GTLN,NN axtanh

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. Nhận biết
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) nghịch biến trên đoạn [-1;3] và f (1)  5 . Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 5.
C. Hàm số không có giá trị lớn nhất.
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là f (3) .
Lời giải: Áp dụng tính chất: Nếu hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì
max y  f (a); min y  f (b)
 a ;b 

 a ;b 

Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên đoạn [-2;5] thỏa mãn điều kiện
f  x �2 v�
i x � 2;5 và f  1  2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng - 2.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 2.
C. Hàm số không có giá trị lớn nhất.
D. Giá trị lớn nhất của hàm số là f (5) .

�f  x  �M x �D
Lời giải: Áp dụng định nghĩa: M  max f  x  � �
�
x�D
x0 �D : f  x0   M
�
Câu 3: Cho hàm số y  f ( x ) xác định, liên tục trên [-2;2] và có bảng biến thiên.
 
x

-2
0
2
y’
0
+
0

19
y
3



-1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. max y  19.
B. m ax y  3.
 2;2

 2;2

y  2.
C. max
 2;2

y  2.
D. min
 2;2

Câu 4: Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D là tập hợp con của tập hợp R. Một điểm x0 �D
sao cho f ( x) �f ( x0 ), x �D . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. max f ( x)  f(x 0 )
B. min f ( x)  f(x 0 )
D

D

f ( x )  f(x 0 )
f ( x)  f(x 0 )
C. max
D. max
D
D
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên :
�
�
1
x
f’(x)
+
0
2
f( x)
1
1

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. max f  x   2

f  x   1
B. min
�

f  x  1
C. min
�

f  x  1
D. max
�

�

Câu 6: Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên :
�
x
-3
0
1
f’ (x)
0
0
0
�
2
f(x)
-2

-3
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
f  x   2 , Min f  x   3
f  x   1 , Min f  x   3
A. Max
B. Max
x�R
x�R
x�R
x�R
f  x   0 , Min f  x   3
C. Max
x�R
x�R

f  x   2 Min f  x   2
D. Max
x�R
x�R

Câu 7: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên:
x

�


y’
y

1

�

0

0


�

1
0



0

�

-3
-4



-4

Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng -3 tại x=0
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  �1
C. Trên đoạn  1;1 giá trị lớn nhất của hàm số bằng -3

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4
2. Thông hiểu
x3 x 2
Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y    2 x  1 trên đoạn [0;2]
3 2
1
13
7
ax y  1
A. max y  
B. max y  
C. m 0;2
D. max y 

0;2
0;2
0;2
 
 
 
3
6
3
x  2 � 0; 2 
�
13
1
,
Giải: y ,  x 2  x  2 , y  0 � �
, y  0   1, y  1   , y  2   

6
3
�x  1� 0; 2 

1
3
Phương án nhiễu B,C : nhầm lẫn khi so sánh
Phương án nhiễu D : Không loại x=-2
� max y  y  2   
 0;2

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x 4  3 x 2  2 trên [0; 2] ?


y  6
A. Min
 0;2

y  12
B. Min
 0;2

y  2
C. Min
 0;2

D. Min y 
 0;2

1

4

�
� x0
�
�6� 1
6
�
,
,
3
Giải: y  4 x  6 x , y  0 � � x 
, y  0   2, y �
�2 �
� 4 , y  2   6
2
�
�
�
6
�
x
 L
�
�
2
� min y  y  2   6
 0;2

Phương án nhiễu D,C : nhầm lẫn khi so sánh

,
Phương án nhiễu A : Thay nhầm y  2   12
Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3x 2  9 x  35 trên đoạn  4; 4 .
A. max y  40 ;
B. max y  15 ;
C. max y  41 ;
D. max y  8
[  4;4]

[  4;4]

[  4;4]

[  4;4]

Giải:
x  1
�
2
; y (1)  40; y (3)  8; y (4)  41; y (15) =>
Cách 1: Ta có: y '  3x  6 x  9  0  �
x3
�
max y  40 (Đ.án:A)
[  4;4]

Cách 2: Sử dụng máy tính
Sử dụng chức năng Mod 7, nhập hàm số f ( x)  x 3  3x 2  9 x  35, start ? 4, En d ? 4, step ? 0,5
Trên bảng cho kết quả lớn nhất của hàm số là 40 đạt tại x = -1. Vậy Đáp án là A.
* Thông hiểu :

Câu 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 5  5 x 4  5 x3  4 trên [-1; 2] ?
A. min y  5
B. min y  23
 1;2

 1;2

y  15
C. min
 1;2

D.

min y  4
 1;2

� x0
�
Giải : y  5 x  20 x  15 x , y  0 � � x  1 , y  0   4, y  1  5, y  2   23
�
x  3  L 
�
Phương án nhiễu B,D,C : nhầm lẫn khi tính toán và so sánh
x 1
Câu 12: Cho hàm số y 
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
2x  1
1
1
y0

y 1
A. xmax
B. min y  
C. xmin
D. max y 
�[ 1;0]
�[ 1;0]
x�[ 1;0]
x�[ 1;0]
2
2
Giải:
Có thể hiểu yêu cầu bài toán là đi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn  1;0
,

4

3

2

,


Cách 1: y ' 

3

 2x  1

2

 0 => hàm số nghịch biến trên đoạn  1; 0 => max y  y (1)  0 ,
[ 1;0]

min y  y (0)  1
[ 1;0]

Vậy đáp án là A
Chú ý: Sử dụng máy tính hiệu quả cho bài này
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x )   x 2  2 x  3
A. Max f  x   2
B. Max f  x   2
C. Max f  x   0
D

Max f  x   3

D.

D

D

D

Hướng dẫn :
+ Hàm số xác định khi: 3 �x �1
x  1
+ f ' x  

; f '  x   0 � x  1� 3;1
 x 2  2.x  3
*f  3  0 ; f  1  0 ; f  1  2
f  x  2
Vậy Max
D

3
2
Câu 14: Tìmgiá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2.x  3x  12 x  10 trên đoạn  3;3

f  x   35
A. min
 3;3

f  x   10 C. min f  x   2
B. min
 3;3
 3;3

f  x   3
D. min
 3;3

Hướng dẫn
2
+ f '  x   6x  6x  12

�
x  1� 3;3

f ' x   0 � �
x  2 � 3;3
�
f  3  35 ; f  3  1 ; f  1  17 ; f  2   10
min f  x   35
 3;3

Câu 15Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 .
y  2
A. [min
B. min y  2 2
C. min y  2 2
 2;2]
[  2;2]

[  2;2]

y2
D. [min
 2;2]

Giải :
TXĐ:  2; 2
Ta có: y  1 

2x

2 4  x2
y  2
Vậy [min

 2;2]



4  x2  x
4  x2

 0  x  2, y  2   2; y  2   2; y( 2)  2 2

Chú ý : có thể dùng máy tính cho câu hỏi này với thời gian 20 giây
4
Câu 16: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  1  trên đoạn [1;3].
x


y  5.
A. max
 1;3
m ax y 
 1;3

7
C. max y  .
3
 1;3

y  3.
B. m 1;3ax


D.

16
.
3

4
y  f  1  5.
 0, x � 1;3 . Suy ra max
 1;3
x2
x
Câu 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) 
trên R
4  x2
1
y  1
y 1
y2
A. min y 
B. min
C. min
D. min
R
R
R
R
4
Giải :
x2

�
4  x2
 0  �
, f (2)  1/ 4, f (2)  1/ 4, lim f(x)=0 vậy min y  1
2
Ta có f '( x) 
x ��
2
x


2
R
�
4 x
4

Lời giải: y '  





Đáp án A.





1

2 x  1  x2 .
3
2
5
y .
B. min y  
C. min
.
 1; �
 1;1
3
5

Câu 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
2
y .
A. min
 1;1
3

D.

5
.
�
5
Lời giải: Tập xác định: D   1;1
min y  

�

2 5
�x �0
; y '  0 � 2 1  x2  x � �
� x
� 1;1
2
2
4  1 x   x
5
3 1 x2
�
2 �2 5 � 5
2
y  1   ; y �

;
y
1

.


�
� 3
3 �
5
3
� �
2
Vậy min y  y  1   .

 1;1
3
Giải thích phương án nhiễu:
1.Học sinh không tìm tập xác định và khi giải bước (1) thiếu điều kiện x �0 .
y'

y'

2 1  x2  x

2 1  x2  x

(1)

2 5
; y '  0 � 2 1  x2  x � 4  1  x2   x2 � x  �
� 1;1
5

3 1  x2
Câu 19:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x 2 .
y  2
A. [min
B. min y  2 2
C. min y  2 2
 2;2]
[  2;2]

[  2;2]

y2
D. [min
 2;2]

Giải :
TXĐ:  2; 2
Ta có: y  1 

2x
2 4  x2



4  x2  x
4  x2

 0  x  2, y  2   2; y  2   2; y( 2)  2 2


y  2
Vậy [min
 2;2]

Chú ý : có thể dùng máy tính cho câu hỏi này với thời gian 20 giây
1
Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  5  trên khoảng (0; �) .
x
A. min f ( x )  3
B. min f ( x)  1
(0;  �)

(0;  �)

min f ( x)  0
C. (0;
 �)

f ( x)  7
D. (0;min
 �)

Hướng dẫn
1
+ y�

1 x2  1
 2
x2
x

y�
 0 � x2  1
X
y’
Y

� x  1 (do x  0)
0
-

�

�

1
0

+

�

-3
min f ( x)  f (1)  3

(0;  �)

x2  2x  3
trên đoạn  0;3 .
x2
12
5
B. min y  
C. min y  
0;3
0;3
 
 
5
2

Câu 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

3
A. min y   .
0;3
 
2
7
min y  
0;3
 
2
Lời giải :Ta có : y ' 

x2  4 x  7

 x  2

2

 Vậy : min y  y (0)  
 0;3

 0x � 0;3

3
2

Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y   x  6  x 2  4 trên [ 0 ; 3 ]

y  3 13
A. Max
 0;3

y  5 5
B. Max
 0;3

y 3
C. Max
 0;3

y2
D. Max
 0;3

Hướng dẫn
2
+ y '  x  4   x  6

x



2x2  6x  4

x2  4
x 1
�
y '  0 � 2 x2  6x  4  0 � �

x2
�

x2  4

D.


 y (1)  5 5

 y(2)  8 2

 y (0)  12

 y (3)  3 13

Max y  3 13
 0;3

3. Vận dụng thấp
Câu 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 3 x  3sin x  1 trên đoạn [0;  ] .
y  1
A. min
[0; ]

B. min y 
[0; ]

 3
2

y 1
C. min
[0; ]

y2
D. min
[0; ]

Giải:
Ngoài cách đặt ẩn phụ sau đó sử dụng đạo hàm ta có thể dùng bằng máy tính như sau: Mod 7
nhập f ( x)  x 3  3x 2  9 x  35, start ?0, En d ?  , step ?  /12 trên cột f(x) ta thu được kết quả
min y  1, chọn đáp án A.
[0; ]

�  �
 ;
Câu 24: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 2 x  x trên đoạn �
.
� 2 2�
�

3 
3 
max y  .
max y  
 . C. max y 

A. �
B. �

 �




�
�
�
2
2
6
2
6
 ; �

;

;
�
�
�
�
�
2 2
�

�

3
max y 

�  �
2
 ; �
�

�2 2�

D.

�2 2�

�2 2�

Lời giải: Ta có : y '  2 cos 2 x  1

�x  6
 y' 0 � � 
�x  6

�  �
 ;
( Do x ��
)
� 2 2�
�

3 
 � 3 
� 
� � 

� �
�
�
 Tính : y �
 �
 ; y�
 �

 ; y� �

 ; y� �

2
6
6
� 2� 2
�6�
�6 � 2
�2 � 2

max y 
 Vậy : �
 �
2
 ; �
�
�2 2�

Câu 25: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  2sin 2 x  cos x  1
25

1
y2
Max y 
A. Max y 
B. Max
C.
x�R
8
4
x�R
x�R
Max y  0
x�R

Hướng dẫn
Đặt t  cos x (1 �t �1 ) miền giá trị của biến t . Thay sin 2 x = 1- t 2
y  2  1  t 2   t  1  2t 2  t  3
1
y '  4t  1  0 � t   �[ 1;1]
4
� 1 � 25
y �
 �
 y (1)  2
 y(1)  0
� 4� 8

D.

Max y 
t�[ 1;1]

25
8

Vậy Max y 
x�R

25
8

Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  sin 2 x  2 cos x  2.
A. max y  4.
B. m ax y  3.
C. max y  5.
�

 1;1

�

m ax y  8.
 1;1

Lời giải : TXĐ : D  R
 Ta có : y  cos 2 x  2 cos x  3

 Đặt : t  cos x ; t � 1;1 ; x �R

 Ta xét hàm số : g  t   t 2  2t  3 trên đoạn  1;1
 Ta có : g /  t   2t  2

 g /  t   0 � t  1
 Tính : g ( 1)  4; g (1)  0
max y  max g  t   4
 Vậy : R
 1;1

Câu 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. min y  2
x�[ 1;1]



32

2x 1  x2

x  1  x2  2
2 2
B. min y 
2
x�[ 1;1]
D. min y  2  3



y  1
C, min

x�[ 1;1]

x�[ 1;1]

Hướng dẫn
Đặt t  x  1  x 2 , x � 1;1 * Tìm miền giá trị của t

�t '  1 

x
1  x2



1  x2  x

1  x2
� x �0
2
�t '  0 � 1  x 2  x � � 2
�x
2
1 x  x
2
�

D.


x

2
2
0

1

t’

+

1
-

2

t

1

1

� t ��
1; 2 �
�
�
 t 2  1  2 1  x2 � 2 1  x2  t 2  1 � y 
�y ' 

t 2 1

t2

t 2  4t  1

 t  2

2

 y '  0 � t 2  4t  1  0 � t  2  3 hay t  2  3
( loai )

 y ( 3  2)  2( 3  2) ,
min y  2
x�[ 1;1]



32

( nhan )

y ( 1)  0 , y( 2) 



2 2
2

2
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  3 x  10 trên  4; 4 .

A. min y  0 .
[ 4;4]

B. min y  6 .
[ 4;4]

min y  4 .
[ 4;4]

Hướng dẫn
�2
x �5
�
�x  3x  10 khi �
x �2
y  x  3x  10  �
�
� 2
 x  3x  10 khi  2  x  5
�
2

Trên [ -4; 4 ]
�x 2  3 x  10 khi  4 �x �2
y� 2
 x  3x  10 khi  2  x �4
�
2 x  3 khi  4  x  2
�

y' �
2 x  3 khi  2  x  4
�
3
y'  0 � x 
2

C. min y  2 .
[ 4;4]

D.


x

-4

y’ (x)
y

3
4
2

-2

-

+0

49
4

18

0

6

min y  0
[ 4;4]

Câu 29: Tìm các giá trị thực của m để GTNN của hàm số y  x3  3mx2  3m2x  m  2 trên
[0;1].
bằng 1.
A. m=3.
B. m=0.
C. m=2.
D. m=
1.





Lời giải: y '  3x2  6mx  3m2  3 x  m
Do đó

min y  y  0  � 1  m  2 � m  3

2

�0, x ��

 0;1

Câu 30: Tìm m để GTLN của hàm số y  x4  2m2x2  m  1 trên [0;1] bằng 1.
A. m  1; m 
m=3.

1
.
2

B. m=2.

C. m=1.

D.





3
2
2
2
0;1�
.

Lời giải: y '  4x  4m x  4x. x  m �0, x ��
�
�

1
y  y  1 � 1  2m 2  m � m  1; m  .
Do đó max
 0;1
2
mx
Câu 31: Tìm m để hàm số y  2
đạt giá trị lớn nhất tại x  1 trên đoạn  2; 2 .
x 1
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  0 .
D. m  2 .
Cách 1:
m(1  x 2 )
2m
2m
m
m
y
'

 0  x  �1; f (2) 
, f (2) 
, f(1)  , f(1) 
2

Ta có
5
5
2
2
1  x2





mx
đạt giá trị lớn nhất tại x  1 khi m>0. Đáp án A
x2  1
Cách 2: Dùng máy tính, thử đáp án và suy ra m>0.
Câu 32 : Tìm GTNN của hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3x  10 .
Như vậy, hàm số y 

y 2
A. min
 2;5

.

y 5.
B. min
 2;5

min y  1 .
�

Lời giải: Tập xác định D=  2;5 . Ta có

y  2.
C. min
�

D.


y' 

y' 0 �

x2



2x  3

.
2  x 2  3x  10
x2  4x  4
4 x 2  12 x  9
x2


� 2
 x  4 x  21 4   x 2  3x  10 
 x 2  4 x  21 2  x 2  3 x  10

 x 2  4 x  21
2x  3

� 4   x 2  3 x  10   x 2  4 x  4     x 2  4 x  21  4 x 2  12 x  9 
� 51x 2  104 x  29  0 � x 
Thử lại, ta thấy chỉ có x 

1 hoặc
29 .
x
3
17

1
là nghiệm của y ' .
3

4. Vận dụng cao
3
3
Câu 33: Cho x , y �0 thỏa mãn x  y  4 . Tìm GTLN của biểu thức S   x  1  y  1 .
A. max S  49.

1
C. max S  .
3

B. max S  1.

D. max S  8.

x  y
Giải. Đặt t  xy , suy ra 0 �t �
 4 . Ta có
4
3
2
3
.
4 2  3t �
1  t3  4 �
S   xy    x  y  �
 x  y   3xy �
�
� 1  t  12t  63
�
�
3
2
Xét hàm f  t   t  12t  63 , với t � 0; 4 . Ta có f '  t   3t  12  0 t � 0; 4 � f  t  đồng
2

biến trên  0; 4 . Do đó


min S  min f  t   f  0   63 , đạt được khi và chỉ khi
t� 0;4
�x  y  4
�  x; y    4; 0  hoặc  x; y    0; 4  .
�

�xy  0



max S  max f  t   f  4   49 , đạt được khi và chỉ khi
t� 0;4
�x  y  4
�  x; y    2; 2  .
�
�xy  4

Câu 34: Cho x , y �0 thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm GTNN của S  x  y  xy .
1
A. min S  1.
B. min S  1.
C. min S  .
3
min S  8.
Giải.Đặt t  x  y � t  0 . Ta có
2
t 2   x  y  �2  x 2  y 2   4 � t �2 ,

t 2   x  y   x 2  y 2  2 xy �x 2  y 2  2 � t � 2 .
2

D.


�
Suy ra t ��

� 2; 2 �. Lại có

 x  y

2

  x2  y 2 

1 2
1
 t2 1 � S  f  t    t  t 1.
2
2
2
3
Ta có f '  t   t  1  0 với mọi t � 2; 2 , f  2   1 , f  1  . Do đó
2
�x  y  2
�x  1
min S  f  2   1 , đạt được � � 2
�

.
�
2
�y  1
�x  y  2
xy 







� 1 3
� 1 3
x

�
�x 
�x  y  1
3
�
�
2
2
��
max S  f  1  , đạt được � � 2
hoặc �
.
2
2
�x  y  2
�y  1  3
�y  1  3
�
�
�
2

�
2

Câu 35: Cho x , y �0 thỏa mãn x 2  y 2  8 . Tìm GTNN của S 

2
C. min S  .
3

4
A. min S  .
B. min S  1.
3
min S  2 2.
Giải. Đặt t  x  y , ta có

 x  y

2

 x  y

2

x
y

.
y 1 x 1
D.

�2  x 2  y 2   2 �
8  16 � t �4 ,

 x 2  y 2  2 xy �x 2  y 2  8 � t �2 2 .

Suy ra 2 2 �t �4 . Lại có

x�
y

 x  y

2

  x2  y 2 
2

t2  8 .

2

Ta có biến đổi sau đây

2
2
x  x  1  y  y  1  x  y  2   x  y   2 xy  t  t   t  8 
t 8 .
2
 2 �2

S 

t

8
 y  1  x  1
t  2t  6
x  y  xy  1
t
1
2
t 8
Xét hàm f  t   2
với 2 2 �t �4 . Ta có
t  2t  6
t 2  2t  6    t  8   2t  2  t 2  16t  22

f ' t  

 0 , t : 2 2 �t �4 .
2
2
2
2
t

2
t

6

t

2
t

6









2
�. Do đó min f  t   f  4   . max f  t   f 2 2  2 .
2
2;
4
Suy ra f nghịch biến trên �
�
�
t��
2 2 ;4 �
3
�
�

f  t 
+) S �2 �min
�
�
t��
2 2 ;4 �

được � x  y  2 .

�x 2  y 2  8
4
4
� x  y  2 . Vậy min S  , đạt
, dấu bằng xảy ra � �
3
3
�x  y  4

2
2
�
�x  0
�x  y  8
�x  2 2
S
�
2
�
max
f

t

2
2


�
�
+)
,
dấu
bằng
xảy
ra
hoặc �
.
�
�
�
t��
2
2
;4
�
�
�x  y  2 2
�y  2 2
�y  0
�x  0
4

�x  2 2
Vậy min S  , đạt được � �
hoặc �
.
3
�y  2 2
�y  0