01 phuong phap toa do khong gian ly thuyet 40 bai tap co giai

CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
PHẦN I: CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN
Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vng góc với trục Oy tại O, và trục
Oz vng góc với mặt phẳng (Oxy) tại O. Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt
rr r
là i, j, k
I.

TỌA ĐỘ ĐIỂM

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
uuuu
r
r
r
r
1. M ( x M ; y M ; z M ) ⇔ OM = x M i + y M j + z M k
2. Cho A ( x A ; y A ; z A ) và B ( x B ; y B ; z B )
uuur
Ta có: AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) và AB =

( xB − xA )

2

+ ( yB − yA ) + ( z B − z A )

 x + x B y A + yB z A + z B 
;
;
3. M là trung điểm AB thì M  A

÷
2
2
2 

II.

TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
r
r
r
r
r
1. a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) ⇔ a = a1 i + a 2 j + a 3 k
r
r
2. Cho a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) và b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) ta có:
a1 = b1
r r

 a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
 3
r r
 a ± b = ( a1 ± b1 ;a 2 ± b 2 ;a 3 ± b3 )
rr r r
r r

 a.b = a . b cos a, b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3

( )

r
 a = a12 + a 22 + a 32
r r
cos
ϕ
=
cos
a,
b =


( )

a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3

r r r r
(với a ≠ 0, b ≠ 0 )

a +a +a . b +b +b
rr
r
r
 a và b vng góc ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a 2 .b 2 + a 3 .b3 = 0

III.

2
1

2
2

2
3

2
1

2
2

2
3

TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
r
r
Tích có hướng của a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) và b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) là:
Trang 1

2

2


r r  a a 3 a 3 a1 a1

a, b  =  2
;
;
 
b
b
b
b
b1
2
3
3
1

r
r
a và b cùng phương


÷ = ( a 2 b 3 − a 3b 2 ;a 3b1 − a 1b 3 ;a 1b 2 − a 2b1 )

1. Tính chất
r r
r r r
r
a, b  ⊥ a, a, b  ⊥ b
 
 
r r
r r

r r
 a, b  = a . b sin a, b
 
r r
r
r
r
a và b cùng phương ⇔ a, b  = 0
r r r
r r r
a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b  .c = 0
2. Các ứng dụng tích có hướng:
1 uuur uuur
Diện tích tam giác: SABC =  AB, AC 
2

a2
b2

a1 = kb1
r
r

⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ a 2 = kb2
a = kb
3
 3

( )

Thể tích tứ diện VABCD =

1 uuur uuur uuur
 AB, AC  .AD

6

Thể tích khối hộp:
uuur uuur uuuur
VABCD.A 'B'C'D ' =  AB, AD  .AA '
IV.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c) = R 2
2

2

2. Phương trình: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0
là phương trình mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R = A 2 + B2 + C 2 − D
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu (S):
 d ( I, ( α ) ) > R khi và chỉ khi ( α ) không cắt mặt cầu (S).
 d ( I, ( α ) ) = R khi và chỉ khi ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S).

 d ( I, ( α ) ) < R khi và chỉ khi ( α ) cắt mặt cầu (S) (giao tuyến là một đường tròn). (H1)
V.

ĐIỀU KIỆN KHÁC: (Kiến thức bổ sung)
uuuu
r
uuur
1. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = kMB thì ta có:

(

xM =

)

x A − kx B
y − ky B
z − kz B
; yM = A
; zM = A
với k ≠ 1
1− k
1− k
1− k

2. G là trọng tâm của tam giác ABC
Trang 2


xA + xB + xC

y + y B + yC
z + zB + zC
; yG = A
; zG = A
3
3
3
uuur uuur uuur uuur r
3. G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 0
⇔ xG =

VI.

MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với
A 2 + B2 + C 2 > 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
 Phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 với A 2 + B2 + C 2 > 0 . Có vectơ pháp
r
tuyến là n = ( A; B;C ) .
r
r r
 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và nhận vectơ n = ( A; B;C ) , n ≠ 0 làm véctơ
pháp tuyến có dạng ( P ) : A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
r
r
 Nếu (P) có cặp vectơ a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) , b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) khơng cùng phương, có giá song
r
r r
song hoặc nằm trên (P). Thì véctơ pháp tuyến của (P) được xác định n = a, b 

1. Các trường hợp riêng của mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 , với A 2 + B2 + C 2 > 0 . Khi đó:
 D = 0 khi và chỉ khi ( α ) đi qua gốc tọa độ.
 A = 0; B ≠ 0;C ≠ 0; D ≠ 0 khi và chỉ khi ( α ) song song với trục Ox.
 A = 0; B = 0;C ≠ 0; D ≠ 0 khi và chỉ khi ( α ) song song mp(Oxy)
 A, B, C, D ≠ 0 . Đặt a = −

D
D
D
x y z
, b = − , c = − . Khi đó ( α ) : + + = 1
A
B
C
a b c

2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( α ') : A ' x + B' y + C ' z + D ' = 0


( α)

cắt ( α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B' : C '



( α ) / / ( α ') ⇔ A : A ' = B : B' = C : C ' = D : D '



( α ) ≡ ( α ') ⇔ A : B : C : D = A ' : B' : C ' : D '
uu
r uur
Đặc biệt: ( α ) ⊥ ( α ') ⇔ n1.n 2 = 0 ⇔ A.A '+ B.B'+ C.C ' = 0

VII.

ĐƯỜNG THẲNG

Trang 3


Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có
r
r r
véctơ chỉ phương a = ( a1 ;a 2 ;a 3 ) , a ≠ 0
 x = x 0 + a1t

 y = y0 + a 2 t ( t ∈ ¡
z = z + a t
0
3


)

Nếu a1, a2, a3 đều khác khơng. Phương trình đường thẳng ∆ viết dưới dạng chính tắc như
sau:

x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
a1
a2
a3

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Chương trình cơ bản
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Chương trình nâng cao
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

 x = x '0 + a1' t '
 x = x '0 + a1' t '
 x = x 0 + a1t
 x = x 0 + a1t




d :  y = y0 + a 2 t
d ' :  y = y 0' + a '2 t '
d :  y = y0 + a 2 t
d ' :  y = y '0 + a 2' t '

z = z + a t

z = z + a t

'
'
'
'
0
3
0
3


z = z 0 + a 3 t '
z = z 0 + a 3 t '
r
uu
r
r
uu
r
d có vtcp u đi qua M0 và d' có vtcp u ' đi qua d có vtcp u đi qua M0 và d' có vtcp u ' đi qua
M0 '

M0 '

r uu
r
 u, u ' cùng phương

r uu
r
  u, u ' = 0

 ( d ) / / ( d ') ⇔  
 M 0 ∉ d '





r
uu
r
u = ku '
d / /d ' ⇔ 
M 0 ∉ d '
r
uu
r
u = ku '
d ≡ d' ⇔ 
M 0 ∈ d '

r uu
r
 u, u ' không cùng phương
 x 0 + a1t = x 0' + a1' t '


'
'
 y 0 + a 2 t = y0 + a 2 t ' (1)

'
'
z 0 + a 3 t = z0 + a 3 t '


d chéo d' ⇔ Hệ phương trình (1) vơ
nghiệm.



d cắt d' ⇔ Hệ phương trình (1) có một
nghiệm.
Trang 4

r uu
r
  u, u ' = 0

 ( d ) ≡ ( d ') ⇔  
 M 0 ∈ d '
r uu
r
  u, u ' ≠ 0


 (d) cắt (d') ⇔  r uu

r uuuuuur'
  u, u ' .M 0 M 0 = 0
r uu
r uuuuuur
 (d) chéo (d') ⇔  u, u ' .M 0 M 0' ≠ 0


2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp 1
Trong không gian Oxyz cho

Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d
r
qua M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có vtcp a = ( a1 ;a 2 ;a 3 )

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
 x = x 0 + a1 t

và d :  y = y 0 + a 2 t
z = z + a t
0
3


và

( α ) : Ax + By+ Cz + D = 0

có

vtpt

r
n = ( A; B;C )

Phương trình
A ( x 0 + a1t ) + B ( y 0 + a 2 t ) + C ( z 0 + a 3t ) + D = 0 ( 1)
 PT(1) vơ nghiệm thì d / / ( α )
 PT(1) có một nghiệm thì d cắt ( α )
 PT(1) có vơ số nghiệm thì d thuộc ( α )
r r
Đặc biệt: ( d ) ⊥ ( α ) ⇔ a, n cùng phương

rr
 (d) cắt ( α ) ⇔ a.n ≠ 0
rr
a.n = 0
 ( d) / / ( α) ⇔ 
M ∉ ( α )
rr
a.n = 0
 (d) nằm trên mp ( α ) ⇔ 
 M ∈ ( α )

3. Khoảng cách:
 Khoảng cách từ M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức
d ( M0 , α ) =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D

 Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)
Phương pháp 1:
Lập phương trình mp ( α ) đi qua M và vng
góc với d.
Tìm tọa độ giao điểm H của mp ( α ) và d
d ( M, d ) = MH
 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Phương pháp 1:

r
d đi qua M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; có vtcp a = ( a1 ;a 2 ;a 3 )
ur
d' qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1 ;a '2 ;a '3 )
Lập phương trình mp ( α ) chứa d và song song
với d'
Trang 5

A 2 + B2 + C 2
 Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)
Phương pháp 2:

r
(d đi qua M0 có vtcp u )
uuuuur r
 M 0 M, u 


d ( M, ∆ ) =
r

u

 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Phương pháp 2:

r
d đi qua M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; có vtcp a = ( a1 ;a 2 ;a 3 )
ur
d' qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1 ;a '2 ;a '3 )
r ur uuuuur
 a, a ' .MM '


d ( ∆, ∆ ' ) =
r ur
a, a '




d ( d, d ' ) = d ( M ', ( α ) )
1. Kiến thức bổ sung
0
0
 Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )

( P ) : Ax + By+ Cz + D = 0

và ( Q ) : A ' x + B'y+ C'z + D' = 0
uur uur

n P .n Q
uur uur
A.A '+ B.B'+ C.C '
cos ϕ = cos n P , n Q = uur uur =
2
nP . nQ
A + B2 + C 2 . A '2 + B'2 + C '2

(

)

 Góc giữa hai đường thẳng
r
đi qua M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; có vtcp a = ( a1 ;a 2 ;a 3 )
ur
( ∆ ') đi qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1;a '2 ;a '3 )

( ∆)

r ur
a.a '
r ur
a1.a '1 + a 2 .a '2 + a 3 .a '3
cos ϕ = cos a, a ' = r ur =
a . a'
a12 + a 22 + a 32 . a '12 + a '22 + a '32

(

)

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
r
r
( ∆ ) đi qua M 0 có VTCP a, mp ( α ) có VTPT n = ( A; B;C )
r r
ϕ
sin
ϕ
=
cos
a,
n =
∆
mp
α
( ):
Gọi là góc hợp bởi ( ) và

( )

Aa1 + Ba 2 + Ca 3
A 2 + B2 + C 2 . a12 + a 22 + a 32

PHẦN II: BÀI TẬP
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng

( P ) : x + y + z −1 = 0

và hai điểm

A ( 1; −3;0 ) , B ( 5; −1; −2 ) . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA − MB đạt giá
trị lớn nhất ?
A. M ( −2; −3;3)

B. M ( −2; −3; 2 )

C. M ( −2; −3;6 )
Lời giải

Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P):

( x A + yA − z A − 1) . ( x B + y B − z B − 1) < 0
Gọi B ' ( x; y; z ) là điểm đối xứng với B ( 5; −1; −2 )
Suy ra B ' ( −1; −3; 4 )
Lại có MA − MB = MA − MB' ≤ AB ' = const
Trang 6

D. M ( −2; −3;0 )


Vậy MA − MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B' thẳng hàng hay M là giao điểm của đường
thẳng AB' với mặt phẳng (P)
x = 1 + t

AB' có phương trình  y = −3
 z = −2t

x = 1 + t

 t = −3
 y = −3
 x = −2


⇔
Tọa độ M ( x; y; z ) là nghiệm của hệ 
 z = −2t
 y = −3
 x + y + z − 1 = 0
z = 6
Vậy điểm M ( −2; −3;6 )
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( 0; 2; 4 ) , C ( 4; 2;1) . Tìm tọa độ
điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC
A. D ( 0;0;0 ) và D ( −6;0;0 )

B. D ( 0;0;0 ) và D ( 6;0;0 )

C. D ( 0;0; 2 ) và D ( 6;0;0 )

D. D ( 0;0;1) và D ( 6;0;0 )
Lời giải

Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC
Gọi D ( x;0;0 ) . Ta có AD = BC ⇔ ( x − 3) + 42 + 02 = 42 + 02 + 32
2

Vậy: D ( 0;0;0 ) và D ( 6;0;0 )
Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho các điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( 0; 2; 4 ) , C ( 4; 2;1) . Tính diện
tích tam giác ABC?
A.

491
2

B.

490
2

C.

Lời giải
uuur uuur
Tính diện tích tam giác ABC  AB; AC  = ( −18;7; −24 )
S=

1
494
182 + 7 2 + 242 =
2
2

Chọn đáp án C

Trang 7

494

2

D.

394
2


Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) ,
B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; 2 ) và A ' ( 2; 2;1) . Tìm tọa độ đỉnh B' ?
A. B ' ( 2;3; 2 )

B. B' ( 2;3;0 )

C. B' ( 2;3;1)

D. B' ( 2;3; −1)

Lời giải
uuuu
r uuuur
Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên BB' = AA ' ⇒ B' ( 2;3;1)
Chọn đáp án C
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) ,
B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; 2 ) và A ' ( 2; 2;1) . Tìm tọa độ đỉnh C' ?
A. C ' ( 2; 2; 2 )

B. C ' ( 2; 2; −2 )

C. C ' ( 2; −2; 2 )

D. C ' ( −2; 2; 2 )

Lời giải

uuuu
r uuuur
CC ' = AA ' ⇒ C ' ( 2; 2; 2 )
Chọn đáp án A

Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) ,
B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; 2 ) và A ' ( 2; 2;1) . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, A'?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y + 3z + 6 = 0

B. x 2 + y 2 + z 2 + 3x − 3y − 3z + 6 = 0

C. x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z + 6 = 0

D. x 2 + y 2 + z 2 − 3x − 3y − 3z − 6 = 0
Lời giải

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, a 2 + b 2 + c 2 − d > 0
Do A, B, C và A' thuộc mặt cầu (S) nên:
 2a + 2b + 2c + d = −3
3

 2a + 4b + 2c + d = −6

a = b = c = −

⇔
2

2a
+
2b
+
4c
+
d
=
−
6

d = 6
 4a + 4b + 2c + d = −9
2
2
2
Do đó phương trình mặt cầu ( S) : x + y + z − 3x − 3y − 3z + 6 = 0

Chọn đáp án C
Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 2;3; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2y − 2z − 9 = 0 .
Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)?
A. ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z + 2 ) = 9
2

Trang 8

2

2

B. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9
2

2

2


C. ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z − 2 ) = 9
2

2

D. ( x + 2 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9

2

2

2

2

Lời giải
Ta có bán kính r = d ( I, ( P ) ) =

2 − 2.3 − 2. ( −2 ) − 9

12 + ( −2 ) + ( −2 )
2

=3

2

Phương trình của mặt cầu (S) là ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9
2

2

2

Chọn đáp án B
Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 2;3; −2 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2y − 2z − 9 = 0 .
Phương trình của mặt cầu (S) là ( x − 2 ) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9 . Viết phương trình của mặt
2

2

2

phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
A. x − 2y − 2z + 9 = 0

B. x − 2y + 2z + 9 = 0

C. x + 2y − 2z + 9 = 0

D. x − 2y − 2z − 9 = 0
Lời giải

Phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng: x − 2y − 2z + D = 0 ( D ≠ −9 )
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với ( S) ⇒ d ( I, ( Q ) ) = r
⇔

2 − 2.3 − 2 ( −2 ) + D
12 + ( −2 ) + ( −2 )
2

2

= 3 ⇔ D = 9 ⇔ D = 9 ( D ≠ −9 )

Phương trình của mp(Q) là x − 2y − 2z + 9 = 0
Chọn đáp án A
x = 2 − t

Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là:  y = 1 + 2t và
 z = −3

điểm A ( −2;0;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với đường
thẳng (D) ?
A. − x + 2y − 2 = 0

B. − x + 2y − 1 = 0

C. − x − 2y − 2 = 0

D. − x + 2y − 3 = 0

Lời giải
r
Do (P) vng góc với (D) nên (P) có vtpt n ( −1; 2;0 ) , (P) đi qua A ( −2;0;1)
(P) có phương trình: − x + 2y − 2 = 0
Chọn đáp án A

Trang 9


x = 2 − t

Ví dụ 10: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là:  y = 1 + 2t và
 z = −3

điểm A ( −2;0;1) . (P) có phương trình: − x + 2y − 2 = 0 . Tìm tọa độ giao điểm của mặt phẳng
(P) và đường thẳng (d)
A. N ( 4;3;3)

B. N ( 4;3;0 )

C. N ( 4; −3; −3)

D. N ( 4;3; −3)

Lời giải
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ phương trình:
x = 5 − t
x = 5 − t

x = 4
 y = 1 + 2t
 y = 1 + 2t



⇔
⇔ y = 3

 z = −3
z = −3
 z = −3

 − x + 2y − 2 = 0
 t = 1
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là điểm N ( 4;3; −3)
Chọn đáp án D
Ví dụ 11: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d :

x − 2 y −1 z
=
= và điểm A ( −1; 2;7 ) .
1
2
1

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên d?
A. H ( 3; −3;1)

B. H ( −3;3;1)

C. H ( 3;3;1)

D. H ( 3;3; −1)

Lời giải
r
d có vectơ chỉ phương u = ( 1; 2;1) ; gọi H ( 2 + t;1 + 2t; t )
uuur
AH = ( 3 + t; −1 + 2t; t − 7 )
uuur r
Ta có: AH.u = 0 ⇔ 1( 3 + t ) + 2 ( −1 + 2t ) + 1( t − 7 ) = 0 ⇔ 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1
Vậy H ( 3;3;1)
Chọn đáp án C
Ví dụ 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :

x − 2 y −1 z
=
= và điểm A ( −1; 2;7 ) .
1
2
1

Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm A
 x = −5 + t

A.  y = 1 + 2t
 z = 13 + t


 x = −5 + t

B.  y = 1 + 2t
 z = −13 + t


 x = −5 + t

C.  y = −1 + 2t
z = 13 + t

Lời giải

Trang 10

 x = −5 + t

D.  y = 1 + 2t
 z = 13 − t



Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d ⇒ H ( 2 + t;1 + 2t; t )
uuur
AH = ( 3 + t; −1 + 2t; t − 7 )
uuur r
Ta có: AH.u = 0 ⇔ 1( 3 + t ) + 2 ( −1 + 2t ) + 1( t − 7 ) = 0 ⇔ 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1
Vậy H ( 3;3;1)
Gọi H' là điểm đối xứng với H qua A ⇒ H ' ( −5;1;13)
 x = −5 + t

r

Phương trình d' qua H' và có vectơ chỉ phương u = ( 1; 2;1) :  y = 1 + 2t
 z = 13 + t

Chọn đáp án A
x = 2 + t

Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình  y = −3 − t và điểm
z = − t

A ( 1;3;5 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d?
A. x − y − z − 7 = 0

B. x − y + z + 7 = 0

C. x − y − z + 7 = 0

D. x + y − z + 7 = 0

Lời giải
r
u = ( 1; −1; −1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
r
Vì ( P ) ⊥ d nên n = ( 1; −1; −1) là vectơ pháp tuyến của (P).
r
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A có vectơ pháp tuyến n = ( 1; −1; −1) có dạng
x − 1 − ( y − 3) − ( z − 5 ) = 0 ⇔ x − y − z + 7 = 0
Chọn đáp án C
Ví dụ 14: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 2;0;1) và mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y + z + 1 = 0

và đường thẳng d :

x −1 y z − 2
= =
. Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt
1
2
1

phẳng (P) ?
A. ( x − 2 ) + y 2 + ( z − 1) = 4

B. ( x − 2 ) + y 2 + ( z − 2 ) = 4

C. ( x − 2 ) + y 2 + ( z + 1) = 4

D. ( x + 2 ) + y 2 + ( z − 1) = 4

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Trang 11

2

2


Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R của (S) là khoảng cách từ tâm A của (S) đến
4 − 0 +1+1

mp(P). R =

2 + ( −2 ) + 1
2

2

2

=2

Phương trình mặt cầu ( S) : ( x − 2 ) + y 2 + ( z − 1) = 4
2

2

Chọn đáp án A
Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 2;0;1) và mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y + z + 1 = 0

và đường thẳng d :

x −1 y z − 2
= =
. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc
1
2
1

và cắt đường thẳng (d).
x = 2 − t

A.  y = 0 , t ∈ ¡
z = 2 + t


x = 2 − t

B.  y = 1 , t ∈ ¡
z = 1 + t


x = 2 − t

C.  y = 0 , t ∈ ¡
z = 1 + t


x = 1 − t


D.  y = 0 , t ∈ ¡
z = 1 + t


Lời giải
Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng
r
(d) tại M. Vì M ∈ ( d ) nên M ( 1 + m; 2m; 2 + m ) , m ∈ ¡ . u là vectơ chỉ phương của (d).
r uuuu
r
Vì d ⊥ ∆ nên u.AM = 0 ⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0
uuuu
r
Do đó vectơ chỉ phương của ∆ là AM = ( −1;0;1) . Phương trình đường thẳng ∆ cần

x = 2 − t

tìm là:  y = 0 , t ∈ ¡
z = 1 + t

Chọn đáp án C
Ví dụ 16: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 7; 4;6 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 2z + 3 = 0 .
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
A. ( x − 7 ) + ( y − 4 ) + ( z + 6 ) = 4

B. ( x − 7 ) + ( y + 4 ) + ( z − 6 ) = 4

C. ( x − 7 ) + ( y − 4 ) + ( z − 6 ) = 4

D. ( x + 7 ) + ( y − 4 ) + ( z − 6 ) = 4

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Có R = d ( I, ( P ) ) =

Trang 12

1.7 + 2.4 − 2.6 + 3
1 + 2 + ( −2 )
2

2

2

=2

2

2

2

2


Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 7 ) + ( y − 4 ) + ( z − 6 ) = 4
2

2

2

Chọn đáp án C
Ví dụ 17: Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 7; 4;6 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 2z + 3 = 0 .

( S) : ( x − 7 )

2

+ ( y − 4 ) + ( z − 6 ) = 4 , d là đường thẳng đi qua I và ⊥ ( P ) . Tìm tọa độ tiếp
2

2

điểm của (d) và (S) ?
 19 8 22 
A. H  ; ; ÷
 3 3 3 

 19 8 23 
B. H  ; ; ÷
 3 3 3 

 19 8 25 
C. H  ; ; ÷
 3 3 3 

 19 17 22 
D. H  ; ; ÷
 3 3 3 

Lời giải
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vng góc với mặt phẳng (P).
uur uur
Khi đó vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u d = n p = ( 1; 2; −2 )
x = 7 + t

Vậy phương trình đường thẳng d là  y = 4 + 2t , t ∈ ¡
 z = 6 − 2t

Gọi H là tiếp điểm cần tìm, khi đó H là giao điểm của d và (P)
Do đó H ( 7 + t; 4 + 2t;6 − 2t ) ∈ d
Mặt khác H ∈ ( P ) nên ( 7 + t ) + 2 ( 4 + 2t ) − 2 ( 6 − 2t ) + 3 = 0 ⇔ t = −

2
3

 19 8 22 
Vậy H  ; ; ÷ là điểm cần tìm.
 3 3 3 
Chọn đáp án A
Ví dụ 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

( P ) : 2x + y − 2z+1=0

và hai điểm

A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) . Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vng góc với (P).
A. 2x − 2y + 3z − 7 = 0

B. 2x+2y + 3z − 7 = 0

C. 2x+2y + 3z + 7 = 0

D. 2x − 2y − 3z − 7 = 0

Lời giải
uuur
uur
Ta có: AB = ( 2; 4; −4 ) , mp(P) có VTPT n p = ( 2;1; −2 )
uur uuur uur
Mp(Q) có vtpt là n Q =  AB; n p  = ( −4; −4; −6 ) ⇒ ( Q ) : 2x + 2y + 3z − 7 = 0
Chọn đáp án B

Trang 13


Ví dụ 19: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng
A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) ,

( Q ) : 2x+2y + 3z − 7 = 0 .

( P ) : 2x + y − 2z+1=0

và hai điểm

Tìm điểm M trên trục hồnh sao cho

khoảng cách từ M đến (Q) bằng 17 ?
A. M ( 12;0;0 ) hoặc M ( −5;0;0 )

B. M ( −12;0;0 ) hoặc M ( −5;0;0 )

C. M ( −12;0;0 ) hoặc M ( 5;0;0 )

D. M ( 12;0;0 ) hoặc M ( 5;0;0 )
Lời giải

M ∈ Ox ⇔ M ( m;0;0 ) , d ( M; ( Q ) ) = 17 ⇔

2m − 7
17

= 17 ( *)

Giải (*) tìm được m = 12; m = −5 . Vậy M ( 12;0;0 ) hoặc M ( −5;0;0 )
Chọn đáp án A
20:

Trong

không

gian

Oxyz

cho

điểm

A ( 1;7;3)

Ví

dụ

và

đường

thẳng

( d) :

x − 6 y +1 z + 2
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với
−3
−2
1

đường thẳng (d). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM = 2 30 ?
A. 3x + 2y − z − 14 = 0

B. 3x + 2y − z + 4 = 0

C. 3x + 2y − z − 4 = 0

D. 3x + 2y − z − 8 = 0

Lời giải
r
uur r
VTPT của mặt phẳng (P) là n = ( −3; −2;1) ⇒ u d = n = ( −3; −2;1)
Phương trình mặt phẳng ( P ) : 3x + 2y − z − 14 = 0
Chọn đáp án A
21:

Trong

khơng

gian

Oxyz

cho

điểm

A ( 1;7;3)

Ví

dụ

và

đường

( d) :

x − 6 y +1 z + 2
=
=
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM = 2 30
−3
−2
1

 51 1 17 
A. M  ; − ; − ÷; M ( 3; −3;0 )

7
7 
7

 51 1 17 
B. M  ; − ; ÷; M ( 3; −3;1)
7 7
7

 51 1 17 
C. M  ; − ; − ÷; M ( 3; −3;1)
7
7 
7

 51 1 17 
D. M  ; − ; − ÷; M ( 3;3;1)
7
7 
7
Lời giải

M ∈ d ⇒ M ( 6 − 3t; −1 − 2t; −2 + t )
Trang 14

thẳng


AM = 2 30 ⇔ AM 2 = 120 ⇔ 14t 2 − 8t − 6 = 0
 M ( 3; −3;1)

t = 1

⇔
⇒   51 1 17 
t = − 3
M
;− ;− ÷
  7 7
7

7 
Chọn đáp án C
Ví dụ 22: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 1;1; 2 ) , đường thẳng ( d ) :

x y −1 z − 2
=
=
.
2
1
2

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng (d).
A. 2x + y + 2z − 5 = 0

B. 2x + y + 2z − 3 = 0

C. 2x + y + 2z − 7 = 0

D. 2x + y + 2z − 1 = 0

Lời giải

r
VTPT của mp(P) : n = ( 2;1; 2 )
Phương trình ( P ) : 2x + y + 2z − 7 = 0
Chọn đáp án C

Ví dụ 23: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A ( 2;1; −3) , B ( 4;3; −2 ) , C ( 6; −4; −1) . Viết
phương trình mặt cầu tâm A đi qua trọng tâm G của tam giác ABC ?
A. ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 3) = 6

B. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3 ) = 6

C. ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 3) = 6

D. ( x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 3 ) = 6

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G ( 4;0; 2 ) . Ta có: AG = 6
Mặt cầu cần tìm có tâm A và bán kính AG = 6 nên có phương trình:

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 3 ) = 6
2

2

Chọn đáp án B
Ví dụ 24: Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm A ( 2;1; −1) , B ( 1;3;1) , C ( 1; 2;0 ) . Viết phương
trình mặt phẳng qua A và vng góc vsơi đường thẳng BC tại H và tính diện tích tam giác
ABH?
A. x − y − z − 1 = 0

B. x − y − z + 2 = 0

C. x − y − z + 1 = 0

Lời giải

D. x − y − z − 2 = 0

uuur
Gọi (P) qua A và vng góc vsơi đường thẳng BC suy ra (P) nhận BC ( 1; −1; −1) làm VTPT.
Vậy ( P ) : x − y − z − 2 = 0
Trang 15


Chọn đáp án D
Ví dụ 25: Trong khơng gian Oxyz cho 3 điểm A ( 2;1; −1) , B ( 1;3;1) , C ( 1; 2;0 ) . Phương trình
mặt phẳng ( P ) : x − y − z − 2 = 0 qua A và vng góc với đường thẳng BC tại H. Tính diện
tích tam giác ABH ?
A. S∆ABH =

5 6
2

B. S∆ABH =

5 5
2

C. S∆ABH =

3 3
2

D. S∆ABH =

5 3
2

Lời giải
Với BH = d ( B, ( P ) ) =

5 3
3

Mà AB = 3 , suy ra: S∆ABH =

5 3
2

Chọn đáp án D
Ví dụ 26: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( −1;3; −2 ) ; B ( −3;7; −18 ) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x − y + z + 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B và
tìm giao điểm cảu đường thẳng d với mặt phẳng (P).
 x = −1 − t

A. d :  y = 3 + 2t
 z = −2 + 8t


 x = −1 − t


B. d :  y = 3 + 2t
 z = −2 − 8t


uuur
AB = ( −2; 4; −16 ) = 2 ( −1; 2; −8 )

x = 1 − t

C. d :  y = 3 + 2t
 z = −2 − 8t


 x = −1 − t

D. d :  y = 3 + 2t
 z = 2 − 8t


Lời giải

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương
 x = −1 − t
r

u = ( −1; 2; −8 ) . Phương trình d :  y = 3 + 2t
 z = −2 − 8t

Chọn đáp án B

Ví dụ 27: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( −1;3; −2 ) ; B ( −3;7; −18 ) và mặt phẳng (P)

 x = −1 − t

có phương trình 2x − y + z + 1 = 0 , phương trình d :  y = 3 + 2t . Tìm giao điểm của đường
 z = −2 − 8t

thẳng d với mặt phẳng (P)?
Trang 16


 1

A. M  − ; 2;1÷
 2


 1

B. M  − ; 2;0 ÷
 2


 1

C. M  − ; 2; 2 ÷
 2


 1


D. M  − ;1; 2 ÷
 2


Lời giải
Gọi M ( x; y; z ) là giao điểm của đường thẳng d với mp(P). Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

 x = −1 − t
 y = 3 + 2t

phương trình: 
 z = −2 − 8t
 2x − y + z + 1 = 0
⇒ 2 ( −1 − t ) − ( 3 + 2t ) + ( −2 − 8t ) + 1 = 0 ⇔ t = −

1
2

 1

Vậy M  − ; 2; 2 ÷
 2

Chọn đáp án C
Ví dụ 28: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) và đường thẳng d :

x +1 y z − 3
= =
.

2
1
−2

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với đường thẳng d?
A. 2x + y − 2z + 1 = 0

B. 2x + y − 2z + 2 = 0 C. 2x + y − 2z − 2 = 0 D. 2x + y + 2z + 2 = 0
Lời giải

uur
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và nhận vectơ chỉ phương u d = ( 2;1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z + 2 = 0
Chọn đáp án B
Ví dụ 29: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) và đường thẳng d :

x +1 y z − 3
= =
.
2
1
−2

Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vng góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
 x = 1 − 2t

A. ( ∆ ) :  y = 2 − 2t
z = 3 + 3t


 x = −2t

B. ( ∆ ) :  y = 2 − 2t
 z = 3 − 3t


 x = 1 − 2t

C. ( ∆ ) :  y = 2 − 2t
z = 3 − 3t


 x = 1 − 2t

D. ( ∆ ) :  y = 2 + 2t
z = 3 − 3t


Lời giải
Gọi B ( x;0;0 ) là giao điểm của đường thẳng ∆ với trục Ox. Khi đó, đường thẳng ∆ nhận
uuur
vectơ AB = ( x − 1; −2; −3) làm vectơ pháp tuyến. Vì đường thẳng ∆ vng góc với đường

Trang 17


uuur uur
thẳng d nên AB.u d = 0 ⇔ ( x − 1) 2 − 2 + 6 = 0 ⇔ x = −1 đường thẳng ∆ nhận vectơ

 x = 1 − 2t

uuur

AB = ( −2; −2; −3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: ( ∆ ) :  y = 2 − 2t
 z = 3 − 3t

Chọn đáp án C
Ví dụ 30: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với
gốc tọa độ O, đỉnh B ( 1;1;0 ) , D ( 1; −1;0 ) . Tìm tọa độ A', biết đỉnh A' có cao độ dương.

(

A. A ' 0;0; 3

)

(

B. A ' 0;0; 5

)

(

C. A ' 0;0; 6

)

(

D. A ' 0;0; 2

)

Lời giải
uuuur uuur
 AA '.AB = 0
 uuuur uuur
Gọi A ' ( a; b;c ) . Ta có:  AA '.AD = 0
 uuuur uuur
 AA ' = AB = 2

(

⇒ A ' 0;0; 2

)

Chọn đáp án D
Ví dụ 31: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
d:

( P ) : x − 2 y+ 2z − 1 = 0 ,

đường thẳng

x −1 y − 3 z
=
= và điểm I ( 2;1; −1) . Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt
2
−3

2

phẳng (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho IM = 11
 M ( 1; −5;7 )

A.   5

M ;6;9 ÷
  7


 M ( 3;0; 2 )
 M ( 1;5;7 )


B.   7 66 −10  C.   5

M
; ;
M  ;6;9 ÷
  17 17 17 ÷



 7

 M ( 1; −5;7 )

D.   5


M ;6; 4 ÷
  7


Lời giải
2 − 2.1 + 2. ( −1) − 1

Khoảng cách từ I tới (P) là: d ( I, ( P ) ) =

12 + ( −2 ) + 2 2
2

=

3
=1
3

Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) có bán kính R = d ( I, ( P ) ) = 1 có phương trình

( x − 2)

2

+ ( y − 1) + ( z + 1) = 1
2

2

 x = 1 + 2t


Từ giả thiết ta có: d :  y = 3 − 3t , ( t ∈ ¡
 z = 2t

Trang 18

)


uuu
r
⇒ IM = ( 2t − 1; 2 − 3t; 2t + 1)
Từ giả thiết IM = 11
⇔ ( 2t − 1) + ( 2 − 3t ) + ( 2t + 1) = 11
2

2

2

⇔ ( 4t 2 − 4t + 1) + ( 4 − 12t + 9t 2 ) + ( 4t 2 + 4t + 1) = 11
⇔ 17t 2 − 12t − 5 = 0
t = 1
⇔
t = − 5
17

Với t1 = 1 ⇒ M ( 3;0; 2 )
Với t = −

5
 7 66 10 
⇒ M ; ;− ÷
17
 17 17 17 

 7 66 10 
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M ( 3;0; 2 ) và M  ; ; − ÷
 17 17 17 
Chọn đáp án B
32:

Trong

khơng

gian

Oxyz

cho

điểm

A ( 4;0;1)

Ví

dụ

và

đường

( d) :

x − 2 y +1 z − 2
=
=
. Tìm tọa độ điểm M thuộc d và cách A một khoảng bằng
−1
3
2

 6 17 −1 
A. M ( 1; 2; 4 ) hoặc M  ; ; ÷
7 7 7 

 6 17 30 
B. M ( 1; 2; 4 ) hoặc M  ; ; ÷
7 7 7 

 6 17 3 
C. M ( 1; 2; 4 ) hoặc M  ; ; ÷
7 7 7

 6 17 1 
D. M ( 1; 2; 4 ) hoặc M  ; ; ÷
7 7 7
Lời giải

Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( 2 − t; −1 + 3t; 2 + 2t )
uuuu
r
Ta có: AM = ( −2 − t; −1 + 3 t;1 + 2 t )
AM = 2 ⇔ AM 2 = 22
⇔ ( −2 − t ) + ( −1 + 3t ) + ( 1 + 2t ) = 22
2

2

⇔ 14t 2 + 2t − 16 = 0
 t = 1 ⇒ M ( 1; 2; 4 )

⇔ 8
 6 17 30 
t = ⇒ M ; ; ÷
 7
7 7 7 
Trang 19

2

22

thẳng


Chọn đáp án B
 7 10 11 

Ví dụ 33: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 3; 2;1) , B  − ; − ; ÷ và mặt cầu
3 3
 3

( S) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 4 . Viết phương trình mặt phẳng ( α ) là mặt phẳng trung
2

2

trực của đoạn thẳng AB?
A. ( α ) : 2x + 2y − z = 0

B. ( α ) : 2x + 2y − z + 1 = 0

C. ( α ) : 2x + 2y − z + 2 = 0

D. ( α ) : 2x + 2y − z + 3 = 0
Lời giải

1 2 7
Do ( α ) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên ( α ) đi qua trung điểm I  ; − ; ÷ của
3 3 3
uuur  16 16 8 
8
AB và nhận véctơ AB =  − ; − ; ÷ = − ( 2; 2; −1) làm VTPT.
3 3

3
 3
Suy ra phương trình ( α ) : 2x + 2y − z + 3 = 0
Chọn đáp án D
Ví dụ 34: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng

( S) : ( x − 3)

2

( P ) : 6 x + 3 y− 2 z − 1 = 0

và mặt cầu

+ ( y − 2 ) + ( z − 1) = 25 . Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến của mặt
2

2

phẳng (P) và mặt cầu (S).
3 5 1
A. H  ; ; ÷
7 7 7

3 5 3
B. H  ; ; ÷
7 7 7

3 5 8
C. H  ; ; ÷

7 7 7

 3 5 13 
D. H  ; ; ÷
7 7 7 

Lời giải
Tâm của đường tròn giao tuyến H là hình chiếu vng góc của I lên (P). Đường thẳng d qua I
 x = 3 + 6t

và vng góc với (P) có phương trình  y = 2 + 3t
 z = 1 − 2t

Do H ∈ d nên H ( 3 + 6t; 2 + 3t;1 − 2t )
3
 3 5 13 
Ta có H ∈ ( P ) nên t = − . Vậy H  ; ; ÷
7
7 7 7 
Chọn đáp án D

Trang 20


Ví dụ 35: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A ( 2;1;0 ) , B ( 0;3; 4 ) và C ( 5;6;7 ) . Tính
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A.

5 6
2

B.

5 7
3

C.

5
3

D.

5 6
3

Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB, ta có M ( 1; 2; 2 )
Mặt phẳng (P) vuống góc với AB tại M là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Do
uuur
AB ⊥ ( P ) nên AB = ( −2; 2; 4 ) là một VTPT của (P).
Suy ra phương trình ( P ) : −2 ( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + 4 ( z − 2 ) = 0 ⇔ x − y − 2z + 5 = 0
Vậy d ( C, ( P ) ) =

5 − 6 − 2.7 + 5
12 + ( −1) + ( −2 )
2

2

=

5 6
3

Chọn đáp án D
Ví dụ 36: Trong khơng gian Oxyz, cho A ( −4;1;3) và đường thẳng ( d ) :

x + 1 y −1 z + 3
=
=
.
−2
1
3

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với d?
A. −2x + y + 3z − 1 = 0

B. −2x + y + 3z − 8 = 0

C. −2x + y + 3z − 11 = 0

D. −2x + y + 3z − 18 = 0

Lời giải
r
VTCP của d là u = ( −2;1;3)
r
Mp(P) đi qua A và nhận u = ( −2;1;3) làm vtpt. Khi đó phương trình (P) là

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
⇔ −2 ( x + 4 ) + 1( y − 1) + 3 ( z − 3) = 0 ⇔ −2x + y + 3z − 18 = 0
Chọn đáp án D
Ví dụ 37: Trong không gian Oxyz, cho A ( −4;1;3) và đường thẳng ( d ) :

x + 1 y −1 z + 3
=
=
.
−2
1
3

Tìm điểm B thuộc d sao cho AB = 27 .
 13 10 12 
A. B ( −7; 4;5 ) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7

 13 10 12 
B. B ( −7; 4; 2 ) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7

 13 10 12 
C. B ( −7; 4;1) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7

 13 10 12 

D. B ( −7; 4;6 ) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7

Trang 21


Lời giải
Vì B ∈ d nên B ( −1 − 2t;1 + t; −3 + 3t )
Ta có: AB = 27 ⇔ ( 3 − 2t ) + t 2 + ( 3t − 6 ) = 27
2

2

t = 3
⇔ 14t − 48t + 18 = 0 ⇔  3
t =
 7
2

 13 10 12 
Vậy B ( −7; 4;6 ) hoặc B  − ; ; − ÷
7
 7 7
Chọn đáp án D
Ví dụ 38: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường thẳng
d:

x − 12 y − 9 z − 1
=

=
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) ?
4
3
1
A. M ( 0;0; −1)

B. M ( 0;0; −3)

C. M ( 0;0; −4 )

D. M ( 0;0; −2 )

Lời giải
* Gọi M là giao điểm của d và (P) ⇒ M ( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t )
* M ∈ ( P ) ⇒ 3 ( 12 + 4t ) + 5 ( 9 + 3t ) − ( 1 + t ) − 2 = 0
* Suy ra t = −3 . Do đó M ( 0;0; −2 )
Chọn đáp án D
Ví dụ 39: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 5y − z − 2 = 0 và đường thẳng
d:

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đi qua
4
3
1

giao điểm của d và (P), đồng thời vng góc với d ?

A. ∆ :

x y z+2
= =
8 7
11

B. ∆ :

x y z+2
=
=
8 −7
11

C. ∆ :

x
y z+2
=
=
−8 −7
11

D. ∆ :

x y z+2
=
=
8 −7 −11

Lời giải
* Gọi M là giao điểm của d và (P) ⇒ M ( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t )
* M ∈ ( P ) ⇒ 3 ( 12 + 4t ) + 5 ( 9 + 3t ) − ( 1 + t ) − 2 = 0
* Suy ra t = −3 . Do đó M ( 0;0; −2 )
Trang 22


r
r
* d có VTCP u = ( 4;3;1) , (P) có VTPT n = ( 3;5; −1) ⇒ đường thẳng ∆ cần tìm có VTCP
r
r r
v =  n, u  = ( 8; −7; −11) .
∆:

x y z+2
=
=
8 −7 −11

Chọn đáp án D
Ví dụ 40: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;0; 2 ) , B ( −1; 2; −2 ) và đường thẳng

x = 1 + t

d :  y = 1 + 2t . Tìm tạo độ điểm H là hình chiếu vng góc của A trên d?
 z = −2 − t

A. H ( 0; −2; −1)

B. H ( 1; −1; −1)

uur
* d có VTCP u d = ( 1; 2; −1)

C. H ( 0; −1; −2 )
Lời giải

* H ∈ d ⇒ H ( 1 + t;1 + 2t; −2 − t )
uuur
AH = ( t;1 + 2t; −4 − t )
uuur uur
uuur uur
Do H là hình chiếu của A trên d nên AH ⊥ u d ⇔ AH.u d = 0
⇔ t + 2 + 4t + 4 + t = 0 ⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −1; −1)
Chọn đáp án D

Trang 23

D. H ( 0; −1; −1)