Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay nguyễn văn phép file word

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của hai phép tính đạo hàm và tích phân ở phổ
thông trung học. Kiến thức về giới hạn không những khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy.
Trong tình hình hiện nay để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm. Để giúp giảm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài
này.
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số:
Quy ước: trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n.
• Gặp hàng số: C ×1010 , C ×1020 … đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C là hằng số (chú ý có thể lớn hơn
10).
Ví dụ −5 ×1010 (đọc là âm vô cực ghi −∞ )
• Gặp hằng số C × 10−12 đọc là 0 (chú ý số mũ có thể nhỏ hơn −10 ).
A. Dãy có giới hạn là 0
−1
−1
10
Ví dụ 1: lim ( ) máy ghi: ( ) calc x ? Nhập 10 [ = ]
n+5
x+5
−11
Kq: 9.99999995 ×10 ta đọc là 0
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
n

x

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng

đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Kq: 9.99999995 ×10−11 ta đọc là 0
−1
Vậy lim ( ) = 0
n+5
n

−1
Ví dụ 2: lim ( )
–

cos n
−1 cos x
nếu nhập ( )2
calc như trên máy sẽ Math ERROR .
2
n +1
x +1
Vận dụng định lý 1 Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 .

–

Ta chỉ cần ghi

Vậy lim (

n

x

1
calc x? nhập 1010 [ = ] kết quả 1×10−20 đọc là 0
x +1
2

−1) cos n
=0
n2 + 1
n

−1
Ví dụ 3: lim ( )

n

máy ghi

( −1)

x
−31
calc x? 100 kq: 3.84430..26 ×10 đọc là 0

2 +1
2 +1
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
n

x

Màn hình sẽ xuất hiện:

Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


−1
Vậy lim ( )

x

=0
2x + 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Tìm các giới hạn
n
− ( n + 1)

sin n
−1)
(
2.
3. lim
lim
2
n+5
n
2n − 1
B. Giới hạn hữu hạn:
n
 ( −1) n 
−1)
10
(
lim
2
+


Ví dụ 1:
máy ghi: 2 +
calc x? nhập 10 [ = ] kq là 2
n + 2 

n+2
Cách bấm máy:

1. lim

4. lim

cos 2n
n3 + 1

 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 ( −1) n 
=2
Vậy lim  2 +
n + 2 

sin 3n 1
1
 sin 3n 
 sin 3n 
− 1÷ = −1 vì
≤ mà lim = 0 khi đó lim ( −1) = −1 nên lim 

− 1 ÷ = −1
Ví dụ 2: lim 
4n
n
n
 4n

 4n

n 2 − 3n + 5
2n 2 − 1
Cách bấm máy:
 Nhập và máy tính:
Ví dụ 3: lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

n 2 − 3n + 5
Vậy lim
= 0.5
2n 2 − 1
Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
−2n − 4n + 3n + 3

−2n3 − 4n 2 + 3n + 3
15
máy
ghi
calc x? nhập 10 [ = ] kq là −2
3
3
n − 5n + 7
n − 5n + 7
3
2
−2n − 4n + 3n + 3
Vậy lim
= −2
n3 − 5n + 7
3

2

Ví dụ 4: lim

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ví dụ 5: Máy ghi lim

−1
2 X +1 − 3 X + 11
calc x = 100 kq
X +2

X +3
9
3 +2 −4

2n +1 − 3n + 11 −1
=
3n + 2 + 2n +3 − 4 9
13.3n − 15
13 × 3 X − 15
Ví dụ 6: lim n
máy
ghi
calc X? nhập 100 [ 0] 3.19755... ×10−17 đọc là 0.
n
X
X
3.2 + 4.5
3 × 2 + 4.5
Vậy: lim

13.3n − 15
= 0 (chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm)
3.2n + 4.5n
C. Giới hạn vô cực:
Vậy lim

−n3 − 3n + 5
− n3 − 3n + 5
15
máy

ghi
calc x? nhập 10 [ = ] kq −5 × 1014 đọc là âm vô cực
2
2
2n + 11
2n + 11
−n3 − 3n + 5
Vậy lim
= −∞
2n 2 + 11
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Ví dụ 1: lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

−n3 − 3n + 5
= −∞
2n 2 + 11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2
2
15
Ví dụ 2: lim ( 5n − 3n + 1) máy ghi ( 5n − 3n + 1) calc x? nhập 10 [ = ] kq là 5 ×1030 (đọc là dương vô cực)

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

−n3 − 3n + 5
= +∞
2n 2 + 11

Ví dụ 3: lim 3n 4 + 5n 2 + n − 1 máy ghi:
dương vô cực)

15

3n 4 + 5n 2 + n − 1 calc x? nhập 10

[ =]

kq: 1.73205...08 × 1030 (đọc là

Vậy: lim 3n 4 + 5n 2 + n − 1 = +∞
(Nhập tương tự ví dụ 2)
f ( n)
* Nếu
với f ( n ) , g ( n ) là các đa thức theo n. Ta chú ý đến số hạng chứa mũ cao nhất của n trong
g ( n)
từng biểu thức f ( n ) , g ( n )
−2n3 + 3n − 2
2n 3
15
máy
ghi
calc x? nhập 10 [ = ] kq: −6.66666667 ×1014 (đọc là âm vô cực)
2
2
3n − 5
3n
Cách bấm máy:

Ví dụ 1: lim

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Nhập vào máy tính:

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

−2n3 + 3n − 2
= −∞
3n 2 − 5
Tương tự cho các ví dụ bên dưới
Vậy lim

Ví dụ 2: lim
Vậy lim

n 6 − 7 n3 − 5n + 8
máy ghi
n + 12

15
n6
calc x? nhập 10 [ = ] kq 1×1030 (đọc là dương vô cực)
n

n 6 − 7 n3 − 5n + 8
= +∞
n + 12

3n + 1
3x + 1
17
máy
calc x? 100 [ = ] 4065611... ×10 đọc là +∞
n
x
2 −1
2 −1
n
* CHÚ Ý: Gặp a nhập n = 100
Ví dụ 3: lim

3n + 1
= +∞
2n − 1
n 2 + 4n − 5
n2
15
Ví dụ 4: lim 3
máy
ghi
calc x ? Nhập 10 [ = ] kq: 0
2
3
3n + n + 7
3n
Vậy lim

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy: lim

n 2 + 4n − 5
=0
3n3 + n 2 + 7

2
15
2n 4 + 3n − 2
2n 4
máy
ghi
calc x? nhập 10 [ = ] kq:
2
2
2
2n − n + 3
2n
Nếu gặp dạng tổng – hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng dạng trên.
n +1
n
2
n2 + n + 1 − n =
calc x? nhập
Ví dụ 1: lim n + n + 1 − n ta có
máy ghi
2

2
n + n +1 + n
n +n
Ví dụ 5: lim

1015 [ = ] kq:
Vậy lim

(

1
2

)

n2 + n + 1 − n =

Ví dụ 2: lim

(

)

(

)

(

)

1
2

1
ta có
n + 2 − n +1

1
= n + 2 + n +1 ≈ 2 n
n + 2 − n +1

Mà lim n = +∞
1
= +∞
Vậy: lim
n + 2 − n +1
1
1
calc x? nhập 1015 [ = ] kq: 0
Ví dụ 3: lim
máy ghi
3n + 2 − 2n + 1
3n − 2n
1
= 0 (các hệ số trước n lệch nhau không cần nhân lượng liên hợp)
Vậy: lim
3n + 2 − 2n + 1
Ví dụ 4: lim

n2 + 1 − n + 1
máy ghi:
3n + 2

1
15
n2 − n
calc x? nhập 10 [ = ] kq:
3
3n
Bài tập rèn luyện:

Tìm các giới hạn sau:
4n 2 − n − 1
1. lim
(KQ: 2)
3 + 2n 2

2. lim

2 
 2
3. lim  n −
÷ (KQ: +∞ )
n +1


4. lim

2n − 3n3 + 1

5. lim
(KQ: −3 )
n3 + n 2

2 − 3n ) ( n + 1)
6. lim (

(

3n 2 + 5 + n
(KQ: 0)
1 − 2n 2

)

n 2 + n − n 2 − 1 (KQ:
3

1 − 4n

5

2

(KQ:

3 − 4n + 1
n + n − 1 − 4n − 2
(KQ: −1 )
8. lim

(KQ: −1 )
2.4n + 2n
n+3
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
lim f ( x ) Nếu f ( x ) xác định tại x0 viết f ( x ) calc? x0 [ = ] f ( x0 )
x→x
7. lim

2

2

n

0

( x3 + 5x2 + 10 x ) máy viết: ( x3 + 5 x2 + 10 x ) calc X? 2[ =] 48
Ví dụ 1: lim
x →2
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1
)
2

27

)
4


 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

3
2
Vậy lim x →2 ( x + 5 x + 10 x ) = 48

Tương tự cho ví dụ 2
x2 − 5x + 6
= − 2 = f ( 1)
x−2
2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
f ( x)
0
2.1 Dạng Khi tìm lim x → x0
mà f ( x0 ) = 0 và g ( x0 ) = 0
g ( x)
0
Ví dụ 2: lim x →1

Ví dụ 3: lim x →2

x2 − 4
x2 − 4
máy
ghi
calc X? nhập 2, 000001 (lớn hơn 2 một tí ti) máy hiện
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2

3,999997 làm tròn đọc là 4 hay nhập x = 1,999999999 (nhỏ hơn 2 một tí ti) [ = ] 4
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

x2 − 4
Vậy lim x →2 2
=4
x − 3x + 2
Tương tự cho các ví dụ tiếp theo
1
x3 − 3x + 2

x3 − 3x + 2
Ví dụ 4: lim x →1 4
máy ghi 4
calc X? Nhập 0,9999999 [ = ]
2
x − 4x + 3
x − 4x + 3
x3 − 3x + 2 1
=
x4 − 4x + 3 2
x 4 − x 2 − 72
x 4 − x 2 − 72
Ví dụ 5: lim x →3 2
máy ghi 2
calc X? nhập 3, 0000001 kq: 25,50000069 đọc là 25,5
x − 2x − 3
x − 2x − 3
hoặc nhập 2,9999999 kq: 25, 49999993 đọc là 25,5
Vậy lim x →1

x 4 − x 2 − 72 51
=
x2 − 2x − 3
2
1 
1 
−1
 2
 2
−

−
Ví dụ 6: lim x →1  2
÷ máy ghi  2
÷ calc X? nhập 1, 000000001[ = ] KQ:
2
 x −1 x −1 
 x −1 x −1 
3 
3 
 1
 1
−
−
calc X? nhập 1, 000000001[ = ] − 1 KQ: −1
Ví dụ 7: lim x →1 
3 ÷ máy ghi 
3 ÷
 1− x 1− x 
1− x 1− x 
Vậy lim x →3

Ví dụ 8: lim x →a

x4 − a4
x4 − a4
máy ghi
calc
x−a
x−a

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chọn a = 0 khi đó x → 0
Chọn a = 1 khi đó x → 1
Chọn a = 2 khi đó x → 2
Chọn a = 3 khi đó x → 3

kq: 0
kq: 4 = 4 × 13
kq: 32 = 4 × 23
kq: 108 = 4 × 33

x4 − a4
= 4a 3
x−a
Nhận xét bài này thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn!
Bảng chia Hoocner
Hệ số của x
1
0
0
a
a
1
a2
Vậy lim x →a

lim x →a

( x − a ) ( x3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )
x−a

0
a3

−a 4
0

= lim x→a ( x3 + ax 2 + a 2 x + a 3 ) = 4a 3

f ( x)
∞
thường gặp khi x → ±∞ nếu dạng
không chứa căn bậc chẵn thì tính như giới hạn dãy
g ( x)
∞

2.2 DẠNG:

Chỉ khác n thay bằng x, khi x → −∞ nhập −1010
Ví dụ 1: lim x →+∞
Ví dụ 2: lim x →−∞
Ví dụ 3: lim x →+∞
Ví dụ 4: lim x →−∞

−3
3x3 − 2 x + 2
3x3 − 2 x + 2
máy

ghi
calc X? 1020 KQ:
3
2
3
2
2
−2 x + 2 x − 1
−2 x + 2 x − 1
x 4 − 3x 2 + 1
x 4 − 3x 2 + 1
máy
ghi
calc X? -1010 KQ: +∞
− x3 + 2 x − 2
− x3 + 2 x − 2
x 4 − 3x 2 + 1
x 4 − 3x 2 + 1
máy ghi
calc X? 1010 KQ: −1×1020 → −∞ (đọc là trừ vô cực)
3
3
− x + 2x − 2
−x + 2x − 2
1
x 2 − 3x + 2 x
x 2 − 3x + 2 x
máy ghi
calc X? − 1020 KQ:
3

3x − 1
3x − 1
4 x2 − 2x + 1 + 2 − x

Ví dụ 5: lim X →±∞
TH1: lim X →+∞
TH2: lim X →−∞

4 x2 − 2x + 1 + 2 − x
9 x 2 − 3x + 2 x
4 x2 − 2x + 1 + 2 − x
9 x − 3x + 2 x
2

Ví dụ 6: lim X →+∞

(

x + x +1 + x

(

(

1
5

CALC X? − 1020 KQ: 3

)

CALC X? 1020 KQ

2

Ví dụ 7: lim X →−∞

CALC X? 1020 (trong căn) KQ:

x 2 + x + 1 − x dạng ( ∞ − ∞ )

x +1

Máy ghi

Máy ghi:

9 x 2 − 3x + 2 x

)

1
2

x 2 + x + 1 − x Khi đó không phải dạng ( ∞ − ∞ ) nên không cần nhân lượng liên hợp

x2 + x + 1 − x

)

CALC − 1020 KQ 2 × 1020 đọc là +∞ .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất