1 baitoan bi (20bai) OK

HUỲNH ĐỨC KHÁNH

120 BÀI TOÁN
XÁC SUẤT ĐẶC SẮC

DẠNG 1. BÀI TOÁN BỐC BI
A – CƠ BẢN
Bài 1. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca, tính
xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ.
Lời giải
Khơng gian mẫu là chọn tùy ý 4 người từ 13 người.


4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C13 = 715 .
Gọi A là biến cố '' 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ '' . Ta có hai trường hợp
thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Chọn 3 nữ và 1 nam, có C83C51 cách.

● Trường hợp 2. Chọn cả 4 nữ, có C84 cách.
3 1
4
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8C5 +C8 = 350 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

350 70
=
.
715 143

Bài 2. Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên
5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ
bằng số bi vàng.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi.
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C18 = 8568 .
Gọi A là biến cố '' 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng ''
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có C61.C71.C53
cách.
● Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có C62.C72.C51
cách.
1
1
3
2
2
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6.C7.C5 +C6 .C7 .C5 = 1995 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

1995 95
=
.
8568 408

Bài 3. Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên
từ hộp 4 viên bị, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi
vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi.
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12 = 495 .
Gọi A là biến cố '' 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất
thiết phải có mặt bi xanh '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● Trường hợp 1. Chọn 1 bi đỏ và 3 bi xanh nên có C51.C43 cách.
● Trường hợp 2. Chọn 2 bi đỏ và 2 bi xanh nên có C52C42 cách.
● Trường hợp 3. Chọn 3 bi đỏ và 1 bi xanh nên có C53.C41 cách.
● Trường hợp 4. Chọn 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên có C52C31C41
cách.
1
3
2 2
3
1
2 1 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5.C4 +C5C4 +C5 .C4 +C5C3C4 = 240 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

240 16
=
.
495 33

Bài 4. Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó
thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào
lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.


7
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C21 = 116280 .
Gọi A là biến cố '' 7 hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly '' . Ta có các
trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:
● Trường hợp 1. Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có C81.C71.C65
cách.
● Trường hợp 2. Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có
C82.C72.C63 cách.
● Trường hợp 3. Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có
C83.C73.C61 cách.
1 1
5
2

2
3
3
3
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8.C7.C6 +C8 .C7 .C6 +C8 .C7 .C6 = 23856 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

23856
994
=
.
116280 4845

Bài 5. Có 13 học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong
đó khối 12 có 8 học sinh nam và 3 học sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn
ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ để trao thưởng, tính xác suất để 3 học sinh được
chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối 11 và khối 12 .
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C13 = 286 .
Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có cả khối
11 và khối 12 '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

● Trường hợp 1. Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1
học sinh nữ khối 12 nên có C21C81C31 = 48 cách.
● Trường hợp 2. Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có
C21C32 = 6 cách.
● Trường hợp 3. Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có
C22C31 = 3 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 48+ 6+ 3 = 57 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

57
.
286

Bài 6. Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh
ngọt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bánh. Tính xác suất sao cho trong năm lần
lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt.
Lời giải
Không gian mẫu là năm lần lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 cái bánh.
5

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= ( C82 ) .
Gọi A là biến cố '' Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và
một lần lấy được 2 bánh ngọt '' . Ta mô tả không gian của biến cố A như sau:
● Giai đoạn thứ nhất. Chọn 4 hộp bánh từ 5 hộp bánh, có C54 cách.
Sau đó mỗi hộp chọn ra 2 bánh mặn, có ( C52 )

2 4
5

C54 ( C
●

)

4

cách. Do đó có tất cả

cách cho giai đoạn này.

Giai đoạn thứ hai. Hộp còn lại duy nhất chọn ra 2 bánh ngọt nên có
C32 cách.


4

Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C54 ( C52 ) .C32 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

4

=

C54 ( C52 ) .C32
2 5
8

(C )

=

9375
�0,0087.
1075648

Bài 7. Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu
đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít
nhất 2 viên bi cùng màu.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C22 = 7315 .
Gọi A là biến cố '' Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu ''
. Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là
lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.
1 1 1 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C7C6C5C4 = 840 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = W- WA = 6475 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

6475 185
=
.
7315 209

Bài tập tương tự. Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và
4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách
được chọn không cùng một loại.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách trong thùng gồm 16
cuốn sách.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C16 = 560 .
Gọi A là biến cố '' 3 cuốn sách lấy ra không cùng một loại '' . Để tìm số phần tử
của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A , với biến cố A là 3 cuốn sách lấy ra
cùng một loại.
3
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 +C7 +C4 = 49 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = W- WA = 511.
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

511 73
=
.
560 80

Bài 8. Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực
hiện khuyến mãi như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khách sạn đều chọn ngẫu
nhiên hai người để tặng thưởng. Có hai đoàn du lịch cùng đến khách sạn, đoàn
thứ nhất có 6 người Việt Nam và 12 người Pháp; Đoàn thứ hai có 3 người Việt
Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tính xác suất để cả hai đoàn có ít nhất 2 người
nhận thưởng đều là người Việt Nam.
Lời giải
Không gian mẫu là số sách chọn ngẫu nhiên mỗi đoàn ra 2 người để tặng
thưởng.
2
2
Số phần tử của không gian mẫu là W= C18.C12 .
Gọi A là biến cố '' Cả hai đoàn có ít nhất 2 người nhận thưởng đều là người
Việt Nam '' . Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A là
cả hai đoàn có nhiều nhất 1 người Việt Nam nhận thưởng. Có 3 trường hợp thuận
lợi cho biến cố A như sau:


● Trường hợp 1. Đoàn thứ I chỉ có 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn
1
.C92
thứ II không có người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra có C61.C12
cách.
● Trường hợp 2. Đoàn thứ II chỉ có 1 người Việt được nhận thưởng, đoàn
2

thứ I không có người Việt nào được nhận thưởng. Suy ra có C31.C91.C12
cách.
● Trường hợp 3. Cả hai đoàn không có người Việt nào được nhận
2
.C92 cách.
thưởng, có C12
1 1
2
1 1
2
2
2
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6.C12.C9 +C3.C9.C12 +C12.C9 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

W- WA

=

W

=

62
.
187

Bài 9. Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên
bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi, tính
xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải
Không gian mẫu là số sách chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi.
1
1
Số phần tử của không gian mẫu là W= C15.C18 .
Gọi X là biến cố '' 2 viên bi lấy ra từ mỗi hộp có cùng màu '' . Ta có các kết
quả thuận lợi cho biến cố X như sau:
● Hộp A lấy ra 1 bi trắng và hộp B lấy ra 1 bi trắng, có C41C71 cách.
● Hộp A lấy ra 1 bi đỏ và hộp B lấy ra 1 bi đỏ, có C51C61 cách.
● Hộp A lấy ra 1 bi xanh và hộp B lấy ra 1 bi xanh, có C61C51 cách.
1 1
1 1
1 1
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4C7 +C5C6 +C6C5 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

C41C71 +C51C61 +C61C51
44
=
.

1
1
C15.C18
135

Bài tập tương tự. Tổ I có 5 học sinh nam, 6 học sinh nữ. Tổ II có 7 học sinh nữ, 4
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 học sinh để được 4 học sinh. Tính xác
suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ ra 2 học sinh.
2
2
Số phần tử của không gian mẫu là W= C11.C11 = 3025 .
Gọi A biến cố '' 4 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ '' . Ta có các
trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Tổ I chọn được 2 nam và tổ II chọn được 1 nam và 1
nữ.
Do đó trường hợp này có C52.C41.C71 cách.
● Trường hợp 2. Tổ I chọn được 1 nam và 1 nữ và tổ II chọn được 2
nam.
Do đó trường hợp này có C51 C16 .C42 cách.
2
1
1
1 1
2
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C4.C7 +C5 C 6 .C4 = 460 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

460
92
=
.
3025 605

Bài 10. Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu
nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả
cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.


Lời giải
Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
1
1
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20.C19 .
Gọi A biến cố '' 2 quả cầu được lấy cùng màu '' . Ta có các trường hợp thuận lợi
cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng
màu trắng.
Do đó trường hợp này có C81.C71 cách.
● Trường hợp 2. Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu
đen.
1
1

.C11
Do đó trường hợp này có C12
cách.
1 1
1
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C8.C7 +C12.C11 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

1
1
C81.C71 +C12
.C11
47
= .
1
1
C20.C19
95

B – NAÂNG CAO
Bài 11. Một tổ có 12 học sinh gồm có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ, trong đó
An là tổ trưởng còn Hoa là tổ phó. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong tổ để tham
gia hoạt động tập thể của trường nhân dịp ngày thành lập Đoàn 26 tháng 3. Tính

xác suất để sao cho nhóm học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ
trong đó phải nhất thiết có bạn An hoặc bạn Hoa nhưng không có cả hai (An là
học sinh nam, Hoa là học sinh nữ).
Lời giải
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ 12 học sinh.
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12 = 792 .
Gọi A là biến cố '' 5 học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ
trong đó phải nhất thiết có bạn An hoặc bạn Hoa nhưng không có cả hai '' . Ta mô
tả các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Có bạn An.
Chọn thêm 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam, có C62 cách.
Chọn 2 học sinh nữ từ 4 học sinh nữ (không chọn Hoa), có C42 cách.
Do đó trường hợp này có C62.C42 cách.
● Trường hợp 2. Có bạn Hoa.
Chọn thêm 1 học sinh nữ từ 4 học sinh nam, có C41 cách.
Chọn 3 học sinh nam từ 6 học sinh nam (không chọn An), có C63 cách.
Do đó trường hợp này có C41.C63 cách.
2
2
1
3
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C6 .C4 +C4.C6 = 170.

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

170
.
792

Bài 12. Để chuẩn bị kỷ niệm 50 năm thành lập trường THPT, nhà trường thành
lập hai tổ học sinh để đón tiếp các vị đại biểu. Tổ một gồm 3 học sinh lớp 12A 1 và
2 học sinh lớp 12A 2 ; tổ hai gồm 3 học sinh lớp 12A 1 và 4 học sinh lớp 12A 3 . Chọn
ngẫu nhiên từ mỗi tổ ra 2 học sinh, tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn
có đủ học sinh của ba lớp.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên mỗi tổ ra 2 học sinh.


2
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C5 .C7 = 210 .
Gọi A là biến cố '' 4 học sinh được chọn có đủ ba lớp '' . Ta mô tả các trường
hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Tổ một chọn 1 học sinh lớp 12A 1 , 1 học sinh lớp 12A 2 .
Tổ hai chọn 1 học sinh lớp 12A 1 , 1 học sinh lớp 12A 3 .
Do đó trường hợp này có C31.C21.C31.C41 = 72 cách.
● Trường hợp 2. Tổ một chọn 1 học sinh lớp 12A 1 , 1 học sinh lớp 12A 2 .
Tổ hai chọn 2 học sinh lớp 12A 3 .

Do đó trường hợp này có C31.C21.C42 = 36 cách.
● Trường hợp 3. Tổ một chọn 2 học sinh lớp 12A 2 .
Tổ hai chọn 1 học sinh lớp 12A 1 , 1 học sinh lớp 12A 3 .
Do đó trường hợp này có C22.C31.C41 = 12 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 72+ 36+12 = 120.

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

120 4
= .
210 7

Bài 13. Hộp bi thứ nhất có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Hộp bi
thứ hai có 2 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng và 7 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi
hộp 2 viên bi, tính xác suất sao cho 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng
không có bi xanh.
Lời giải
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 2 viên bi.
2
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12.C15 = 6930 .
Gọi A là biến cố '' 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng không có bi xanh '' .
Ta liệt kê các trường hợp thuận lợi của không gian biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi đỏ, có C42 cách.
Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 8 viên bi (2 đỏ và 6 vàng), có C82 cách.
●
C41C31 cách.

Do đó trường hợp này có C42.C82 = 168 cách.
Trường hợp 2. Chọn hộp thứ nhất 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có
Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 8 viên bi (2 đỏ và 6 vàng), có C82 cách.

Do đó trường hợp này có C41C31.C82 = 336 cách.

●

Trường hợp 3. Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi vàng, có C32 cách.
Chọn hộp thứ hai 2 viên bi đỏ hoặc 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có
C22 +C21C61 cách.
2
2
1 1
Do đó trường hợp này có C3 ( C2 +C2C6 ) = 39 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 168+ 336+ 39 = 543.
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

543
181
=
.
6930 2310

Bài 14. Một lớp học có 46 học sinh trong đó có 27 nam và 19 nữ. Đầu giờ truy bài
cán bộ phụ trách lớp kiểm tra và thống kê được rằng có 7 nam và 4 nữ không
chuẩn bị bài tập về nhà, trong đó có Mai (nữ) và Bình (nam). Vào tiết học cô giáo
gọi ngẫu nhiên 2 nam và 2 nữ lên bảng để kiểm tra bài tập về nhà. Tính xác suất

để 4 học sinh được gọi lên bảng đều không chuẩn bị bài tập về nhà, trong đó có
Bình và Mai.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách gọi ngẫu nhiên 2 nam, 2 nữ từ 46 học sinh.
2
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C27.C19 .
Gọi A là biến cố '' 4 học sinh (2 nam, 2 nữ) được gọi lên đều không chuẩn bị
bài tập về nhà, trong đó có Bình và Mai '' . Ta mô tả khả năng thuận lợi cho biến cố
A như sau:
● Gọi Bình và Mai lên bảng, có 1 cách.
● Tiếp theo gọi 1 bạn nam từ 6 bạn không làm bài tập về nhà còn lại và 1
bạn nữ từ 3 bạn không làm bài tập về nhà còn lại, có C61C31 cách.
1 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1.C6C3 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

1.C61C31
2
=
.
2

2
C27.C19 6669

Bài 15. Một hộp chứa 3 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu trắng
và 7 viên bi màu đen. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên bi
được chọn không nhiều hơn ba màu và luôn có bi màu xanh.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 21 viên bi.
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C21 = 5985 .
Gọi A là biến cố '' 4 viên bi được chọn không nhiều hơn ba màu và luôn có bi
màu xanh '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Chọn 3 viên bi màu xanh, có C33 cách.
1
Chọn thêm 1 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), có C18

cách.
1
Do đó trường hợp này có C33.C18
cách.

● Trường hợp 2. Chọn 2 viên bi màu xanh, có C32 cách.
2
Chọn thêm 2 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen), có C18

cách.
2
Do đó trường hợp này có C32.C18
cách.

● Trường hợp 3. Chọn 1 viên bi màu xanh, có C31 cách.
Chọn thêm 3 viên bi trong 18 viên bi (5 đỏ, 6 trắng, 7 đen) nhưng
3
- C51C61C71 cách.
không đủ cả ba màu (đỏ, trắng, đen), có C18
1
3
1 1 1
Do đó trường hợp này có C3.( C18 - C5C6C7 ) cách.
3
1
2
2
1
3
1 1 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C3 .C18 +C3 .C18 +C3.( C18 - C5C6C7 ) = 2295 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

2295 51
=
.
5985 133

Bài 16. Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu
xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3
viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính
xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số.
Lời giải
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C12 = 66 .
Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số '' .


● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 = 16 cách (do số
bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh
nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 = 12 cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 = 9 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 16+12+ 9 = 37 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

37
.
66

Bài 17. Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu
nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.
6
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C14 = 3003 .
Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' . Để tìm số phần tử
của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có
đủ ba màu như sau:
● Trường hợp 1. Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu
vàng).
Do đó trường hợp này có C66 = 1 cách.
● Trường hợp 2. Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có C86
cách.
6
- C66 cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có C11

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có C96 - C66 cách.
6
6
6
6
6
Do đó trường hợp này có C8 +( C11 - C6 ) +( C9 - C6 ) = 572 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 1+ 572 = 573 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = W- WA = 3003- 573 = 2430 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

2430 810
=
.
3003 1001

Bài 18. Trong một hộp có 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên
3 viên bi trong hộp, tính xác suất để tổng ba số trên 3 viên bi được chọn là một số
chia hết cho 3.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp chứa 50 viên bi.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C50 = 19600 .
Gọi A là biến cố '' 3 viên bi được chọn là một số chia hết cho 3 '' . Trong 50 viên
bi được chia thành ba loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số
chia cho 3 dư 1 và 17 viên bi còn lại có số chia cho 3 dư 2. Để tìm số kết quả
thuận lợi cho biến cố A , ta xét các trường hợp
3
3
3
● Trường hợp 1. 3 viên bi được chọn cùng một loại, có ( C16 +C17 +C17 )
cách.
1
1
1
.C17
.C17
● Trường hợp 2. 3 viên bi được chọn có mỗi viên mỗi loại, có C16

cách.

3
3
3
1
1
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = ( C16 +C17 +C17 ) +C16.C17.C17 = 6544 .


Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

6544
409
=
.
19600 1225

Bài 19. Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3
cuốn sách Vậy Lí và 3 cuốn sách Hóa Học. Thầy giáo muốn lấy ra 5 cuốn và tặng
cho 5 học sinh A, B, C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách
tặng nếu sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít
nhất một cuốn.

Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 trong 10 cuốn sách rồi tặng cho
5 học sinh.
5
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= A10 = 30240 .
Gọi A là biến cố '' Sau khi tặng sách thì mỗi một trong ba loại sách của thầy
giáo còn lại ít nhất một cuốn '' . Để tìm số phần tử của A , ta tìm số phần tử của
biến cố A , tức sau khi tặng sách có môn không còn lại cuốn nào. Vì tổng số sách
của hai loại bất kỳ lớn hơn 5 cuốn nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại
sách. Do vậy chỉ có thể một môn hết sách, ta có các khả năng:
� Cách tặng sao cho không còn sách Toán, tức là ta tặng 4 cuốn sách
toán, 1 cuốn còn lại Lý hoặc Hóa
+) 4 cuốn sách Toán tặng cho 4 người trong 5 người, có A54 cách.
+) 1 người còn lại được tặng 1 cuốn trong 6 cuốn (Lý và Hóa), có
A61 .
Suy ra có A54.A61 = 720 cách tặng sao cho không còn sách Toán.
� Tương tự, có A53.A72 = 2520 cách tặng sao cho không còn sách Lý.
� Tương tự, có A53.A72 = 2520 cách tặng sao cho không còn sách Hóa.
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 720+ 2520+ 2520 = 5760 .
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = W- WA = 30240- 5760 = 24480 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

24480 17
=
.

30240 21

Bài 20. Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 6 viên bi xanh và 7 viên bi trắng. Chọn ngẫu
nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để được 6 viên bi có cả ba màu đồng thời
hiệu của số bi xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ
và số bi trắng theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi.
6
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C18 = 18564 .
Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được chọn có cả ba màu đồng thời hiệu của số bi
xanh và bi đỏ, hiệu của số bi trắng và số bi xanh, hiệu của số bi đỏ và số bi trắng
theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng '' .
Gọi x, y, z lần lượt là số bi đỏ, bi xanh và bi trắng được lấy. Suy ra
+) Hiệu của số bi xanh và bi đỏ là y- x .
+) Hiệu của số bi trắng và bi xanh là z - y .
+) Hiệu của số bi đỏ và bi trắng là x - z .
Theo giả thiết, ta có ( y- x) +( x - z) = 2.( z - y) � y- z = 2.( z - y) � y = z .
Do đó biến cố A được phát biểu lại như sau '' 6 viên bi được chọn có cả ba
màu đồng thời số bi xanh bằng số bi trắng '' . Ta có các trường hợp thuận lợi cho
biến cố A như sau:
● Trường hợp 1. Chọn 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 2 viên bi trắng.


Do đó trường hợp này có C52.C62.C72 cách.
● Trường hợp 2. Chọn 4 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh và 1 viên bi trắng.
Do đó trường hợp này có C54.C61.C71 cách.
2
2
2

4
1
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C5 .C6 .C7 +C5 .C6.C7 = 3360 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

3360
40
=
.
18564 221