LOGARIT PHƯƠNG TRÌNH, BPT LOGARIT (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải)

HTTP://DETHITHPT.COM

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.
Chú ý: Khi giải phương trình lôgarit nhớ đặt điều kiện xác định.
Ví dụ:

log f ( x) g( x)

ĐK 0 < f ( x) ≠ 1

→ 
.
g
x
>
0
(
)


DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN
1. Phương pháp

loga x = m,  ( 0 < a ≠ 1) ⇔ x = am.
2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phương trình log3 ( 3x − 2) = 3 có nghiệm là
A.

x=

11
.
3

B.

x=

25
.
3

C.

x=

29
.
3

D. x = 87.

Lời giải:
Điều kiện:

Ta có:

2
x> .

3

log3 ( 3x − 2) = 3 ⇔ 3x − 2 = 33 ⇔ x =

29
( tm) ⇒ Chọn đáp án C.
3

Câu 2. Số nghiệm của phương trình log3 ( x− 2) + 1 = 0 là
A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải:
Điều kiện: x > 2.
Ta có:

log3 ( x − 2) + 1 = 0 ⇔ log3 ( x − 2) = −1 ⇔ x − 2 =

Phương trình đã cho có một nghiệm

1
7
⇔ x = ( tm) .
3
3

⇒ Chọn đáp án D.

Câu 3. Nghiệm của phương trình log2 ( log4 x) = 1 là
A.

x = 16.

B.

x = 2.

C.
Lời giải:

Điều kiện:

x > 0
x > 0
⇔
⇔ x > 1.

log4 x > 0  x > 1

x = 4.

D.

x = 8.

HTTP://DETHITHPT.COM
Ta có:

log2 ( log4 x) = 1 ⇔ log4 x = 2 ⇔ x = 42 = 16 ⇒ Chọn đáp án A.

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình log
A.

{ 3} .

B.

{ −4;2} .

3

x+ 1 = 2 là
C.

{ −10;2} .

D.

{ −3;2} .

Lời giải:
Điều kiện:

Ta có:

log

x + 1 > 0 ⇔ x ≠ −1.

3

 x = 2 ( tm)
 x + 1= 3
x+ 1 = 2⇔ x+ 1 = 3⇔ 
⇔
⇒ S = { −4;2} .
 x + 1= −3  x = −4 ( tm)

⇒ Chọn đáp án B.
Câu 5. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình log3 x( x+ 2) = 1 với x1 < x2 . Khi đó x1; x2
thỏa mãn
A.

x1.( x2 + 2) = 3.

B.

x1 + x2 = −3.

C.

x1.x2 = −2.

D.

x1 + 3x2 = 0.

Lời giải:
Điều kiện:

Ta có:

x > 0
x( x + 2) > 0 ⇔ 
.
 x < −2

 x2 = 1 ( tm)
log3 x( x + 2) = 1 ⇔ x( x + 2) = 3 ⇔ 
⇒ x1 + 3x2 = 0 ⇒ Chọn đáp án D.
 x1 = −3 ( tm)

Câu 6. Nghiệm của phương trình logx ( x+ 2) = 2 là
A. x = −1.

B. x = 2.

C. x = −2.

D. x = 0.

Lời giải:

 x + 2 > 0  x > −2

x > 0


⇔ x > 0 ⇔ 
.
Điều kiện:  x > 0
x ≠ 1
x ≠ 1
x ≠ 1


Ta có:

 x = −1 ( loai )
& ⇒ Chọn đáp án B.
logx ( x + 2) = 2 ⇔ x + 2 = x2 ⇔ 
 x = 2 ( tm)

(

)

2
Câu 7. Phương trình logx 2x − 5x + 4 = 2 có nghiệm là

A. x = 4.

B.

x = 1

.

x = 2

C. x = 1.
Lời giải:

D.

x = 1
.

x = 4


HTTP://DETHITHPT.COM
 2x2 − 5x + 4 > 0, ∀x ∈ ¡
x > 0

⇔
.
Điều kiện:  x > 0
x ≠ 1
x ≠ 1

Ta có:

 x = 4 ( tm)
logx 2x2 − 5x + 4 = 2 ⇔ 2x2 − 5x + 4 = x2 ⇔ 
⇒ Chọn đáp án A.

 x = 1 ( loai )
&

(

)

Câu 8. Nghiệm của phương trình logx− 3 ( x − 1) = 2 là
A.

x = 2
.

x = 5

B. x = 5.

C. x = 2.

D. x = 1.

Lời giải:

 x − 1> 0  x > 1
x > 3


.
Điều kiện:  x − 3 > 0 ⇔  x > 3 ⇔ 
x

≠
4

x − 3 ≠ 1 x ≠ 4


Ta có:

 x = 5 ( tm)
2
logx−3 ( x − 1) = 2 ⇔ x − 1 = ( x − 3) ⇔ x2 − 7x + 10 = 0 ⇔ 
 x = 2 ( loai )
&

⇒ Chọn đáp án B.
Câu 9. Phương trình logx2 ( 3− 2x) = 1 có nghiệm là
A.

3
x= .
2

B. x = 1.

C. x = −3.

D. x = −1.

Lời giải:


3
 3− 2x > 0  x < 2

 2
⇔ x ≠ 0 .
Điều kiện:  x > 0
 x2 ≠ 1
 x ≠ ±1



Ta có:

 x = 1 ( loai )
& ⇒ Chọn đáp án C.
logx2 ( 3− 2x) = 1 ⇔ 3− 2x = x2 ⇔ 
x
=
−
3
tm
(
)


Câu 10.

Phương trình

A. x = 1.

logx2 + 3x ( x + 3) = 1 có nghiệm là
B. x = −3.

C.
Lời giải:

x = 1
.

 x = −3

D.

 x = −3
.

x = 2


HTTP://DETHITHPT.COM

 x > −3

 x + 3 > 0, ∀x ∈ ¡
x > 0
 x > 0
 2


⇔ 
⇔
Điều kiện:  x + 3x > 0
−3+ 13 .
 x2 + 3x ≠ 1
  x < −3
x ≠

2


−
3
±
13
x ≠

2
Ta có:

 x = 1 ( tm)
logx2 + 3x ( x + 3) = 1 ⇔ x + 3 = x2 + 3x ⇔ 
⇒ Chọn đáp án A.
 x = −3 ( loai )
&

Câu 11.
A.

Gọi

(

)

x1; x2 là nghiệm của phương trình logx+ 3 x2 − x = 1. Khi đó tích x1.x2 bằng

−1.

B.

1.

C.

−3.

D.

0.

Lời giải:

x > 1

x − x > 0  x < 0 x > 1



Điều kiện:  x + 3 > 0 ⇔  x > −3−3 < x < 0.

x + 3 ≠ 1
 x ≠ −2  x ≠ − 2




2

Ta có:

(

)

logx+ 3 x2 − x = 1 ⇔ x2 − x = x + 3 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x1x2 =

c
= −3.
a

⇒ Chọn đáp án C.
Câu 12.

Nghiệm của phương trình

A. x = 1.

B. x = −2.

(

)

logx+1 2x3 + 2x2 − 3x + 1 = 3 là
C. x = 0.

D. x = 3.

Lời giải:

 2x3 + 2x2 − 3x + 1> 0 2x3 + 2x2 − 3x + 1 > 0
 x > −1


⇔  x > −1
⇔
.
Điều kiện:  x + 1 > 0
x
≠
0

 x + 1≠ 1
x ≠ 0


Ta có:

(

)

logx+1 2x3 + 2x2 − 3x + 1 = 3 ⇔ 2x3 + 2x2 − 3x + 1 = ( x + 1)

3

 x = 3 ( tm)

⇔ x3 − x2 − 6x = 0 ⇔  x = −2 ( loai ) ⇒ Chọn đáp án D.
&

 x = 0 ( loai )
&
DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
3. Phương pháp


HTTP://DETHITHPT.COM
Cho

0 < a ≠ 1. Khi đó:

+
+

 f ( x ) > 0      ( hay    g ( x ) > 0 )
log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
.
 f ( x ) = g ( x )
gx

loga f ( x) = g( x) ⇔ f ( x) = a ( )

4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 13.
A.

Phương trình

 x = −1
.

x
=
3


Câu 14.
A.

Phương trình

S = { 1} .

Câu 15.
Câu 16.

)

B.

x = −1.

C.

B.

S = { 1; −2} .

C.

Câu 18.

B. x < 3.

5
.
2

Câu 20.

0.

B.

Phương trình

D. 4.

)

C.

D. 3.

3
.
2

(

D.

)

3
− .
2

log3 x2 + 4x + log1 ( 2x − 3) = 0 là
3

C. 1.

(

)

D. 0.

(

)

log2 x3 + 1 − log2 x2 − x + 1 − 2log2 x = 0 là

x ≠ 0.

Nghiệm của phương trình

A. x = 9.

Câu 23.

(

4
là
3

log3 x2 −  6 =  log3 ( x −  2) +  1 là

B. 2.

x > −1.

)

2

Nghiệm của phương trình

Câu 22.

(

C. 2.

Số nghiệm của phương trình

Câu 21.

D. 3 < x < 9.

2log2 ( 2x + 2) + log 1 ( 9x − 1) = 1 có tổng các nghiệm bằng
B.

A. 3.

 −1+ 5 
S= 
.
 2 

2log8 ( 2x) + log8 x2 − 2x + 1 =

B. 1.
Phương trình

D.

lg ( x − 3) − lg ( 9 − x) = lg ( x − 2) là

C. 1.

Số nghiệm của phương trình

Câu 19.

7
x> − .
3

D. 1.

C. −9 < x < 3.

B. 2.

A. 0.

 −1± 5 
S= 
.
 2 

C. 2.

Số nghiệm của phương trình

A. 0.

D.

lg ( x − 3) + lg ( x − 2) = 1− lg5 là

Điều kiện xác định của phương trình

Câu 17.

x = 3.

log2 x + log2 ( x + 1) = 1 có tập nghiệm là

B. 3.

A. 2 < x < 9.

A.

(

log2 x2 + x + 4 = log2 ( 3x + 7) có nghiệm là

Số nghiệm của phương trình

A. 0.

A.

(mũ hóa).

C.

x∈ ¡ .

D.

(

x > 0.

)

log2 ( x − 1) = 2log2 x3 + x + 1 là
2

B. x = −1.

C. x = 1.

D. x = 0.

log2 x − 2 − log 1 x + 5 − log2 8 = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân
2

biệt?
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 24.

Phương trình

thực phân biệt?
A. 0.

Câu 25.

1
log
2

2

( x + 3) + 14 log ( x − 1)

B. 1.

Câu 26.

(

Số nghiệm của phương trình

Câu 27.

D. x = −5; x = −4.

2log2 x + 1 = 2 − log2 ( x − 2) là

(

D. đáp số khác.

)

log2 9x − 4 = x log2 3+ log
C. 2.

Tổng các nghiệm của phương trình

Câu 29.

)

C. x = 0; x = −5.

B. 1.

A. 6.

(

C. 1.

Số nghiệm của phương trình

Câu 28.

)

B. 0.

A. 0.

D. 2.

log2 x2 + 3x + 2 + log2 x2 + 7x + 12 = 3 + log2 3 là

B. x = −4; x = −3.

A. 2.

= 3log8 ( 4x) có bao nhiêu nghiệm

C. 3.

Nghiệm của phương trình

A. x = 0; x = −3.

8

4

B. 5.

2

3 là

D. đáp số khác.

(

)

(

)

log2 9x− 2 + 7 − log2 3x−2 + 1 = 2 bằng
C. 4.

D. 3.

2
3
3
3
log 1 ( x + 2) − 3 = log 1 ( 4 − x) + log 1 ( x + 6)
2

4
4
4

Cho phương trình

( 1) .

Trong các mệnh đề sau:

+

( I ) . Điều kiện phương trình: −6 < x < 4 và x ≠ −2.
( II ) .( 1) ⇔ 3log x + 2 − 3 = 3log ( 4− x) + 3log ( x + 6) .

+

( III ) .( 1) ⇔ log ( 4 x + 2 ) = log ( 4− x) ( x + 6)  .

+

1
4

1
4

1
4

1
4

1
4

Mệnh đề nào đúng?
A. Cả

( I ) , ( II ) , ( III ) .

B. Chỉ

( I ) , ( III ) .

C. Chỉ

( II ) , ( III ) .

D. Chỉ

( I ) , ( II ) .

Câu 30.

Cho phương trình

log2 ( x + 1) + log2 x2 + 2x + 1 = 9
2

( 1) .

Trong các mệnh đề sau:
+
+
+

( I ) .( 1) ⇔ 2log x + 1 + log
( II ) .( 1) ⇔ x + 1 = 8.
( III ) .( 1) ⇔ x + 2x − 63 = 0.
2

2

x + 1 = 9, với điều kiện x ≠ −1.

2

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ

( I ) , ( III ) .

B. Cả

C. Chỉ

( II ) , ( III ) .

D. Chỉ

Câu 31.

Cho phương trình

log3+ 2

2

( I ) , ( II ) , ( III ) .
( I ) , ( II ) .

( x + m− 1) + log

3− 2 2

( mx + x ) = 0.
2

Giá trị thích hợp

của m để phương trình có nghiệm duy nhất là
A.

m= −3.

B.

m= −1.

C.

m= 3.

D.

m= 1.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 32.

2log3 ( x − 3) + log3 ( x − 4) = 0 . Một học sinh giải bài toán như
2

Cho phương trình:

sau:
+
+

x > 3
 x − 3 > 0
⇔
.

( x − 4) ≠ 0  x ≠ 4
Bước 2: Ta có: 2log3 ( x − 3) + 2log3 ( x − 4) = 0
Bước 1: Điều kiện:

⇔ log3 ( x − 3) ( x − 4) = 0

+

Bước 3:


7+ 5
x =
2
⇔ ( x − 3) ( x − 4) = 1⇔ x2 − 7x + 11= 0 ⇔ 

7− 5
x =

2

Vậy phương trình có nghiệm:

x=

7+ 5
.
2

Học sinh đó giải sai ở bước nào?
A. Tất cả các bước đều đúng.

B. Bước 3.

C. Bước 2.

D. Bước 1.

Câu 33.

Phương trình

A. x = 2a− 1.

log

a

2a− x
− log1 x = 0; ( a > 0, a ≠ 1) có nghiệm là
a
a

B. x = a− 1.

C. x = 2a.

D.

x = a.

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp



Loại 1: Phương trình có dạng

(

)

P loga f ( x) = 0 với ( 0 < a ≠ 1)

Đăt t = loga f ( x)
P loga f ( x) = 0 →
&
P ( t ) = 0.

(

)

log1 f ( x) = −t

a
 2
2
loga f ( x) = t
Chú ý: Từ t = loga f ( x) ⇒ 
log 2 f ( x) = 1 t
 a
2
...






Loại 2: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Loại 3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ.
Loại 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình có thể biến đổi đưa về phương
trình tích.


HTTP://DETHITHPT.COM

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 34.

Số nghiệm của phương trình

A. 1.

Câu 35.

B. 2.

A. 1.
Phương trình

Câu 37.

Phương trình

Câu 38.

S = { 1;16} .
Phương trình

A. 2.

Câu 40.
5.

Câu 41.

Phương trình

Câu 42.

C. 0.

B.

D. −4.

log22 x + 4log2 x = 0 là

S = { 1;4} .

C.

S = { 1;2} .

D.

S = { 4} .

1
2
+
= 1 có số nghiệm là
5− lg x 1+ lg x
C. 3.

D. 4.

1
2
+
= 1 có tổng các nghiệm là
5− log2 x 1+ log2 x
33
.
64

C.

66.

D.

12.

log2 4x− log x 2 = 3 có
2

B. 3 nghiệm.

Số nghiệm âm của phương trình

A. 0.

D. 100.

logx 2 − log16 x = 0 có tích các nghiệm bằng

B.

A. 2 nghiệm.

Câu 43.

C. −2.

B. 10.

B. 1.
Phương trình

D. 0.

lg2 x − lg x3 + 2 = 0 có nghiệm là

Tập nghiệm của phương trình

Câu 39.

A.

C. 2.

B. −1.

A. 1.

D. 3.

ln3 x – 3ln2 x – 4ln x+ 12 = 0 là

B. 3.

A. 1000.

A.

C. 4.

Số nghiệm của phương trình

Câu 36.

log25 ( 5x) − log25 ( 5x) − 3 = 0 là

B. 1.
Cho phương trình

C. 1 nghiệm.

D. 4 nghiệm.

1+ 2logx+ 2 5 = log5 ( x + 2) là
C. 2.

D. đáp số khác.

log27 ( 9x)
log3 x
=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
log9 ( 3x) log81 ( 27x)

A. Phương trình có hai nghiệm thực dương.
B. Phương trình có một nghiệm thực dương.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 44.

Cho phương trình:

3 log3 x − log3 3x − 1 = 0 . Bình phương một tổng của các

nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. 90.
B. 6570.

Câu 45.
A.

Câu 46.

Phương trình

{ 3;15} .

C. 144.

D. 7056.

log22 ( x + 1) − 6log2 x + 1 + 2 = 0 có tập nghiệm là
B.

{ 1;2} .

Tìm m để phương trình

C.

∅.

D.

{ 1;3} .

log23 x − mlog 3 x + 1 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1.


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

m= 2.

Câu 47.
A.

Phương trình

m≤ 1.

Câu 48.

Phương trình

B.

m= −2.

C.

m= ±2.

D. không tồn tại m.

log22 x + log2 x + m= 0 có nghiệm x∈ ( 0;1) khi
B.

1
m≥ .
4

C.

1
m≤ .
4

D.

m≥ 1.

3
log23 x + log23 x + 1 − 2m− 1 = 0 có nghiệm trên 1;3  khi

A.

 3
m∈ 0;  .
 2

B.

3

m∈ ( −∞;0 ∪  ; +∞ ÷.
2


C.

m∈  0; +∞ ) .

D.


3
m∈  −∞;  .
2


Câu 49.

Số nghiệm của phương trình

A. 1 nghiệm.

Câu 50.

log22 x + log2 x + 1 = 1 là

B. 2 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

Số nghiệm nguyên của hương trình

A. 2.

B. 1.

( x + 1) log

2
3

D. 4 nghiệm.

x + 4x.log3 x − 16 = 0 là

C. 3.

D. 0.

DẠNG 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 51.

Số nghiệm của phương trình

A. 0.

Câu 52.

A.

log2 x.log3 ( 2x − 1) = 2log2 x là

B. 1.
Nghiệm của phương trình

x = 0; x = 100.

B.

C. 3.

D. 2.

lg2 x − lg x.log2 ( 4x) + 2log2 x = 0 là

x = 1; x = 100.

C.

x = 0; x = 1000.

D.

x = 1; x = 1000.

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp

Bài toán 1: Phương trình dạng
+

Bước 1: Đặt ĐKXĐ (TXĐ: D)

+

Bước 2: Phương trình

loga

f ( x)

g( x)

= α  g( x) − f ( x) 

⇔ loga f ( x) − loga g( x) = α g( x) − α f ( x)
⇔ loga f ( x) + α f ( x) = loga g( x) + α g( x)

+

Bước 3: Xét hàm số

F ( t ) = loga t + α t trên D.

( 1)


HTTP://DETHITHPT.COM

Chứng minh

F ( t ) đơn điệu trên D.

( 1) ⇔ F ( f ( x) ) = F ( g( x) ) ⇔ f ( x) = g( x) ⇔ x = ...

Khi đó:

Bài toán 2: Phương trình dạng
+

Nếu

+

Nếu

loga f ( x) = logb g( x)

a = b thì phương trình ⇔ f ( x) = g( x) .

( a− 1) ( b− 1) < 0 thì dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là

duy nhất.
+

Nếu

( a− 1) ( b− 1) > 0 thì dùng phương pháp mũ hóa bằng ẩn phụ. Cụ thể ta làm theo

các bước:
 Bước 1: Đặt ĐKXĐ.


 f ( x) = at
.
Bước 2: Đặt loga f ( x) = logb g( x) = t ⇒ 
t
g
x
=
b
(
)

Biến đổi về dạng:

F ( t ) = A t + Bt = 1

( 2)



Bước 3: Giải phương trình



minh nghiệm đó là duy nhất.
Bước 4: Tìm x khi có được t.

Chú ý: Bài toán

( 2)

theo t bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng

mloga f ( x) = nlogb g( x) có dạng ta cũng làm tương tự:
PP
→ Đăt mloga f ( x) = nlogb g( x) = α t
α = BCNN ( m,n)
&

Bài toán 3: Phương trình dạng

aα x+ β = ploga ( λ x + µ ) + qx + r

Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II và sử dụng phương pháp hàm số để tìm được

x= y.

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 53.
A.

Phương trình

{ 4} .

Câu 54.

Phương trình

A. 1 nghiệm.

Câu 55.

Phương trình

A. x = 1.

Câu 56.

Phương trình

A. 3.

Câu 57.

log2 x = − x + 6 có tập nghiệm là
B. ∅.

C.

D.

{ 2;5} .

log3 ( x + 1) + log5 ( 2x + 1) = 2 có
B. 2 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

D. 4 nghiệm.

log5 x = log7 ( x + 2) có nghiệm là
B. x = 5.

(

C. vô nghiệm. D. x = 7.

)

log3 x2 − x − 5 = log3 ( 2x + 5) có tổng các nghiệm bằng
B. 5.

Số nghiệm của phương trình

A. 1 nghiệm.

{ 2} .

B. 2 nghiệm.

C. 2.

log3

D. −10.

x2 + x + 1
= x2 − 3x + 2 là
2
2x − 2x + 3
C. 3 nghiệm.

D. 4 nghiệm.


HTTP://DETHITHPT.COM
DẠNG 6: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Câu 58.

Nghiệm của phương trình

A. x = 2.

log2 ( 4x0 )

P = x0
A.

B. x = 4.

C. x = 8.

D. x = 16.

 5.2x − 8 
log
Biết phương trình
÷ = 3− x có nghiệm duy nhất x0 . Khi đó giá trị
2
x
2
+
2



Câu 59.
của

log4 ( log2 x) + log2 ( log4 x) = 2 là

là

P = 4.

Câu 60.

B.

P = 8.

C.

P = 2.

(

D.

)

P = 1.

(

)

log( 3x+7) 9 + 12x + 4x2 + log( 2x+ 3) 6x2 + 23x + 21 = 4 . Chọn

Cho phương trình

phát biểu đúng?

 −3

D =  ; +∞ ÷.
 2


A. Tập xác định của phương trình là

B. Phương trình có duy nhất một nghiệm.
C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
D. Phương trình có một nghiệm là

Câu 61.
A.

Phương trình

x = −3.

Câu 62.

1
x= .
4

log4 ( x + 12) .log2 x = 4 có nghiệm là
B.

x = 4.

Cho phương trình

log3

C.

(

x = 4
.


x
=
−
3


)

x+

D. đáp án khác.

)

(

x − 1 = log9 4 x − 3+ 4 x − 1 . Trong các phát

biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. Phương trình có nghiệm là x = 9.

B. Phương trình có nghiệm là x = 0.

C. Phương trình có nghiệm là x = 4.

D. Phương trình có nghiệm là x = 1.

Câu 63.
A.

Phương trình

9 − 2x = 3− x.

Câu 64.
A.

B.

Phương trình

1
k< .
2

Câu 65.

Phương

(

)

log2 9 − 2x = 3− x tương đương với phương trình nào dưới đây?
x2 − 3x = 0.

(

C.

x2 + 3x = 0.

D.

9 − 2x + 3 = 2− x.

)

log2 4x + 2k3 = x có 2 nghiệm phân biệt khi
B.

trình

1
k= .
2
log2

(

C.

k > 0.

D.

)

x + 1 = 2x + x − x − 1

có

2

1
0< k < .
2

nghiệm

x1; x2.

Tổng

x12 + x22 + x1x2 có giá trị là
A. 0.

Câu 66.

B. 1.
Phương trình

A. 0 nghiệm.

Câu 67.

( x − 4)

C. 2.
2

D. 3.

log4 ( x − 1) − 2log4 ( x − 1) = ( x − 4) logx−1 4.logx−1 16 có
2

B. 1 nghiệm.

Nghiệm của phương trình

(

2

C. 2 nghiệm.

)

10 + 1

log3 x2

−

(

D. 3 nghiệm.

)

10 − 1

log3 x2

=

2 2
x là
3


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

x = ± 3.

B. vô nghiệm. C.

x = 3.

D.

x = − 3.


HTTP://DETHITHPT.COM

VẤN ĐỀ 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
loga x > m
Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng:

loga x < m
.
loga x ≥ m
loga x ≤ m

DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT DẠNG CƠ BẢN
1. Phương pháp

 a > 1

b
0 < f ( x) < a
loga f ( x) < b ⇔ 
 0 < a < 1
  f ( x) > ab
 
2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 68.
A.

Câu 69.

Tập các số x thỏa mãn

 13
 4; 2  .



B.

 a > 1

b
 f ( x) > a
loga f ( x) > b ⇔ 
 0 < a < 1
 0 < f ( x) < ab
 

log0,4 ( x− 4) + 1≥ 0 là


13 
 −∞; 2 ÷.



C.

Tập nghiệm của bất phương trình

 13

 2 ; + ∞ ÷.



(

D.

)

log2 2x2 − x + 1 < 0 là
3

A.


3
 −1; 2 ÷.



B.

 3
 0; 2 ÷.



C.

( −∞;0) ∪  21 ; +∞ ÷.

D.

( −∞; −1) ∪  23 ; +∞ ÷.

Câu 70.
A.





Tập nghiệm của bất phương trình


1
 −2; 3 ÷.



B.





3x − 1
< 1 là
x
+
2
3

log1

( −2;2) ∪  85 ; +∞ ÷.


( 4; + ∞ ) .

C.



S = ( −∞;2) .

D.

( −∞;2) ∪  85 ; +∞ ÷.


Câu 71.
A.

Câu 72.



Nghiệm của bất phương trình

log2 3 < x < 2.

2

B. x > 2.

Nghiệm của bất phương trình

(

)

log 1 2x − 3 < 0 là
C. x < 2.

(

D. 0 < x < 2.

)

log 1 log2 2 − x2  > 0 là


2


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

Câu 73.

B.

( −1;1) .

Tập nghiệm của bất phương trình

D.

( 3;4) .

B.

C.

( 0;1000) ∪ ( 10000; +∞ ) .

D. ∅.

( 1000;10000) .


x2 + x 
log
log
Bất phương trình
÷ < 0 có tập nghiệm là
1
6
x

+
4

2

A.

∅.

B.

( −4; −3) ∪ ( 8; +∞ ) .

C.

( −∞;−4) ∪ ( 8;+∞ ) .

D.

( −∞; −4) ∪ ( −3;8) .

Câu 75.

log 3 2x+ 1 > 1 có tập nghiệm S . Khi đó. ¡ \ S bằng

Cho bất phương trình

10

A.


1  7

 −∞; − 2 ∪  − 20 ; +∞ ÷.

 


B.

C.


13   7

 −∞; − 20 ÷∪  − 20 ; +∞ ÷.

 


D. đáp số khác.

Câu 76.

( −1;0) ∪ ( 0;1) .

−4 < − lg x < −3 là

A.

Câu 74.

Để giải bất phương trình:

như sau:
+

Bước 1: Điều kiện:

+

Bước 2: Ta có

+

C. đáp án khác.

ln


13  7

 −∞; − 20 ∪  − 20 ; +∞ ÷.

 


2x
> 0 ( *) , một học sinh lập luận qua ba bước

x− 1

x < 0
2x
> 0⇔ 
x− 1
x > 1

( 1)

2x
2x
2x
> 0 ⇔ ln
> ln1 ⇔
>1
x− 1
x− 1
x− 1
Bước 3: ( 2) ⇔ 2x > x − 1 ⇔ x > −1 ( 3)
Kết hợp

( 3)

ln

và

( 1)

ta được

( 2)

−1< x < 0
.

x > 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

( −1;0) ∪ ( 1; +∞ ) .

Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Lập luận hoàn toàn đúng.
C. Sai từ bước 1.
DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. Phương pháp

B. Sai từ bước 3.
D. Sai từ bước 2.


HTTP://DETHITHPT.COM
0 < a ≠ 1
 a > 1


 f ( x) > 0
0 < f ( x) < g( x)

loga f ( x) < logb g( x) ⇔ 
⇔
 g( x) > 0
 0 < a < 1

( a− 1)  f ( x) − g( x)  < 0
  f ( x) > g( x)




2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 77.
A.

Tập nghiệm của bất phương trình

S = ∅.

Câu 78.
A.

S = ( 1;3) .

Câu 81.
A.

Câu 82.
A.

Câu 83.
A.

Câu 84.

(

S = 1;3 .

C.

S = ( 1; +∞ ) .

( 0;12) .

B.

C.

5

( 1;5) .

B.

5

3

( 0;9) .

D.

( 5;6) .

B.

C.

C.

Bất phương trình

 3;5 .

D.

x > 5.

B.

( 6; +∞ ) .

D.

C. 2 < x < 5.

( 2;6) .

(

D. 3 < x < 5.

)

log 1 x2 − 6x + 8 + 2log5 ( x − 4) > 0  là
C. BPT vô nghiệm.

log3 x2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 >
x > 3.

( 1;3 .

log2 ( x + 1) − 2log4 ( 5− x) < 1− log2 ( x − 2) là

5

B. x < 2.

( −1;2) .

log3 ( x − 3) + log3 ( x − 5) < 1 là

B. 2 < x < 3.

Nghiệm của bất phương trình

D.

2log2 ( x − 1) ≤ log2 ( 5− x) + 1 là

( 5; +∞ ) .

Nghiệm của bất phương trình

( 0;16) .

2

3

A.

( 12− x)   là

lg 1 ( x + 1) ≤ lg2 ( 2 − x) là

−
 3;3 .

Tập nghiệm của bất phương trình

S = ( −∞;3) .

D. vô số.






1− 5;1+ 5 . B.  1− 5 ; 1+ 5  . C.  −∞; 1+ 5  .



2 
2 
 2

Tập nghiệm của bất phương trình

 1 
S =  − ;0÷.
 2 

log 1 ( 3x − 5) > log1 ( x + 1) là

log3 x < log

( 9;16) .

Tập nghiệm của bất phương trình

D.

D.

C. 1.

Tập nghiệm của bất phương trình

A. x > 4.

Câu 86.

B.

S = ( −∞; −1) .

log0,2 ( x + 1) > log0,2 ( 3− x) là

B. 2.

A. −4 < x < 3.

Câu 85.

C.

Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 0.

A.

S = ( 1;3) .

Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 79.

Câu 80.

B.

log2 x > log2 ( 2x + 1) là

C.

3 < x < 5.

D. 0 < x < 1.

1
log 1 ( x + 3) có nghiệm là
2
3
D.

x > 10.


HTTP://DETHITHPT.COM
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 87.
A.

Tập nghiệm của bất phương trình

 2; +∞ ) .

Câu 88.

Bất phương trình

A.

( 0;

C.

( −∞;

Câu 89.
A.

B.

B.

Bất phương trình

( −∞;log

C.


.
( −∞; −1 ∪ 2; 12

5÷

3

Câu 91.

( −∞; −3) .

Câu 92.

Trên đoạn

B.

B.

 5;5 .



D.

 1
 0; 2 ∪ 1; +∞ ) .



(

1;2 .

(

3x − 1 3
≤ là
16
4
4

)

 2; +∞ ) .

C.

)

(

D.

3

)

B.

( −∞;1 ∪ 2;log

D.

( −∞; −1 ∪ 2;log

3

14) .
3

14) .

lg2 x − mlg x + m+ 3 ≤ 0 có nghiệm x > 1 khi giá trị của m là

( −∞; −3) ∪ 6;∞ ) .

C.

6; ∞ ) .

1;25 bất phương trình log4 x− logx 4 ≤

A. 15.

( 0;1 ∪ 2; +∞ ) .

2log9 9x + 9 + log 1 28 − 2.3x ≥ x có tập nghiệm là



Bất phương trình


1
 −∞; 4 .



log4 3x − 1 log 1

14) .


D.

4log25 x+ logx 5 ≥ 3 có tập nghiệm là

5 ∪  5; +∞ ) .


( 0;1 .

)

−
 2;1 .

C.

5 ∪  5; +∞ ) .


A.

A.

1 
 4 ;2 .



Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 90.

(

log22 ( 2x) − 2log2 4x2 − 8 ≤ 0 là

B. 8.

D.

( 3;6 .

3
có mấy nghiệm nguyên?
2

C. 0.

D. 16.

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 93.
A.

Bất phương trình

x > 0.

B.

x + log2 x > 1 có nghiệm là
0 < x < 2.

C.

x > 2.

D.

x > 1.

DẠNG 5: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Câu 94.

Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 0.

Câu 95.
A.

B. 2.
Tập nghiệm của bất phương trình

)

S =  4 − 2; +∞ . B. S =  5; +∞ ) .


( x − 3) .( 1+ lg x) < 0 là

C. 1.

D. vô số.

x− 5
≥ 0 là
log 2 ( x − 4) − 1
C.

(

)

S = 4+ 2; +∞ . D. S = ( 4; +∞ ) .

HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 96.

Nghiệm của bất phương trình

(

3x − 1 3
≤ là
16
4
4

)

log4 3x − 1 .log 1

A.

x ∈ ( −∞;1 ∪  2; +∞ ) .

B.

x ∈ ( 1;2) .

C.

x ∈ 1;2 .

D.

x ∈ ( 0;1 ∪  2; +∞ ) .

Câu 97.
A.

Bất phương trình

( −∞;0) .

Câu 98.

B.

(

)

0; +∞ ) .

Giải bất phương trình

)

C.

( −∞;0 .

D.

( 0; +∞ ) .

ln(x + 1) < x .

A. Vô nghiệm.B. x > 0.

Câu 99.

(

log2 2x + 1 + log3 4x + 2 ≤ 2 có tập nghiệm

C. 0 < x < 1.

D. x > 2.

log2a+1 ( 2x − 1) + loga ( x + 3) > 0 đúng với x = 1 và x = 4.

Giả sử bất đẳng thức

Khi đó giá trị của a là
A.

0 < a < 1.

Câu 100.
A. Với

B.

a> 1.

Cho bất phương trình

C.

a≥ 1.

D.

logx ( x − a) > 2 , khẳng định nào sau đây là sai?

a≥ 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
1
1− 1− 4a
thì a < x <
.
4
2

B. Nếu

0 < a<

C. Nếu

1− 4a
a< 0 thì 1< x <
.
2

D. Nếu

a= 0 thì bất phương trình đã cho tồn tại ngiệm.

Câu 101.
A.

Bất phương trình

1 
 10 ;2 .



B.

log2 x+ 4

x

≤ 32 có tập nghiệm là

1 
 32 ;4 .



C.

1 
 32 ;2 .



D.

log 1 ( x + 3) − log1 ( x + 3)
2

Câu 102.

Nghiệm của bất phương trình

A. x < −1.

Câu 103.
A.

0 < a ≠ 1.

B.

x ≥ 4.

(

3

>0

3

x+ 1
C. x > −2.

B. x > 0.

Tập nghiệm của bất phương trình

x ≥ 2.

2

)

10 + 1
C.

log3 x

1 
 10 ;4 .


là

D. −2 < x < −1.

−

2 ≤ x ≤ 4.

(

)

2x
là
3
D. x ≥ 3.

10 − 1

log3 x

≥