Phương trình oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG cơ bản 182 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải)

HTTP://DETHITHPT.COM

TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

182 BTTN PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG CƠ BẢN
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH
THƯỜNG


HTTP://DETHITHPT.COM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Bài tốn 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI .
Phương pháp:
Để xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
x - x1 y - y1 z - z1
x - x 2 y - y2 z - z 2
d1 :
=
=
=
=
và d 2 :
.
a1
b1
c1
a2
b2
c2

Ta làm như sau:
ìï x1 + a1t = x 2 + a 2 t '
ïï
Xét hệ phương trình : ïí y1 + b1t = y 2 + b 2 t ' (*)
ïï
ïïỵ z1 + c1t = z 2 + c 2 t '
· Nếu (*) có nghiệm duy nhất (t 0 ; t '0 ) thì hai đường thẳng d1 và d 2 cắt
nhau tại A ( x1 + a1t 0 ; y1 + b1t 0 ; z1 + c1t 0 ) .
· Nếu (*) có vô số nghiệm thì hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau
· Nếu (*) vô nghiệm, khi đó ta xét sự cùng phương của hai véc tơ
ur
uu
r
u1 = ( a1 ; b1; c1 ) và u 2 = ( a 2 ; b 2 ; c 2 ) .
ur
uu
r
+) Nếu u1 = ku 2 Þ d1 / /d 2
ur
uu
r
+) Nếu u1 ¹ k.u 2 thì d1 và d 2 chéo nhau.
Ví dụ 1. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz ,

x - 1 y z +2
= =
và mặt phẳng (P) : x - 2y + z = 0 . Gọi
2
1
- 1

C là giao điểm của D với (P) , M là điểm thuộc D . Tính khoảng cách
từ M đến (P) , biết MC = 6
2. Cho các điểm A(2;1;0), B ( 1; 2; 2) , C ( 1;1;0) và mặt phẳng (P) : x + y + z - 20 = 0 .

1. Cho đường thẳng D :

Xác đònh tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng
CD song song với mặt phẳng (P)
Lời giải.

ïìï x = 1 + 2t
ï
,t Ỵ R .
1. Cách 1: Phương trình tham số của D : í y = t
ïï
ïïỵ z =- 2 - t
Thay x, y, z vào phương trình (P) ta được :
1 + 2t - 2t - t - 2 = 0 Û t =- 1 Þ C ( - 1; - 1; - 1) .
Điểm M Ỵ D Û M(1 + 2t; t; - 2 - t) Þ MC = 6 Û (2t + 2) 2 + (t +1) 2 + (t +1) 2 = 6
é
1
êt = 0 Þ M(1;0; - 2) Þ d ( M; (P) ) =
ê
6
Û ê
.
ê
1
êt =- 2 Þ M(- 3; - 2; 0) Þ d ( M; (P) ) =
ê

6
ë
r
Cách 2: Đường thẳng ∆ có u = (2;1; - 1) là VTCP
r
Mặt phẳng (P) có n = (1; - 2;1) là VTPT
2


HTTP://DETHITHPT.COM
r r
·
= cos u, n
Gọi H là hình chiếu của M lên (P) , suy ra cos HMC

( )

nên ta có

1
·
d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC
=
.
6
ïìï x = 2 - t
uuu
r
ï
2. Ta có AB = ( - 1;1; 2) , phương trình AB : í y = 1 + t

ïï
ïïỵ z = 2t
uuu
r
Vì D thuộc đường thẳng AB Þ D ( 2 - t;1 + t; 2t ) Þ CD = ( 1- t; t; 2t ) .
r
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) : n = ( 1;1;1)
r uuu
r
Vì C không thuộc mặt phẳng ( P ) nên CD / / ( P) Û n.CD = 0
Û 1.( 1- t ) +1.t +1.2t = 0 Û t =ỉ5 1
; ;Vậy D ç
ç
ç
è2 2

1
.
2

ư
1÷
.
÷
÷
ø

Ví dụ 2. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz ,

x y- 1 z

=
= . Xác đònh tọa độ điểm M trên trục
2
1
2
hoành sao cho khoảng cách từ M đến D bằng OM
ïìï x = 3 + t
x - 2 y- 1 z
ï
=
= . Xác đònh toạ
2. Cho hai đường thẳng D1 : í y = t
và D 2 :
ïï
2
1
2
ïïỵ z = t
độ điểm M thuộc D1 sao cho khoảng cách từ M đến D 2 bằng 1

1. Cho đường thẳng D :

Lời giải.

1. Vì M Ỵ Ox Þ M(m;0;0)
r
Đường thẳng D đi qua N(0;1;0) có u = (2;1; 2) là VTCP nên
uuur r
éNM, u ù
ê

ú
5m 2 + 4m + 8
ë
û
d(M, D ) =
=
r
3
u

5m 2 + 4m + 8
= t Û m 2 - m - 2 = 0 Û m =- 1, m = 2 .
3
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M1 (- 1;0;0), M 2 (2; 0;0) .
r
2. Đường thẳng D 2 qua A ( 2;1;0) có u = ( 2;1; 2) VTCP
uuur
uuur r
ù= ( t - 2; - 2;3 - t )
AM.u
Vì M Ỵ D1 Þ M ( 3 + t; t; t ) Þ AM ( t +1; t - 1; t ) Þ é
ê
ú
ë
û
uuur r
éAM.u ù
ê
ú
2

2
2
Nên d ( M, D 2 ) =1 Û ë r û=1 Û ( t - 2) +( - 2) +( 3 - t ) = 9
u
Nên d(M, D ) = OM Û

ét = 1 Þ M(4;1;1)
Û 2t 2 - 10t + 8 = 0 Û ê
.
ê
ët = 4 Þ M(7; 4; 4)
3


HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 3. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz :

x - 2 y +1
z
=
=
và mặt phẳng (P) : x + y + z - 3 = 0 .
1
- 2
- 1
Gọi I là giao điểm của D và (P) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho
Đề thi ĐH Khối B –
MI vuông góc với D và MI = 4 14
2011
x + 2 y - 1 z +5

=
=
2. Cho đường thẳng D :
và hai điểm A(- 2;1;1), B(- 3; - 1; 2) .
1
3
- 2
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho tam giác MAB có
diện tích bằng 3 5
Đề thi ĐH Khối B – 2011

1. Cho đường thẳng D :

Lời giải.

1. Ta có D cắt (P) tại I(1;1;1) .
uur
Điểm M(x; y;3 - x - y) Ỵ (P) Þ MI = ( 1- x;1- y; x + y - 2)
r
Đường thẳng D có a = ( 1; - 2; - 1) là VTCP
uur r
ìï MI.a = 0
ìï y = 2x - 1
ï
Û íï
Û
Ta có : í 2
ïï MI = 16.14 ïïỵ (1- x) 2 + (1- y) 2 + (- 2 + x + y) 2 = 16.14
ỵ

ïì x =- 3
ïì x = 5
hoặc ïí
íï
ïïỵ y =- 7
ïïỵ y = 9
Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M(- 3; - 7;13) và M(5;9; - 11) .
2. Vì M Ỵ D Þ M(- 2 + t;1 + 3t; - 5 - 2t)
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
AB, AM ù
= (t +12; - t - 6; - t)
Ta có AB = (- 1; - 2;1), AM = (t;3t; - 6 - 2t) Þ é
ê
ú
ë
û
r uuur
1 uuu
AB,
AM ù
=3 5
Do đó SD MAB = 3 5 Û é
ú
ë
û
2ê

1
Û
(t +12) 2 + (- t - 6) 2 + t 2 = 3 5
2
Û t 2 +12t = 0 Û t = 0, t =- 12 .
Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M(- 2;1; - 5) và M(- 14; - 35;19) .
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có

phương trình : x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d1 :

x +1 y z + 9
= =
,
1
1
6

x - 1 y - 3 z +1
=
=
. Xác đònh tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 sao
2
1
- 2
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2 và khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (P) bằng nhau
d2 :

Lời giải.

Giả sử M ( a; b; c) là điểm cần tìm.
a +1 b c + 9 ìïï a = b - 1
= =
Þ í
Vì M Ỵ D1 Þ
ïïỵ c = 6b - 9
1
1
6
Khoảng cách từ M đến mp (P) là: d = d(M;(P)) =

a - 2b + 2c - 1
2

2

1 + (- 2) + 2

2

=

11b - 20
.
3

4


HTTP://DETHITHPT.COM

Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với D 2 , ta có:
Suy ra (Q) : 2(x - a) +1(y - b) - 2(z - c) = 0 Û 2x + y - 2z + 9b - 16 = 0
Gọi H là giao điểm của (Q) và D 2 , suy ra tọa độ H là nghiệm của hệ :
ìï 2x + y - 2z + 9b - 16 = 0
ïï
Þ H(- 2b + 3; - b + 4; 2b - 3)
í x - 1 y - 3 z +1
ïï
=
=
1
- 2
ỵï 2
2
Do đó MH = (3b - 4) 2 + (2b - 4) 2 + (4b - 6) 2 = 29b 2 - 88b + 68
(11b - 20) 2
Yêu cầu bài toán trở thành: MH = d Û 29b - 88b + 68 =
9
2
2
Û 261b - 792b + 612 = 121b - 440b + 400
53
Û 140b 2 - 352b + 212 = 0 Û 35b 2 - 88b + 53 = 0b = 1, b = .
35
ỉ
ư
18 53 3 ÷
; ; ÷
Vậy có 2 điểm thoả mãn là: M(0;1; - 3) và M ç
.

ç
ç
è35 35 35 ÷
ø
2

2

2

Ví dụ 5.Xét vò trí tương đối giữa các đường thẳng D1 , D 2 . Tính góc giữa

x - 1 y +1 z - 5
x +1 y +1 z - 1
=
=
=
=
và D 2 :
, tìm giao
2
3
1
4
3
5
điểm của chúng (nếu có).

hai đường thẳng D1 :
Lời giải.

ur
Đường thẳng D1 qua điểm M1 (1; - 1; 5) và có u1 (2; 3; 1) là VTCP.
uu
r
Đường thẳng D 2 qua điểm M 2 (- 1; - 1; 1) và có u 2 (4; 3; 5) là VTCP.
uuuuur
r r
Cách 1: Ta có M1M 2 (- 2; 0; - 4) và [ u1 , u1 ] = (12; - 6; - 6), nên
r r uuuuur
[ u1 , u1 ].M1M 2 =- 24 + 0 + 24 = 0
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M.
ur
uu
r
Cách 2: Ta có u1 (2; 3; 1), u 2 (4; 3; 5) không cùng phương nên hai đường
thẳng hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình
ìï 1 + 2u =- 1 + 4v
ìï u - 2v =- 1
ïï
ïï
í - 1 + 3u =- 1 + 3v Û í u - v = 0 Û u = v =- 1.
ïï
ïï
ïïỵ 5 + u = 1 + 5v
ïïỵ u - 5v =- 4
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3; 2;6).
Góc giữa hai đường thẳng
ur uu

r
u1 .u 2
ur uu
r
8 +9 +5
11
cos(D1 , D 2 ) = cos(u1 , u 2 ) = ur uu
=
r =
14. 50 5 7
u1 . u 2
ỉ11 ư
÷
Þ (D1 , D 2 ) = arccos ç
» 33, 740
÷
ç
÷
ç
è5 7 ø
Ví dụ 6.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A(2; 1; 4) lên:
1. Mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + 7 = 0.

5


HTTP://DETHITHPT.COM
2. Đường thẳng ∆ :

x −1 y − 2 z −1

=
=
.
1
1
2

Lời giải.

1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và d ⊥ (P ). Khi đó điểm H là
giao điểm của d và (P ).
r
Vì n(P ) (2; − 1; − 1) nên đường thẳng d đi qua A(2; 1; 4) và d ⊥ (P ) có phương trình
 x = 2 + 2t

là  y = 1 − t (t ∈ R). Điểm H ∈ d nên H(2 + 2t;1 − t;4 − t).
z = 4 − t


Mà điểm H ∈ (P ) nên 2(2 + 2t) − (1 − t) − (4 − t) + 7 = 0 ⇔ t = −1.
Vậy tọa độ H(0;2; 5).
2. Có hai cách giải.
Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A và (α ) ⊥ ∆, tọa độ điểm
H là giao của (α ) và ∆.
r
Vì u∆ (1; 1; 2) nên mặt phẳng (α ) qua A và (α ) ⊥ ∆ có phương trình là
x + y + 2z − 11 = 0.

x = 2
 x + y + 2z − 11 = 0



Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ  x − 1 y − 2 z − 1 ⇔  y = 3, hay H(2;3;3).
 1 = 1 = 2
z = 3

Cách 2: Vì H ∈ ∆ nên H chỉ phụ thuộc một ẩn. Sử dụng điều kiện
AH ⊥ ∆ ta tìm được tọa độ H.
uuuu
r
Vì H ∈ ∆ nên H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t) ⇒ AH(t − 1;t + 1; 2t − 3).
uuuu
rr
Vì AH ⊥ ∆ nên AH.u ∆ = 0 ⇔ t − 1 + t + 1 + 2(2t − 3) = 0 ⇔ t = 1.

Vậy tọa độ H(2;3;3).

Ví dụ 7. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (a ) . Tìm tọa độ

giao điểm của chúng nếu có :
ïìï x = 12 + 4t
ï
(a ) : 3x + 4y - z - 2 = 0
1. d : í y = 9 + 3t ,t Ỵ ¡
ïï
ïïỵ z = 1 + t
x +10 y - 4 z - 1
=
=
(a ) : y + 4z +17 = 0

2. d :
- 3
4
- 1
Lời giải.

uu
r
uur
Ta kí hiệu u d là VTCP của đường thẳng D , n a là VTPT của mp (a )

1. Cách 1 : Thay phương trình của d vào phương trình của (α) ta có :
3(12 + 4t) + 4(9 + 3t) - 1- t - 2 = 0 Û 23t + 69 = 0 Û t =- 3
Vậy d cắt (a ) tại A(0; 0; - 2) .
uu
r
uur
uu
r uur
Cách 2 : Ta có : u d = (4;3;1), n a = (3; 4; - 1) Þ u d .n a = 35 ¹ 0 .
Vậy d và (a ) cắt nhau.
2. Cách 1 : Xét hệ phương trình

6


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï 2x + 3y + 6z + 2 = 0 ìï y =- 4z - 17
ïï
ïï

Û í 2x - 6z - 49 = 0
í x + y + z +5 = 0
ïï
ïï
ïỵï y + 4z +17 = 0
ïỵï x - 3y - 12 = 0
Ta thấy hệ này vô nghiệm suy ra d / /(a ) .
uu
r
uur
uu
r uur
Cách 2 : Ta có : u d = (- 3; 4; - 1), n a = (0;1; 4) Þ u d .n a = 0
Mặt khác điểm M(- 10; 4;1) Ỵ d mà M Ï (a ) Þ d / /(a ) .
Ví dụ 8. Tính khoảng cách từ A(2;3; - 1) đến đường thẳng
x - 3 y- 2 z
D:
=
=
1
3
2
Lời giải.

r
Đường thẳng D đi qua B(3; 2; 0) và có u = (1;3; 2) là VTCP
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên D , suy ra H ( 3 + t; 2 + 3t; 2t )
uuu
r
Þ AH = ( t +1;3t - 1; 2t +1)

uuur r
Vì AH ^ D Þ AH.u = 0 Û 1(t +1) + 3(3t - 1) + 2(2t +1) = 0 Û t = 0
uuu
r
Do đó AH = (1; - 1;1) Þ d ( A, D ) = AH = 3 .
uuu
r
uuu
r r
AB,
ú
= ( - 5; - 1; 4)
Cách 2: Ta có AB = ( 1; - 1;1) Þ é
ê
ú
ë
û
uuu
r r
éAB, u ù
ê
ú
(- 5) 2 + (- 1) 2 + 42
ë
û
=
= 3.
Do đó d ( A, D ) =
r
12 + 32 + 22

u

Ví dụ 9. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm

của chúng :
d1 :

x - 6 y +2 z - 3
=
=
2
4
m- 1

d2 :

x- 4 y- 3 z- 2
=
=
4
- 1
2

Lời giải.

Cách 1 :
ïìï x = 6 + 2t
ïìï x = 4 + 4t '
ï
ï

Ta có ptts của đường thẳng d1 : í y =- 2 + 4t
và d 2 : í y =- t '
ïï
ïï
ïïỵ z = 3 + (m - 1)t
ïïỵ z = 2 + 2t '
ïìï 6 + 2t = 4 + 4t '
ï
Ta có d1 và d 2 cắt nhau Û hệ í - 2 + 4t = 3 - t '
có nghiệm duy nhất.
ïï
ïïỵ 3 + (m - 1)t = 2 + 2t '
Từ hai phương trình đầu của hệ ta tìm được t = t ' = 1 thay vào phương trình
thứ ba ta có : 3 + (m - 1).1 = 2 + 2 Þ m = 2 .
Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là : A ( 8; 2; 4) .
Cách 2 :
ur
Đường thẳng d1 có VTCP u1 = (2; 4; m - 1) và đi qua M1 (6; - 2;3)
uu
r
Đường thẳng d 2 có VTCP u 2 = (4; - 1; 2) và đi qua M 2 (4;0; 2)
7


HTTP://DETHITHPT.COM
ur uu
r
uuuuur
u1 , u 2 ù
= (m + 7; 4m - 8; - 18), M1M 2 = (- 2; 2; - 1)

Do đó : é
ê
ú
ë
û
ur uu
r uuuuur
ïìï éu , u ù.M M = 0
ê
ë1 2ú
û 1 2
Û - 2(m + 7) + 2(4m - 8) +18 = 0
Ta có d1 và d 2 cắt nhau Û ïí ur uu
r
ïï éu , u ù¹ 0r
ïïỵ ê
ë1 2ú
û

Û m = 2 và tọa độ giao điểm là : A ( 8; 2; 4) .

x - 1 y + 2 z +1
=
=
và điểm A(2; - 5; - 6)
2
1
- 3
1. Tìm tọa độ hình chiếu của A lê đường thẳng D
2. Tìm tọa độ điểm M nằm trên D sao cho AM = 35

Ví dụ 10.Cho đường thẳng D :

Lời giải.

r
Ta có u = (2;1; - 3) là VTCP của đường thẳng D
1. Cách 1.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng D , suy ra
uuu
r
H ( 1 + 2t; - 2 + t; - 1- 3t ) Þ AH = ( 2t - 1; t + 3; - 3t + 5) .
uuu
rr
Vì AH ^ D Þ AH.u = 0 Û 2(2t - 1) + (t + 3) - 3(- 3t + 5) = 0

Û 14t - 14 = 0 Û t = 1 Vậy H ( 3; - 1; - 4) .
Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với D
Suy ra phương trình (P) : 2x + y - 3z - 17 = 0 . Khi đó H = D Ç (P) nên tọa độ của
H
ìï 2x + y - 3z - 17 = 0
ï
là nghiệm của hệ: ïí x - 1 y + 2 z +1 , giải hệ này ta tìm được H ( 3; - 1; - 4)
ïï
=
=
ïỵ 2
1
- 3
.
uuur

2. Vì M Ỵ D Þ M ( 1 + 2t; - 2 + t; - 1- 3t ) Þ AM = ( 2t - 1; t + 3; - 3t + 5)
Nên AM = 35 Û (2t - 1) 2 + (t + 3) 2 + (3t - 5) 2 = 35
Û t 2 - 2t = 0 Û t = 0, t = 2
· t = 0 Þ M(1; - 2; - 1)
· t = 2 Þ M(5; 0; - 7) .

·
Ví dụ 11. Cho tam giác AIB có A(- a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0) và AIB
= 1200 , a > 0.
Điểm I thuộc trục tung và có tung độ âm. Trên đường thẳng qua I
song song với trục Oz lấy các điểm C, D sao cho tam giác ABC vuông,
tam giác ABD đều và C, D có cao độ dương. Tìm tọa độ các điểm I, C, D.
Lời giải.

Tìm tọa độ điểm I.
Vì I thuộc trục tung và có tung độ âm nên I(0; t; 0), t < 0.
uur
uu
r
Ta có IA(- a 3; - t; 0), IB(a 3; - t; 0) nên

8


HTTP://DETHITHPT.COM
uur uu
r
uur uu
r
IA.IB

·
cos AIB
= cos(IA; IB) = uur uu
r
IA . IB
Û cos1200 =

- 3a 2 + t 2
(- a 3) 2 + (- t 2 ) + 02 . (a 3) 2 + (- t 2 ) + 0 2

ét = a
Û 3a 2 + t 2 = 2(3a 2 - t 2 ) Û t 2 = a 2 Û ê
Þ I(0; - a; 0).
ê
ët =- a
Vậy điểm I(0; - a; 0).
Đường thẳng qua I và song song với trục Oz có phương trình
ïìï x = 0
ï
D : í y =- a (t Ỵ ¡ ).
ïï
ïïỵ z = t
Tìm tọa độ điểm C.
uuu
r
uur
Vì C Ỵ D nên C(0; - a; t), t > 0. Ta có CA(- a 3; a; - t), CB(a 3; a; - t).
Rõ ràng CA = CB nên tam giác ABC phải vuông tại C.
ét = 2a
uuu

r uur
2
2
2
2
2
.
Hay CA.CB = 0 Û - 3a + a + t = 0 Û t = 2a Û ê
ê
t
=2a
ê
ë
Mà t > 0 nên C(0; - a; 2a).
Tìm tọa độ điểm D. Vì D Ỵ D nên D(0; - a; t), t > 0.
uuur
uuu
r
Ta có DA(- a 3; a; - t), DB(a 3; a; - t).
Rõ ràng DA = DB nên tam giác ABC đều khi và chỉ khi
ét = 2 2a
uuur
uuu
r
2
2
2
2
2
2

DA = AB Û 3a + a + t = 12a Û t = 8a Û ê
.
ê
ê
ët =- 2 2a
Mà t > 0 nên D(0; - a; 2 2a).
Vậy các điểm cần tìm là I(0; - a; 0), C(0; - a; 2a), D(0; - a; 2 2a).
Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz :

ìï x =- 1- 2t
ïï
d2 : í y = t
, t Ỵ ¡ . Xét vò trí tương
ïï
ïïỵ z = 1 + t
đối giữa d1 và d 2 . Tìm tọa độ các điểm M Ỵ d1 , N Ỵ d 2 sao cho MN song
song với mp ( P) : x - y + z = 0 và độ dài MN = 2 ;
x y z
1. Cho hai đường thẳng: d1 : = = ;
1 1 2

x - 3 y- 3 z- 3
x +5 y + 2 z
=
=
=
= . Chứng
; d2 :
2
2

1
6
3
2
minh rằng d1 và d 2 cắt nhau tại I . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt

2. Cho hai đường thẳng: d1 :

thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác AIB cân tại I và có diện tích bằng

41
42

Lời giải.

ur
1. Đường thẳng d1 đi qua O ( 0;0;0) có u1 = ( 1;1; 2) là VTCP,
9


HTTP://DETHITHPT.COM
uur
Đường thẳng d 2 đi qua A ( - 1;0;1) có VTCP u2 = ( - 2;1;1)
uuu
r
ur uu
r
ur uu
r uuur
u1 , u 2 ù

= ( - 1; - 5;3) Þ é
u1; u 2 ù
OA = 4 ¹ 0
Suy ra OA = (- 1;0;1), é
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û
Do đó d1 , d 2 chéo nhau.
Ta có M Ỵ d1 Þ M ( t; t; 2t ) , N Ỵ d 2 Þ N ( - 1- 2s;s;1 + s )
uuur uu
r
ïìï MN / / ( P ) ïìï MN.n p = 0 ìïï t =- s
Þ í
Û í
Theo đề bài ta có í
ïï MN = 2 ïï MN = 2
ï t - s) 2 + 4t 2 +( 1- 3t ) 2 = 2
ỵ
ỵï
ỵïï (
ỉ4 4 8 ÷
ư ỉ
ư
1 4 3÷
; ; ÷

, Nç
;- ; ÷
Giải hệ và kiểm tra điều kiện song song ta được M ç
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è7 7 7 ø è7 7 7 ø
thỏa mãn.
ïìï x - 3 y - 3 z - 3 ìï x = 1
ïï
ïï 2 = 2 = 1
Û í y =1
2. Xét hệ phương trình : í
ïï x + 5 y + 2 z
ïï
=
=
ïï
ïïỵ z = 2
3
2
ïỵ 6
Vây d1 cắt d 2 tại giao điểm I ( 1;1; 2) .
ur
d1 đi qua điểm M1 ( 3;3;3) có u1 = (2; 2;1) là VTCP ;
uu
r

d 2 đi qua M 2 (- 5; - 2;0) và có u 2 = (6;3; 2) là VTCP.
Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Ta có :
ur uu
r
u1.u 2
20
41
2
cos j = ur uu
r = Þ sin j = 1- cos j =
21
21
u1 . u 2

Giả sử IA = IB = a > 0 . diện tích của tam giác IAB là
1
41
41
S = .IA.IB.sin j = a 2
=
Þ a =1 .
2
42
42
uur
A Ỵ d1 Þ A(3 + 2t;3 + 2t;3 + t) Þ IA = (2t + 2; 2t + 2; t +1)
é
2
êt =ỉ
ỉ

ư
5 5 7ư
1 1 5÷
ê
3
ç
Þ IA 2 = 1 Û 9(t +1) 2 = 1 Û ê
Þ A1 ç
; ; ÷
,
A
;
;
.
÷
÷
ç
ç
2
÷ è
ç3 3 3 ø
ç3 3 3 ÷
è
ø
4
ê
t
=ê
ê
3

ë
uu
r
B Ỵ d 2 Þ B(- 5 + 6t; - 2 + 3t; 2t) Þ IB = (6t - 6;3t - 3; 2t - 2)
é 8
êt =
ỉ
ư
ỉ
13 10 16 ÷
1 4 12 ư
ê 7
2
2
Þ IB = 1 Û 49(t - 1) = 1 Û ê
Þ B1 ç
; ; ÷
, B2 ç
; ; ÷
÷
ç
ç
÷
÷.
ç7 7 7 ø
ç7 7 7 ø
è
è
ê 6
êt =

ê
ë 7
Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:
ỉ
ỉ
ỉ
ỉ
ỉ
ư ỉ
5 5 7ư
13 10 16 ư
5 5 7ư
1 4 12 ư
1 1 5÷
13 10 16 ư
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ç

; ; ÷
;
B
;
;
A

;
;
;
B
;
;
A
;
;
;
B
; ; ÷
hoặc
hoặc
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
ç
ç
÷ è
÷
÷ è
÷

÷
ç
ç7 7 7 ø
ç
ç7 7 7 ø
ç
ç7 7 7 ø
è3 3 3 ø
è3 3 3 ø
è3 3 3 ÷
ø è
ỉ
ư ỉ
1 1 5÷
1 4 12 ư
; ; ÷
; Bç
; ; ÷
hoặc A ç
÷
ç
ç
÷
÷.
ç
ç
è3 3 3 ø è7 7 7 ø
10

HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho mặt phẳng

(a ) : 3x + 2y - z + 4 = 0 và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm
đoạn thẳng AB.
1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (a ).
2. Xác đònh tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a ),
đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (a ).
Lời giải.

ïìï x = 4 - t
uuu
r
ï
(t Ỵ ¡ ).
1. AB(- 4; 4; 0) nên đường thẳng AB có phương trình í y = t
ïï
ïïỵ z = 0
Gọi M = AB Ç (a ) thì M(4 - t; t; 0) và thỏa mãn
3(4 - t) + 2t - 0 + 4 = 0 Û t = 16 Þ M(- 12; 16; 0).
Vậy giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (a ) là M(- 12; 16; 0).
2. Trung điểm của AB là I(2; 2; 0).
Đường thẳng KI qua I và vuông góc với (a ) : 3x + 2y - z + 4 = 0 có
ïìï x = 2 + 3t
ï
phương trình KI : í y = 2 + 2t (t Ỵ R), nên K(2 + 3t; 2 + 2t; - t).
ïï
ïïỵ z =- t
3( 2 + 3t ) + 2 ( 2 + 2t ) + t + 4
= 14 t +1 .

Ta có: d(K, (a )) =
32 + 22 +12
Mà OK = d(K, (a )) nên
2

2

( 2 + 3t ) +( 2 + 2t ) + t 2 = 14 t +1
14t 2 + 20t + 8 = 14 ( t 2 + 2t +1) Û 8t + 6 = 0
ỉ1 1
3
Þ Kç
- ; ;
ç
ç
è 4 2
4
ỉ 1 1 3÷
ư
- ; ; ÷
.
Vậy điểm cần tìm là K ç
ç
÷
ç
è 4 2 4ø
Û t =-

ư
3÷

.
÷
÷
4ø

Bài tốn 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
r

Dạng 1: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP a = (a1 ;a 2 ;a 3 ) :

ìï x = x o + a1t
ïï
(d) :ïí y = yo + a 2 t
(t Ỵ ¡ )
ïï
ïïỵ z = z o + a 3 t
uuu
r
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B :
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d PD nên VTCP của D cũng là VTCP của d .
Dạng 4: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước:
Vì d ^ ( P) nên VTPT của ( P ) cũng là VTCP của d .
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) , ( Q) :

11


HTTP://DETHITHPT.COM

• Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

ì
ïïî (Q)

ï (P)
– Tìm toạ độ một điểm A Î d bằng cách giải hệ phương trình ïí
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)
r

r r

ù
– Tìm một VTCP của d : a = é
ën P , n Q û

• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 :

r

r

r

ù
Vì d ^ d1 , d ^ d 2 nên một VTCP của d là: a = é
ëa d1 , a d2 û
Dạng 7: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng D .
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng D .

ìï H Î D
ïí uuuur
ïï M 0 H ^ ur V
î
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .
• Cách 2: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d , ( Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d . Khi đó

d = ( P ) Ç ( Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 :
• Cách 1: Gọi M1 Î d1 , M 2 Î d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M 2 . Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng d .
• Cách 2: Gọi ( P ) = (M 0 , d1 ) , ( Q) = (M 0 , d 2 ) . Khi đó d = ( P) Ç ( Q) , do đó, một VTCP của d có thể

r

r r

ù
chọn là a = é
ën P , n Q û.
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng ( P ) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
Tìm các giao điểm A = d1 Ç ( P ) , B = d 2 Ç ( P ) . Khi đó d chính là đường thẳng AB .
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa D và d1 , mặt phẳng ( Q) chứa D và d 2 .
Khi đó d = ( P) Ç ( Q) .
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:

ì

ï MN ^ d1
• Cách 1: Gọi M Î d1 , N Î d 2 . Từ điều kiện ïí
, ta tìm được M, N .
ïïî MN ^ d 2

Khi đó, d là đường thẳng MN .
• Cách 2:

r

r

r

ù
– Vì d ^ d1 và d ^ d 2 nên một VTCP của d có thể là: a = é
ëa d1 , a d2 û.
– Lập phương trình mặt phẳng ( P) chứa d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .

r

r r

ù
+ Một VTPT của ( P ) có thể là: n P = é
ëa, a d1 û.

– Tương tự lập phương trình mặt phẳng ( Q) chứa d và d1 .
Khi đó d = ( P ) Ç ( Q) .

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng ( P ) :
• Lập phương trình mặt phẳng ( Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng ( P ) bằng cách:

12


HTTP://DETHITHPT.COM
– Lấy M Ỵ D .

r

r

r

– Vì ( Q) chứa D và vng góc với D nên n Q = [ a D , n P ] .
Khi đó d = ( P ) Ç ( Q) .
Dạng 13: d đi qua điểm M , vng góc với d1 và cắt d 2 :
• Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 .Điều kiện MN ^ d1 , ta tìm được N .
Khi đó, d là đường thẳng M, N .
• Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua M và vng góc với d1 .
– Viết phương trình mặt phẳng ( Q) chứa M và d 2 .
Khi đó d = ( P ) Ç ( Q) .
Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz :

x +1 y z - 3
= =
. Viết phương trình
2

1
- 2
đường thẳng D đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt
trục Ox
Đề thi ĐH Khối D – 2011

1. Cho điểm A(1; 2;3) và đường thẳng d :

Lời giải.

1. Gọi M là giao điểm của đường thẳng D với Ox
uuur
r
Suy ra M(m;0;0) Þ AM = (m - 1; - 2; - 3) , đường thẳng D có a = (2;1; - 2) là VTCP
uuur r
uuur
Vì AM ^ d Þ AM.a Û m =- 1 Þ AM = (- 2; - 2; - 3)
x - 1 y- 2 z- 3
=
=
Vậy phương trình đường thẳng D là:
.
2
2
3
Ví dụ 15. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng D , biết:

D đi qua M ( 1;0; - 1) và vuông góc với hai đường thẳng

ìï x = t

ïï
x
y +2 z - 1
d1 :
=
=
; d 2 : í y =- 1- 2t
ïï
- 5
8
3
ïïỵ z = 0
Lời giải.

ur
uu
r
Ta có: d1 có u1 = (5; - 8; - 3) VTCP; d 2 có u 2 = (1; - 2;0) là VTCP
r
Cách 1: Giả sử u = (a; b;c) là một VTCP của ∆ .
Vì D vuông góc với d1 và d 2 nên
uu
r ur
ì a = 2b
ìï u .u = 0
r b
ìïï 5a - 8b - 3c = 0 ïïï
ï
1
Û í

Û í
Þ u = .(6;3; 2)
í uu
r uu
r
2
ïï u .u = 0 ïïỵ a - 2b = 0
ïï c = b
3
2
ïỵ
ïỵ
3

13


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x = 1 + 6t
ïï
, tỴ ¡ .
Phương trình D là: í y = 3t
ïï
ïïỵ z =- 1 + 2t
r ur uu
r
u1 , u 2 ù
= ( - 6; - 3; - 2) là một VTCP của D
Cách 2. Vì D ^ d1 , D ^ d 2 nên u = é
ê

ú
ë
û
ïìï x = 1- 6t
ï
, tỴ ¡ .
Suy ra phương trình D là: í y =- 3t
ïï
ïïỵ z =- 1- 2t
Ví dụ 16. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng D , biết:
ìï x = 1 + t
ïï
1. D đi qua A ( 1; 2;1) đồng thời D cắt đường thẳng d1 : í y = 2 - t và vuông
ïï
ïïỵ z = t
x +1 y - 1 z + 3
=
=
góc với đường thẳng d 2 :
;
2
1
- 2
2. D đi qua B(9;0; - 1) , đồng thời D cắt hai đường thẳng
x - 1 y - 3 z +1
x +2 y - 3 z - 4
D1 :
=
=
=

=
, D2 :
2
- 1
1
- 1
1
- 3
Lời giải.

1. Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và d1 , khi đó ta có D Ì (P)
ur
Ta có đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có u1 = ( 1; - 1;1) là VTCP
r uuur ur
AM, u1 ù
= ( - 1; - 1; 0) là VTPT của (P) .
Nên n = é
ê
ú
ë
û
r
r uu
r
uu
r
ïì D Ì (P)
n, u 2 ù
= ( 2; - 2;1) là VTCP của D (trong đó u 2 = ( 2;1; - 3) là
Vì ïí

, suy ra u = é
ê
ú
ë û
ïïỵ D ^ d 2
VTCP của đường thẳng d 2 ).
x- 1 y- 2 z- 1
=
=
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
.
2
- 2
1
uuu
r
Cách 2: Gọi E = D Ç d1 , suy ra E ( 1 + t; 2 - t; t ) nên AE = ( t; - t; t - 1)
uuu
r uu
r
uuu
r
Vì D ^ d 2 Þ AE.u 2 = 0 Û 2t - t - 2(t - 1) = 0 Û t = 2 Þ AE = (2; - 2;1)
x- 1 y- 2 z- 1
=
=
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
.
2
- 2

1
ur
2. Đường thẳng D1 đi qua C(1;3; - 1) và có v1 = ( 2; - 1;1) là VTCP
uu
r
Đường thẳng D 2 đi qua D(- 2;3; 4) và có v 2 = ( - 1;1; - 3) là VTCP

Gọi (a ) là mặt phẳng đi qua B và D1 , suy ra D Ì (a ) và
ur ur uuu
r
n1 = é
v1 , BCù
= ( - 3; - 8; - 2) là VTPT của (a ) .
ê
ú
ë
û
Gọi (b) là mặt phẳng đi qua B và D 2 , suy ra D Ì (b) và
uu
r uu
r uuu
r
n2 = é
v 2 , BDù
= ( 14;38;8) là VTPT của (b) .
ê
ú
ë
û
r ur uu

r
ù= (12; - 4; - 2) là VTCP
n
,
n
Ta có D là giao tuyến của (a ) và (b) nên a = é
ê
ë1 2ú
û
14


HTTP://DETHITHPT.COM
Vây phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
x- 9
y
z +1
=
=
.
6
- 2
- 1
3.

Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng D , biết:

1. D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a ) : x + y + z - 3 = 0 và (b) : 2y - z - 1 = 0
2. D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a ) : x + y - z + 3 = 0 và
(b) : 2x - y + 5z - 4 = 0 .

x- 1 y- 2
z
=
=
3. D là hình chiếu vuông góc của d :
lên mp
1
2
- 1
(a ) : x + y + z - 1 = 0
Lời giải.

1. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau
ur
uu
r
Cách 1: Ta có n1 = ( 1;1;1) và n 2 = ( 0; 2; - 1) lần lượt là VTPT của ( a ) và (b)
r ur uu
r
ù= ( - 3;1; 2) là VTCP của D
n
,
n
Do D = (a ) Ç (b) , suy ra a = é
ê
ë1 2ú
û
ìïï x + y + z - 3 = 0
Xét hệ phương trình í
(*). Cho y = 1 Þ x = z = 1 , suy ra M(1;1;1) Ỵ D

ïïỵ 2y - z - 1 = 0
ìï x = 1- 3t
ïï
Vậây phương trình tham số của đường thẳng D là: í y = 1 + t , t Ỵ ¡ .
ïï
ïïỵ z = 1 + 2t
ìï x + y + z - 3 = 0
Cách 2: Xét N(x; y; z) Ỵ D Û N Ỵ (a ) Ç (b) Û ïí
ïïỵ 2y - z - 1 = 0
ïìï x = 4 - 3t
ï
, t Ỵ ¡ , đây chính là phương trình tham số của D
Đặt y = t , ta có: í y = t
ïï
ïïỵ z =- 1 + 2t
.
Cách 3: Trong hệ (*) cho y = 0 Þ z =- 1, x = 4 . Do đó điểm E(4;0; - 1) Ỵ D
Hay D º ME , từ đó ta lập được phương trình tham số của D là:
ïìï x = 4 - 3t
ï
,t Ỵ ¡ .
í y=t
ïï
ïïỵ z =- 1 + 2t
2. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau
Cách 1: Ta có A(- 1; - 1;1), B(- 5;6; 4) là hai điểm chung của (a ) và (b)
uuu
r
Þ A, B Ỵ d Þ AB = (- 4;7;3) là một VTCP của d
ìï x =- 1- 4t

ïï
Phương trình tham số của d : í y =- 1 + 7t , t Ỵ R .
ïï
ïïỵ z = 1 + 3t
x +1 y +1 z - 1
=
=
Phương trình chính tắc của d :
.
- 4
7
3
ur
uu
r
Cách 2: Ta có n1 = (1;1; - 1), n 2 = (2; - 1;5) lần lượt là VTPT của (a ), (b)
15


HTTP://DETHITHPT.COM
r ur uu
r
n1 , n 2 ù
= (4; - 7; - 3)
Vì d là giao tuyến của (a ) và (b) nên u = é
ê
ú
ë
û
Từ đó ta lập được phương trình cuả d .

ìï M Ỵ (a ) ìïï x + y - z + 3 = 0
Û í
Cách 3: Ta có M(x; y; z) Ỵ d Û ïí
ïỵï M Ỵ (b)
ïỵï 2x - y + 5z - 4 = 0
ìï
1 4
ïï x = - t
ïìï x + y =- 3 + t
ï
3 3
Û í
Đặt z = t ta được: í
ïïỵ 2x - y = 4 - 5t ïï
10 7
+ t
ïï y =3 3
ỵï
ìï
1 4
ïï x = - t
ï
3 3
, tỴ ¡ .
Phương trình tham số của d : í
ïï
10 7
+ t; z = t
ïï y =3 3
ïỵ

3. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau
r
Đường thẳng d đi qua M(1; 2;0) và có v = (1; 2; - 1) là VTCP.
r
Mặt phẳng (a ) có n = ( 1;1;1) là VTPT
ìï x - 1 y - 2
z
ïï
=
=
2
- 1 , giải hệ này ta được x = 0, y = 0, z =1 ,
Xét hệ phương trình í 1
ïï
ïỵ x + y + z - 1 = 0
suy ra d và (a ) cắt nhau tại I(0; 0;1) và I Ỵ D .
Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (a )
ur r r
v, n ù= (3; - 2; - 1) là VTPT của (P)
Ta có n1 = é
ê
ë ú
û
r
r ur
n, n1 ù
= ( - 1; - 4;5) là VTCP của D
Vì D = (a ) Ç (P) nên u = é
ê
ë ú

û
x
y
z- 1
=
=
Vậy phương trình của đường thẳng D là:
.
- 1 - 4
5
r
Cách 2. Gọi N là hình chiếu của M lên (a ) , vì MN ^ (a ) nên n = (1;1;1) là
VTCP
x- 1 y- 2 z
=
=
của MN , suy ra phương trình MN :
1
1
1
ïìï x - 1 y - 2 z
=
=
1
1
Do N = MN Ç (a ) nên tọa độ của N là nghiệm của hệ: ïí 1
ïï
ïỵ x + y + z - 1 = 0
ỉ
ư

1
4
2
1 4 2÷
; ;- ÷
Giải hệ này ta tìm được: x = , y = , z =- Þ N ç
.
ç
ç
è3 3 3 ÷
ø
3
3
3
Khi đó đường thẳng D º IN , từ đó ta lập được phương trình D :
x
y
z- 1
=
=
.
- 1 - 4
5

16


HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 18. Cho đường thẳng D và mặt phẳng (P) có phương trình:

ïìï x = 1 + 2t
ï
D :í y =- 1- t (t Ỵ ¡ ), (P) : 2x - y + 2z = 11 = 0.
ïï
ïïỵ z = 2t
1. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A(1; - 2; - 5) trên D ;
2. Tìm tọa độ điểm A ¢ sao cho AA ¢= 2AH và ba điểm A, A ¢, H thằng hàng;
3. Tìm tọa độ điểm B¢ đối xứng với điểm B(1; - 1; 2) qua (P) .
Lời giải.

uur
1. Đường thẳng D có u D = (2; - 1; 2) là VTCP
uuur
Cách 1: Vì H Ỵ D nên H(1 + 2t; - 1- t; 2t) Þ AH = (2t; 1- t; 2t + 5).
uuu
r uur
Điểm H là hình chiếu của A trên D nên AH.u D = 0, hay
2.(2t) - 1.(1- t) + 2(2t + 5) = 0 Û t =- 1 Þ H(- 1; 0; - 2).
Vậy điểm cần tìm là H(- 1; 0; - 2) .
Cách 2: Gọi (a ) là mặt phẳng qua A(1; - 2; - 5) và vuông góc với D .
uur
Ta có một véc tơ pháp tuyến của (a ) là n a = (2; - 1; 2) nên
(a ) : 2x - y + 2z - 6 = 0.
Điểm H là hình chiếu của A trên D thì H = (P) ÇD Þ H(- 1; 0; - 2) .
2. Gọi A ¢(x; y; z).
Vì ba điểm A, A ¢, H thằng hàng và AA ¢= 2AH nên có hai trường hợp
uuur
uuu
r
· AA ¢= 2AH, khi đó H là trung điểm AA ' nên

ìï x A + x A¢ = 2x H ìï x A¢ = 2x H - x A ìï x A¢ =- 3
ïï
ï
ï
ïí y + y = 2y Û ïïí y = 2y - y Þ ïïí y = 2 .
H
H
A
A¢
ïï A
ïï A¢
ïï A¢
ïỵï z A + z A ¢ = 2z H
ïïỵ z A ¢ = 2z H - z A
ïỵï z A ¢ =1

Vậy A ¢(- 3; 2; 1).
uuur
uuur
· AA ¢=- 2AH, khi đó ta có

ìï x A ¢- 1 =- 2.(- 2) ìï x A ¢ = 5
ïï
ï
ïí y + 2 =- 2.2 Û ïïí y =- 6 Þ A ¢(5; - 6; - 11).
ïï A ¢
ïï A¢
ïỵï z A¢+ 5 =- 2.3
ïỵï z A¢ =- 11

Vậy có hai điểm thỏa mãn là A ¢(- 3; 2; 1) hoặc A ¢(5; - 6; - 11).
3. Gọi d là đường thẳng đi qua B(1; - 1; 2) và d ^ (P), khi đó một véc tơ
phương của d là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
uu
r
x - 1 y +1 z - 2
=
=
.
Ta có u d = (2; - 1; 2) nên d :
2
- 1
2
Điểm K là hình chiếu của B trên (P) thì K = d Ç (P), nên tọa độ K là
ïìï x - 1 y +1 z - 2
=
=
- 1
2 Þ H(- 3; 1; - 2).
nghiệm của hệ phương trình: ïí 2
ïï
ïỵ 2x - y + 2z =11 = 0
Điểm B ' đối xứng với B qua (P) khi H là trung điểm của BB' nên tọa
độ điểm B ' cần tìm B¢(- 7; 3; - 6) .
17


HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 19. Trong không gian Oxyz ,

1. Cho mặt phẳng (a ) : 2x - 2y + z - n = 0 và đường thẳng
x - 1 y +1
z- 3
D:
=
=
. Tìm m, n để:
2
1
2m - 1
a) Đường thẳng D nằm trong mp(a )
b) Đường thẳng D song song với mp(a )
2. Tìm m để :
x - 6 y +3 z - 1 + m
x- 4
y
z +2
=
=
=
=
a) Hai đường thẳng d1 :
và d 2 :
cắt nhau.
2
- 2
m- 1
4
- 3
2

Tìm giao điểm của chúng.
ìï x = (- 2m 2 + m +1)t
ïï
2
b) Đường thẳng d m : ïí y = 1- (4m + 4m +1)t song song với (P) : 2x - y + 2 = 0 .
ïï
ïï z =- 2 + (m 2 - m)t
ỵ
Lời giải.

r

1. Mặt phẳng (a ) có n = ( 2; - 2;1) là VTPT

r
Đường thẳng D đi qua A(1; - 1;3) và có u = ( 2;1; 2m - 1) là VTCP

a) Cách 1: Ta có B ( 3;0; 2m + 2) Ỵ D
ìï n = 7
ìïï A Ỵ (a ) ìïï 7 - n = 0
ï
D Ì (a ) Û í
Û í
Û ïí
ïỵï B Ỵ (a ) ïỵï 8 + 2m - n = 0 ïï m =- 1
ïỵ
2
ìï A Ỵ (a )
ïí r r
D

Ì
(
a
)
Û
Û
Cách 2: Ta có
ïï n.u = 0
ỵ

ïìï 7 - n = 0
Û
í
ïïỵ 2m +1 = 0

ìï n = 7
ï
.
íï
ïï m =- 1
ïỵ
2

ïìï n ¹ 7
ïí
.
ïï m =- 1
2
ỵï
2. a) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

nghiệm duy nhất:
ìï 6 + 2t = 4 + 4t '
ïï
ïì t =- 3, t ' =- 1
Û ïí
Þ m =2 .
í - 3 - 2t =- 3t '
ïï
ïïỵ 1- m + (m - 1).(- 3) =- 4
ïïỵ 1- m + (m - 1)t =- 2 + 2t '
Khi đó hai đường thẳng cắt nhau tại A(0;3; 4) .
b) Cách 1:
r
Đường thẳng d m đi qua A(0;1; - 2) có u = (- 2m 2 + m +1; - 4m 2 - 4m - 1; m 2 - m) là
r
VTCP. Mặt phẳng (P) có n = (2; - 1;0) là VTPT
rr
ìï - 4m 2 + 2m + 2 + 4m 2 + 4m +1 = 0
ïìï u.n = 0
1
ï
Û í
Û m =- .
Ta có d m / /(P) Û í
ïï A Ï (P) ïïỵ - 1 + 2 ¹ 0
2
ỵ
Cách 2: Ta có d m / /(P) Û hệ phương trình sau vô nghiệm:
ìï A Ï (a )
Û

b) Ta có: D / /(a ) Û ïí r r
ïï n.u = 0
ỵ

ìïï 7 - n ¹ 0
Û
í
ïỵï 2m +1 = 0

18


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x = (- 2m 2 + m +1)t
ïï
ïï y = 1- (4m 2 + 4m +1)t
ïí
ïï z =- 2 + (m 2 - m)t
ïï
ïïỵ 2x - y + 2 = 0
Thay ba phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: (6m + 3)t =- 1
1
Do đó hệ vô nghiệm Û m =- .
2
Ví dụ 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho tứ diện ABCD có
các đỉnh A ( 1; 2;1) , B ( - 2;1;3) , C ( 2; - 1;1) và D ( 0;3;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ D đến (P)
Lời giải.

Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) đi qua A, B song song với CD .
r uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r
ù= (- 8; - 4; - 14) là VTPT của
AB,
CD
Ta có AB = (- 3; - 1; 2), CD = (- 2; 4;0) , suy ra n = é
ê
ú
ë
û
(P). Phương trình (P): 4x + 2y + 7z - 15 = 0 .
Trường hợp 2: (P) đi qua A, B và cắt CD tại I , suy ra I là trung điểm
uur
của CD Do đó I(1;1;1) Þ AI = (0; - 1; 0) .
r uuu
r uur
AB,
AIù
= (2; 0;3) .
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n = é
ê
ú
ë

û
Phương trình (P) : 2x + 3z - 5 = 0 .
Vậy (P) : 4x + 2y + 7z - 15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z - 5 = 0 .
Ví dụ 21. Cho đường thẳng ∆1 :

x − 2 y −1 z −1
=
=
và đường thẳng
3
1
1

 x = −1 − 2t

∆ 2 : y = 2 + 3t (t ∈ R). Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt ∆1 và cắt ∆2
z = 1


đồng thời thỏa mãn:
1. ∆ nằm trong mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − z + 2 = 0.
2. ∆ song song với đường thẳng d :
3. ∆ đi qua điểm M(1; − 5; − 1).

x−2 y+1 z−3
=
=
.
4
3

1

Lời giải.
1. Vì ∆ cắt ∆1 và cắt ∆2 đồng thời ∆ nằm trong mặt phẳng (P ), nên ∆
chính là đường thẳng đi qua các giao điểm của ∆1 và ∆2 với (P ).
Gọi A = ∆1 ∩ (P ) thì tọa độ A là nghiệm của hệ

x − 2 y −1 z −1
=
=

1
1 ⇒ A(−1; 0; 0).
 3
2x + 3y − z + 2 = 0

19


HTTP://DETHITHPT.COM
B = ∆2 ∩ (P ). Vì B ∈ ∆ 2 nên B(−1 − 2t; 2 + 3t; 1). Lại có
2(−1 − 2t) + 3(2 + 3t) + 1 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(1; − 1; 1).
uuur
Ta có AB(2; − 1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là
x −1 y +1 z −1
∆:
=
=
.
2

−1
1

Gọi

B ∈ (P )

nên

2. Có nhiều cách giải bài toán này, chẳng hạn:
Cách 1: Tìm một điểm thuộc ∆.
Vì ∆ cắt ∆1 và song song với d, nên ∆ nằm trong mặt phẳng (α ) chứa
∆1 và song song với d. Ta có (α ) qua M 1(2; 1; 1), (α ) có một véc tơ pháp
r

r

r

tuyến là n(α ) = u ∆1 , ud  = (−2; 1; 5) nên (α ) : − 2x + y + 5z − 2 = 0.
 ∆ ⊂ (α )
nên C = ∆2 ∩ (α ) ⇒ C(−1 − 2t;2 + 3t;1) và thỏa mãn

∆ ∩ ∆2 = C
−2(−1 − 2t) + (2 + 3t) + 5 − 2 = 0 ⇔ t = −1, nên C(1; − 1; 1).
r
Lại có ∆ // d nên một véc tơ chỉ phương của ∆ là ud (4; 3; 1), do đó phương
x −1 y +1 z −1
=
=

.
trình cần tìm ∆ :
4
3
1
Cách 2: Xác đònh hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng ∆.
∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Mặt phẳng (α ) chứa ∆1 và song song với d.
- Mặt phẳng (β) chứa ∆2 và song song với d.
Ta có (α ) : − 2x + y + 5z − 2 = 0.
Mặt phẳng (β) qua M 2(−1; 2; 1), đồng thời (β) có một véc tơ pháp tuyến
r
r
r
là n(β ) = u ∆2 , ud  = (3; 2; − 18) nên (β) :3x + 2y − 18z + 17 = 0.
Hai điểm D(−3; − 4; 0), E(1; − 1; 1) là các điểm chung của mặt phẳng (α ) và
x −1 y +1 z −1
(β), nên phương trình cần tìm là ∆ :
=
=
.
4
3
1

Ta

có

Cách 3: Xác đònh tọa độ hai giao điểm.

Gọi N 1 = ∆ ∩ ∆1 ⇒ N 1(2 + 3t1; 1 + t1; 1 + t1 ) và N 2 = ∆ ∩ ∆2 thì
uuuuuur
N 2(−1 − 2t2; 2 + 3t2; 1) ⇒ N 1N 2(−3 − 2t 2 − 3t1; 1 + 3t 2 − t1; − t1 ).
uuuuuur r
Ta có ∆ // d nên N 1N 2 // ud , do đó

 t − 2t2 = 3
t = 1
−3 − 2t2 − 3t1 1 + 3t2 − t1 − t1
=
=
⇔ 1
⇔ 1
4
3
1
2t1 + 3t2 = −1 t2 = −1
Vì thế N 1(5; 2; 2), N 2(1; − 1; 1). Phương trình đường thẳng cần tìm
x −1 y +1 z −1
∆:
=
=
.
4
3
1

3. Bài toán này cũng có thể giải bằng ba cách như bài toán trên.
Ở đây, chúng tôi giới thiệu cách 1.
Vì ∆ cắt ∆1 và qua M, nên ∆ nằm trong mặt phẳng (Q) chứa ∆1 và qua

uuuuuu
r
r
M(1; − 5; − 1). Ta có M 1(2; 1; 1) ∈ ∆1,MM 1(1; 6; 2), u ∆1 (3;1;1).
r

r

uuuuuu
r

Một véc tơ pháp tuyến của (Q) là n(Q) = u∆1 , MM 1  = (−4; − 5; 17) nên
(Q) : 4x + 5y − 17z + 4 = 0.

20


HTTP://DETHITHPT.COM
 ∆ ⊂ (Q)
nên F = ∆2 ∩ (Q) ⇒ F(−1 − 2t;2 + 3t;1)

∆ ∩ ∆2 = F
4(−1 − 2t) + 5(2 + 3t) − 17 + 4 = 0 ⇔ t = −1, nên F(−3; 5; 1).
Vậy ∆ uu
là
đường thẳng MF.
uu
r
Ta có MF(−4; 10;2) = 2(−2;5;1) nên phương trình ∆ là
x −1 y + 5 z+1

∆:
=
=
.
−2
5
1

Ta

có

và

thỏa

mãn

Ví dụ 22. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết:

1. Đỉnh A(1; - 3; 2), phương trình hai đường trung tuyến:
ìï x = 2 + 3t
ìï x =- 3t '
ï
ï
BM : ïí y =- 2 - 3t (t Ỵ ¡ ), CN : ïí y =- 1 (t, t ' Ỵ ¡ ).
ïï
ïï
ïỵï z =- 1- t
ïỵï z = 1 + 5t '

2. Đỉnh A(1; 2; 7) và phương trình hai đường cao:
x- 3 y- 2 z- 5
x- 1 y- 5 z- 4
BE :
=
=
, CF :
=
=
.
2
1
- 3
2
- 3
1
3. Đỉnh A(3; 2; 3), phương trình phân giác trong góc B và đường cao CK
x - 1 y- 4 z- 3
x- 2 y- 3 z- 3
=
=
, CK :
=
=
.
là: BD :
1
- 2
1
1

1
- 2
Lời giải.

1. Tọa độ của điểm B và trung điểm N của AB lần lượt là
B(2 + 3b; - 2 - 3b; - 1- b), N(- 3n; - 1; 1 + 5n).
Theo công thức tính tọa độ trung điểm, ta có
ìï 1 + 2 + 3b =- 6n
ïìï x A + x B = 2x N
ïï
ìï b =- 1
ïï
í y A + y B = 2y N Û í - 3 - 2 - 3b =- 2 Û ïí
ïï
ïï
ï n =0
ïïỵ z A + z B = 2z N
ïïỵ 2 - 1- b = 2 +10n ïỵ
uuu
r
Tọa độ điểm B(- 1; 1; 0) Þ AB(- 2; 4; - 2) =- 2(1; - 2; 1).
x - 1 y +3 z - 2
=
=
.
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB :
1
- 2
1
Tương tự, ta có M(2 + 3m; - 2 - 3m; - 1- m), C(- 3c; - 1; 1 + 5c) nên

ïìï x A + x C = 2x M
ïìï 1- 3c = 4 + 6m
ìï c =- 1
ïïí y + y = 2y Û ïí - 3 - 1 =- 4 - 6m
Û ïí
A
C
M
ïï
ïï
ï m =0
ïïỵ z A + z C = 2z M
ïïỵ 2 +1 + 5c =- 2 - 2m ïỵ
uuu
r
Tọa độ điểm C(3; - 1; - 4) Þ AC(2; - 2; - 2) =- 2(- 1; 1; 1).
x - 1 y +3 z - 2
=
=
.
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC :
- 1
1
1
uuu
r
Ta có BC(4; - 2; - 4) =- 2(- 2; 1: 2) nên phương trình đường thẳng chứa cạnh
x - 3 y +1 z + 4
BC :
=

=
.
- 2
1
2
2. Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với BE là
2x + y - 3z +17 = 0.
21


HTTP://DETHITHPT.COM
Ta có C = CF Ç (P) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
ìï x - 1 y - 5 z - 4
ïï
=
=
- 3
1 Þ C(13; - 13; 10).
í 2
ïï
ỵï 2x + y - 3z +17 = 0
Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với CF là
(Q) : 2x - 3y + z - 3 = 0.
Ta có B = BF Ç (Q) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
ïìï x - 3 y - 2 z - 5
ï 2 = 1 = - 3 Þ B(5; 3; 2).
í
ïï
ïỵ 2x - 3y + z - 3 = 0
Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường

thẳng chứa cạnh của tam giác ABC là
ïìï x = 1 + t
ïìï x = 7 - t
ïìï x = 1
ï
ï
ï
AB : í y = 2 , BC : í y = 2 + 2t , CA : í y = 2 + 2t .
ïï
ïï
ïï
ïỵï z = 5 - t
ïỵï z =- 1
ïỵï z = 5 - t
3. Mặt phẳng (a ) qua A(3; 2; 3) vuông góc với CK là
(a ) : x + y - 2z +1 = 0.
Vì B = (a ) Ç BD nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình
ïìï x + y - 2z +1 = 0
ïí
Þ B(1; 4; 3).
ïï x - 1 = y - 4 = z - 3
ïỵ 1
- 2
1
Muốn tìm tọa độ điểm C ta tìm điểm A ¢ đối xứng với điểm A qua
phân giác trong góc B. Điểm A ¢ thuộc đường thẳng BC nên lập được
phương trình đường thẳng BC và tìm được C = BC Ç CK.
Gọi H là hình chiếu của A trên BD, suy ra H(1 + t; 4 - 2t;3 + t).
uuur
r

Ta có AH(t - 2; 2 - 2t; t), u BD (1; - 2; 1) nên
uuu
rr
AH.u BD = 0 Û 1.(t - 2) - 2.(2 - 2t) + t = 0 Û t =1
Vậy H(2; 2; 4).
Gọi A ¢ đối xứng với A qua BD thì A ¢(1; 2; 5).
Đường thẳng BC là đường thẳng BA ¢ nên có phương trình là
ìï x = 1
ïï
BC : í y = 2 - t .
ïï
ïïỵ z = 5 + t
ìï x C = 1 = 2 + c
ïï
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ïí y C = 2 - t = 3 + c Þ C(1; 2;5).
ïï
ïïỵ z C = 5 + t = 3 - 2c
Phương trình các đường thẳng cần tìm là
ïìï x = 3 - t
ïìï x = 1
ïìï x =1- t
ï
ï
ï
AB : í y = 2 + t , BC : í y = 2 - t , CA : í y = 2 .
ïï
ïï
ïï
ïỵï z = 3
ïỵï z = 5 + t

ïỵï z = 5 + t
22


HTTP://DETHITHPT.COM
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số
ïìï x = 2 + t
ï
. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
í y =- 3t
ïï
ïïî z =- 1 + 5t
x- 2
y
z +1
=
=
A.
B. x - 2 = y = z +1
1
- 3
5
x +2 y z - 1
x +2
y
z- 1
= =
=
=

C.
D.
- 1
3
- 5
1
- 3
5
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D có phương trình chính tắc
x - 3 y +1 z
=
= . Phương trình tham số của đường thẳng D là?
2
- 3
1
ïìï x = 3 + 2t
ïìï x = 2 + 3t
ï
ï
A. í y =- 1- 3t
B. í y =- 3 - t
ïï
ïï
ïïî z = t
ïïî z = t
ïìï x =- 3 + 2t
ïìï x =- 3 - 2t
ï
ï
C. í y = 1- 3t

D. í y = 1 + 3t
ïï
ïï
ïïî z = t
ïïî z = t
x +2 y- 1 z - 3
=
=
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d :
. Đường thẳng d
2
- 1
3
uu
r
đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a d là
uu
r
uu
r
A. M ( - 2;1;3) , a d = ( 2; - 1;3)
B. M ( 2; - 1; - 3) , a d = ( 2; - 1;3)
uu
r
uu
r
C. M ( 2; - 1;3) , a d = ( - 2;1;3)
D. M ( 2; - 1;3) , a d = ( 2; - 1; - 3)

ìï x = t - 2

ïï
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d : í y = 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua
ïï
ïïî z = 1 + t
uu
r
điểm M và có vectơ chỉ phương a d là
uu
r
uu
r
A. M ( - 2; 2;1) , a d = ( 1;3;1)
B. M ( 1; 2;1) , a d = ( - 2;3;1)
uu
r
uu
r
C. M ( 2; - 2; - 1) , a d = ( 1;3;1)
D. M ( 1; 2;1) , a d = ( 2; - 3;1)
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của
r
đường thẳng d qua điểm M ( - 2;3;1) và có vectơ chỉ phương a = ( 1; - 2; 2) ?

ìï x =- 2 + t
ïï
A. í y = 3 - 2t
ïï
ïïî z = 1 + 2t

ìï x = 1 + 2t

ïï
B. í y =- 2 - 3t
ïï
ïïî z = 2 - t
23


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x = 1- 2t
ìï x = 2 + t
ïï
ïï
C. í y =- 2 + 3t
D. í y =- 3 - 2t
ïï
ïï
ïïî z = 2 + t
ïïî z =- 1 + 2t
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc D
của đường thẳng đi qua hai điểm A ( 1; - 2;5) và B ( 3;1;1) ?
x - 1 y +2 z - 5
x - 3 y- 1 z- 1
=
=
=
=
A.
B.
2
3

- 4
1
- 2
5
x +1 y - 2 z + 5
x - 1 y +2 z - 5
=
=
=
=
C.
D.
2
3
- 4
3
1
1
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ A cho tam giác ABC có A ( - 1;3; 2) , B ( 2;0;5) , C ( 0; - 2;1) .
Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
x +1 y - 3 z - 2
x - 1 y +3 z + 2
=
=
=
=
A.
B.
2
- 4

1
2
- 4
1
x - 1 y +3 z + 2
x - 2 y + 4 z +1
=
=
=
=
C.
D.
- 2
4
- 1
1
- 1
3
uur uu
r
Câu 8.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác a D = n P = ( 2; - 1;1) với

A ( 1; 4; - 1) , B ( 2; 4;3) , C ( 2; 2; - 1) . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song
với BC là
ìï x = 1
ï
A. ïí y = 4 + t
ïï
ïïî z =- 1 + 2t

ìï x = 1
ï
B. ïí y = 4 + t
ïï
ïïî z = 1 + 2t

ìï x = 1
ìï x = 1
ïï
ïï
C. í y = 4 + t
D. í y = 4 - t
ïï
ïï
ïïî z =- 1 + 2t
ïïî z =- 1- 2t
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

M ( 1;3; 4) và song song với trục hoành là.
ïìï x = 1 + t
ï
A. í y = 3
ïï
ïïî y = 4
ïìï x = 1
ï
C. í y = 3
ïï
ïïî y = 4 - t

ïìï x = 1
ï
B. í y = 3 + t
ïï
ïïî y = 4
ïìï x = 1
ï
D. í y = 3
ïï
ïïî y = 4 + t

24


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x =1- 2t
ïï
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = t
. Phương trình
ïï
ïïî z =- 3 + 2t
chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A ( 3;1; - 1) và song song với d là
x - 3 y - 1 z +1
x + 3 y +1 z - 1
=
=
=
=
A.
B.

- 2
1
2
- 2
1
2
x +2 y- 1 z - 2
x - 2 y +1 z + 2
=
=
=
=
C.
D.
3
1
- 1
3
1
- 1
x- 2 y- 1 z- 3
=
=
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d :
. Phương trình
2
- 1
3
tham số của đường thẳng D đi qua điểm M ( 1;3; - 4) và song song với d là
ìï x = 1 + 2t

ïìï x =- 1 + 2t
ïï
ï
A. í y = 3 - t
B. í y =- 3 - t
ïï
ïï
ïïî z =- 4 + 3t
ïïî z = 4 + 3t
ïìï x =- 1 + 2t
ïìï x = 2 + t
ï
ï
C. í y =- 3 - t
D í y =- 1 + 3t
ïï
ïï
ïïî z = 4 + 3t
ïïî z = 3 - 4t
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ A cho mặt phẳng ( P ) : 2x - y + z - 3 = 0 . Phương trình chính
tắc của của đường thẳng D đi qua điểm M ( - 2;1;1) và vuông góc với ( P) là
x +2 y - 1 z - 1
x- 2 y- 1 z- 1
=
=
=
=
A.
B.
2

- 1
1
2
- 1
1
x +2 y - 1 z - 1
x +2 y - 1 z - 1
=
=
=
=
C.
D.
2
1
1
2
- 1
- 1
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ) : x - 2y + 2z - 3 = 0 .Phương trình
tham số của đường thẳng d đi qua A ( 2;1; - 5) và vuông góc với ( a ) là
ìï x = 2 + t
ìï x =- 2 - t
ïï
ïï
y
=
1
2t
A. í

B. í y =- 1 + 2t
ïï
ïï
ïïî z =- 5 + 2t
ïïî z = 5 - 2t
ìï x =- 2 + t
ìï x = 1 + 2t
ïï
ïï
y
=1
2t
C. í
D. í y =- 2 + t
ïï
ïï
ïïî z = 5 + 2t
ïïî z = 2 - 5t
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ A phương trình đường thẳng D đi qua điểm A ( 2; - 1;3) và
vuông góc với mặt phẳng ( Oxz ) là.

25