi u = 2a − 3b + 5c . Tìm toạ độ u
A. ( −8; − 3;9 ) .

B. ( −9; − 5;10 ) .
C. ( −8; 21; 27 ) .
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
r
2a = ( 2; 4; − 2 ) 

r
−3b = ( 0; − 12; − 9 ) 
r

5c = ( −10; 5; 20 ) 

r
r r r
u
=
2
a
− 3b + 5c = ( −8; − 3;9 )
⇒

D. ( 12; − 13; − 31) .

.

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng và góc

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ
MN
thẳng
.
MN = 10.
A.

B.

M ( 3;0;0 ) , N ( 0; 0; 4 )

Oxyz

cho hai điểm

MN = 5.

MN = 1.
C.
Hướng dẫn giải:

Chọn B

MN =

( 0 − 3)

2

+ ( 0 − 0) + ( 4 − 0) = 5
2

2

.

. Tính độ dài đoạn

D.

MN = 7.


Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ

( α ) : x − 2 = 0, ( β ) : y − 6 = 0, ( γ ) : z + 3 = 0
( γ ) / /Oz

A.

.

Chọn A.

I ( 2;6; −3)

Oxyz

, cho điểm

và các mặt phẳng

. Tìm mệnh đề sai:
( β ) / / ( xOz )
( α ) qua I
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải

(α) ⊥ ( β)
D.

.

( γ ) ∩ Oz = A ( 0;0; −3)

Dễ thấy

.
Oxyz

·ABC

A ( −1; 2; 4 ) B ( −1;1; 4 ) C ( 0; 0; 4 )
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
,
,
. Tìm số đo của
.
135°
45°
60°
120°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uur uuu
r
BA
.
BC
1
uur
uuu
r

⇒ cos ·ABC =
=−
BA = ( 0;1;0 ) BC = ( 1; −1;0 )
BA.BC
2 ⇒ ·ABC = 135°
Ta có:
,

Dạng 4: Diện tích tam giác

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

A ( 1; 2;0 ) , B ( 3; −1;1)

C ( 1;1;1)
và

. Tính diện tích S

của tam giác ABC.

S =1
A.

S=

.

B.

1
2

.
C.
Hướng dẫn giải

S= 3

.

D.

S= 2

.

Chọn C.
- Phương pháp: Diện tích của tam giác khi cho biết tọa độ ba đỉnh A, B, C được xác định bởi
1 uuur uuur
S =  AB, AC 
2
công thức
- Cách giải:
uuur
uuur
uuur uuur
AB = ( 2; −3;1) ; AC = ( 0; −1;1) ⇒ AB, AC  = ( −2; −2; −2 )
Ta có:
1 uuur uuur

1
S =  AB, AC  = . 22 + 2 2 + 22 = 3
2
2

Dạng 5: Thể tích khối đa diện

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

cho tứ diện

ABCD

C ( 1;0;1) D ( 2;1; −1)
ABCD.
,
. Tính thể tích tứ diện
1
2
4
.
.
.
3
3
3
B.
C.

A.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

A ( −1; 2;1) B ( 0;0; −2 )
với
,
,

D.

8
.
3


1 uuur uuur uuur 8
uuu
r
uuur
uuur
 AB, AC  . AD =
V
=
ABCD
AB = ( 1; −2; −3) AC = ( 2; −2;0 ) AD = ( 3; −1; −2 )

6
3
Ta có:

,
,
.
.

Dạng 6: Thẳng hàng, đồng phẳng

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ

A ( 1; 2;3) , B ( 3;3; 4 ) , C ( −1;1; 2 )

Oxyz

, các điểm

C
A
B
A. là ba đỉnh của một tam giác.
B. thẳng hàng và
nằm giữa
và .
C
C
B
A
A
B
C. thẳng hàng và
nằm giữa

và .
D. thẳng hàng và
nằm giữa
và .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
uuur
uuuu
r
uuu
r uuur r
AB = ( 2;1;1) , AC = ( -2;-1;-1) ⇒ AB + AC = 0
Ta có
.

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
Vấn đề II.1. Viết phương trình mặt phẳng
Vấn đề II.2. Viết phương trình mặt phẳng

(P )
(P )

Câu 13: Cho mặt phẳng

chứa điểm

M ( x0;y0;z0 )

( β ) P( α )
. Phương trình mặt phẳng

M ( 1; −3; 2 )

là:
2 x − y + 3z − 11 = 0.

2 x − y + 3z = 0.

.

C.

(β)
và

2 x − y + 3z + 1 = 0.

B.

r
n

và song song với mặt phẳng

( α ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0

A.

và có vectơ pháp tuyến

chứa điểm

(Q )

.

M ( x0;y0; z0 )

đi qua điểm

2 x − y + 3z + 11 = 0.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
( β ) P( α ) ⇒ ( β ) : 2 x − y + 3z + m = 0, m ≠ −1
, mà

2.1 − ( −3) + 3.2 + m = 0 ⇔ m = −11

Vấn đề II.3. Viết phương trình mặt phẳng
thẳng

(β)

M ( 1; −3; 2 )

đi qua điểm

(P )

nên

M ( x0;y0; z0 )

chứa điểm

và vuông góc với đường

d.

Oxyz

Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ

,viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn

A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2;1)

x + 2 y − z = 0.
A.

là

x − 2 y + z − 4 = 0.
B.

C.
Hướng dẫn giải

Chọn A
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng

x − 2 y − z = 0.

AB

với

x + 2 y + z − 4 = 0.
D.

I = ( 2;0; 2 )
qua điểm

AB

có vec tơ pháp tuyến là


r uuu
r
n = AB = ( 2;4; −2 )

( x − 2 ) + 2 ( y − 0 ) − 1( z − 2 ) = 0 ⇔ x + 2 y − z = 0
. Nên có phương trình là

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ

.

A ( 2; −1;3 ) , B ( 2; 0;5 ) , C ( 0; −3; −1) .

Oxyz ,

cho ba điểm

BC ?
A
Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua
và vuông góc với
x − y + 2 z + 9 = 0.
x − y + 2 z − 9 = 0.
A.
B.
2 x + 3 y − 6 z − 19 = 0.
2 x + 3 y + 6 z − 19 = 0.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A ( 2; −1;3)
( P)
BC
Mặt
phẳng
đi
qua
điểm

và
vuông
góc
với
đường
thẳng
nên nhận véctơ
uuu
r
CB = ( 2;3;6 )
( P)
làm véctơ pháp tuyến. Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng
là:
2 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) + 6 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 2 x + 3 y + 6 z − 19 = 0
.
A ( 3; 1; 2 ) , B ( 1; 5; 4 ) .
Oxyz ,
Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai điểm
Phương trình nào
AB ?
dưới đây là phương trình của mặt phẳng trung trực của đoạn
x − 2 y − z + 7 = 0.
x + y + z − 8 = 0.
x + y − z − 2 = 0.
2 x + y − z − 3 = 0.
A.
B.
C.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.
I ( 2;3;3)
( P)
AB
Mặt phẳng trung trực
đi
qua
trung
điểm
của
đoạn
thẳng
và vuông góc với
uuu
r
AB = ( −2; 4; 2 )
( P)
AB
nên
nhận véctơ
làm véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát
( P ) −2 ( x − 2 ) + 4 ( y − 3) + 2 ( z − 3) = 0 ⇔ −2 x + 4 y + 2 z − 14 = 0
x − 2y − z + 7 = 0
của
là:
hay
.
M ( x0;y0; z0 )
(P )

Vấn đề II.4. Viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm
và vuông góc với hai mặt
(Q ) ,( R )
phẳng
.
(P )
A, B ,C
Vấn đề II.5. Viết phương trình mặt phẳng
chứa ba điểm
không thẳng hàng.

Câu 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng
Véctơ
r nào sau đây là véctơ pháp
r tuyến của
A.

n = ( 2; −3;1)

.

B.

n = ( 3; −2;6 ) .

( P) .

C.

( P)

x y z
+
+ =1
có phương trình 2 −3 1
.

r
n = ( −3;2;6 ) .

D.

r
n = ( 1; −3;2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Mặt phẳng

(P )

3x - 2y + 6z - 6 = 0

P
. Suy ra một VTPT của ( )

là

r

n = ( 3; −2;6 ) .


Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ

A ( 1; 2; −5)

Oxyz

, cho

Ox, Oy, Oz

lên các trục
y z
x + − =1
2 5
A.
.

( MNP )

. Phương trình mặt phẳng

B.

M , N, P

. Gọi

là hình chiếu của

A

là:
x+

x + 2 y − 5z = 1

x + 2z − 5z + 1 = 0

. C.
Hướng dẫn giải

.

D.

y z
− +1 = 0
2 5

.

Chọn A.
M , N, P
Ox, Oy, Oz ⇒ M ( 1;0;0 ) , N ( 0; 2;0 ) , P ( 0;0; −5 )
A
Gọi
là hình chiếu của lên các trục

.
x y z
y z
+ +
=1⇔ x + − =1
( MNP )
1 2 −5
2 5
Ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
M ( −3; 2; 4 )
A, B, C
Ox, Oy, Oz
M
Câu 18: Cho điểm
, gọi
lần lượt là hình chiếu của
trên trục
. Trong
( ABC )
các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
6 x − 4 y − 3 z − 12 = 0
3 x − 6 y − 4 z + 12 = 0
A.
.
B.
.
4 x − 6 y − 3z + 12 = 0

4 x − 6 y − 3 z − 12 = 0
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
A ( −3; 0;0 ) , B ( 0; 2; 0 ) , C ( 0;0; 4 )

Ta có:
4 x − 6 y − 3 z + 12 = 0

( ABC )
. Suy ra PT mặt phẳng

là

x y z
+ + =1
−3 2 4

hay

.

( ABC )

4 x − 6 y − 3z − 12 = 0

Khi đó, mặt phẳng có phương trình

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
phẳng (ABC).
( ABC ) : x + y − z + 1 = 0
A.
( ABC ) : x + y + z − 3 = 0
C.

song song với

.

A ( 1;0; 2 ) , B ( 1;1;1) , C ( 2;3;0 )
. Viết phương trình mặt

( ABC ) : x − y− z + 1 = 0
B.

( ABC ) : x + y − 2z − 3 = 0

D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
uuur
uuur
AB ( 0;1; −1) ; AC ( 1;3; −2 )
Ta có:
r
uuur uuur

r
n =  AB, AC  = ( 1; −1; −1) ⇒
n
Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). Khi đó:r
loại A,
n
C, D vì tọa độ vectơ pháp tuyến không cùng phương với .


Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ

(α)

đi qua các hình chiếu của

M

2 x + 3 y + 4 z − 24 = 0.

A.

C.

x y z
+ + = 1.
6 4 3

Chọn A.

M ( 12;8;6 ) .

Oxyz ,

cho điểm

Viết phương trình mặt phẳng

trên các trục tọa độ.
x
y
z
+
+
= 1.
−12 −8 −6
B.
x + y + z − 26 = 0.

D.
Hướng dẫn giải

(α )

A ( 12;0;0 ) , B ( 0;8;0 ) , C ( 0;0;6 )

Mặt phẳng
cắt các trục tại các điểm
nên phương trình
x y z
( α ) 12 + 8 + 6 = 1 ⇔ 2 x + 3 y + 4 z − 24 = 0

là
.
(P )
(Q )
A, B
Vấn đề II.6. Viết phương trình mặt phẳng
chứa hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
.
(P )
A, B
d
Vấn đề II.7. Viết phương trình mặt phẳng
chứa hai điểm
và song song với đường thẳng .

Vấn đề II.8. Viết phương trình mặt phẳng
d
song song với đường thẳng

Vấn đề II.9. Viết phương trình mặt phẳng

( P)

, vuông góc với mặt phẳng

( Q)

và

.

( P)

Vấn đề II.10. Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
thẳng

chứa điểm

M

a

chứa điểm
và

b

A

và đường thẳng

d

không qua

, viết phương trình mặt phẳng

b

( P)

A.

chứa đường

và song song với đường thẳng .
d
Vấn đề II.11. Cho đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng , viết phương trình mặt phẳng
.
(P )
(Q )
d
chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
.
(P )
(Q )
M
Vấn đề II.12. Viết phương trình mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và cách điểm
một
h>0
khoảng bằng
.
( P ) : 2 x + y − 3z + 2 = 0
Oxyz
Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng

. Viết phương
11
( Q)
( P)
2 14
trình mặt phẳng
song song và cách
một khoảng bằng
.
−4 x − 2 y + 6 z + 7 = 0 4 x + 2 y − 6 z + 15 = 0
A.
;
.
−4 x − 2 y + 6 z − 7 = 0 4 x + 2 y − 6 z + 5 = 0
B.
;
.
−4 x − 2 y + 6 z + 5 = 0 4 x + 2 y − 6 z − 15 = 0
C.
;
.


−4 x − 2 y + 6 z + 3 = 0 4 x + 2 y − 6 z − 15 = 0
D.
;
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

( Q)

( P)
song song

( Q)
nên

2 x + y − 3z + D = 0

có dạng:

với

D≠2

.

M ( −1; 0; 0 ) ∈ ( P )
Lấy

.
d ( ( P) ,( Q) ) =

Ta có:

 2 D = 15
D−2
11
11

11
⇔
⇔
=
⇔ d ( M ,( Q) ) =
2 14
2 14
14
2 14
 2 D = −7

Vấn đề II.13. Viết phương trình đường thẳng chứa một đường thẳng và tiếp xúc với một mặt cầu
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ
d:

đường thẳng

x −1 y + 3 z
=
=
1
2
2

( S) .

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z − 16 = 0

Oxyz

, cho mặt cầu

và

. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa

với mặt cầu
( P ) : 2 x − 2 y + z − 8 = 0.
A.

d

và tiếp xúc

( P ) : −2 x + 11y − 10 z − 105 = 0.
B.

( P ) : 2 x − 11y + 10 z − 35 = 0.

( P ) : −2 x + 2 y − z + 11 = 0.

C.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn: C.

d

M ( 1; −3;0 )

Đường thẳng
đi
phương án A và C.

. Tọa độ điểm

I ( 1; 2; −2 )

chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng trong

( S)

Tính khoảng cách từ tâm
đúng.

của

Vấn đề II.14. Viết phương trình mặt phẳng

M

và so sánh với bán kính

(P )
chứa đường thẳng

d

R=5

và cách điểm

A

được đáp án C

một khoảng lớn

nhất.
Vấn đề II.15. Viết phương trình mặt phẳng chứa một điểm, song song với một đường thẳng sao cho
khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng là lớn nhất.

A ( 10; 2; −1)

Oxyz

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ

( P)

Phương trình mặt phẳng
là
7 x + y − 5 z − 77 = 0.
A.

đi qua

d:

, cho
A

và đường thẳng

, song song với

d

và khoảng cách từ

2 x + y + 3 z − 19 = 0.
B.

x −1 y z −1
= =
2
1
3
d

( P)
tới

.

là lớn nhất

7 x + y − 5 z − 7 = 0.

x + y + z − 4 = 0.

C.

D.
Hướng dẫn giải
H
d

K

A

Chọn A
Cách 1: Tự luận

d

A

( P)

A
là hình chiếu vuông góc của
trên đường thẳng . Gọi
là mặt phẳng qua
có
uuur

( Q)
K
H
A
AH
VTPT là
. Gọi
là hình chiếu của
trên mặt phẳng
bất kỳ qua
và song song
d ( d , ( P ) ) = AH ≥ d ( d , ( Q ) ) = HK
( P)
d
với . Ta có
. Suy ra mặt phẳng
là mặt phẳng cần tìm.
uuur
H ∈ d ⇒ H = ( 1 + 2t ; t ;1 + 3t ) ⇒ AH = ( 2t − 9; t − 2;3t + 2 )
Tìm điểm
.
uuur uu
r
uuur
AH .ud = 2 ( 2t − 9 ) + t − 2 + 3 ( 3t + 2 ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ AH = ( −7; −1;5 )
Mà
.
( P ) : 7 x + y − 5 z − 77 = 0
Suy ra mặt phẳng
.

Cách 2: Theo hướng trắc nghiệm.
r
VTCP u = ( 2;1;3)
M 0 ( 1;0;1) ,
A ( 10;2; −1)
( d)
Đường thẳng
qua
có
; Điểm
.
A ( 10;2; −1)
Thử 4 đáp án với ý điểm
thuộc mặt phẳng ta loại đáp án C, D.
uu
r uu
r
( P ) P d ⇒ nP .ud = 0
Tiếp theo với ý mặt phẳng
loại đáp án B.
Ta chọn đáp án A.
Nhận xét cho đáp án nhiễu không tốt.

Gọi

H

Vấn đề II.16. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều với hai đường thẳng cho trước
Vấn đề II.17. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng.
M (2;1; −1)

( P)

x − y + z − 4 = 0 (Q) : 3 x − y + z − 1 = 0
Câu 8: Cho điểm
và hai mặt phẳng
:
,
Viết
(R)
(P),
(Q)
M
phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng


15 x − 7 y + 7 z − 16 = 0 

A.

.

9x − 6 y + z + 8 = 0

C.

15 x + 7 y − 7 z − 14=0

B.

.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

.

9 x + 6 y − z − 25 = 0

.

(α )

(P), (Q)

chứa
Cách
1:Phương trình
m ( x − y + z − 4 ) + n ( 3x − y + z − 1) = 0

giao

tuyến

của

có

dạng:

(m 2 + n 2 ≠ 0)
(α )

m ( 2 − 1 + (−1) − 4 ) + n ( 3.2 − 1 + (−1) − 1) = 0 ⇔ −4m + 3n = 0

M (2;1; −1)

qua

nên:

m =3⇒ n = 4
Chọn
Cách 2:

(α ) : 3 ( x − y + z − 4 ) + 4 ( 3 x − y + z − 1) = 0 ⇒ 15 x − 7 y + 7 z − 16 = 0

.Vậy

x − y + z − 4 = 0
(*)

3x − y + z − 1 = 0

Xét hệ :
z =0⇒ x=

Cho

−3
−11
;y =
2
2

z =1⇒ x =

; Cho

−3
−9
;y =
2
2
M (2;1; −1)

Bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
−3 −11
−3 − 9
N( ;
; 0); P( ; ;0)
2 2
2 2

Vấn đề
Câu 9:

;

Ox Oy Oz
II.18. Viết phương trình mặt phẳng chắn các trục , ,
và thỏa điều kiện cho trước.
M ( 3; 2;1)
P
( )
Ox, Oy, Oz
M
Cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục tọa độ
tại
( P)
A, B, C
ABC
M
sao cho
là trực tâm tam giác
. Phương trình mặt phẳng
là:
x y z
x y z
+ + =1
+ + =0
x+ y+ z −6 = 0
3 x + 2 y + z − 14 = 0

3 2 1
3 2 1
A.
.
B.
.
C.
.D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Tứ diện

OABC

O

M

ABC

OM ⊥ ( ABC )

vuông tại
nên
trực
khi và chỉ khi
ulà
uuu

r tâm tam giác
OM = ( 3; 2;1)
( ABC )
Vậy mặt phẳng
có VTPT là
.
3 ( x − 3) + 2 ( y − 2 ) + z − 1 = 0
( ABC )
Khi đó phương trình mặt phẳng
sẽ là
hay
3 x + 2 x + z − 14 = 0
.

.


Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

M ( 1; 2;1)

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M
1
1
1
+
+
2
2
OA

OB OC2
cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
( P ) : x + 2y + 3z − 8 = 0
( P) : x + y + z − 4 = 0
A.
.
B.
.
x y z
( P) : + + = 1
( P ) : x + 2y + z − 6 = 0
1 2 1
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
1
1
1
+
=
2
2
OA
OB
OH 2
- Cách giải: Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

( H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác OAB)
1
1
1
1
1
1
+
+
=
+
=
2
2
2
2
2
OA OB OC
OH
OC
ON 2
Khi đó
( N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong
tam giác COH)
1
1
1
1
+
+

2
2
2
OA
OB OC
ON 2
Để
đạt giá trị nhỏ nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất hay chính là độ dài
ON phải lớn nhất. Mà ta có N là chân đường cao kẻ từ đỉnh O trong tam giác COH nên
ON ⊥ ( ABC )
ON ≤ OM
do đó
.
Vậy ON muốn
uuuu
r lớn nhất thì N trùng với M, khi đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
OM = ( 1; 2;1)
(ABC) là
.
( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + ( z − 1) = 0
( P ) : x + 2y + z − 6 = 0
Vậy phương trình (P) là:
hay
G ( 1; 2;3)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác
ABC.
x y z

y z
( P) : + + = 1
( P) : x + + = 3
3 6 9
2 3
A.
.
B.
.
( P) : x + y + z − 6 = 0
( P ) : x + 2y + 3z − 14 = 0
.
D.
.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn A
A ( x A ; yA ; z A ) ; B ( x B ; y B ; z B ) ; C ( x C ; yC ; z C )
G ( x G ; yG ; z G )
- Phương pháp: Với
, nếu
là trọng
tâm tam giác ABC thì khi đó ta có
x + x B + xC
y + yB + yC
z + zB + zC
xG = A
; yG = A
; zG = A
3

3
3


( α)
Mặt phẳng

cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ
x y z
( a;0;0 ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0;c )
( α) a + b + c = 1
thì phương trình mặt phẳng
là
- Cách giải: Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C nên ta có tọa độ
A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )

G ( 1; 2;3)

a = 3; b = 6;c = 9

Vì theo giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC,
nên ta có
x y z
+ + =1
3 6 9
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là
.
Oxyz
E(8;1;1)
(α )

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
.Viết phương trình mặt phẳng
Ox, Oy, Oz
A, B, C
OG
G
qua E và cắt nửa trục dương
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất với
là
ABC
trọng tâm tam giác
.
x + y + 2 z − 11 = 0 
8 x + y + z − 66=0
A.
B.
2 x + y + z − 18 = 0
x + 2 y + 2 z − 12 = 0
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1 :
A(11;0; 0); B(0;11; 0); C(0; 0;

Với đáp án A:
A(

Với đáp án B:

11
11 11 11
121
) ⇒ G( ; ; ) ⇒ OG 2 =
2
3 3 6
4

33
11
15609
; 0; 0); B(0; 66;0); C(0; 0;66) ⇒ G( ; 22; 22) ⇒ OG 2 =
4
4
16

A(9;0; 0); B(0;18; 0); C(0; 0;18) ⇒ G (3;

Với đáp án C:

18 18
; ) ⇒ OG 2 = 81
3 3

A(−12;0;0); B(0;6;0);C(0;0;6) ⇒ G( −4; 2; 2) ⇒ OG 2 = 24
Với đáp án D:
Cách 2 :

A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0;0; c )
Gọi

a, b, c > 0

với

. Theo đề bài ta có :

8 1 1
+ + =1
a b c

a +b +c
giá trị nhỏ nhất của
.
2
2
2
( a + b + c ) ( 4 + 1 + 1) ≥ ( a.2 + b.1 + c.1) 2 ⇒ 6. ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( 2a + b + c ) 2
Ta có
Mặt khác
2

2

2

. Cần tìm

(a

2

+ b 2 + c 2 ) ( 4 + 1 + 1) ≥ ( a.2 + b.1 + c.1)
8 1 1
≥ ( 2a + b + c )  + + ÷
a b c
≥ ( 4 + 1 + 1) = 36
2

a2
= b 2 = c 2 ⇒ a = 2b = 2c.
4

a 2 + b 2 + c 2 ≥ 63

'' = ''
Suy ra
. Dấu
xảy ra khi
2
2
2
a = 12, b = c = 6
a +b +c
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi

.
x y z
+ + =1
x + 2 y + 2 z − 12 = 0
12 6 6
Vậy phương trình mặt phẳng là :
hay
.
A ( 1;2;1) , B ( 3; −1;5)
Oxyz
Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho 2 điểm
. Phương trình mặt

( P)
phẳng
vuông góc với
2 x − 3 y + 4 z − 3 = 0.
A.
2 x − 3 y + 4 z ± 12 = 0.
C.

AB

và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
2 x − 3 y + 4 z + 3 = 0.
B.
2 x − 3 y + 4 z ± 6 = 0.
D.
Hướng dẫn giải

3
2

là

Chọn D
uuu
r
AB = ( 2; −3;4 ) ⇒ ( P ) : 2 x − 3 y + 4 z + m = 0
M , N, P
Ta có
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt
m
 m
  m  
M  − ;0;0 ÷, N  0; ;0 ÷, P  0;0; − ÷
( P)
Ox, Oy, Oz
4
 2
  3  
phẳng
với trục
; suy ra
.
3
1 m
3

VO.MNP =
= ⇔ m = ±6.
6 24 2
Ta có thể tích tứ diện
M ( 1; 2;3)
(α)
Ox, Oy, Oz
Câu 8: Tìm phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt 3 tia
lần lượt
A, B, C
OABC
tại 3 điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất
6 x + 3 y + 2 z + 18 = 0.
6 x + 3 y − 2 z − 18 = 0.
A.
B.
6 x + 3 y + 2 z − 8 = 0.
6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0.
C.
D.
Hướng dẫn giải.
Chọn D.
A ( a, 0, 0 ) , B ( 0, b, 0 ) , C ( 0, 0, c )
a , b, c > 0
Gọi
với

x y z
(α) a + b + c =1
Ta có phương trình của mặt phẳng
:
1 2 3
M ∈( α ) ⇔ + + = 1
a b c
Có
(1)


VOABC =

1
abc
6

Thể tích khối tứ diện :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương , ta có :
1 2 3
6
6
1
1
1
+ + ≥ 33
⇔ 1 ≥ 33
≤
VOABC ≤
a b c

abc
abc
abc 6.27
972
Hay
hay
1 2 3
= =
b = 2a, c = 3a
a b c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
Hay
a = 3, b = 6, c = 9
Từ (1) suy ra :
x y z
( α ) 3 + 6 + 9 = 1 ⇔ 6 x + 3 y + 2 z − 18 = 0.
Từ đó , phương trình mp
:
Vấn đề II.19. Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và tạo với một mặt phẳng cho trước
một góc nhỏ nhất
x +1
d:
= y +1 = z − 3
Oxyz
2
Câu 9: Trong không gian với tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
( P) : x + 2y − z + 5 = 0
( Q)

( P)
d
. Mặt phẳng
chứa đường thẳng và tạo với
một góc nhỏ nhất
có phương trình
x + y − z + 2 = 0.
x − y − z + 3 = 0.
y − z + 4 = 0.
x − z + 3 = 0.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( P) ( Q)
( P) ,( Q)
∆⊥d
∆
Gọi là giao tuyến giữa
và
. Khi đó, góc giữa
nhỏ nhất khi chỉ khi
.
r
M ( −1; −1;3)
ud = ( 2;1;1)
d
Đường thẳng đi qua điểm

và có vectơ chỉ phương là
.
r
r r
u∆ = n ∧ ud = ( 3; −3; −3 )
∆
Vectơ chỉ phương của là
.
r
r r
( Q ) nQ = ud ∧ u∆ = ( 0;9; −9 )
Vectơ pháp tuyến của
là .
..
r
M ( −1; −1;3)
n = ( 0;1; −1)
( Q)
Mặt phẳng
đi qua
và nhận vectơ pháp tuyến
có phương trình
y−z+4=0

Vấn đề II.20. Phương trình mặt phẳng tổng hợp
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Vấn đề III.1. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước.
x = 2 + t

d :  y = 1 − 2t , ( t ∈ ¡ )


Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  z = 3
.
d
Vécurtơ nào sau đây là véc tơ uchỉ
u
r phương của ? uu
r
uu
r
u1 = ( 1; −2;0 )
u2 = ( 1; −2;3 )
u3 = ( 2;1;3)
u4 = ( 1; −2;1)
.
B.
.
C.
.
D.
A.
Hướng dẫn giải


Chọn A.

ur
u1 = ( 1; −2; 0 )
d
Ta có: véc tơ chỉ phương của đường thẳng là

A ( 1;0; 2 ) , B ( 2; −1;3 )
Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
. Viết phương trình đường
thẳng AB.
x = 1 + t

AB :  y = − t
x −1 y − 2 z
AB :
=
=
z = 2 + t

1
−1
1
A.
B.
x −1 y − 2 z − 3
AB :
=
=
AB : x − y + z − 3 = 0
1
−1
1
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án A

- Phương pháp: Cách
uuur viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B
AB = ( a; b; c )
+ Xác định tọa độ
 x = x 0 + at

 y = y0 + bt
uuur
z = z + ct
0

AB
+ Đường thẳng AB unhận
làm
véctơ
chỉ
phương
có
phương
trình:
uur
AB = ( 1; −1;1)
-Cách giải: Ta có:
uuur
AB = ( 1; −1;1)
A ( 1; 0; 2 )
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là
, đi qua điểm
có phương
x = 1 + t


y = −t
z = 2 + t

trình:
Vấn đề III.2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
A ( 1; 2;1) , B ( 3;1;0 ) , C ( 3; −1; 2 )
Oxyz
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 3 điểm
. Phương trình
( d)
( ABC )
A
đường thẳng
qua
và vuông góc với mặt phẳng
là
x +1 y + 2 z +1
x −1 y − 2 z −1
=
=
.
=
=
.
−4
−4
−4
2

4
−4
A.
B.
x −1 y − 2 z −1
x −1 y − 2 z −1
=
=
.
=
=
.
1
−1
1
1
1
1
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
qua A ( 1;2;1)

r
uuu
r uuu
r
d :


 = ( −4; −4; −4 )
VTCP
u
=
AB
,
AC



.
x − 1 y− 2 z− 1
=
=
.
1
1
1
Nên có phương trình là


Vấn đề III.3. Viết phương trình đường thẳng

M ( x0;y0;z0 )

d

chứa điểm

và vuông góc với hai đường

a,b

thẳng
cho trước.
Vấn đề III.4. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
d
A
a
b
Vấn đề III.5. Viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt hai đường thẳng và .

Vấn đề III.6. Viết phương trình đường thẳng
a b
thẳng

và .

Vấn đề III.7. Viết phương trình đường thẳng
b
đường thẳng

Câu 23: Cho hai đường thẳng
∆

A.

C.

d

d

song song với đường thẳng

qua điểm

A

D

, cắt cả hai đường

, vuông góc với đường thẳng

và cắt

cho trước.

x = 1− t
x − 2 y + 2 z −3

d1 :
=
=
; d 2 :  y = 1 + 2t
2
−1
1
 z = −1 + t



d1

A,

đi qua
vuông góc với
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
1
3
−5

A ( 1; 2;3) .
và điểm

d2
có phương trình là
x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
1
−3
−5
B.
x −1 y − 2 z − 3

=
=
.
−1
−3
−5
D.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
r
u d1 = ( 2; −1;1)
Ta có
r
u ∆ = ( 1; −3; −5 )
Đáp án B cór r
u d1 .u ∆ = 2.1 + 1.3 − 1.5 = 0 ⇒ d1 ⊥ ∆
Nhận thấy
Các đáp án khác không thỏa mãn điều kiện vuông góc.

Vấn đề III.8. Viết phương trình đường thẳng
b B
tại

d

chứa điểm

A

(P )
, song song với mặt phẳng

.

Vấn đề III.9. Viết phương trình đường thẳng

d

Vấn đề III.10. Viết phương trình đường thẳng
a
một đường thẳng

Đường thẳng

và cắt

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
1
3
5

đường thẳng

a

và cắt

(P )
nằm trong mặt phẳng

d

nằm trong mặt phẳng

cho trước.

Vấn đề III.11. Viết phương trình đường vuông góc chung

d

a,b
cắt hai đường thẳng

.

(P )

, cắt và vuông góc với

của hai đường thẳng chéo nhau

a

và

b

.


Vấn đề III.12. Viết phương trình đường thẳng

d

(P )
vuông góc với mặt phẳng

và cắt cả hai đường

a,b

.

Vấn đề III.13. Viết phương trình đường thẳng
trước.

Vấn đề III.14. Viết phương trình đường thẳng

d

d

qua

M

, cắt và vuông góc với đường thẳng

chứa điểm

A

, vuông góc với đường thẳng

a

b

cho

và cách
h
>
0
M
điểm
một khoảng
.
Vấn đề III.15. Phương trình đường thẳng tổng hợp
A ( 3;0;0 ) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;6 )
Oxyz ,
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ
cho bốn điểm
và
D ( 1;1;1) .
A, B, C

∆
D
Gọi là đường thẳng đi qua
và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm
∆
∆
đến là lớn nhất, hỏi đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
M ( −1; −2;1) .
M ( 5;7;3) .
M ( 3; 4;3) .
M ( 7;13;5 ) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
x y z
( ABC ) 3 + 2 + 6 = 1 ⇔ 2 x + 3 y + z − 6 = 0
Phương trình mặt phẳng
là
.
D ∈ ( ABC )
H, K, I
A, B, C
Δ
Dễ thấy
.Gọi
lần lượt là hình chiếu của
trên .

AH ≤ AD, BK ≤ BD, CI ≤ CD
Δ
D
Do
là đường thẳng đi qua
nên
.
D ∈ ( ABC ) ⇒ D = Δ ∩ ( ABC )
Mà
.
A, B, C
Δ
Δ
Vậy để tổng khoảng cách từ các điểm
đến
là lớn nhất thì
là đường thẳng đi qua
( ABC )
D
và vuông góc với
.
 x = 1 + 2t

 y = 1 + 3t ( t ∈ ¡ )

M ( 5;7;3) ∈ ∆.
Δ z = 1+ t
Vậy phương trình đường thẳng là
.Kiểm tra ta thấy điểm
M ( −2; −2;1) A ( 1; 2; −3)

Oxyz
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
,
và đường thẳng
x +1 y − 5 z
r
d:
=
=
u
2
2
−1
∆
M
. Tìm véctơ chỉ phương của đường thẳng đi qua
, vuông góc với
d
A
đường
thẳng
đồng
thời
cách
điểm
một khoảngrbé nhất.
r
r
r

u = ( 2;1;6 )
u = ( 1;0; 2 )
u = ( 3; 4; −4 )
u = ( 2; 2; −1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án: B.


( P)
Gọi

và vuông góc với

( P ) : 2x + 2 y − z + 9 = 0

d

. Phương trình của
∆ ,( P )
H ,K
A
Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
trên
.

∆

là mặt phẳng qua

M

.

A

d

K H
M

P

K ( −3; −2; −1)
Ta có
d( A, ∆ ) = AH ≥ AK
A

Vậy khoảng cách từ

đến

∆

bé nhất khi

∆

đi qua

M ,K ∆
. có véctơ chỉ phương

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
Vấn đề IV.1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
Oxyz

Câu 12: Trong không gian với hệ toạ độ

( S)

, cho mặt cầu

x + y + z − 6x + 2 y − 4z − 2 = 0
2

2

2

. Khi đó tọa độ tâm

có phương trình:
I

và bán kính

R

là

r
u = ( 1;0; 2 )


I ( 3; −1;2 ) , R = 4.
A.

I ( −3;1; −2 ) , R = 4.
B.

I ( 6; −2;4 ) , R = 58.

C.

I ( 3;1; 2 ) , R = 4.

D.
Hướng dẫn giải

Chọn A
I = ( 3; −1;2 ) , R = 9 + 1 + 4 + 2 = 4

Tâm
.
Vấn đề IV.2. Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
M ( 6; 2; −5 ) , N ( −4;0;7 )
Oxyz
Câu 24: Trong không gian
cho hai điểm
. Viết phương trình mặt cầu
MN
đường kính
?
2
2
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62
( x − 5) + ( y − 1) + ( z + 6 ) = 62
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62

( x + 5) + ( y + 1) + ( z − 6 ) = 62
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
MN
Tâm của mặt cầu là trung điểm của
, ta có .
r = IM = 62
Bán kính mặt cầu:
.
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62
Phương trình mặt cầu là
.
S
A ( 1;1; 2 ) , B ( 3; 0;1)
( )
Oxyz
Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
đi qua hai điểm
và
( S)
Ox
có tâm thuộc trục

. Phương trình của mặt cầu
là:
2
2
2
2
( x + 1) + y + z = 5
( x − 1) + y 2 + z 2 = 5
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
( x − 1) + y + z = 5
( x + 1) + y + z = 5
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
I ∈ Ox ⇒ I ( x;0;0 ) ( S )
A, B
Tâm
,

đi qua
nên:
2
2
IA = IB ⇔ ( x − 1) + 1 + 4 = ( x − 3) + 0 + 1 ⇔ x = 1 ⇒ I ( 1; 0; 0 )

( S)
Bán kính của

là

r = IA = 5

( S)
Phương trình của mặt cầu

( x − 1)

2

+ y2 + z2 = 5

là:
( S)
( Oxy )
Oxyz
I
Câu 26: Trong không gianvới hệ tọa độ
cho mặt cầu
có tâm nằm trên mặt phẳng

và
A = ( 1; 2; −4 ) , B = ( 1; −3;1) , C = ( 2; 2;3 ) .
I
đi qua ba điểm
Tọa độ tâm là:


( −2;1;0 ) .

( 2; −1;0 ) .

A.

( 0;0;1) .

B.

( 0;0; −2 ) .

C.
Hướng dẫn giải

D.

Chọn A.
( I ) ∈ Oxy ⇒ I ( a; b;0 )
( 1 − a ) + ( 2 − b ) + 16 = ( 1 − a ) + ( 3 + b ) + 1
 IA = IB
 a = −2
⇔

⇔

2
2
2
2
 IA = IC
b = 1
( 1 − a ) + ( 2 − b ) + 16 = ( 2 − a ) + ( 2 − b ) + 9
2

2

2

Vấn đề IV.3. Viết phương trình ngoại tiếp tứ diện
Câu 27: Gọi

I

là tâm mặt cầu đi qua

4

2

ABCD

.
M ( 1; 0; 0 ) , N ( 0;1; 0 ) , P ( 0; 0;1) , Q ( 1;1;1) .

điểm

Tìm tọa độ

I

tâm .
1 1 1
 ;− ; ÷
2 2 2
A.
.

2 2 2
 ; ; ÷
3 3 3
B.
.
Hướng dẫn giải

1 1 1
 ; ; ÷
2 2 2
C.
.

 1 1 1
− ;− ;− ÷
 2 2 2

D.
.

Chọn C.
M , N , P, Q, O

1
cạnh , có một

Nhận xét

nằm trên một hình lập phương
OQ
MNPQ
đường chéo là
. Tâm mặt cầu ngoại tiếp
cũng

là tâm mặt cầu

OQ

ngoại tiếp hình lập phương này và là trung điểm của

Vấn đề IV.4. Viết phương trình mặt cầu có tâm
điểm.

Câu 13: Bán kính mặt cầu tâm
A.

I

. Vậy

(P )

và tiếp xúc với mặt phẳng

.

. Tìm tọa độ tiếp

(α ) :12 x − 5 z − 19 = 0

I (4; 2; −2)

và tiếp xúc với mặt phẳng
39
13

3

1 1 1
I ; ; ÷
2 2 2

.

13
C.

Hướng dẫn giải:

B.

D.

39

.

Chọn A.
R = d ( I , (α )) =

12.4 − 5.( −2) − 19
122 + (−5) 2

Bán kính mặt mặt cầu là:

=3
.

Oxyz

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ
I ( 1; 2; −1)
tâm

, phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có

( P ) : x − 2 y − 2z − 8 = 0

và tiếp xúc với mặt phẳng

( x + 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9

2

A.

( x − 1)
.

C.
Chọn C.

2

?

2

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3
2

2

B.

( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 1) 2 = 9

2

.

D.
Hướng dẫn giải