5 de thi (8bai) OK

DẠNG 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ THI
Bài 1. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó người ta xây
dựng thành hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được
đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10. Tính xác suất để xây dựng được hai đề thi
mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. Khơng gian mẫu là số cách xây dựng
hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu được chọn ra từ ngân hàng 20 câu hỏi.
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu
được chọn ra từ ngân hàng 20 câu hỏi.
● Chọn ra 10 câu hỏi cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp theo thứ tự từ
10
.10! cách.
Câu 1 đến Câu 10 có C20
● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1
đến Câu 10 có 10! cách.
2

10
10
Suy ra số phân tử của khơng gian mẫu là W= C20
.
.10!.10! = ( 10!) .C20

Gọi A là biến cố '' Xây dựng được hai đề thi mỗi đề gồm 2 câu hỏi khó '' .
● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho
đề thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến
8
.10! cách.
Câu 10 có C42.C16
● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1
đến Câu 10 có 10! cách.

2

8
8
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C42.C16
.
.10!.10! = ( 10!) .C42.C16

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

2

=

( 10!) .C42.C168 135
=
.
2
10
323
( 10!) .C20

Bài 2. Một bộ đề thi tốn học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được
chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là '' Tốt
'' nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ
khơng ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để
đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' .

Lời giải
5
Số phần tử của khơng gian mẫu là W= C30 = 142506 .
Gọi A là biến cố '' Đề thi lấy ra là một đề thi '' Tốt '' '' .
Vì trong một đề thi '' Tốt '' có cả ba câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số
câu dễ khơng ít hơn 2 nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố
A.
3 1 1
C10C5 đề.
● Đề thi gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó: có C15
3 1 1
C10C5 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó: có C15
2 1
C10C52 đề.
● Đề thi gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình và 2 câu khó: có C15
Suy ra số phần tử của biến cố A là
3 1 1
3 1 1
2 1
WA = C15
C10C5 +C15
C10C5 +C15
C10C52 = 56875 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

56875
625
=
.
142506 1566

Bài 3. Trong một kỳ thi vấn đáp thí sinh A phải đứng trước ban giám khảo
chọn ngẫu nhiên 3 phiếu câu hỏi từ một thùng phiếu gồm 50 phiếu câu hỏi,
trong đó có 4 cặp phiếu câu hỏi mà mỗi cặp phiếu có nội dung khác nhau
từng đơi một và trong mỗi một cặp phiếu có nội dung giống nhau. Tính xác
suất để thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi có nội dung khác nhau.
Lời giải
Khơng gian mẫu là số cách chọn tùy ý 3 phiếu câu hỏi từ 50 phiếu câu hỏi.


3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là WA = C50 .
Gọi X là biến cố '' Thí sinh A chọn được 3 phiếu câu hỏi khác nhau '' .
Để tìm số phần tử của X ta tìm số phần tử của biến cố X , lúc này cần
chọn được 1 cặp trong 4 cặp phiếu có câu hỏi giống nhau và chọn 1 phiếu
trong 48 phiếu còn lại.
1
1
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C4.C48 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX

W

=

W- WX
W

=

3
1
C50
- C41.C48
1213
=
.
3
C50
1225

Bài 4. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy
ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân
hàng đề thi. Tính xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít
nhất 2 câu đã thuộc.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng 20 câu
hỏi.
4
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C20 = 4845 .
Gọi A là biến cố '' Thí sinh A rút được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc '' .

● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc.
2
2
.C10
= 2025 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Trường hợp này có C10
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc.
3
1
.C10
= 1200 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Trường hợp này có C10
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc.
4
= 210 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Trường hợp này có C10
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = 2025+1200+ 210 = 3435 .
Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

3435 229
=
.
4845 323

Bài 5. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn

trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí sinh tự
chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Một trường
THPT có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật lí và
20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của trường,
tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn Vật lí và học
sinh chọn môn Hóa học.
Lời giải
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 40 học
sinh.
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C40 .
Gọi A là biến cố '' 3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý
và học sinh chọn môn Hóa học '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi
cho biến cố A .
● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 2 học sinh chọn môn Hóa học.
1
2
.C20
Trường hợp này có C10
khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Có 2 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học.
2
1
.C20
Trường hợp này có C10
khả năng thuận lợi cho biến cố.
● Có 1 học sinh chọn môn Vật lí, 1 học sinh chọn môn Hóa học, 1 học
sinh chọn các môn khác (Sinh học, Lịch sử và Địa lí).
1
1

1
.C20
.C10
Trường hợp này có C10
khả năng thuận lợi cho biến cố.
1
2
2
1
1
1
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10.C20 +C10.C20 +C10.C20.C10 .


Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

1
2
2
1
1
1
1
C10

.C20
+C10
.C20
+C10
.C20
.C10
120
=
.
3
C40
247

Bài 6. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4
phương án trả lời. Tính xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu
hỏi.
Lời giải
Không gian mẫu là số phương án trả lời của bài thi.
10
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 4 .
Gọi A là biến cố '' Học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi '' nên ta có
các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A .
● Học sinh làm được 8 câu hỏi, tức là làm đúng 8 câu và sai 2 câu.
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả
lời.
8
Trường hợp này có C10
.( 3)

2

khả năng thuận lợi cho biến cố.

● Học sinh làm được 9 câu hỏi, tức là làm đúng 9 câu và sai 1 câu.
9
.3 khả năng thuận lợi cho biến cố.
Trường hợp này có C10
● Học sinh làm được 10 câu hỏi, tức là làm đúng hết 10 (không sai
câu nào).
10
Trường hợp này có C10
khả năng thuận lợi cho biến cố.
2

8
9
10
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C10
.( 3) +C10
.3+C10
= 436 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

436

109
=
.
10
4
262144

Bài 7. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm
Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4
phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được
0,2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng
45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm
2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm.
Lời giải
Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu
nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn
ngẫu nhiên.
10
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 4 .
Gọi X là biến cố '' Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là
chọn ngẫu nhiên '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X .
● Thí sinh A làm được 5 câu, tức là làm đúng 5 câu và sai 5 câu. Mỗi
câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.
5

5
Trường hợp này có C10
.( 3) khả năng thuận lợi cho biến cố.
6

● Thí sinh A làm được 6 câu. Trường hợp này có C10
.( 3)
thuận lợi.

4

khả năng

7
● Thí sinh A làm được 7 câu. Trường hợp này có C10
.( 3)

3

khả năng

2

khả năng

thuận lợi.
8
● Thí sinh A làm được 8 câu. Trường hợp này có C10
.( 3)

thuận lợi.
9
.3 khả năng thuận
● Thí sinh A làm được 9 câu. Trường hợp này có C10
lợi.

10
● Thí sinh A làm được 10 câu. Trường hợp này có C10
khả năng thuận
lợi.
Suy ra số phần tử của biến cố X là


5

4

3

2

5
6
7
8
9
10
WX = C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.3+C10
= 81922 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

81922
�0,078 .
410

Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là
trường hợp:

1
3
, trả lời sai là
. Ta có các
4
4
5

5

1� �
3
5 ����
�
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là C10
.� �
�

�;
�
�
�
�
����
4
4�
6

4

1� ��
3�
6 ��
�
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là C10
�.�
�;
�
�
�
�
��
4� ��
4�
7

●

3

1 �
3
7 ����
�
Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là C10
�.� �
�;
��
�
����
4� �
4�
8

2

1� �
3
8 ����
�
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là C10
.� �
�
�;
�
�
�
�

����
4
4�
9

1� 3
9 ��
�
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là C10
�. ;
�
�
��
4� 4
10

1�
10 ��
�
● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là C10
�.
�
�
��
4�
Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính P �0,078 .
Bài 8. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng
Anh. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời
A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị
trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên chọn ngẫu nhiên

cả 50 câu trả lời. Tính xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh
trong kỳ thi trên.
Lời giải
Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50- x là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x - 0,1.( 50- x) = 4 � x = 30 .
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu
nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng.
50
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= 4 .
Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu
đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có
30
C50
.( 3)

20

khả năng thuận lợi cho biến cố X .
20

30
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C50
.( 3) .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

C5300.( 3)
50

4

20

; 1,3.10- 7.