LOGARIT PHƯƠNG TRÌNH, BPT mũ (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải)

HTTP://DETHITHPT.COM

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa.
Phương trình mũ cơ bản:

ax  m với 0  a �1 .



Nếu m�0 thì phương trình vơ nghiệm.



Nếu m 0 thì

ax  m� x  loga m.

Ví dụ mở đầu: Giải các phương trình sau:
a)

10x  1.

b)

2x  8.

c)

4x  4.

h)

5x

x

1
f) 3 
.
27

�1 �
g) � �  9.
�2 �

x

2 5x1

ex  5.

d)
i)

 1.

1
x
2

5

e)

 1.

Lời giải:
a)

10x  1 � x  log1  0.

b)

2x  8 � x  log2 8  3.

4x  4 vơ nghiệm, vì 4x  0 với x ��.
d) ex  5 � x  ln5.
e) 3x  2 � x  log3 2.
c)

f)

3x 

1
�1 �
� x  log3 � �� x  log3 33  3.
27
�27 �

x

�1 �
g) � �  9 � x  log 1 9 � x   log2 9 � x  2log2 3.
�2 �
2
2 5x1

h)

5x

i)

1
x
2
5

 1 � x2  5x  1  log5 1 � x2  5x  1  0 � x 
x

1

�1 �
 1 � x  log5 1 � � �  0 vô nghiệm, vì
2
�2 �

5� 21

.
2

x

�1 �
�2 �  0 với x ��.
��

Bài tập trắc nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Câu 1. Phương trình 52x1  1 có nghiệm là
A. x  1.

B.

1
x .
2

C.

1
x .
3

D. x  0.

Câu 2. Giải phương trình 3x1  4 . Ta có tập nghiệm bằng
A.

 1 log4 3 .

B.

 1 log3 4 .

C.

 1 log4 3 .

Câu 3. Số nghiệm của phương trình 22x27x 5  1. là

D.

 1 log3 4 .

3x  2.


HTTP://DETHITHPT.COM
A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 4. Nghiệm của phương trình 2x1  5.2x  2x 2  21 là

A.

x  log2 7.

B. x  16.

C.

x  log2 3.

D. x  3.

Câu 5. Tích các nghiệm của phương trình 2x  5x 6  1 là
2

A. 2.

B. 0.

C. 4.

D. 6.

Câu 6. Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 7x25x9  343. Tổng x1  x2 bằng
A. 5.

B. 3.

C. 4.

Câu 7. Nghiệm của phương trình 3x 2.5x1.7x  245 là
A. x  2.
B. x  4.
C. x  5.

D. 2.

D. x  3.

Câu 8. Để phương trình 3 x  m có hai nghiệm phân biệt thì m phải thỏa mãn
A. 0  m 1.
B. m�0.
C. m 1.
D. m 0.
Câu 9. Tất cả các giá trị của m để phương trình 22x1  m2  m 0 có nghiệm là
A.

Câu 10.
A.

m 0.

B.

0  m 1.

Xác định m để phương trình

m� 0;1 .

B.

C.

m 1.

D.

�
m 0
.
�
m 1
�

32x1  2m2  m 3  0 có nghiệm.

� 3�
m��
1; �
.
� 2�

C.

�1 �
m�� ;0�
.
�2 �

D.

m� 0; � .

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. Phương pháp

Loại 1: Cơ số a là hằng số thỏa mãn:


f x
a    ab � f  x  b.



f x
gx
a    a   � f  x  g x .

0  a �1

Loại 2: Cơ số a có chứa ẩn:

�
a 1
�
f x
gx
�

0  a �1
a  a  ��
hoặc
�
�
� f  x  g x
�
�

�
a 0
�
.
�
�
f
x

g
x

0
�a 1 �




�
�

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 11.
A.

xlog4  4logx  32 là
B. x  10; x  100.
C. x  10.

Nghiệm của phương trình

x  100.

D.

x  20; x  100.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 12.
A.

Nghiệm của phương trình

1
x .
3

Câu 13.
A.

B.

B.

3

3x1

�1 �
��
�9 �

x  1.

Nghiệm của phương trình

x  1.

x 4

C.
4x6

5

là

6
x .

7

D.

7
x .
6

D.

7
x .
5

D.

� 1�
 �.
�
�8

 253x4 là

x  2.

C.

x

14

.
5

x1

�1 �
Tập nghiệm của phương trình � �  1252x bằng
�25 �

Câu 14.
A.

 1 .

B.

 4 .

C.

� 1�
 �.
�
�4

x2  2x 3

Câu 15.

x1 , x2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình 7

x 1

Gọi

�1 �
��
�7 �

. Khi đó

x12  x22 bằng
A. 3.

Câu 16.
A.

Câu 17.
A.

Câu 18.
A.

Câu 19.
A.

B. 4.
Nghiệm của phương trình

x  log 5 4.

2

Phương trình

x  1.
Phương trình

x  100.

B.

D. 6.

5x1  5x  2.2x  8.2x là

8
x  log 5 .
3
2

C.

x  1.

7.3x1  5x 2  3x 4  5x 3 có nghiệm là
B. x  1.
C. x  2.

D.

5
x  log 5 .
3
2

D.

x  2.

7lg x  5lg x1  3.5lg x1  13.7lg x1 có nghiệm là
B.

x  1.

Nghiệm của phương trình

2
x  1; x  .
7

C. 5.

B.

C.
2x1
8 x1

x  10.

 2

 0,25.

2
x  1, x   .
7

C.

7x

1
.
10

D.

x

D.

2
x  1, x  .
7

D.

x  7.

D.

x  4.

là

2
x  1, x   .
7
x

� 2�
Câu 20.
Nghiệm của phương trình 0,125.4
 � � là
�8 �
� �
A. x  4.
B. x  5.
C. x  6.
2x 3

x

Câu 21.
A.

Câu 22.

x

�2 ��25 � 125
Nghiệm của phương trình � �� � 
là
�5 ��8 � 64
x  2.

B.

x  3.

Tích hai nghiệm của phương trình

C.
4

x  1.
2x 3

x 8

1
3.243 x8  .9x 2 là
9


HTTP://DETHITHPT.COM
102
186
A. 

B. 
.
.
41
41
Câu 23.

Cho các phương trình:

C.

 I  :3

x 2



248
.
41

 3x 2  0;

D.

 II  :3

x2 1

 3 6;



62
.
41

 III  : 5

x 2

 22 x .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

 I

và

 II 

B.

 I

và

 III 

C.

 II 

và

đều vơ nghiệm và

 III 

A.

có nghiệm duy nhất.

 II 

có nghiệm duy nhất.

 I

có nghiệm duy nhất.

đều vơ nghiệm và
đều vơ nghiệm và

D. Cả 3 phương trình

Câu 24.

 III 

 I  ,  II  ,  III 

Giải phương trình

 x  2

đều vơ nghiệm.

x2 x 5

 1; 5;3 . B.  1;5 .

C.

  x  2

x10

, ta được tập nghiệm là

 1;3 .

D.

 1; 3;5 .

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HĨA
1. Phương pháp

Với phương trình khơng cùng cơ số dạng:

f x
g f
a    b   (a, b dương, khác 1 và nguyên tố cùng

nhau).
Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b) cho hai vế, ta được:
f x
g ff
x
g f
a    b   � loga �
a   � loga �
b   �� f  x  g x .loga b
�
�
� �

Chú ý:



Một số phương trình ta nên rút gọn trước khi lấy lơgarit cả 2 vế.
Phương trình có cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau:
f  x
�a�
n
f x
f x

ma
.    nb
.   ��� 
m
�b�

 vì b    0 � f  x  log
f x

a
b

n
m

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 25.
A.

Câu 26.

x

Giải phương trình

x

34  43 , ta có tập nghiệm là

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
log
log
4
.
log
log
2
log
log
3
log
log
4









B.
C.
D.
� 3
�
� 2
�
� 4
�
� 4
�.
3
3
4
3
� 4
�
� 3
�
� 3
�
� 3
�

2x 2
x

Nghiệm của phương trình 3x1.5

 15 là

A. x  1.

B. x  2; x   log3 5.

C. x  4.

D. x  3; x  log3 5.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 27.

Phương trình

2x 2
.5 x

x1

3

có một nghiệm dạng

 15

số ngun dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Khi đó
A. 13.

Câu 28.

A.

log9 x

2 x 2  x  3  0.

 1
C.  1
A.

Câu 31.

x

x

4 3
B.

Giải phương trình

1
2

x

3

1
2

1 log2 3;1

 1;1 log2 5 .

 22x1

2 x 2  5 x  3  0.

3 x 2  5 x  2  0.

3 x 2  5 x  2  0.

D.

2
2x 2x  3 , ta có tập nghiệm bằng

 1
D.  1
B.

2


1 log 3 .

1 log2 3; 1 1 log2 3 .
1 log2 3; 1

2

2
2x 1  5x1 , ta có tập nghiệm bằng

 1;1 log2 5 .

Cho phương trình

nhiêu?
A. 10.

D. x  3.

cũng là nghiệm của phương trình
C.


1 log 3 .

B.

D. 5.

 x2 là
C. x  6.

1 log2 3;1 1 log2 3 .

Giải phương trình

Câu 32.

9.x

B. x  9.

Nghiệm của

Câu 30.

A.

C. 3.

Nghiệm của phương trình

Câu 29.

a 2b bằng

B. 8.

A. x  12.

x   loga b , với a và b là các

C.

 1;1 log2 5 .

D.

 1; 1 log2 5 .

xlog x  1000x2 . Tích các nghiệm của phương trình là bao

B. 1.

C. 100.

D. 1000.

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

 

f  x
0
Loại 1: Phương trình dạng P a

1. Phương pháp
 Đặt t  af  x , điều kiện t  0 .

 Phương trình đã cho trở thành: P  t   0 .
2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 33.
Phương trình 9x  3.3x  2  0 có hai nghiêm x1, x2 ,  x1  x2  . Giá trị của
A  2x1  3x2 bằng
A. 0.

Câu 34.
A.

Câu 35.

B.

4log2 3.

Nghiệm của phương trình

C.

3log3 2.

e6x  3e3x  2  0 là

1
1
x  0; x  ln2. B. x  1; x  ln2. C. x  1; x  0.
3
3

Nghiệm của phương trình

D. 2.

D. Đáp án khác.

32 x  32 x  30 là

A.

x  0.

B. Phương trình vơ nghiệm.

C.

x  3.

D.

Câu 36.

Giải phương trình

 7  4 3

x



x  �1.

 3. 2 3



x

 2  0 , ta có tập nghiệm bằng


HTTP://DETHITHPT.COM
A.  2;2 .
B.  1;0 .
Câu 37.

Phương trình

B. 2.
Phương trình

C. 1.

D. 3.

B. vơ nghiệm.

C. có hai nghiệm dương.
Phương trình

 1;2 .

31 x  31 x  10

A. có hai nghiệm âm.

Câu 39.

D.

5x1  5.0,2x2  26 có tổng các nghiệm là

A. 4.

Câu 38.

 0 .

C.

D. có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

32x1  4.3x  1  0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1  x2 , chọn phát

biểu đúng.
A.

2x1  x2  0.

Câu 40.

A.

B. x1  2x2

Phương trình

Phương trình

A.

 2x x1  3 có nghiệm
B. x  1; x  1.
C. x  0; x  1.

D.

x  1; x  0.

2

x

C.

2

x

2
 22 x x  3 có tổng các nghiệm bằng

B. 0.
Cho phương trình





log2 6  4 2 .

Câu 43.
A.

x1.x2  1.

2x

A. 1.

Câu 42.

D.

2

x  1; x  2.

Câu 41.

x1  x2  2.

4x

 1.

C. –1.





log4 3.2x  1  x  1 có hai nghiệm x1; x2 . Tổng x1  x2 bằng

B. 2.

C. 4.

Tích hai nghiệm của phương trình

9.

Câu 44.

B.

D. –2.

4

22x

1.

C.

Tập nghiệm của phương trình

2

2.2sin

D.

 4x2 6

4

 2.2x

 2x2 3

1.
2

x

 2cos

x


 k2 , k��.
2

x   2k  1  , k��.

B.

x

C.

x


 k , k��.
2

D.

x  k , k��.

Số nghiệm nguyên của phương trình

A. 2.

Câu 46.
A.

Câu 47.

A.

Câu 48.
A.

Câu 49.

B. 1.

4x

1
m .
4

B.

x2 5

 12.2x1

C. 0.

Với giá trị nào của m thì phương trình

m 0.

C.

 1 0 bằng

D. 9.

 3 là

A.

Câu 45.

6  4 2.

x2 5

 8 là

D. 3.

9x  3x  m 0 có nghiệm?
1
m� .
4

9x – m.3x  1  0 có 1 nghiệm.
B. m 2.
C. m 2.

D.

m 0.

D.

m 2.

Tìm m để phương trình

m �2.

Tìm m để phương trình

�
m 2
.
�
m  2
�

C. 2  m 2.

B. m 2.

Tìm m để phương trình

A. 2  m 3.

9x – m.3x  1  0 có 2 nghiệm phân biệt.

B. m  3.

2

2

4x  2x

2

D. m 2.

 6  m có đúng 3 nghiệm.
C. m  2.
D. m  3.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 50.
Phương trình 4x  m.2x1  2m 0 có hai nghiệm x , x thỏa mãn x1  x2  3 khi
1 2
A. m 4.
B. m 2.
C. m 1.
D. m 3.
Câu 51.
A.

Tìm m để phương trình

4x  2 m 1 .2x  3m 8  0 có hai nghiệm trái dấu.

8
1 m 9. B. m .

3

Câu 52.

8
 m 9.
3

C.

D.

m 9.

 m 1 .16x  2 2m 3 4x  6m 5  0

Để phương trình

có hai nghiệm trái dấu

thì m phải thõa mãn điều kiện nào?
A.

4  m 1.

Câu 53.

Câu 54.

Phương trình

1
k .
2

Câu 55.
A.

Phương trình

2 �m�9.

Câu 56.

23x  6.2x 

C.

1

3 x1

2

B. có 1 nghiệm.





1  m 
12
2x

5
.
6

D. Khơng tồn tại m.

 1  * . Khi đó, phương trình  *

C. có 3 nghiệm.

D. Vơ nghiệm.



log2 4x  2k3  x có 2 nghiệm phân biệt khi
B.

1
k .
2

C.

k  0.

D.

1
0 k  .
2

 m 2 .22(x 1)   m 1 .2x  2  2m 6 có nghiệm khi
2

B.

Cho đường cong

 C  và  C  tiếp xúc nhau?
1

3
1  m  .
2

Cho phương trình:

A. có 2 nghiệm.

A.

B.

2

2  m 9.

C.

C  :y 3  3
x

1

x

2  m�9.

D.

2 �m 9.



 m 2  m2  3m và  C2  : y  3x  1 . Tìm m để

2

A.

Câu 57.
A.

Câu 58.

5 40

.
3

A.

Câu 60.
A.

Câu 61.

1�m 65.

B.

13
9

C.

5 40
.
3

D.

5 3 2
.
3

9x  2.3x  2  m có nghiệm x �  1;2 .

 m 45.

C.

1�m 45.

D.

13
9

 m 65.

 2|x|1  3  m có đúng 2 nghiệm.
B. m�2.
C. m 2.
D. m 2.

Tìm m để phương trình 4|x|

Tìm m để phương trình

�
m 0
.
�
m

4

�

B.

0; � .
9x  6.3x  5  m có đúng 1 nghiệm x ��
�

�
m�0
.
�
m


4
�

C.

�
m 0
.
�
m


4
�

D.

�
m�1
.
�
m


4
�

2
2
 2;1�
�
.
9x  4.3x  8  m có nghiệm x ��
�
B. m�5.
C. m�4.
D. 5 �m�6245.

Tìm m để phương trình

4 �m�6245.

54
 3  m có nghiệm thì
3x

B. m�27.
C. m�18.

Để phương trình

A. m�30.

Câu 62.

5 3 2
.
3

Tìm m để phương trình

A. m�2.

Câu 59.

B.

9x 

Tìm m để phương trình

D. m�9.

4x  2x  3  3  m có đúng 2 nghiệm x� 1;3 .

HTTP://DETHITHPT.COM
A. 3  m 9.
B.  13  m  9.
Câu 63.
A.

41�m�32.

Câu 64.
A.

4 x1 
B. m�41.

3 x

Tìm m để phương trình

Tìm m để phương trình

12 �m�2.

B.

9x

1 x2

9  m 3.

D.

13  m 3.

 14.2 x1  3 x  8  m có nghiệm.
C. 41�m�32.
D. m�32.

 8.3x

7
12 �m� .
9

Loại 2: Phương trình dạng

C.

C.

1 x2

 4  m có nghiệm.

12 �m�1.

D.

13
12 �m� .

9

f  x
2. f x
2. f x
ma
.    n. ab
. 
 pb
.   0

1. Phương pháp

Chia cả 2 vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất (thông thường chia cả 2 vế cho cơ số nhỏ nhất).
Ví dụ: Chia cả 2 vế cho

b 2. f  x  , ta được:

2. f  x

�a�
m.� �
�b�

2
f  x
f  x
f  x
�
�a�

�a� �
�a�
 n.� �  p  0 � m. �
�b� � n.�b�  p  0
�
�b�
�� �
��
�
�

 *

f  x
�a�
Đặt t  � � , điều kiện t  0 .
�b�

Khi đó, phương trình

 *

mt
. 2  nt
.  p  0.

trở thành:

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 65.

Phương trình

A. 4.

Câu 66.
A.

Câu 67.
A.

Câu 68.

B. 3.
Phương trình

x  1; x  2.
Phương trình

�3
�
� ; 1;4;5�.
�2
Phương trình

A.

x  log

C.

x  log

Câu 69.

9x1  6x1  3.4x có bao nhiêu nghiệm?

51
2

51
2

C. 2.

D. 1.

64.9x  84.12x  27.16x  0 có nghiệm là
B.

x

9
3
; x .
16
4

C.

x  1; x  2.

D. Vơ nghiệm.

6.22x  13.6x  6.32x  0 có tập nghiệm là tập con của tập
B.


4

1
x

�2
1 �
 ; 1; ;2�.
�
3
�3


6

1
x



9

1
x

C.

 4; 3;1;0 .

D.

có nghiệm là

3
.
2

B.

� 5  1�
x  log 2 �
.
� 2 �
�
�
3�

2
.
3

D.

� 5  1�
x  log 3 �
.
� 2 �
�
�
2�

Phương trình

3.8x  4.12x  18x  2.27x  0 có tập nghiệm là

 2; 1;1;3 .


HTTP://DETHITHPT.COM
A.  1 .
B.  1;1 .
Câu 70.

log2 2x

Nghiệm của phương trình:

1
x  0; x  .
4

A.

C.

B.

4

 0;1 .

log2 6

x

1
x .
4

C.

Loại 3: Phương trình dạng

D. �.
log2 4x2

 2.3

2
x  .
3

là
D. Vô nghiệm.

f x
f x
. 1
a    b    c với ab

1. Phương pháp

Đặt

f  x

ta

f  x
�1�
1
1
��  f x 


t
�a�
a

f  x

,  t  0 � b

Mở rộng: Khi

ab
.  m2 �

a b
.  1.
mm
f x
m   để nhận được phương trình:

Khi đó, ta chia cả 2 về phương trình cho

f  x
�a �
�m�
� �

f  x
�a �
đăt t  � �
f  x
�b �
&
�m� � t  1  C � t � x
 � �  C ��������
f  x
t

�m�
�b �
1
�� � 
t
�m�

2. Bài tập trắc nghiệm
x

Câu 71.

Phương trình

x  �2.

A.

Câu 72.
 1.

A.

Câu 73.

Câu 74.

B.



x  �1.

 
x

21 

C.



Phương trình

Phương trình

m� �;5 .



 
x



 3 5

x

�1 �

� ;4�.
�2

 2 3   2 3
x

B.

D.

1
x � .
2

x

C. 0.

3 5
B.

x  �4.

2  1  2 2  0 có tích các nghiệm bằng

B. 1.

 1;1 .

A.

A.

Phương trình

x

� 5 24 � � 5 24 �  10 có nghiệm là
�
� �
�
�
� �
�

m� �;5�
.
�

 7.2x có tập nghiệm là
C.

x

D. 2.

�1 �
� ;2�.
�2

D.

 2;2 .

D.

m��
2; � .
�

 m có nghiệm khi
C.

m� 2; � .

f x gx
f x g x
�
a   .a    a    
�
f  x
gx
f x
�
  .a    b  0
Loại 4: Phương trình dạng  .a
a 
f  x  g x
�g x  a
�

a


HTTP://DETHITHPT.COM
1. Phương pháp

f x
�
u a  
�
Đặt �
(điều kiện u  0, v  0 ) đưa phương trình đã cho về phương trình dạng thuần
g x
v

a
�
�

nhất (để đưa về phương trình tích) hoặc hệ.
Chú ý: Khi đưa về phương trình thuần nhất thì sau đó ta khéo léo biến đổi đưa phương trình đó
về phương trình tích.

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 75.

Phương trình

A. 0.

Câu 76.

2

2

42x  2.4x

Giải phương trình

 3;6 .

Câu 78.

Phương trình

B.

C. –1.
2

phương trình là bao nhiêu?
A. 0.
B. 1.

A.

 42x  0 có tích các nghiệm bằng

B. 1.
Cho phương trình

Câu 77.

x

4x

22.

x

D. 2.

2
2
x1
 21 x  1  2  . Tổng bình phương các nghiệm của

C. 4.
x 3 x

 1;6 .

 5.2

x 31

C.

2

2

D. 2.

 2x 4  0 ta được tập nghiệm bằng

 3; 2 .

D.

 3; 2;1 .

2

3x  2x 3  3x  3x 2  32x  5x1  1

A. vơ nghiệm.

B. có hai nghiệm thực phân biệt.

C. có ba nghiệm thực phân biệt.

D. có bốn nghiệm thực phân biệt.

Loại 5: Một số loại đặt ẩn phụ khác

Câu 79.

A.

Phương trình

 1;1 .

Câu 80.
A.

Phương trình

 1;log 12 .
2

3x  6  3x có tập nghiệm là
B.

 1 .

C.

 1;0 .

D.

 0;1 .

2x  2  18  2x  6 có tập nghiệm là
B.

 1;log 10 .

C.

2

 1;4 .

D.

 1;log 14 .
2

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ ĐẶT ẨN PHỤ
KHƠNG HỒN TỒN

Câu 81.

Phương trình

A. 4.

Câu 82.
A.

Câu 83.
A.

Câu 84.

8.3x  3.2x  24  6x có tổng các nghiệm bằng
B. 6.

Phương trình

 1;log 4 .
3

Phương trình

1
x  � ; x �3.
2
Phương trình

C. 2.

D. 3.

6x  8  2x1  4.3x   có tập nghiệm là
B.

 2;log 2 .

x2.2x1  2
B.

C.

3

x 3  2

 x2.2

x  �1; x  3.

x 3  4

C.

 2;log 3 .

D.

3

 1;2 .

 2x1 có nghiệm là

1
x  � ; x  3.
4

D. Một kết quả khác.

x2.2x  4x  8  4.x2  x.2x  2x1 có tập nghiệm là

HTTP://DETHITHPT.COM
A.  1;1 .
B.  1;2 .
Câu 85.

Phương trình

 1;0 .

A.

Câu 86.

Câu 87.

 1;0 .

A.

Câu 88.
A.

B.

Phương trình

Phương trình

 0 .

C.

 1;1 .

C.

 x  4 .9   x  5 .3
B.  0;2 .
x

 1;1;2 .

 1 .

D.

 2 .



2

x



 1;2 .

D.

 2;3 .

 1  0 có tập nghiệm là
C.

 0;1 .

D.

 1;1 .

2

4x  x2  7 .2x  12 4x2  0 có tập nghiệm là

 1;1� 2 .

Câu 89.

D.

4x   x  8 .2x  12  2x  0 có tập nghiệm là

 1;3 .

A.

 2;1 .

8  x.2x  23 x  x  0 có tập nghiệm là

B.

Phương trình

C.

B.

 1;0;2 .

Khi giải phương trình

C.

 1� 2 . D.  0;1� 2 .

3.9x 2   3x  10 .3x 2  3 x  0

 * , một học sinh lí luận

qua các giai đoạn sau:


 I  : đặt t  3 , điều kiện t  0.
Khi đó:  * trở thành: 3t   3x  10 t  3 x  0  **
x 2

2

�

t   x  3  loai 
&
�
Ta có:   9x  48x  64   3x  8 �0. Suy ra  ** �
1
�
t
�
� 3
2

2



 II  : Với t  1 � 3



 III  : Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1.

x 2

3



1
� x  2  1 � x  1.
3

Trong lí luận trên, giai đoạn nào sai?
A.

 I

C.

 II 

và

 II  .

và

 III  .

B.

 I  và  III  .

D.

 I  ,  II 

và

 III  .

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp

Hướng 1: Thực hiện các bước sau:


Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:



Bước 2: Chứng minh hàm số
duy nhất



Bước 3: Nhẩm nghiệm



Bước 4: Kết luận

f  x  k (k là hằng số).

y  f  x đơn điệu � phương trình f  x  k có nghiệm

x0 sao cho f  x0   k.

x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2: Thực hiện các bước sau:

HTTP://DETHITHPT.COM


Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:



Bước 2: Chứng minh hàm số

f  x  g x .

y  f  x đồng biến và hàm số y  g x là hàm nghịch

biến

� phương trình f  x  g x có nghiệm duy nhất


Bước 3: Nhẩm nghiệm



Bước 4: Kết luận

x0 sao cho f  x0   g x0  .

x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3 [Phương pháp hàm đặc trưng]: Thực hiện các bước sau:



�
u  u x
�
f  u  g v với �
.
�v  v x
Bước 2: Chứng minh hàm số y  f  x đơn điệu. Khi đó: f  u  g v � u  v
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 90.
Phương trình
A.

 1;2 .

Câu 91.

3x1  10  x có tập nghiệm là
B.

 1;1 .

C.

 1 .

D.

 2 .

4x  3x  1.
A. Phương trình đã cho có nghiệm x  0.
Cho phương trình

B. Phương trình có đúng 2 nghiệm

x  0; x  1.

C. Phương trình có nghiệm duy nhất x  1.
D. Phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm.

Câu 92.

Phương trình

A. 2 nghiệm.

Câu 93.
A.

3 x 

B. Vơ nghiệm. C. 1 nghiệm.

Giải phương trình

 1 .

Câu 94.

B.

D. Vơ số nghiệm.

3x  6x  2x . Ta có tập nghiệm là

 2 .

C. �.

D.

 1 .

4x  6x  25x  2 là

Số nghiệm của phương trình

A. 3.

Câu 95.

1
x  1 có bao nhiêu nghiệm?
3

B. 1.

C. 0.

D. 2.

3x  5x  6x  2.
A. Phương trình có đúng 2 nghiệm x  0; x  1.
Cho phương trình

B. Phương trình có đúng 3 nghiệm.
C. Phương trình có nghiệm duy nhất

x  1.

D. Phương trình vơ nghiệm.

Câu 96.

Cho phương trình

A. 28.

Câu 97.

2 x

2x

3
3
 2x 8  x2  8 2x có hai nghiệm x1 , x2 . Tính x1  x2 .

B. 65.
Phương trình

C. 9.

D. 72.

2

2x  x2  6  0

A. vơ nghiệm.
C. có hai nghiệm thực trái dấu.

B. có hai nghiệm thực dương.
D. có một nghiệm thực duy nhất.


HTTP://DETHITHPT.COM

DẠNG 6: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

A.

x �1.

Câu 99.

2x

Số nghiệm của phương trình

Câu 100.

Câu 103.

x

C.

B. 3.

D. 3.
x

 3x2 là

x  1; x  1.

0

x

0

x

 3.2 x là

C. 1.
x

9x  2

1
2

D. Đáp án khác.

D. 1.

 cos36    cos72 

B. 2.
Giả sử phương trình

x  0.

 26 x  32  0 là

C. 0.

Số nghiệm của phương trình

D.

6x  5x  2x  3x bằng

Tích các nghiệm của phương trình

A. 3.

2x 5

 3 5   3 5

x  0; x  1.

B.

 21

C. 1.

Nghiệm của phương trình

A. 4.

Câu 102.

2x 5

B. 2.

x  2; x  3.

Câu 101.

thức a 

x��.

B.

A. 4.

A.

log x 1
x  1  3 3  là
C. x  1.

Tất cả các giá trị của x thỏa mãn

Câu 98.

x

2

3
2

D. 4.

a

 32x1 có nghiệm là . Khi đó giá trị biểu

1
log 9 2 bằng
2
2

A.

1
1 log9 2.
2
2

Câu 104.

B. 1.

C.
2x2  m 2 x 2m

2

4x  mx m1  4
A. vơ nghiệm với m��.
Phương trình

B. có ít nhất 1 nghiệm thực với

1 log 9 2.

2

D.

1
log9 2.
2
2

 x2  2x  m 1

m��.

C. có ít nhất một nghiệm thực với

m�2.

D. có thể có nhiều hơn hai nghiệm thực.
2

Câu 105.

2

Cho phương trình 5x  2mx 2  52x
của tham số m để phương trình vơ nghiệm?
A.

�
m 1

.
�
m 0
�

Câu 106.

 4mx 2

m 1.

B.
2

C.
2

 x2  2mx  m 0. Tìm tất cả các giá trị
0  m 1.

D.

m 0.

2

2sin x  31sin x  m.3sin x
A. vơ nghiệm với m��.
B. có nghiệm với m��.
Phương trình

C. có nghiệm với

m��
1;4�
�
.
�

D. có nghiệm với m  0.


HTTP://DETHITHPT.COM

VẤN ĐỀ 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bất phương trình mũ cơ bản:

ax  m
Là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax �m

với 0  a �1.

ax  m
ax �m

Trong vấn đề này cần lưu ý:
Định lí: Cho

0  a �1 và b, c  0 :
loga b  loga c � b  c.



Khi a 1 thì



Khi 0  a  1 thì

loga b  loga c � b  c.

Hệ quả: Cho 0  a �1 và

b, c  0 :



Khi

a 1 thì loga b  0 � b  1.



Khi

0  a  1 thì loga b  0 � b  1.

Chú ý: Sử dụng kiến thức sau để xử lí các bài tốn chứa tham số.

 A  m �f  x có nghiệm trên D ۣ A  m
�x
� D
 A  m �f  x nghiệm đúng 

A  m

 A  m �f  x có nghiệm trên D ۳ A  m
x D
 A  m �f  x nghiệm đúng �۳

max f  x .
x�D

min f  x .
x�D

min f  x .

A  m

x�D

max f  x .
x�D

DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ DẠNG CƠ BẢN
1. Phương pháp

Xét bất phương trình



ax  m

 * .

m�0 thì tập nghiệm là S  � (vì ax  0 với x ��).
�  a  1
�
x  loga m    nêu
Nếu m 0 thì:  * � �
x  loga m    nê�
u  0  a  1
�
Nếu

2. Bài tập trắc nghiệm


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 107. Tập nghiệm của bất phương trình 52x2  25 là
A. x  2.

Câu 108.
A.

A.

B.

B.

B.

A.

2x  2x1  6 là
C.

5

log3

x �0.

D. 0  x  2.

 �; 3 .

D.

 �;1 .

D.

x  0.

2

x2

 1 là
C. x  0.

2

5x 7x12  1 là

�
x 2
.
�
x 4
�

C.

�
x 3
.
�
x 4
�

D. 3  x  4.

2
2x  x �4 có nghiệm
B. x �1.

C. x �2.

Bất phương trình

A. 2 �x �1.

Câu 112.

 �; 2 .

Nghiệm của bất phương trình

�
x 3
.
�
x 5
�

Câu 111.

C. x  0.

Nghiệm của bất phương trình

x  2.

Câu 110.

�

x 2
.
�
x 0
�

Tập nghiệm của bất phương trình

 �;0 .

Câu 109.
A.

B.

Bất phương trình

x �log6 4.

B.

D. 1�x �2.

2x1.3x 2 �36 có nghiệm
x �log 3 8.

C.

2

x �2.

D.

x �log 8.

DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
1. Phương pháp

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
TH1: Cơ số a là hằng số thỏa mãn

f x
gx
a    a .

0  a �1:

f x
gx
a    a   � f  x  g x .



Nếu a 1 thì



Nếu 0  a  1 thì

f x
gx
a    a   � f  x  g x .

TH2: Cơ số a có chứa ẩn:

f x
gx
a    a   �  a 1 �
�f  x  g x �
� 0.

2. Bài tập trắc nghiệm
2 x

4x

Câu 113.
A.

� 2�
.
��; 5�
�
�

Câu 114.
A.

�2 � �3 �

Tập hợp các số x thỏa mãn � � �� � là
�3 � �2 �

Bất phương trình

 1; � .

Câu 115.

B.

Nếu

A. x  1.

B.





�2
�
 ; ��
.
�
�3
�

 2

x 2

C.

�
2
�
; ��
.
�
5
�
�

D.

� 2�
.
��; 3�
�
�

D.

 6; � .

 2x 3 có tập nghiệm là

 �;0 .

C.

 �; 8 .

x

6  5  6  5 thì
B. x  1.

C. x  1.

D. x  1.

6


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 116.
A.

Tập nghiệm của bất phương trình

 2; � .

Câu 117.

B.

 �; 1 .

 2 3   2 3
x

C.

 1; � .



Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 1.

B. 3.



10  3

3 x
x1

�2 �
Tập nghiệm của bất phương trình � �
�5 �

C.

 1; � .

D. đáp án khác.

Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 120.

B.

Bất phương trình

.
 �;1�
�

 x  2

x2  2x

C.

x2 4x8

là

 �; 2 � 1; � .

1
2



10  3

x

B.

.
 �;0�
�



x 1
x 3

�2 �
 � � là
�5 �

.
 1;2�
�

A.



 �; 2 .

D. 2.

A.

Câu 119.

là
D.

C. 0.
2 x

Câu 118.

x 2



2x
�0 là
2

�
2; � .
�

  x  2

2x

D.

�
0;2�
.
�
�

có tập nghiệm bằng

A.

 2; 1 � 2; � .

B.

 4; 1 � 2; � .

C.

 4;1 � 4; � .

D.

 2; 1 � 4; � .

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HĨA

Câu 121.

A.

�20 �
x  log 5 � �
.
3
2� �

Câu 122.
A.

Bất phương trình
B.

Bất phương trình

2x 2  5x1  2x  5x 2 có nghiệm.
�20 �
x  log 2 � �
.
3
5� �
x

D.

�20 �
x  log 5 � �
.
3

2� �

x

x  log  log2 3 . B. x  log  log2 3 . C. x  log  log2 3 . D. x  log  log2 3 .
3
2
2
3

Câu 123.

3

Bất phương trình

�
x 3
.
�
x
�
1
�

Câu 124.
A.

�20 �
x  log 2 � �

.
3
5� �

23  32 có nghiệm

2

A.

C.

2  2x 3

2x

3

2 2x 3

�3x

B. 1�x �3.

Bất phương trình

2 1

3x

2

có nghiệm

C. 3 �x �1.

D.

�
x 1
.
�
x
�
3
�

�2x1 có nghiệm

�
x 1
.
log3 2  1�x �1. B. �
x �1 log3 2
�

C.

�
x log3 2 1

.
1�x �1 log3 2. D. �
x �1
�

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 125.
nào sau đây?
A.

Đặt

t  5x thì bất phương trình 52x  3.5x 2  32  0 trở thành bất phương trình

t2  75t  32  0. B. t2  6t  32  0.

C.

t2  3t  32  0.

D.

t2  16t  32  0.


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 126. Nghiệm của bất phương trình 32.4x  18.2x  1 0 là
A.

1 x  4.

Câu 127.
A.

A.

1
1
 x .
16
2

B.

�
1;0 .
�

B.

 4;0 .

Câu 129.
A.

A.

A.

A.

A.

A.

A.

 �; 1 .

 2 3   2 3
x

2 �x �2.
4x

x1

 1;0 .

C.
x

C.

 5.2x

x11

�

x1
.
�
x �2
�

D.

 3;1 .

D.

�\  0 .

D.

�
x 2
.
�
x �2
�

�14 có nghiệm
�
x 1
.
�
x �1
�

 16 �0 có nghiệm

C. 1�x �2.

D.

�
x1
.
�
x 2
�

64.9x  84.12x  27.16x  0 có nghiệm là
1 x  2.

C.

�
x 1
.
�
x 2
�

D. vơ nghiệm.

B.

B.

Bất phương trình

m 3.

1�x �0.

C.

m 0.

D.

m 3.

4x   m 2 2x1  m2  2m 2  0 có tập nghiệm là � khi
m 2.

C.

m 2.

D.

m 1.

m.9x   2m 1 6x  m.4x �0 với x ��
0;1�
�

�là

 22x1 – 9.2x  4 .

�
x 2
�
x1 .
B. �
�
x �3
�

Bất phương trình

D.

32x1   m 3 3x  2 m 3  0 có nghiệm khi

B. 4.

�
x 2
.
A. �
x �3
�
Câu 138.

 1;4 .

1

Số giá trị nguyên âm của m để

A. 6.

Câu 137.

 1;1 .

32.4x  18.2x  1 0 là tập con của tập

5.4x  2.25x  7.10x �0 có nghiệm là
B. 1�x �2.
C. 2 �x �1.

Bất phương trình

m 1.

Câu 136.

B.

Bất phương trình

m 3.

Câu 135.

D.

Bất phương trình

0 �x �1.

Câu 134.

B.

Bất phương trình

9
3
 x .
16
4

Câu 133.

B.

Bất phương trình

�
x1
.
�
2 �x �3

�

Câu 132.

B.

Bất phương trình

1�x �1.

Câu 131.

4  x  1.

1 x
1 x
Bất phương trình � �  � �  12  0 có tập nghiệm là
�� ��
�3 � �3 �

 0; � .

Câu 130.

.
 0;1�
�

C.

2

D.

32x1  10.3x  3 �0 là
C.

Tập nghiệm của bất phương trình

 5; 2 .

2  x  4.

C.

Tập nghiệm của bất phương trình

�
1;1�
.
�
�

Câu 128.

B.

C. 5.

D. 3.

x2  2x  3 �0 có nghiệm
�
x 3
�
x1 .
C. �
�
x �2
�

4x  3.2x  1  8
�0 có nghiệm
2x  1  1

D.

�
x 3
.
�
x �2
�


HTTP://DETHITHPT.COM
�
1�x �1
.
A. �

x �2
�
Câu 139.
A.

Câu 140.
A.

B.

Bất phương trình

log3 2 �x �3.

Câu 142.

B.

Bất phương trình

x  2.

Câu 141.
A.

Bất phương trình

�
x  2
.

�
0

x

1
�

�
1
 x �1
�
.
C. 2
�
x �4
�

�
1 x �1
.
B. �
x �2
�

D.

�
x  1
.

�
1�x �2
�

D.

�
1  x  0
.
�
x

2
�

2.9x  4.6x  4x
 2x có nghiệm
3x 2  2x 2
�
2  x  0
.
�
x

1
�

 2x  1

2



�
x 0
.
�
1

x

2
�

C.

 



2



2x  2  1 . 2x1  5 có nghiệm

x  1.

x  2.

C.

D.

x  1.

3x  1  3x  2 �3 có nghiệm

B. x �1.

C.

log3 2 �x �1.

D. x �3.

3x  3  5 3x �m

Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình

nghiệm đúng x ��
A.

m�2 2.

Câu 143.

B.

D. m�4.

m�2 2.

D. m�4.

Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình

nghiệm?
A.

0 �m�3.

B.

3 �m�5.

m�3.

D.

2x  7  2x  2 �m có
D.

m�3.

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp



Nếu



Nếu

f  x đồng biến trên D và u, v �D thì f  u  f  v � u  v.

f  x nghịch biến trên D và u, v �D thì f  u  f  v � u  v.

2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 144. Tập nghiệm của bất phương trình
A.

 �;3 .

Câu 145.

A.

 �;1 .

D.

�
1; � .
�

B.

D. x  1.

6x  4  2x1  2.3x có nghiệm
1 x  log2 3.

Nghiệm của bất phương trình

A. x  3.

Câu 148.

C.

5x  3x  8x có nghiệm
B. x  2.
C. x  2.

Bất phương trình

log2 3  x  1.

Câu 147.

 1; � .

Bất phương trình

A. x  1.

Câu 146.

B.

2x  3 x là

B. x �2.

C.

log3 2  x  1.

2.2x  3.3x  6x  1  0 là
C. x .

Tập nghiệm của bất phương trình

x
2

4.3  9.2  5.6 là
x

x

D.

1 x  log3 2.

D. x  2.

HTTP://DETHITHPT.COM
A.  �;4 .
B.  4; � .
Câu 149.

Nghiệm của bất phương trình

A. x �0.

Câu 150.
A.

B.

Bất phương trình

�
 3 x  1
.
�
x 2
�

B.

1
0 �x � .
2

C.

 �;5 .

D.

 5; � .

D.

1
 x �2.
2

D.

�
 2 x 1
.
�
x 3
�

32 x  3 2x
�0 là
4x  2
C. x �2.

3x  x  4
 0 có nghiệm

x2  x  6
�
x  3
.
�
1 x  2
�

C.

�
x  2
.
�
1 x  3
�