Giải toán 12 - Phương pháp tọa độ không gian

TRAN ĐỨC HUYỆN (Chủ biên) - NGUYÊN

DUY HIẾU

NGUYEN LE THUY HOA- NGUYEN ANH TRƯỜNG

(TRUONG TRUNG HOC PHO THONG CHUYEN LE HONG PHONG TP.H6 CHi MINH) -

GIAI TOAN
PHƯƠNG PHÁP-

TOA DO TRONG

KHONG GIAN

SỐ...

|,

11...

OCCA

tS

ERC

NE

DŨNG CHO HỌC SINH LỚP CHUYÊN
(Tái bản lần thứ nhất)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM



Lời Nói ĐẦU
Grong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của Nhà xuất bản

Giáo dục Việt Nam, trường Trung học phổ (hông chuyên Lê

Hong Phong TP: Hé Chi Minh đã biên soạn bộ sách “Giải toán
đành cho học sinh lớp chuyên” theo định hướng bám sát sách

giáo khoa, bổ sung các chủ đề nâng cao theo trình độ trường
chuyên và các nội dung thi đại học. Bộ sách đã được đông đảo
học sinh và giáo viên các trường chuyên sử dụng và tin cậy.

Trong quá trình đổi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu mới
của sách giáo khoa chuyên ban, xây dựng phương pháp kiểm

tra kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan, chúng
tôi biên soạn lại bộ sách Giải toán đành cho học sinh các
trường chuyên và học sinh khá giỏi ở các trường Trung học

phổ thơng trên tồn
biên soạn nhằm đáp
THPT và đặc biệt là
Bộ sách này gồm năm

quốc. Bộ sách “Giải toán lớp 12” được

ứng tốt nhất cho các kì thi Tốt nghiệp
kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng.
quyển:

— Giải toán 12 - Hàm số mũ Giải toán 12 ~ Phương pháp
~ Giải toán 12 - Khảo sát hàm
~ Giải toán 12 ~ Khối đa diện

lôgarit và số phức;
toạ độ rong không gian;
số;

và khối trưn xoay;

- Giải tốn 12 ~ Tích phân - nguyên hàm.

Nội dung quyển “Giải toán 12 — Phường pháp toạ độ trong
không gian” bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Hình học
12 (Nâng cao) và được trình bày theo bốn chương như sau:
+ Chương I: Hệ toạ độ trong không gian;

s Chương II: Mặt phẳng trong không gian;
s Chương II: Đường thẳng trong không gian;

s Chương IV: Các bài toán tổng hợp.


Trong mỗi bài học, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập

rèn luyện dựa theo các vấn để cụ thể, một số bài tập là các đề

thi đại học để bạn đọc tham khảo. Chúng tơi có cung, cấp đáp

án và hướng dẫn giải sơ lược của một số bài tập tiêu biểu
nhằm giúp các bạn đọc ôn tập, nâng cao kiến thức, rèn luyện
kĩ năng giải toán.
Hi vọng quyển sách sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong

quá trình học tập, rèn luyện nâng cao
chủ động và tự tin bước vào kì thi Đại
được kết quả tốt nhất; quyển sách này
cho giáo viên Tốn các trường Trung
cơng tác đào tạo học sinh giỏi. ˆ

bộ mơn Tốn lớp 12,
học - Cao dang dé dat
cũng là tài liệu hỗ trợ
học phổ thơng trong

Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về địa chỉ sau:
® trưởng trung học phổ thơng chun Lê Tổng Phong. 235 Nguyễn
Van Gk, Quin

5, TP. Hé Chi Minh.

‘duc Gia
a Man biểu tập sách Coán - Cin, Cong ty EP Dich vu xuat ban gido

Quan 5.
Ci,
Var

yén
Nou
237
,
Nam
Viet
due
Gido
ban
t
xuấ
Nhà
h
2jn

Tp. Hé Chi Minh.

Trân trọng cảm on !

CÁC TẮC GIÁ


§1. DIEM VA VECTO TRONG KHONG GIAN
A. TOM TAT GIAO KHOA
1. Hệ trục toạ độ trong không gian
=

Hệ gồm ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz đơi một vng góc nhau được gọi là hé

trục toa độ vng góc trong không gian.

= Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i,

j

và K,
= Diém O goi 1a gốc tog dé, trục Ox gọi là rực hoành, trục Oy gọi là trục tung
va truc Oz goi 1a true cao.

" Các mặt phẳng chứa hai trục toạ độ được gọi là mặt phẳng toạ độ, ta kí hiệu
chúng lân lượt 14 (Oxy), (Oyz) va (Ozx).
+2
¬2
= =>
Chú ý: 1i =j =k =1, ij=jk= ki= 0.
1I. Toạ độ của vectơ

= Với mọi a, tồn tại duy nhất bộ ba số (ay:2a:2a) sao cho 2=aii+asj+asK,

Ta gọi bộ ba số (ay;aa;a;) là toạ độ của veclơ a (theo thứ tự là hồnh độ,
tung độ, cao độ). Kí hiệu. a=(a)3a93a5) hay 8(a,3a,583).

Vay a=(Ai;aa;aa)

â2(Ay;aa:8) eS anaita,jragk .

Chit Đ: 7=(1;0;0) , j=(0;1,0) và k =(0;0;1).


XI. Các tính chất và phép tốn

„

Cho hai vectơ a=(ay;az:a)

va b= (bu;ba;b;)

và số thực k tuỳ Ý, ta có:

ai =bị

a, =b,

"
BE
UW

be

a, =b
b=(a

tbj:a,+b,3a, +bạ)

Ht

Sa

. ka =(kayska,ska,)
= abs ai.bị tay bạ

= a =

(keR)

tay.bạ

ae

# cos(a, 6) =

1?

tl

tab

+

b,

2 2 #33
38 3

2 tah +a

lu

nộ

sae

với iaz0,bz0

xaLBe©œzb=0©a,bi+a
+ay sby
by =0.
1V. Toạ độ của điểm
= Voi

mọi điểm

M,

tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; 2) sao cho

OM = xiryj+zE. Ta gọi bộ ba sé (x; y; z) là toa độ của điểm M. Kí hiệu

1a M(x; y; z) hay M = (x; y; z).

Vay M=(x;y;z)

OM=xityj+zk.

. Nếu điểm M có toa 49 Ja (xs y; 2) thi x goi Ia hoanh 46, y goi 1a tung
dé, z
-' gọi là cao độ của diém M.

Chú ý: Me Ox © M(x;0;0);

MeOy<>M(0,y;0);

MeOz>M(0;0;z).

V. Liên hệ giữa toa độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút
Cho hai điểm A(x,; Ya32q)> BÍxp;yp;zp)), ta có:


°

AB=(xp—XuiYp—YA¡Zp —ZA)i

“

AB=

(xa—xa) +(vạ—va } +(zg=za } -

VỊ, Tích có hướng của hai vectơ

“

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a=(ay;aa:as) và ÿ=(b,;bạ;b;).
Ta gọi tích có hướng của hai vecto a va b, kỉ hiệu là [=5]
Yectơ có toa dé

[5š]=
L2

hay AAB, là

.

42 34| f2 94) 1 Ae
bạ bạ| [bị bị [by bạ| |

Nhận xét: Ei]-š

| =i

[kfE.

VI. Cac tinh chất
.

a cùng phương

b ©s[s,5|=0;

" [ãñ]Lã; ae

[8]-H pana
VIII. Nhimg tmg dung ciia tich cé huéng
=

Xét su đồng phẳng cia ba vecto: a,b,c ding phang <> 5 ble c=0.

8ˆ Tính diện tích hình bình hinh ABCD: S pcp -[ẫm].
» Tính diện tích tam giác: Sanc, =- | AB, AC |.

= Tinh thé tích hình hộp: Vạpcpa.xcp: =|| AB.ÄD| AI.
= Tinh thé tich tt dién: Vanco = 4] ABAC | aa).

B. PHUONG

PHAP

GIA! TGAN

% Van dé t
Tìm toạ độ của một điểm hay toạ độ của một vectơ

I.PHƯƠNG PHÁP

# Để tìm toạ độ của một vectơ.x (hay điểm M) 1s cần xác định một hệ thức
vectơ liên hệ giữa vectơ a (hay điểm M) với các vectơ hay các điểm đã biết.
Từ đó ta xác định được một

hệ phương trình chứa các toạ độ của veetơ a

(hay điểm M). Giai hệ này ta tìm duce toa dé vecto a (hay diém MỊ cần tìm.
Chú ý:
mMeOxc>M(x;

0; 0);

M € Oy = M(G; y; 0);

M € Oz & M(0; 0; z).

Me

M © (Ozx)

= M € (Oxy) <> M(x; y; 0);
(Oyz© M(O; y;z);

=> M(x; 0; z).

1. CÁC Vi DU

,

Vi du 1. Trong không gian Oxyz, cho bà vectơ +=Œ 7;2),
':c=(_—6;1;~1).

Tìm

toạ độ và độ đài vectơ

m,n

biết

b=(3; 0:4),

m=3a— 2b+c

n=5a+6b+4c—3ï.

Giả

my = 3a, — 2b, +c, =3.5-2.3-6
=3

> Ta có: m=3a~2b+c

&

ym, =3a, -2b, +0, =3.7-2.041 = 22

m rửa -2b;+@; =32-24-1 =-3.
_ Vay m = (3; 22; ~3).

Suy ra |m| =m?
my; 2 +m} +mộ 2 = 3? 42274

> Tacé: n=5a+6b+4c—3ï

3)? = 7502.

va


{n, = 5a,6b, + 4c, -3i, =5.546.3+44(-6)—-3=16
> 4 ny =52q + 6b, + 40 ~3iy =5.746.044.1=39
In =5a5-+6b, +4¢,—3i, =3.24+6.444.(-1) =26.
Vậy n = (16; 39; 26).

Suy ra [al =fn? +n} +n} =Vi6? +39?
+ 26? = 2453.
Vi du 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; -2), B(2; 1; -1) và

C(1; —2; 2). Tim toa độ điểmM sao cho AM =2AB+38C—~ƠM
--- —— --~

Ta có: AB =(1;1; 1), BỂ =(-1;~3;3).
Goi toa độ điểm M là M(x; y; 2), ta có:

_

AM=@-lsy;z+2)

2AB =(2;2; 2) và 3BC = (-3; -9 ; 9)
Đ 2AB+3BC—OM =(1-x;-7-y; 11-2).
x-l

=-l-X

z+2

sll-z

Do đó: AM=2AB+3BC-OM œ{y = =-7-yo

x=0

ye>
9

z=—.

2

VM[G

—

TỔ

2”2)

N

|...

% đụ 3. Trong khơng
C(2; 0; 1).

gian Oxyz, cho ba điểm A(_—2; 3; 1), BC;

-

a) Chimg minh A, B, C khơng thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ hình chiếu B” ota B trén AC.
©) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của góc A của AABC,

0; 1),


giả
9

a) Ta có: AB =(Ễ:~8:0) AC =(4;~3; 0). Vì ‡x

nên AB, AC không

cùng phương = A, B, C.không thẳng hàng.
b) Goi toa d6 cha B’ là B’(x; y; z). Ta có:

1) và BBÌ=Œ— SiMWZ~1)
AC= (4; -3; 0), AB'= (x + 2; y-3;zVi B’ lahinh chiếu ccủa B trên AC nên ta có:

fiji

=

BB.AC=0

~ 25

jy 3-3

oy

4z-1=0

4

4)

BB'LAC

1-18

x+2=4t

AB-IAC

AB, AC cùng phương

390

ne

25

y-2t

25

z=l.

Vậy B” 22.21 1Ì,"
25°25

c) Ta có: AB= 1Ì Ac=

Ss= ie

4

AC

4

Gia st D(@; y; z) 1a chan đường phân giác trong của góc A, ta có:

—

=—

DB=-kDC=

.{=

z

4

Vay D(1; 0; 1).
10

—-—.DC
4

âm
4C
DỊ
zl.

l+—=

3—
.

©

x=

*g

3

1 Yc
3

1+—

4

3

=Ì;y=

ŸB T1ửc
v3

te

4

=0;

UU. BAI TAP
1, Trong không gian Oxyz, cho 2 =(1,-3;4).
a) Tim y, z dé vecto b= (2:y:z) cùng phương với a.

b) Tìm € biết ¢ nguge hudng v6i b va l|=sE+8 .
Cho a =(15251),b =(-3;5;2} va ¢=(0;4;3).
Tìm toạ độ và độ đài vectơ mụn biết:

a) m=2a-3b+4e+5];

b) n=a+b—26-3k.
3.

Cho diém M(x93¥9325). Hay tim toa d6 cia các điểm:
a) Mi, Mo, Mg lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên các mặt phẳng t toa

a6 (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) M’, M” ln lwot 18 cde điểm đối xứng của M qua O va qua trục Oy.

Cho ba điểm A(I; 1; 1), BC1; —1; 0) và CG; 1;—1).
a) Tìm điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm B, C.

b) Tìm điểm N thuộc (Oxy) cách đều A,B,C.

*

c) Tim điểm P thuộc (Oxy) sao cho PA + PC ngắn nhất.

-

the

Cho hai điểm A(1; 1; 2) và B1; 3; —9).
a) Tìm điểm M trên trục Oy sao cho tam giác ABM vuông tại M.
b) Gọi N là giao điểm của đường thang AB voi mat phẳng (Oyz). Hỏi N chia
đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm toạ độ điểm N.

©) Gọi a, B, y là các góc tạo bởi đường thẳng AB và các trục toạ độ. Hãy tính
giá trị của biểu thức P = cos 2 Œ+cos? + cos? y.

11


% Van dé 2
Tim toa độ các điểm đặc biệt trong tam giác, trong tứ điện

L. PHƯƠNG PHÁP
Xét tam giác ABC, ta có các điểm đặc biệt sau:
XG

š

i

—

—

—

—

= Gla trong tam AABC© 9đ~; (GA+Ư5+0€) e

_ Xa #Xp+Xe
3

+V„+

vụ =ŸA “J8 ~TC
Z.

AH1BC
= Hla tc tim AABC > {BH LAC

=

S

2A +Zp+2eˆ

3

| AH, AB,AC đồng phẳng.
"A'

là chân đường cao

AA'LBể
củaAABC©4___
_,
BA'=kBC.

co

" Dla chan dudng phan gide trong của góc A của AABC œ DB= "SGDC.

= Elà chân đường phân giác ngồi của góc A của AABC œ EB= =i .
Xét tứ điện ABCD, ta có các điểm đặc biệt sau:
:

tga

Xq

em

tXytXotXy

* Gla trong tim tứ điện ABCD œ jy, =2a—2B +Pc +Yp
:

3

_ 24

c=

+

tấp

4

†+Zc+Zp_

4

:

AH.LBC
© Hl hinh chiếu của A trên (BCD) @ JAB LBD
BH,BC,BD déng phing.
12


II. CAC Vi DU
Vidal. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 2), BC2; l; 3)

va C(3; 2; 4).

a) Tim toa d6 trong tam G của AABC.

b) Tim toạ độ trực tâm H của AABC.

c} Tim toa độ trọng tâm Gọ của tứ điện ABCD biết D@; 9; —5).

gi

a) Vi G là trọng tâm tam giác ABC nờn

x= _XAXpXc 1-243
=
=2
Đ
3
3
3
: Yat YptƠe _O+1+2 1

YG
z

Đ

Z4

3.

TZn
HA TH Z
TC

3

3

a

2+3+4
21
t a

3

Vy s($: 1;3).

b) Gọi H(x; y; z) là trực tâm AABC. Ta có:

AH =Œ-~1;y;z—2);
BH

=Œ&+2;y-l;z—3);.

BC=@;11)
AC =@;2;2);

[Rc:Ae | = (0; -8: 8).
H là trc tõm AABCâ ôBH 1 AC

3


[S(x-1)+1(y)+ (2-2) =0

© 42(x+2)+2(y—D+2-—3) =0
lần

Sung

5
x= >
|
-

(Sxty+z=7
©

$x+y+z=2

©

—y+z=2

vụn(247

oh =0

“hy

11
Jz=—.
L8

878

c) Go 1a trọng tâm tứ điện ABCD

x

_ Xa t*p fXc TXp _1-2‡316 _„
Go

`9

4
=AY,t¥gty.t
Ye tye Yp
4
7

2

=a

ely.

%

T?p te

4

tp

4
0414249 _ 3

4
_24344-5

_)

4

Vậy trọng tâm của tứ diện ABCD là Go(2; 3; 1).

Vi dy 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; ~l; 0), B(2; 2; 1) và
C(13; 3; 4).
,
a) Ching minh A, B, C 14 ba dinh của một tam giác.
b) Tìm toạ độ điểm E là chân đường phân giác trong của góc A. của tam giác ABC.
c) Tim toa độ chân đường cao H vẽ từ D của tứ điện ABCD với D(1; 1; 1).
2) Tacs:

AB

= (1; 3; 1y AC =(12; 4 4).

Vi "2h. nên AB, AC không cùng phương.
_ Suy ra ba điểm A, B, C không thing hàng nên A, B, € là ba đỉnh của một tam giác.
b) Ta có: AB = vil; AC = 4411. E là chân đường phân giác trong góc A
của AABC


1
uc

:

1

no

t5

5

4

=

mm.

ABrơ

EB=

Agee

i

=

EC

2

y
veo

Lấ aly
lộo
4

7

,

-

l

_ 7n to



s5

op

5

4

2443

4711

5

"3

4

1

li

5
4

g

5



vive 2.2.3).
$

5

Â) Goi H{x; y; 2).
Ta cú: AB

[AB.AC]

=(1;3:11)

= (8; 8; -32); DH

AC =(12: 4: 4);

=(x-l;y~j;z-1); ‘AH =(x-1;y+1;z).

VÌH là hình chiếu của
D trên (ABC) ©

DH LAB
4DH L_ AC
AH;AB,AC ng phng

DH.AB=0
[I(x
43(y -D+h.@-=0
~ /DHAC=0
â 112ô=é+4~))+4-1)
=0
AH[^B.A] =0: -_ |#ộx~+8y+1)32z=0

@

[

10

x+3y+z=5

|

M

43x+y+z=5â

(yore

4z=0
x+y-4z=

vay

ie

98.99

|

:
S:

ed


II. BÀI TẬP
1.

Tinh độ dài đường phân giác trong của góc A của AABC, biết:

a) A(1; -2; 2), B-5; 6; 4) và C(0; TL -2).

b) AQ; -1; 3), B(4; 0; 1) và C(-10; 5; 3).
CHo bốn điểm A(-1; 2; 4), B(2; 1; 3), C(O; 0; 5) va D(3; 0; 2).
a) Chứng minh ABCD

là một tứ diện. Tính thể tích của tứ điện và. độ dai

.

đường cao của tứ điện vẽ từ D.

b) Xét hình hộp ABCD”.A'B'C'D, tìm toạ độ của các định A’, B’, C* va D’

của hình hộp đó.

c) Tim toa độ của điểm 1 là chân đường phân giác trong của góc Á của AADE
.
trong đó E(1; 3; 7).

d) Tìm toạ độ điểm K nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ABCK vuông tại
B va AACK vuéng tai A.

-

$ Vấn đê 3
Các ứng dụng của tích có hướng

I. PHƯƠNG PHÁP
Ta sử dụng tính chất của tích có hướng dé giải một số dạng toán sau:

w Xét sự đồng phẳng của ba vectơ: 2,b,¢ đồng phẳng>[2 b
"= Tinh diện tích hình bình bành ABCD: S,pep =

= Tỉnh diện tích tem giác: Sane = 2Ì. ac].

ma]

= Tinh thé tich hinh hOp: Vegcpa-prcp’ =| 48,Ap]AAl ;

= Tinh thể tích tứ dié: Vasop = q

16


II. CÁC VÍ DỤ
%⁄† đụ 1. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a,b,c sau:

2 =Q;3; 1); b =(4,-3;~2) và c = (-1;4; 2).

Ta có

Giải

i
a,b] =(-3; 10;—18)

z

= [ ;b|e =-3.C1)+10.4~182=70.

Suyra a,b,c không đồng phẳng.

Vi dy 2. Cho bên điểm AQ; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; —1).
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ điệnABCD và độ đài đường cao của tứ điện xuất phát
từ A,

Giải

a) Ta cé: BC =(0;-1; 1), BD =(-2;.0;-1) = [ben] =(;-2; —2).

Ngoai ra, BA =(1;-1;0) >

[BC,BD |.BA =11-2C0-2.0=3#0

= BC,BD,BA khơng đồng phẳng

=> A, B, C, D là bến đình của một tứ điện.
5. Vancp =1[B€BBIBAI|=is=L
b) Tả có:
c|Pe.BP ]BA|= 5355:
Goi AH là đường cao vẽ từ A của tứ điện. Ta có:

Špcp

¬Ul

Suy ra AH = —ABCD.

II

3V,

bus le

Vaecp = 5 AHSacp mà Sgcp= ie
BC, BD | I =V1? +2742? =>

17


OL BAITAP
1.

Xét sự đẳng phẳng của ba vectơ a,b,c trong các trường hợp sau:

a) a=(1;-L1), 6 =(0:1,2), e=(42;3);
b) a=(4;3;4), B=(2;-1,2),o= (15251);
cas (4;2;5), b =(3;1;3), e=(2;0;1);
d) a= (-3:1;-2), b= (19), c= (2:11).
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 2), B(2; 1; —1) và C(1; —2; 2).
a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM =2AB—5BC..

b) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm chu vi và điện tích AABC.

©) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho bồn điểm A(; 2; 3), B(0; 1;
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn

b) Tính thể tích ABCD và độ đài
Cho bốn điểm A(0; 0; 1), B(1; 4;

4), C(0; 2; 1) và D; 1; 1).
đình của một tứ điện.
đường cao của tứ điện xuất phát từ A.
0), C(Q; 15; 1) va D2; 75 3).

a) Chứng minh ABCD là hình thang.
b) Tính thể tích của hình chóp SABCD với S(1; 2; 3).
©) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Cho bến điểm không đồng phẳng A@; 0; 4), B(3; 6; 2); C(O; 4; -1);

D(O; -2; 1).

a) Tinh thé tich hinh chóp OABCD và độ dài đường cao.OH vẽ từ O của hình

chóp OABCD..

b) Tìm điểm M sao cho MC vudng géc (BCD) va MC = V211
Cho hình hộp ADCB.A'B'C?D'

D’(3;-3; 5).

có đỉnh là A(1; 0; pe B(2; 3; 5), CG; 2; 7),

a) Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp.

b) Tinh thé tích của hình hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC va B’D.

18


% Văn đề 4.

Chứng minh bất đẳng thức đại số

1. PHƯƠNG PHÁP
Áp dụng các bất đẳng thức sau, ta có thể chứng minh một số bắt đẳng thức đại
sô đưới õy:

~ơ

=+E+d
(du ng thc xy ra.â> a,b,c cựng hng).

" fai < fl P|

(dau ding thức xây ra ©> a, being phuong).

1. CC V D
Vitel. Ghỳngrnhhrdngxi hi g3


^|x2+4y?+z2~6x~10z+34+ơ|x2+4y2+z2+2x+12y+14z+59 > 13.1)
gi

Ta cú:

(No

Ơa- 3)? +4y7 +(z~ 5)? ty(xt1? +(2y+3)) +(z+7)?

z13.

Với mỗi cặp (x; y; 2), ta xétcác VeCtƠ Sau: a =(x-3; -2y,5-2),b =(=x-L 2y+3; z+7) va dab == (+4; 3; 12)

=js|=ý&- 3)2+4y? +(z~%)ˆ dị
vale +9

+(2y +3)? +(z+7)?

= 13.

Áp dụng bất đẳng thức [al +] > fa +bị , ta cd:

3|x2+4y?+z2—~6x—10z+34+-|x2+4y? +z1+2x+12y +14z+59 > 13.
Vi dy 2. Chứng mình rằng:

(œ%-DAX+4'20—5x+4/4+x <6\x?—2x+6 , Vx e [0; 4].
19


Xét hai vecto @ =(x-1;1;2) va b =(Vx;xl20—5; V16+4x).
Tacé: a.b=(x—1wvx +1.V20-5x +2V16+4x

=(Œ%-IDNx+1A20-5x+44+x

7

và E|iBl=vd&—n2+1+2: Qa}+ol20-5)2+(6r2z7
=6\x?-2x+6

Mặt khác, ta có ‘ab ‹E<

lala {P|

=> (x -DVx +¥20—5x 44V44x < 6V x? -2x +6.
TH. BÀI TẬP
1,

Chứng minh rằng: Vx e R, ta có:

a) fx? +y? 442? —4x —4y— 2424.44 +x? + y2 +4z2—12x—2y+8z
+41 >9;
b) fx? +4y? +27 44x —24y +40 +4/x? +4y? +27 —4x 4+ 16y—82+48 2 2/38
Chứng minh bất đẳng thức BCS bằng phương pháp toạ độ:

w

Jax + by + cz|< 4@? +b?+ c?⁄x2 + y? + z2) +

Cho a,'b, c là ba số thoả mãn 4ˆ + bỂ + cˆ = 1. Tìm giá trị nhơ nhất của biểu
thức: P= Aj(«—a) wee
+(z-c)" +/œ+a)2 +(y+b)Ï+(z+e)?
véix,y,zeR.

Cho a), ay, a5, bị, bạ, bạ, cị, cy, ey > 0. Tìm giá trị lớn nhất của:
P=

(a +4, +4,)°2 +(b, +b, +b,)° 2 +(c) Hey +5) 3

fae +b? +e +4fa3 +b2 +03 +Ja2 +b3 +;

20