12 bài tập khoảng cách giữa hai đường thẳng (dạng 1) file word có lời giải chi tiết

12 bài tập - Khoảng cách giữa hai đường thẳng (Dạng 1) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B. Biết AB  a, BC  a ,
AD  3a , SA  a 2 . Khi SA   ABCD  , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD là:
A.

a
5

B.

a
5

C.

2a
5

D.

3a
5

Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a 3 . Độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là
A.

a 6
4

B.

a 6
2

C.

a 3
2

D.

a 6
3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA  SB  SC  b . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A. b 

a
3

3a
. Tính b theo a.
4

B. b  a

C. b 

2a
3

D. b 

2a
3

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  3 AD . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là điểm H �AB sao cho BH  2 AH . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng

 SAD 

bằng

A. 1

3
và SH  3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và CD.
2
B.

2

C.

3
2

D.

1

2

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, đáy lớn BC. Hai mặt bên
 SAB  ,  SAD  vuông góc với đáy. Cạnh SA  AB  a , góc giữa đường thẳng SD và  ABCD  bằng 30°.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
A. d 

2a
3

B. d  a 3

C. d 

a 3
4

D. d 

a 3
2

Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh bên SA  a 5 , mặt phẳng
 SCD  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 60°. Khoảng cách giữa BD và SC là:
A.

a 30
5

B.

a 30
6

C.

a 15
5

D.

a 15
6

Câu 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A có AB  AC  2a . Gọi M là
trung điểm của BC. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống đáy là trung điểm của AM. Biết SA tạo với
đáy góc 60°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SA là:


A.

a 6
3

B.

a 6
2

C.

a 6
4

D.

a 3
2

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC  2a, BD  2a 3 tâm O. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của OB. Biết tam giác SBD vuông tại S.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là:
A.

3a
4

B.

3a
8

C.

3a
2

D.

a 3

2

Câu 9. Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB  AC  2a ; BAC  120�.
Tam giác A ' BC vuông cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABC  . Khoảng cách giữa
2 đường thẳng AA ' và BC theo a.
A.

3a
2

B.

a 3
6

C.

a 3
4

D.

a 3
2

Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh A ' lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết cạnh bên của khối lăng trụ tạo với đáy góc
60°. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A ' C là:
A.

3a
4

B.

a
2

C.

a 3
4

D.

a 3
2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Tam giác  SAB  đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng  SAC  góc 30°. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và AC bằng
A. BC  a 2

a 3
. Tính độ dài đoạn thẳng BC.
2
B. BC  2a

C. BC  a 3

D. BC  3a

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh a, AB  a 2, BC  a . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy, SA  BC . Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và
BM.
A. a 3

B.

a 3
6

C.

a 3
3

D.

a 3
2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D
Kẻ AH  CD mà SA  AH � AH  d  SA, CD 
Ta có S ACD 
� AH 

1

1
AB. AD  AH .CD .
2
2

AB. AD a.3a 3a
3a


� d  SA, CD  
.
CD
a 5
5
5

Câu 2. Chọn đáp án B
�AB  CM
� AB   CDM 
Ta có �
�AB  SH
Kẻ MN  CD � AB  MN do AB   CDM 
� MN là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
Ta có CM 

a 3. 3 3a
1
a 3
và CN  CD 
.


2
2
2
2

� MN  CM 2  NC 2 

a 6
a 6
� d  AB , CD  
2
2

Câu 3. Chọn đáp án C
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà SA  SB  SC � SO   ABC  � SO  BC .
Gọi M là trung điểm của BC � AM  BC .
Do đó BC   SAM  , kẻ MH  SA nên MH là đoạn vuông góc
chung của SA và BC. Suy ra d  SA; BC   MH 
�
Ta có sin MAH

Mà AO 

3a
.
4

MH 3a a 3

3
�

:

� MAH
 60�.
MA
4
2
2

2
2 a 3
a
�  AO � SA  2a .
AM  .

� cos SAO
3
3 2
SA
3
3


Câu 4. Chọn đáp án A
Kẻ HK  CD, K �CD và HE  SA, E �SA .
�SH  HK
� HK là đoạn vuông góc chung của SH và CD.

Có �
CD  HK
�
Ta có AD   SAB  � AD  HE � HE   SAD  .
Suy ra d  H ;  SAD    HE 
Mà

3
.
2

1
1
1
1


�
 1 � AH  1 .
2
2
2
SH
AH
HE
AH 2

Mặt khác AB  3 AH  3 AD � AH  AD
HK  1  d  SH ; CD  .

nên tứ giác

AHKD là hình vuông, do đó

Câu 5. Chọn đáp án D
�
  SAB  ,  SAD     ABCD  � SA  ABCD � SA  BD
�


.
�
SAB
�
SAD

SA




�
�  30�
Suy ra �
.
SD;  ABCD    �
SD; AD   SDA
� 
Xét SAD vuông tại A, có tan SDA

SA
SA
� AD 
 a 3.
AD
tan 30�

Từ A kẻ AH  BD, H �BD mà SA   ABCD  � SA  AH .
Do đó AH là đoạn vuông góc chung của SA, BD.
1
1
1
1
1




2
2
2
2
Xét BAD vuông tại A, có AH
AB
AD
a
a 3



� d  SA; BD   AH 

a 3
.
2



2

.


Câu 6. Chọn đáp án A
�  60�
Ta có: OE  CD � CD   SOE  � SEO
+) Đặt AB  2 x � OA  x 2, OE  x
+) tan 60�

SO

OE

SA2  OA2
5a 2  2 x 2

 3
OE
x

� 5a 2  5 x 2 � x  a � AB  2a, SO  a 3
Ta có: BD   SAD  .
Dựng OK  SC � d  BD; SC   OK
Ta có: OK 

SO.OC
SO 2  OC 2

a

6 a 30

.
5
5

Câu 7. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm của AM khi đó BC  2a 2
� AM 

BC
a 2
a 6
.
 a 2 � HA 
� SH  HA tan 60�
2
2
2

�BC  AM
� BC  ME do đó ME là đường
Dựng ME  SA . Do �
�BC  SH
vuông góc chung của BC và SA.
Cách 1: ME.SA  SH . AM � ME 

SH . AM
SH  HA
2

Cách 2: Dựng HF  SA suy ra ME  2 HF 

2



a 6
2

a 6
2

Câu 8. Chọn đáp án C
Gọi H là trung điểm của OB khi đó SH   ABCD 
Ta có tam giác SBD vuông tại S có đường cao SH nên
a 3 3a 3 9a 2
3a
SH  HB.HD 
.


� SH 
2
2
4
2
2

Dựng OK  SB � OK là đường vuông góc chung của
AC và SB.
Dựng HM  SB � HM 

SH .HB
SH 2  HB 2



3a
4


Do đó d  AC; SB   OK  2MH 

3a
.
2


Câu 9. Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC ta có A ' BC vuông cân tại A '

nên ta có: A ' H  BC .
Mặt khác  A ' BC    ABC  � A ' H   ABC  .
�  1 BAC
�  60�� HB  AB sin 60� a 3 .
Dễ thấy BAH
2
Do vậy BC  2a 3 � A ' H 

1
BC  a 3 .
2

�AH  BC
� BC   A ' AH  . Dựng HK  A ' A khi đó
Do �
�A ' H  BC
HK là đường vuông góc chung của BC và A ' A .
Ta có:

1
1
1
a 3
.


�
HK

HK 2 A ' H 2 AH 2

2

Câu 10. Chọn đáp án A
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó A ' G   ABC  ; AG 

2
a 3
AM 
3
3

Do đó A ' G  GA tan 60� a . Gọi I là trung điểm của
CI  AB
�
AB � �
�  A ' CI   AB
�A ' G  AB
Dựng IK  A ' C do đó IK là đường vuông góc chung của
AB và A ' C . Dựng GE  A ' C
Suy ra GE 

A ' G.GC

a
3
3a
� IK  GE 
.
2

4
A ' G 2  GC 2 2

Câu 11. Chọn đáp án C
I là trung điểm của AB � SI  AB � SI   ABC  � SI  AC .
Mà AC  AB � AC   SAB  � AC  SB .
Gọi K là trung điểm của SB � AK  SB � AK là đoạn vuông góc
chung của AC, SB nên d  SB; AC   AK 

a 3
� AB  a .
2

Gọi H là trung điểm của SA � BH  SA . Mà AC  BH .
�  30�.
Suy ra BH   SAC  � �
BC ;  SAC    �
BC; HC   BCH


� 
Ta có sin BCH

BH
BH
� BC 
 a 3.
BC
sin 30�

Câu 12. Chọn đáp án B
Gọi N là trung điểm của AD suy ra MN / / AC .
Ta có MN 

3a
a 3
a 6
và BN 
suy ra BMN
, BM 
2
2
2

vuông.
Do đó BM  MN � BM  AC � BM   SAC  .
Gọi I là giao điểm của AC và BM. Từ I kẻ IK  SC .
Nên IK là đoạn vuông góc chung SC, BM � d  SC ; BM   IK .
Ta có SAC ~ IKC � IK  IC .
Vậy d  SC ; BM  

a 3
.
6

SA a 3 a a 3

. 
SC
3 2a

6