36 bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (phần 2) file word có lời giải chi tiết

36 bài tập - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Hàm số (Phần 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Hàm số y = x − 1 + 9 − x trên đoạn [ 3;6] có GTLN và GTNN là
A. GTNN bằng

3 + 5 GTLN bằng 6

B. GTNN bằng

2 + 6 GTLN bằng 4

C. GTNN bằng

3 + 5 GTLN bằng 4

D. GTNN bằng

2 + 6 GTLN bằng 6

Câu 2. Trên khoảng ( 0; +∞ ) . Kết luận nào đúng cho hàm số y = x +

1
.
x

A. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
C. Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
D. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1
Câu 3. Trên nửa khoảng ( 0;3] . Kết luận nào đúng cho hàm số y = x − .
x

A. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
C. Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
D. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x 3 − 6 x 2 + 1 trên đoạn [ −1;1]
A. 1

B. −7

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. 3

B.

C. −1
2 x 2 + 3x + 3
trên đoạn [ 0;2]
x +1

1
3

C.

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = − x + 1 −
A. −1

D. −10

17

3

D.

3
17

4
trên đoạn [ −1;2]
x+2

B. −2

C. 1

D. 2

C. −2

D. 2

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2
A. 2 2

B.

1
2

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

A. 0

B. 1

x +1
x2 + 1

trên đoạn [ −1;2]
C. −1

D.

2

Câu 9. Hàm số y = 4 x 2 − 2 x + 3 + 2 x − x 2 đạt GTLN tại hai giá trị x1 , x2 . Ta có x1 x2 bằng:


A. −1

B. −2

C. 1

D. 2

Câu 10. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x + cos x là:
A. 2

B. 1

C.

2

D.

2 2

2
Câu 11. Hàm số y = 2ln ( x + 1) − x + x đạt GTLN tại x bằng:

A. e

B. 1

C. 2

2
Câu 12. Hàm số f ( x ) = 2cos x + x với 0 ≤ x ≤

A.

π
12

B.

D. Không có GTLN

π

đạt GTLN tại x bằng:
2

5π
12

C.

5π
6

D.

π
6

Câu 13. Cho hàm số y = sin 4 x − cos 2 x . Tổng GTLN và GTNN của hàm số là:
A. −

5
4

B. −

1
4

C. 2

D. 0

Câu 14. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x là:
A. GTLN bằng 2; GTNN bằng 0
C. GTLN bằng

B. GTLN bằng 2; GTNN bằng −2

2 ; GTNN bằng − 2

D. GTLN bằng 1; GTNN bằng −1

3
2
Câu 15. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x + 3x − 3 trên đoạn [ 1;3] .

Thì M + m gần nhất với số nào:
A. 4

B. 0

Câu 16. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

C. 2

( x + 2)
y=

2

x

D. 3

trên ( 0; +∞ ) là:

A. 2

B. −∞

C. 8

D. Không có kết quả nào đúng

3
Câu 17. Hàm số y = x +

A. −2

1  2 1  
1
−
x
+
−
2
x
+

÷


÷, x > 0 có GTNN là:
x3 
x2  
x
B. −4

C. 5

Câu 18. Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R.
Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số
A. 2

B. 4

C. 1

D. 0,5

MN
bằng:
MQ

D. −1


Câu 19. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 35 trên đoạn [ −4;4] là:
A. GTLN bằng 15; GTNN bằng 8

B. GTLN bằng 15; GTNN bằng −41

C. GTLN bằng 30; GTNN bằng −51

D. GTLN bằng 40; GTNN bằng 15

Câu 20. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S, chu vi của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng
bao nhiêu:
A. 2 S

B. 2S

C. 4S

D. 4 S

Câu 21. Một hình hộp chữ nhật có chiều rộng, chiều dài, chiều cao lập thành cấp số cộng với công sai là
2. Biết rằng tổng của cấp số cộng có giá trị không quá 36. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp là:
A. 1068

B. 1680

C. 1680

D. 1086

Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ∆ABC vuông cân đỉnh C và SC = a . Để khối chóp có thể
tích lớn nhất thì sin của góc giữa mặt phẳng ( SCB ) và ( ABC ) là:
A.

2
3 3

B.

2
3

C.

1
3

D.

1
2 3

Câu 23. Cạnh căn biệt thự của mình thầy, Đặng Việt Hùng muốn thiết kế một bể bơi có dạng hình hộp
chữ nhật, đáy là hình vuông. Thể tích của bể bơi là 1000m3 . Để diện tích toàn phần của bể bơi nhỏ nhất
thì độ dài cạnh đáy của bể bơi bằng?
A. 10dm

B. 10 10m

C. 100dm

D. 100m

290, 4v
(xe/
0,36v + 13, 2v + 264

giây), trong đó v (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của
các xe khi vào đường hầ sao cho lưu lượng xe là lớn nhất.
Câu 24. Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức: f ( v ) =

A.

10 33
3

B.

10 66
3

C.

10 33
7

D.

2

10 66
7

Câu 25. Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h. Bán kính r của hình trụ nội tiếp hình nón mà có thể
tích lớn nhất là:
A. r =

R
4

B. r =

R
2

C. r =

2R
3

D. r =

R
3

Câu 26. Một trang sách có diện tích 432 cm 2 . Do yêu cầu kỹ thuật nên khi viết sách dòng đầu và dòng
cuối phải cách mép trên và dưới 4cm và lề trái và lề phải cũng phải cách mép trái và phải 3cm. Các kích
thước của trang sách là bao nhiêu để phần diện tích viết chữ là lớn nhất.
A. 24cm × 18cm
B. 27cm ×16cm
C. 21,6cm × 20cm
D. 26cm × 17cm
2
Câu 27. Từ một miếng tôn hình chữ nhật có kích thước 4 × 12 ( dm ) . Bác Hùng cắt bỏ 4 hình vuông bằng

nhau góc sau đó gập lại thành một cái khay hình hộp chữ nhật không nắp như hình vẽ. Cạnh của hình
vuông bị cắt bỏ phải bằng bao nhiêu (dm) để thể tích khay lớn nhất.

A.

1+ 3
2

B.

12 − 4 7
3

C.

2
3

D.

8−2 7
3

Câu 28. Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh 30cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để
được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

A. x = 3

B. x = 5

C. x = 6

D. x = 9

Câu 29. Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R, ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
bao nhiêu?

π R2
A.
2

B. 2R 2

C. R 2

D. 4R 2

Câu 30. Trong số các hình chữ nhật có chu vi 24cm. Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình có diện
tích bằng.
A. S = 36cm 2

B. S = 24cm 2

C. S = 49cm 2

D. S = 40cm 2

Câu 31. Cho 2 số thực x, y không âm thỏa mãn x + y = 2 . GTLN của biểu thức xy +
A.

1
3

B.

3
2

C.

4
3

D.

1
là:
xy + 1

7
3

Câu 32. Một bác nông dân được giao canh tác cây ăn quả trên một khu đất hình chữ nhật có chu vi không
đổi là 200m, trong đó bác nông dân được tùy ý lựa chọn chiều dài và chiều rộng khu đất. Giả sử rằng sản
lượng trái cây thu được tỷ lệ thuận với diện tích của khu đất. Bác nông dân đã nghĩ ra một phương án lựa
chọn độ dài chiều dài: chiều rộng theo tỷ lệ T sao cho sản lượng trái cây thu được là cao nhất. Tìm tỷ lệ T.
A. 1

B. 2

C. 3

D. 1,5


Câu 33. Xét hàm số y = x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1;2] bằng −0,25.
B. Hàm số y có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3;6] bằng 3.
C. Hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu.
D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2;6] lớn hơn 19.
Câu 34. Gọi A, a là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x − x − 1 + 2 trên đoạn [ 1;5] . Nhận định
nào sau đây là đúng:
A. Aa =

55
4

B.

A
=5
a

Câu 35. Gọi a là giá trị của x để hàm số y =

C. A − a = 4
x+2
x2 + 1

D. Aa < 0

đạt giá trị lớn nhất bằng A trên ¡ . Nhận định nào

sau đây là đúng:
A. a 2 + A2 = 4

B.

1
+ 1 = A2
2
a

C. a 5 = A

1

D. A a = 3 5

ln 2 x
Câu 36. Gọi a, b lần lượt là giá trị của x để hàm số y =
đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
x
0;e3  . Nhận định nào sau đây là đúng.
A. a + 2b = 1 + 2e 2

B. Min { a, b} = 2

C.

a + 2016 b = 1 + e

D.

a
= 2e
b


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
y' =

1
1
−
→ y' = 0 ⇔ x = 5
2 x −1 2 9 − x

Lập bảng biến thiên.
Câu 2. Chọn đáp án B
lim y = +∞ nên y không có giá trị lớn nhất

x →+∞

y = x+

1
≥ 2 . Dấu bằng khi x = 1 ∈ ( 0; +∞ ) nên Min y = 2 .
x

Câu 3. Chọn đáp án C
lim y = −∞ nên y không có giá trị nhỏ nhất;
x →0
x−

1 8
8
≤ ⇔ ( 3x + 1) ( x − 3) ≤ 0 đúng với x ∈ ( 0;3] nên Max y = .
x 3
3

Câu 4. Chọn đáp án B
Câu 5. Chọn đáp án C
Câu 6. Chọn đáp án A
Câu 7. Chọn đáp án C
Câu 8. Chọn đáp án D
y' =

(x

1− x

2

+ 1) x + 1
2

> 0 → y ' = 0 ⇔ x = 1 . Lập bảng biến thiên.

Câu 9. Chọn đáp án A
Đặt t = x 2 − 2 x + 3 ≥ 2 ⇒ t 2 − 3 = x 2 − 2 x ⇒ y = −t 2 + 4t + 3 = 7 − ( t − 2 ) ≤ 7
2

Dấu bằng khi t = 2 ⇔ x = 1 ± 2 .
Câu 10. Chọn đáp án D
y = sin x + cos x ≤ 2 sin x + cos x ≤ 2

2 sin 2 x + cos 2 x = 2 4 2 .

Câu 11. Chọn đáp án B
y' =

2
( 1 − x ) ( 2 x + 3) ⇔ x = 1 vì x > −1 . Lập bảng biến thiên.
+ 1 − 2x =
x +1
x +1

Câu 12. Chọn đáp án B


π

x = + kπ

1
12
f ' ( x ) = −4cos x sin x + 1 = 1 − 2sin 2 x → f ' ( x ) = 0 ⇔ sin 2 x = ⇔ 
2

 x = 5π + kπ

12
π

x
=

π
12
Vì 0 ≤ x ≤ nên f ' ( x ) = 0 ⇔ 
. Lập bảng biến thiên.
2
 x = 5π

12
Câu 13. Chọn đáp án D
y = sin 4 x − cos 2 x = sin 2 x − cos 2 x = − cos 2 x ⇒ 1 ≥ y = − cos 2 x ≥ −1
 Min y = −1
⇒
⇒ Min y + Max y = 0 .
 Max y = 1
Câu 14. Chọn đáp án C

π

− 2 ≤ y = 2 sin  x + ÷ ≤ 2 .
4

Câu 15. Chọn đáp án D

f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 3 với x ∈ [ 1;3] → f ' ( x ) = 3 x ( 2 − x ) → f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số f ( x ) sau đó suy ra đồ thị hàm số y.
Ta có Min y = 0 và Max y = 3 .
Câu 16. Chọn đáp án C

π

− 2 ≤ y = 2 sin  x + ÷ ≤ 2 .
4

Câu 17. Chọn đáp án B
Đặt t = x +

1
⇒ t ≥ 2 với x > 0 .
x

3
3
Khi đó t = x +

1
1
1
1
1
+ 3x.  x + ÷ = x 3 + 3 + 3t và t 2 = x 2 + 2 + 2
3
x
x

x
x
x

⇒ y = t 3 − t 2 − 5t + 2 ⇒ y ' = ( 3t − 5 ) ( t + 1) > 0 vì t ≥ 2
Lập bảng biến thiên, suy ra y ≥ −4 .
Câu 18. Chọn đáp án B
Đặt MN = x và MQ = y với 2 R > x > 0; R > y > 0
Ta có: MO 2 + MQ 2 = R 2 =

x2
+ y2
4


x
Chu vi hình chữ nhật: 2 x + 2 y = 4. + 2. y ≤ 4 2 + 22
2

x2
+ y 2 = 2R 5
4

x 4
x
= ⇒ = 4.
2y 2
y

Dấu bằng khi

Câu 19. Chọn đáp án C
x = 3
y ' = 3 ( x − 3) ( x + 1) → y ' = 0 ⇔ 
. Lập bảng biến thiên.
 x = −1
Câu 20. Chọn đáp án D
Câu 21. Chọn đáp án B
Câu 22. Chọn đáp án C
Câu 23. Chọn đáp án C
Câu 24. Chọn đáp án B
Ta có

f ( v) =

290, 4
0,36v + 13, 2 +

264
v

290, 4

≤

13, 2 + 2 0,36v.

264
v

=

290, 4
6 66
13, 2 +
5

v > 0
10 66

Dấu “=” xảy ra ⇔ 
.
264 ⇔ v =
3
0,36
v
=

v
Câu 25. Chọn đáp án C
Gọi h ' là độ dài đường cao của hình trụ H t nội tiếp hình nón đã cho.
Ta có ngay

h' R − r
r

=
⇒ h ' = h 1 − ÷.
h
R

 R

1 2
1 2 
r  1  2 r3 
Thể tích hình nón V = π r h ' = π r h  1 − ÷ = π h  r − ÷.
3
3
R
 R 3 
Đạo hàm r 2 −

r3
3r 2
3r
2R
=0⇒2=
⇒r=
theo r và cho bằng 0 ta được 2r −
R
R
R
3
3

3

8R
 2R 
2 2R

⇒ 2r 3 ≥ 2 Rr 2 −
Áp dụng BĐT Côsi ta có r + r + 
÷ ≥ 3r .
3
27
 3 
3

3

4R3
r3
4R2
r 3 4R2
2
2
⇒ r ≥ Rr −
⇒ ≥r −
⇒r − ≤
27
R
27
R
27
3

2

1 
r3  1

4R2 4
⇒ V = π h  r 2 − ÷ ≤ π h.
= π R 2h .
3 
R 3
27 81

( 1)


Dấu “=” xảy ra ⇔ r =

2R
.
3

Thực tế, dựa vào đáp án đã khẳng định có r để VH t lớn nhất.
Khi đó từ (1) ta chọn ngay được đáp án C.
Câu 26. Chọn đáp án A
Gọi chiều dài và chiều rộng của trang sách lần lượt là x, y ( x, y > 0 ) .
Ban đầu, diện tích trang sách bằng 432 ⇒ xy = 432 ⇒ y =

432
.
x

Diện tích trang sách sau khi cắt
3456
 432


S = ( x − 4.2 ) ( y − 3.2 ) = ( x − 8 ) 
− 6 ÷ = 432 − 6 x −
+ 48 .
x
 x

Áp dụng BĐT Côsi ta có 6 x +

3456
3456
≥ 2 6 x.
= 288 ⇒ S ≤ 432 − 288 + 48 = 192
x
x

x > 0
432

= 18 .
Dấu “=” xảy ra ⇔ 
3456 ⇔ 24 ⇒ y =
24
6 x = x
Câu 27. Chọn đáp án D
Câu 28. Chọn đáp án B
Ta có V = 2 x.

1
2
( 30 − 2 x ) .( 30 − 2 x ) = 4 x ( x − 15) = f ( x ) , ( 0 < x ≤ 15 ) .

2

 x = 15
2
Đạo hàm f ' ( x ) = 4 ( x − 15 ) + 4 x.2 ( x − 15 ) = 4 ( x − 15 ) ( x − 15 + 2 x ) = 0 ⇔ 
x = 5
f ( x ) = f ( 5 ) = 2000 .
Lập bảng biến thiên của f ( x ) trên ( 0;15] ta được max
( 0;15]
Câu 29. Chọn đáp án B
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y ( x, y > 0 ) .
x2 + y 2 ( 2R )
Diện tích hình chữ nhật S = xy ≤
=
= 2R 2
2
2
2

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = R 2 .
Câu 30. Chọn đáp án A
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y ( x, y > 0 ) .
Ta có 2 ( x + y ) = 24 ⇒ 12 = x + y ≥ 2 xy ⇒ S = xy ≤ 36
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 6 .


Câu 31. Chọn đáp án B
Từ x + y = 2 ⇒ y = 2 − x ⇒ xy +

1

1
1
= x ( 2 − x) +
= 2x − x2 +
= f ( x) .
xy + 1
x ( 2 − x) +1
1 + 2x − x2

Với x, y ≥ 0 và x + y = 2 ⇒ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ [ 0;2] .
Rõ ràng f ( x ) liên tục trên [ 0;2] , ta có f ' ( x ) = 2 − 2 x −

1

( 1 + 2x − x )

2 2

.( 2 − 2 x ) .

 x ∈ ( 0;2 )
 x ∈ ( 0;2 )

 x ∈ ( 0;2 )
  2 − 2 x = 0
 x = 1
⇔
⇔ 
⇔ x = 1.


2

1
+
2
x
−
x
=
1
2
 f ' ( x ) = 0


1 + 2 x − x 2 ) = 1  
2
 (
 1 + 2 x − x = −1
Ta có f ( 0 ) = 1, f ( 2 ) = 1, f ( 1) =

3
3
⇒ max f ( x ) = .
[ 0;2]
2
2

Câu 32. Chọn đáp án A
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y ( x, y > 0 ) .
Ta có 2 ( x + y ) = 200 ⇒ 100 = x + y ≥ 2 xy ⇒ S = xy ≤ 502 = 2500 .

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 50 ⇒ T =

x
= 1.
y

Câu 33. Chọn đáp án B
Ta có y ' = 2 x − 3 .
3
 x ∈ ( 1;2 )
⇔x= .
+) Đáp án A thì y liên tục trên [ 1;2] , ta có 
2
 y ' = 0
1
1
3
y = − ⇒ A đúng.
Lại có y ( 1) = 0, y ( 2 ) = 0, y  ÷ = − ⇒ min
[ 1;2]
4
4
2
2
2
+) Đáp án B thì y = x − 3x + 2 = ( x − 1) ( x − 2 ) = ( x − 1) ( x − 2 ) = x − 3 x + 2 với ∀x ∈ [ 3;6] .

 x ∈ ( 3;6 )
⇔ x∈∅ .
Hàm số y liên tục trên [ 3;6] , ta có 

 y ' = 0
y = 2 ⇒ B sai, đến đây ta chọn ngay được B là đáp án đúng.
Lại có y ( 3) = 2, y ( 6 ) = 20 ⇒ min
[ 3;6]
+) Đáp án C thì y ' = 0 ⇔ x =

3
mà y '' = 2 > 0 ⇒ y có duy nhất một điểm cực tiểu ⇒ C đúng.
2


 x ∈ ( 2;6 )
⇔ x ∈∅ .
+) Đáp án D thì y liên tục trên [ 2;6] , ta có 
 y ' = 0
y = 20 > 19 ⇒ D đúng.
Lại có y ( 2 ) = 0, y ( 6 ) = 20 ⇒ max
[ 2;6]
Câu 34. Chọn đáp án A
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 1;5] .
 x ∈ ( 1;5 )
1
5
 x ∈ ( 1;5 )
 x ∈ ( 1;5 )

;
⇔
⇔
Ta có y ' = 1 −

1⇔x= .
4
2 x − 1  y ' = 0
2 x − 1 = 1  x − 1 =

4
11
 5  11
Lại có y ( 1) = 3, y ( 5 ) = 5, y  ÷ = ⇒ a = 5, A = .
4
4 4
Câu 35. Chọn đáp án B
Ta có

y' =

x2 + 1 − ( x + 2) .
x +1
2

x
x + 1 = 0 ⇔ x2 + 1 − x x + 2 = 0 ⇒ x = 1 .
(
)
2
2

1
Lập bảng biến thiên của y trên ¡ ⇒ a = , A =
2

1
y  ÷= 5 .
 2

Câu 36. Chọn đáp án C
3
TXĐ: ( 0;e  .

1
1
1
1 ln x
Ta có y = .ln 2 x ⇒ y = − 2 .ln 2 x + .2ln x. = 2 ( 2 − ln x ) .
x
x
x
x x
 x ∈ ( 0; e3 )
 x ∈ ( 0; e )

x = 1
⇔  ln x = 0 ⇔ 

2
x = e

 y ' = 0
 ln x = 2
3

3
2
Lập bảng biến thiên của y trên ( 0; e  ⇒ a = e , b = 1 .